考點(diǎn)6.1.1 等差數(shù)列
1、等差數(shù)列的判斷方法：定義法或
2、等差數(shù)列的通項(xiàng)：或。
①當(dāng)時，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是關(guān)于的一次函數(shù)，且斜率為公差；
3、等差數(shù)列的前和：，。
①前和是關(guān)于的二次函數(shù)且常數(shù)項(xiàng)為0.
4、等差中項(xiàng)：若成等差數(shù)列，則A叫做與的等差中項(xiàng)，且。
①當(dāng)時,則有，特別地，當(dāng)時，則有.
5、若是等差數(shù)列 ， ，…也成等差數(shù)列.
【839】．（2007·遼寧·高考真題·★★）
設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則（ ）
A．63B．36C．45D．27
【答案】C
【解析】
【分析】
根據(jù)等差數(shù)列的前項(xiàng)和的性質(zhì)，列式求解.
【詳解】
由等差數(shù)列的項(xiàng)和的性質(zhì)可知，成等差數(shù)列，
即，，成等差數(shù)列，所以，所以.
即.
故選：C
【840】．（2021·北京·高考真題·★★★）
《中國共產(chǎn)黨黨旗黨徽制作和使用的若干規(guī)定》指出，中國共產(chǎn)黨黨旗為旗面綴有金黃色黨徽圖案的紅旗，通用規(guī)格有五種.這五種規(guī)格黨旗的長(單位:cm)成等差數(shù)列，對應(yīng)的寬為(單位: cm),且長與寬之比都相等，已知，，，則
A．64B．96C．128D．160
【答案】C
【解析】
【分析】
設(shè)等差數(shù)列公差為，求得，得到，結(jié)合黨旗長與寬之比都相等和，列出方程，即可求解.
【詳解】
由題意，五種規(guī)格黨旗的長(單位:cm)成等差數(shù)列，設(shè)公差為，
因?yàn)?，，可得?br>可得，
又由長與寬之比都相等，且，可得，所以.
故選：C.
【841】．（2020·全國·高考真題·★★★★）
北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場所，分上、中、下三層，上層中心有一塊圓形石板(稱為天心石)，環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構(gòu)成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加9塊，下一層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多9塊，向外每環(huán)依次也增加9塊，已知每層環(huán)數(shù)相同，且下層比中層多729塊，則三層共有扇面形石板(不含天心石)（ ）
A．3699塊B．3474塊C．3402塊D．3339塊
【答案】C
【解析】
【分析】
第n環(huán)天石心塊數(shù)為，第一層共有n環(huán)，則是以9為首項(xiàng)，9為公差的等差數(shù)列，
設(shè)為的前n項(xiàng)和，由題意可得，解方程即可得到n，進(jìn)一步得到.
【詳解】
設(shè)第n環(huán)天石心塊數(shù)為，第一層共有n環(huán)，
則是以9為首項(xiàng)，9為公差的等差數(shù)列，，
設(shè)為的前n項(xiàng)和，則第一層、第二層、第三層的塊數(shù)分
別為，因?yàn)橄聦颖戎袑佣?29塊，
所以，
即
即，解得，
所以.
故選：C
【點(diǎn)晴】
本題主要考查等差數(shù)列前n項(xiàng)和有關(guān)的計(jì)算問題，考查學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，是一道容易題.
【842】．（2019·全國·高考真題·★★★）
記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和．已知，則
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
等差數(shù)列通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式．本題還可用排除，對B，，，排除B，對C，，排除C．對D，，排除D，故選A．
【詳解】
由題知，，解得，∴，故選A．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查等差數(shù)列通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，滲透方程思想與數(shù)學(xué)計(jì)算等素養(yǎng)．利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)公式即可列出關(guān)于首項(xiàng)與公差的方程，解出首項(xiàng)與公差，在適當(dāng)計(jì)算即可做了判斷．
【843】．（2008·陜西·高考真題·★★）
是等差數(shù)列，，，則該數(shù)列前10項(xiàng)和等于
A．64B．100C．110D．120
【答案】B
【解析】
【詳解】
設(shè)等差數(shù)列的公差為，由a1+a2=4，a7+a8=28，可得：
解方程組可得.
故選：B
考點(diǎn)：等差數(shù)列通項(xiàng)公式及求和
【844】．（2008·福建·高考真題·★★）
設(shè)是等差數(shù)列，若，則數(shù)列前8項(xiàng)的和為
A．128B．80C．64D．56
【答案】C
【解析】
【分析】
由等差數(shù)列的求和公式以及角標(biāo)之和的性質(zhì)求解即可.
【詳解】
故選：C
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了等差數(shù)列的求和公式以及角標(biāo)之和的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.
【845】．（2012·浙江·高考真題·★★★）
設(shè)S n是公差為d(d≠0)的無窮等差數(shù)列{a n}的前n項(xiàng)和，則下列命題錯誤的是
A．若d＜0，則數(shù)列{S n}有最大項(xiàng)
B．若數(shù)列{S n}有最大項(xiàng)，則d＜0
C．若數(shù)列{S n}是遞增數(shù)列，則對任意的nN*，均有S n＞0
D．若對任意的nN*，均有S n＞0，則數(shù)列{S n}是遞增數(shù)列
【答案】C
【解析】
【詳解】
特殊值驗(yàn)證排除．選項(xiàng)C顯然是錯的，舉出反例：－1，0，1，2，…，滿足數(shù)列{Sn}是遞增數(shù)列，但是Sn>0不恒成立選C.
【846】．（2018·全國·高考真題·★★★）
設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【詳解】
分析：首先設(shè)出等差數(shù)列的公差為，利用等差數(shù)列的求和公式，得到公差所滿足的等量關(guān)系式，從而求得結(jié)果，之后應(yīng)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求得，從而求得正確結(jié)果.
詳解：設(shè)該等差數(shù)列的公差為，
根據(jù)題中的條件可得，
整理解得，所以，故選B.
點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)等差數(shù)列的求和公式和通項(xiàng)公式的應(yīng)用，在解題的過程中，需要利用題中的條件，結(jié)合等差數(shù)列的求和公式，得到公差的值，之后利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式得到與的關(guān)系，從而求得結(jié)果.
【847】．（2022·全國·高考真題·★★）
記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和．若，則公差_______．
【答案】2
【解析】
【分析】
轉(zhuǎn)化條件為，即可得解.
【詳解】
由可得，化簡得，
即，解得.
故答案為：2.
【848】．（2020·全國·高考真題·★★）
記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和．若，則__________．
【答案】
【解析】
【分析】
因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，根據(jù)已知條件，求出公差，根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和，即可求得答案.
【詳解】
是等差數(shù)列，且，
設(shè)等差數(shù)列的公差
根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式：
可得
即：
整理可得：
解得：
根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和公式：
可得：
.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了求等差數(shù)列的前項(xiàng)和，解題關(guān)鍵是掌握等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式，考查了分析能力和計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.
【849】．（2019·全國·高考真題·★★★）
記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，，則___________.
【答案】4.
【解析】
【分析】
根據(jù)已知求出和的關(guān)系，再結(jié)合等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式求得結(jié)果.
【詳解】
因，所以，即，
所以．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)、基本量的計(jì)算．滲透了數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．使用轉(zhuǎn)化思想得出答案．
【850】．（2017·北京·高考真題·★★）
若等差數(shù)列和等比數(shù)列滿足，，則_______.
【答案】
【解析】
【分析】
設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，根據(jù)題中條件求出、的值，進(jìn)而求出和的值，由此可得出的值.
【詳解】
設(shè)等差數(shù)列的公差和等比數(shù)列的公比分別為和，則，
求得，，那么，故答案為.
【考點(diǎn)】
等差數(shù)列和等比數(shù)列
【點(diǎn)睛】
等差、等比數(shù)列各有五個基本量，兩組基本公式，而這兩組公式可看作多元方程，利用這些方程可將等差、等比數(shù)列中的運(yùn)算問題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于基本量的方程（組）問題，因此可以說數(shù)列中的絕大部分運(yùn)算題可看作方程應(yīng)用題，所以用方程思想解決數(shù)列問題是一種行之有效的方法.
【851】．（2014·北京·高考真題·★★★）
若等差數(shù)列滿足，則當(dāng)__________時，的前項(xiàng)和最大．
【答案】8
【解析】
【詳解】
試題分析：由等差數(shù)列的性質(zhì)，，，又因?yàn)椋?br>所以，所以，，故數(shù)列的前8項(xiàng)最大.
考點(diǎn)：等差數(shù)列的性質(zhì)，前項(xiàng)和的最值，容易題.
【852】．（2013·廣東·高考真題·★★）
在等差數(shù)列中,已知,則_____.
【答案】
【解析】
【詳解】
依題意,所以.或:.
【考點(diǎn)定位】考查等差數(shù)列的性質(zhì)和通項(xiàng)公式．
【853】．（2022·青?！つM預(yù)測·★★★）
已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，滿足，，若數(shù)列滿足，則m＝（ ）
A．9B．10C．19D．20
【答案】B
【解析】
【分析】
根據(jù)給定條件，利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和結(jié)合等差數(shù)列性質(zhì)，求出異號的相鄰兩項(xiàng)即可作答.
【詳解】
等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則，有，
，有，顯然數(shù)列是遞減的，且，
因，所以.
故選：B
【854】．（2022·吉林·東北師大附中模擬預(yù)測·★★★）
數(shù)列為等差數(shù)列，前項(xiàng)的和為，若，，則當(dāng)時，的最大值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
分析數(shù)列的單調(diào)性，計(jì)算、，即可得出結(jié)論.
【詳解】
因?yàn)?，，則，故數(shù)列為遞增數(shù)列，
因?yàn)?，?br>且當(dāng)時，，所以，當(dāng)時，，
所以，滿足當(dāng)時，的最大值為.
故選：C.
【855】．（2022·安徽·合肥一六八中學(xué)模擬預(yù)測·★★★★）
已知等差數(shù)列的公差為，且，且、、成等比數(shù)列，若，為數(shù)列的前項(xiàng)和．則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由已知可得出關(guān)于的等式，結(jié)合可求得的值，求出、，分析數(shù)列的單調(diào)性，即可求得的最小值.
【詳解】
由已知可得，即，可得，，解得，
，所以，，
，
令，則，
當(dāng)時，，即，
當(dāng)時，，即，
所以，數(shù)列中，最小，故的最小值為.
故選：D.
【856】．（2022·江蘇·南京市天印高級中學(xué)模擬預(yù)測·★★★）
2022年北京冬奧會開幕式始于24節(jié)氣倒計(jì)時，它將中國人的物候文明、傳承久遠(yuǎn)的詩歌、現(xiàn)代生活的畫面和諧統(tǒng)一起來.我國古人將一年分為24個節(jié)氣，如圖所示，相鄰兩個節(jié)氣的日晷長變化量相同，冬至日晷長最長，夏至日晷長最短，周而復(fù)始.已知冬至日晷長為13.5尺，芒種日晷長為2.5尺，則一年中夏至到立冬的日晷長的和為______尺
【答案】60
【解析】
【分析】
因?yàn)橄噜弮蓚€節(jié)氣的日晷長變化量相同，所以每個節(jié)氣的日晷長構(gòu)成等差數(shù)列，所以夏至到立冬的日晷長的和可以用等差數(shù)列求和公式得到.
【詳解】
因?yàn)橄噜弮蓚€節(jié)氣的日晷長變化量相同，所以每個節(jié)氣的日晷長構(gòu)成等差數(shù)列，
設(shè)冬至日晷長13.5尺為，則芒種日晷長2.5尺為，所以，
所以夏至日晷長為1.5尺，
記夏至日晷長1.5尺為，小暑為，大暑為，……，立冬為
則.
故答案為：60.
【857】．（2022·青海·海東市第一中學(xué)模擬預(yù)測·★★）
已知等差數(shù)列中，，是方程的兩根，則的前21項(xiàng)的和為（ ）
A．6B．30C．63D．126
【答案】C
【解析】
【分析】
利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，結(jié)合等差數(shù)列性質(zhì)及韋達(dá)定理計(jì)算作答.
【詳解】
，是方程的兩根，由韋達(dá)定理得：，
所以等差數(shù)列的前21項(xiàng)的和．
故選：C
【858】．（2022·全國·模擬預(yù)測·★★）
已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（ ）
A．60B．75C．90D．105
【答案】D
【解析】
【分析】
根據(jù)基本量法求解得，再根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和的性質(zhì)求解即可
【詳解】
設(shè)等差數(shù)列的公差為，則由題意可得，
故，即，，故.
故選：D
【859】．（2022·江西·上高二中模擬預(yù)測·★★★）
已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，成等差數(shù)列，則（ ）
A．或B．或C．或D．或
【答案】C
【解析】
【分析】
先利用，，成等差數(shù)列解出，再利用求和公式化簡求值即可.
【詳解】
解：設(shè)等比數(shù)列公比為，由，，成等差數(shù)列可得，，化簡得，解得或，
當(dāng)時，2；
當(dāng)時，.
故選：C.
【860】．（2022·海南?？凇ざ！ぁ铩铩铮?br>設(shè)公差不為0的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，則（ ）
A．9B．8C．7D．6
【答案】C
【解析】
【分析】
根據(jù)等差數(shù)列的前項(xiàng)和的性質(zhì)及等差數(shù)列通項(xiàng)公式化簡可得.
【詳解】
因?yàn)椋郑?br>所以，
所以，即，
設(shè)等差數(shù)列的公差為，
則，
所以，又，
所以，
所以．
故選：C.
【861】．（2022·貴州貴陽·模擬預(yù)測·★★★）
《孫子算經(jīng)》一書中有如下問題：“今有五等諸侯，共分橘子60顆，人別加3顆．問：五人各得幾何？”其大意為“有5人分60個橘子，他們分得的橘子數(shù)構(gòu)成公差為3的等差數(shù)列，問5人各得多少個橘子？”根據(jù)上述問題的已知條件，則分得橘子最多的人所得的橘子數(shù)為（ ）
A．15B．16C．17D．18
【答案】D
【解析】
【分析】
根據(jù)給定條件，利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式求出首項(xiàng)即可計(jì)算作答.
【詳解】
依題意，這5人得到的橘子數(shù)按從小到大的順序排成一列構(gòu)成公差的等差數(shù)列，
而數(shù)列的前5項(xiàng)和，由，解得，則，
所以分得橘子最多的人所得的橘子數(shù)為18.
故選：D
【862】．（2022·江蘇·模擬預(yù)測·★★★）
已知數(shù)列的首項(xiàng)，，前n項(xiàng)和滿足，則數(shù)列的前n項(xiàng)和為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由題可得，進(jìn)而可得，然后可得，利用等差數(shù)列的定義及求和公式即得.
【詳解】
由得，
即，
所以，所以，
兩式作差，得，即，
所以，
所以或，又，
故，
所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，
所以數(shù)列的前n項(xiàng)和.
故選：A.
【863】．（2022·上海市嘉定區(qū)第二中學(xué)模擬預(yù)測·★★）
若等差數(shù)列滿足，則_______．
【答案】
【解析】
【分析】
由是等差數(shù)列可得，從而即可求出的值．
【詳解】
解：是等差數(shù)列，
，
．
故答案為：8．
【864】．（2022·上海普陀·二?！ぁ铩铩铮?br>已知等差數(shù)列（）滿足，則__________.
【答案】1
【解析】
【分析】
利用等差中項(xiàng)的性質(zhì)可得，進(jìn)而可求結(jié)果.
【詳解】
由題設(shè)，
所以，即.
故答案為：1
【865】．（2022·上海虹口·二模·★★★）
已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，公比，且為與的等差中項(xiàng)，.若數(shù)列滿足，其前項(xiàng)和為，則_________.
【答案】
【解析】
【分析】
先根據(jù)等比數(shù)列的前項(xiàng)和的基本量的計(jì)算求出，即可得到數(shù)列的通項(xiàng)公式，再根據(jù)等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式即可解出．
【詳解】
由題可得，，而，解得：，所以，即，所以．
故答案為：．
【866】．（2022·河南·平頂山市第一高級中學(xué)模擬預(yù)測·★★）
已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，則___________．
【答案】6061
【解析】
【分析】
設(shè)出首項(xiàng)和公差，列出方程組，求出首項(xiàng)和公差，從而求出答案.
【詳解】
設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為d，
則
解得：，，
所以．
故答案為：6061
【867】．（2022·北京市大興區(qū)興華中學(xué)三模·★★★）
已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，2，3，…，則______．
【答案】##
【解析】
【分析】
由已知條件可得數(shù)列是以為公差的等差數(shù)列，然后利用等差數(shù)列的性質(zhì)和求和公式可求得結(jié)果
【詳解】
因?yàn)椋?br>所以，
所以數(shù)列是以為公差的等差數(shù)列，
所以，
故答案為：
【868】．（2022·重慶八中模擬預(yù)測·★★）
在等差數(shù)列中，，則數(shù)列的前13項(xiàng)和為______．
【答案】
【解析】
【分析】
由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式得，再代入求和公式可求得答案.
【詳解】
解：設(shè)等差數(shù)列的公差為d，因?yàn)椋?br>，
，
則，
故答案為：．
考點(diǎn)6.1.2 等比數(shù)列
1.等比數(shù)列的定義--------（證明或判斷等比數(shù)列），
2.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式：或。
3．等比數(shù)列的前和：
= 1 \* GB3 ①當(dāng)時，； = 2 \* GB3 ②當(dāng)時，。
4、等比中項(xiàng)：
= 1 \* GB2 ⑴若成等比數(shù)列，那么A叫做與的等比中項(xiàng)，
= 2 \* GB2 ⑵當(dāng)時，則有。
5、若是等比數(shù)列 ， ，…也成等比數(shù)列.
【869】．（2022·全國·高考真題·★★★）
已知等比數(shù)列的前3項(xiàng)和為168，，則（ ）
A．14B．12C．6D．3
【答案】D
【解析】
【分析】
設(shè)等比數(shù)列的公比為，易得，根據(jù)題意求出首項(xiàng)與公比，再根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)即可得解.
【詳解】
解：設(shè)等比數(shù)列的公比為，
若，則，與題意矛盾，
所以，
則，解得，
所以.
故選：D.
【870】．（2017·全國·高考真題·★★★）
等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為1，公差不為0.若a2，a3，a6成等比數(shù)列，則{an}前6項(xiàng)的和為（ ）
A．－24B．－3
C．3D．8
【答案】A
【解析】
【分析】
根據(jù)等差數(shù)列的基本量求得數(shù)列的公差，再用其前項(xiàng)和公式即可求得結(jié)果.
【詳解】
根據(jù)題意得，即，
解得d＝0(舍去)，d，
所以數(shù)列{an}的前6項(xiàng)和為.
故選：A
【871】．（2021·全國·高考真題·★★）
記為等比數(shù)列的前n項(xiàng)和.若，，則（ ）
A．7B．8C．9D．10
【答案】A
【解析】
【分析】
根據(jù)題目條件可得，，成等比數(shù)列，從而求出，進(jìn)一步求出答案.
【詳解】
∵為等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，
∴，，成等比數(shù)列
∴，
∴，
∴.
故選：A.
【872】．（2020·全國·高考真題·★★★）
記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．若a5–a3=12，a6–a4=24，則=（ ）
A．2n–1B．2–21–nC．2–2n–1D．21–n–1
【答案】B
【解析】
【分析】
根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，可以得到方程組，解方程組求出首項(xiàng)和公比，最后利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式進(jìn)行求解即可.
【詳解】
設(shè)等比數(shù)列的公比為，
由可得：，
所以，
因此.
故選：B.
【點(diǎn)睛】
本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算，考查了等比數(shù)列前項(xiàng)和公式的應(yīng)用，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.
【873】．（2014·北京·高考真題·★★★）
設(shè)是公比為的等比數(shù)列，則“”是“為遞增數(shù)列”的
A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件
C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】D
【解析】
【詳解】
試題分析：當(dāng)時，不是遞增數(shù)列；當(dāng)且時，是遞增數(shù)列，但是不成立，所以選D.
考點(diǎn)：等比數(shù)列
【874】．（2007·海南·高考真題·★★★）
已知，成等差數(shù)列，成等比數(shù)列，則的最小值是
A．0B．1C．2D．4
【答案】D
【解析】
【詳解】
解：∵x，a，b，y成等差數(shù)列，x，c，d，y成等比數(shù)列
根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)可知：a+b=x+y，cd=xy，
當(dāng)且僅當(dāng)x=y時取“=”，
【875】．（2018·北京·高考真題·★★★）
“十二平均律” 是通用的音律體系，明代朱載堉最早用數(shù)學(xué)方法計(jì)算出半音比例，為這個理論的發(fā)展做出了重要貢獻(xiàn).十二平均律將一個純八度音程分成十二份，依次得到十三個單音，從第二個單音起，每一個單音的頻率與它的前一個單音的頻率的比都等于.若第一個單音的頻率為f，則第八個單音的頻率為
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】
【詳解】
分析：根據(jù)等比數(shù)列的定義可知每一個單音的頻率成等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)可解.
詳解：因?yàn)槊恳粋€單音與前一個單音頻率比為，
所以，
又，則
故選D.
點(diǎn)睛：此題考查等比數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是能夠判斷單音成等比數(shù)列. 等比數(shù)列的判斷方法主要有如下兩種：
（1）定義法，若（）或（）， 數(shù)列是等比數(shù)列；
（2）等比中項(xiàng)公式法，若數(shù)列中，且（），則數(shù)列是等比數(shù)列.
【876】．（2017·全國·高考真題·★★★★★）
幾位大學(xué)生響應(yīng)國家的創(chuàng)業(yè)號召，開發(fā)了一款應(yīng)用軟件.為激發(fā)大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，他們推出了“解數(shù)學(xué)題獲取軟件激活碼”的活動.這款軟件的激活碼為下面數(shù)學(xué)問題的答案：已知數(shù)列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一項(xiàng)是20，接下來的兩項(xiàng)是20，21，再接下來的三項(xiàng)是20，21，22，依此類推.求滿足如下條件的最小整數(shù)N：N>100且該數(shù)列的前N項(xiàng)和為2的整數(shù)冪.那么該款軟件的激活碼是
A．440B．330
C．220D．110
【答案】A
【解析】
【詳解】
由題意得，數(shù)列如下：
則該數(shù)列的前項(xiàng)和為
，
要使，有，此時，所以是第組等比數(shù)列的部分和，設(shè)，
所以，則，此時，
所以對應(yīng)滿足條件的最小整數(shù)，故選A.
點(diǎn)睛:本題非常巧妙地將實(shí)際問題和數(shù)列融合在一起，首先需要讀懂題目所表達(dá)的具體含義，以及觀察所給定數(shù)列的特征，進(jìn)而判斷出該數(shù)列的通項(xiàng)和求和.另外，本題的難點(diǎn)在于數(shù)列里面套數(shù)列，第一個數(shù)列的和又作為下一個數(shù)列的通項(xiàng)，而且最后幾項(xiàng)并不能放在一個數(shù)列中，需要進(jìn)行判斷.
【877】．（2015·全國·高考真題·★★★）
已知等比數(shù)列滿足，，則
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【詳解】
由a1+a3+a5=21得 a3+a5+a7=，選B.
【878】．（2014·全國·高考真題·★★）
等差數(shù)列的公差是2，若 成等比數(shù)列，則的前 項(xiàng)和
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【詳解】
試題分析：由已知得，，又因?yàn)槭枪顬?的等差數(shù)列，故，，解得，所以，故．
【考點(diǎn)】1、等差數(shù)列通項(xiàng)公式；2、等比中項(xiàng)；3、等差數(shù)列前n項(xiàng)和．
【879】．（2014·廣東·高考真題·★★★★）
若等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，則 .
【答案】.
【解析】
【詳解】
由得，
所以
【點(diǎn)睛】
等差、等比數(shù)列的性質(zhì)是兩種數(shù)列基本規(guī)律的深刻體現(xiàn)，是解決等差、等比數(shù)列問題既快捷又方便的工具，應(yīng)有意識地去應(yīng)用.但在應(yīng)用性質(zhì)時要注意性質(zhì)的前提條件，有時需要進(jìn)行適當(dāng)變形. 在解決等差、等比數(shù)列的運(yùn)算問題時，經(jīng)常采用“巧用性質(zhì)、整體考慮、減少運(yùn)算量”的方法.
【880】．（2019·全國·高考真題·★★★）
記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．若，則S5=____________．
【答案】.
【解析】
【分析】
本題根據(jù)已知條件，列出關(guān)于等比數(shù)列公比的方程，應(yīng)用等比數(shù)列的求和公式，計(jì)算得到．題目的難度不大，注重了基礎(chǔ)知識、基本計(jì)算能力的考查．
【詳解】
設(shè)等比數(shù)列的公比為，由已知，所以又，
所以所以．
【點(diǎn)睛】
準(zhǔn)確計(jì)算，是解答此類問題的基本要求．本題由于涉及冪的乘方運(yùn)算、繁分式分式計(jì)算，部分考生易出現(xiàn)運(yùn)算錯誤．
【881】．（2009·寧夏·高考真題·★★）
等比數(shù)列的公比，已知，，則的前項(xiàng)和__________．
【答案】
【解析】
【詳解】
由得：，即，，解得：q＝2，又=1，所以，，＝．
【882】．（2017·全國·高考真題·★★）
設(shè)等比數(shù)列滿足a1 + a2 = –1, a1 – a3 = –3，則a4 = ___________．
【答案】-8
【解析】
【詳解】
設(shè)等比數(shù)列的公比為，很明顯，結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和題意可得方程組：
，由可得：，代入①可得，
由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得.
【名師點(diǎn)睛】等比數(shù)列基本量的求解是等比數(shù)列中的一類基本問題，解決這類問題的關(guān)鍵在于熟練掌握等比數(shù)列的有關(guān)公式并能靈活運(yùn)用，尤其需要注意的是，在使用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時，應(yīng)該要分類討論，有時還應(yīng)善于運(yùn)用整體代換思想簡化運(yùn)算過程.
【883】．（2017·江蘇·高考真題·★★★）
等比數(shù)列{}的各項(xiàng)均為實(shí)數(shù)，其前項(xiàng)為，已知= ，=，則=_____．
【答案】32
【解析】
【詳解】
由題意可得，所以兩式相除得代入得，填32．
【884】．（2022·上海青浦·二?！ぁ铩铩铩铩铮?br>設(shè)各項(xiàng)均為正整數(shù)的無窮等差數(shù)列，滿足，且存在正整數(shù)，使、、成等比數(shù)列，則公差的所有可能取值的個數(shù)為（ ）
A．B．C．D．無窮多
【答案】B
【解析】
【分析】
由已知可得，分析可知，則是的倍數(shù)，且，由已知，對的取值進(jìn)行分類討論，求出的值，并求出對應(yīng)的的值，即可得出結(jié)論.
【詳解】
根據(jù)題意可知，，化簡可得，
因?yàn)楦黜?xiàng)均為正整數(shù)，則，故是的倍數(shù)，且，
因?yàn)?、、成等比?shù)列，則，分以下情況討論：
①若，則，可得，，解得，合乎題意；
②若，則，可得，，解得，合乎題意；
③若，則，可得，，解得，不合乎題意；
④若，則，可得，，解得，不合乎題意；
⑤若，則，可得，此時，是常數(shù)列，且每項(xiàng)均為，合乎題意.
綜上所述，公差的所有可能取值的個數(shù)為.
故選：B.
【點(diǎn)睛】
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查等差數(shù)列基本量的計(jì)算，解題的關(guān)鍵時分析出，然后對的取值進(jìn)行分類討論，驗(yàn)證的值是否滿足題意，即可得解.
【885】．（2022·江蘇省贛榆高級中學(xué)模擬預(yù)測·★★★★）
1883年，德國數(shù)學(xué)家康托提出了三分康托集，亦稱康托爾集.下圖是其構(gòu)造過程的圖示，其詳細(xì)構(gòu)造過程可用文字描述為：第一步，把閉區(qū)間平均分成三段，去掉中間的一段，剩下兩個閉區(qū)間和；第二步，將剩下的兩個閉區(qū)間分別平均分為三段，各自去掉中間的一段，剩下四段閉區(qū)間：，，，；如此不斷的構(gòu)造下去，最后剩下的各個區(qū)間段就構(gòu)成了三分康托集.若經(jīng)歷步構(gòu)造后，不屬于剩下的閉區(qū)間，則的最小值是（ ）．
A．7B．8C．9D．10
【答案】A
【解析】
【分析】
根據(jù)三分康托集的構(gòu)造過程可知：經(jīng)歷第步，每個去掉的開區(qū)間以及留下的閉區(qū)間的區(qū)間長度都是，根據(jù)規(guī)律即可求出屬于，進(jìn)而根據(jù)不等式可求解.
【詳解】
不屬于剩下的閉區(qū)間，屬于去掉的開區(qū)間
經(jīng)歷第步，剩下的最后一個區(qū)間為，經(jīng)歷第步，剩下的最后一個區(qū)間為，……，
經(jīng)歷第步，剩下的最后一個區(qū)間為，去掉的最后開區(qū)間為
由化簡得，解得
故選:A
【886】．（2022·福建龍巖·模擬預(yù)測·★★★★★）
如圖所示的“數(shù)字塔”有以下規(guī)律：每一層最左與最右的數(shù)字均為2，除此之外每個數(shù)字均為其兩肩的數(shù)字之積，則該“數(shù)字塔”前10層的所有數(shù)字之積約為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根據(jù)題意可知第行第個數(shù)的指數(shù)為二項(xiàng)式系數(shù)，第行數(shù)字的指數(shù)之和為二項(xiàng)式系數(shù)之和等于，利用等比數(shù)列求和得該“數(shù)字塔”前10層的所有數(shù)字之積，利用對數(shù)運(yùn)算進(jìn)行計(jì)算估計(jì)．
【詳解】
根據(jù)題意可得，“數(shù)字塔”中第行第個數(shù)均為的形式，該“數(shù)字塔”前10層的所有數(shù)字之積
根據(jù)指數(shù)運(yùn)算可知，則按原位置排列即構(gòu)成楊輝三角，可得為二項(xiàng)式系數(shù)，則第行數(shù)字的和為二項(xiàng)式系數(shù)之和等于
∴前10層的所有數(shù)字之和
該“數(shù)字塔”前10層的所有數(shù)字之積
，則
故選：C．
【887】．（2022·湖北省仙桃中學(xué)模擬預(yù)測·★★★★）(多選題）
已知為數(shù)列的前項(xiàng)之和，且滿足 ，則下列說法正確的是（ ）
A． 為等差數(shù)列B．若 為等差數(shù)列，則公差為2
C．可能為等比數(shù)列D．的最小值為0，最大值為20
【答案】BCD
【解析】
【分析】
當(dāng)時，解出，當(dāng)時，由退位相減法求得，討論和，求出數(shù)列的通項(xiàng)，再依次判斷即可.
【詳解】
當(dāng)時，，解得或，當(dāng)時，，，
整理得，當(dāng)時，若，可得，若，，
可得數(shù)列為等比數(shù)列，；當(dāng)時，可得，數(shù)列為等差數(shù)列，
若，可得，若，可得；故A錯誤；B正確；C正確；當(dāng)時，；
當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；故D正確.
故選：BCD.
【888】．（2022·河北·石家莊二中模擬預(yù)測·★★★★）(多選題）
已知數(shù)列為等比數(shù)列，首項(xiàng)，公比，則下列敘述正確的是（ ）
A．?dāng)?shù)列的最大項(xiàng)為B．?dāng)?shù)列的最小項(xiàng)為
C．?dāng)?shù)列為遞增數(shù)列D．?dāng)?shù)列為遞增數(shù)列
【答案】ABC
【解析】
【分析】
分別在為偶數(shù)和為奇數(shù)的情況下，根據(jù)項(xiàng)的正負(fù)和的正負(fù)得到最大項(xiàng)和最小項(xiàng)，知AB正誤；利用和可知CD正誤.
【詳解】
對于A，由題意知：當(dāng)為偶數(shù)時，；
當(dāng)為奇數(shù)時，，，最大；
綜上所述：數(shù)列的最大項(xiàng)為，A正確；
對于B，當(dāng)為偶數(shù)時，，，最??；
當(dāng)為奇數(shù)時，；
綜上所述：數(shù)列的最小項(xiàng)為，B正確；
對于C，，，
，
，，，
數(shù)列為遞增數(shù)列，C正確；
對于D，，，
；
，，，又，
，數(shù)列為遞減數(shù)列，D錯誤.
故選：ABC.
【889】．（2022·湖北·鄂南高中模擬預(yù)測·★★★★）(多選題）
設(shè)公比為的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，則下列說法中一定正確的是（ ）
A．?dāng)?shù)列：，，，成等比數(shù)列
B．當(dāng)時，數(shù)列是等比數(shù)列
C．是等比數(shù)列
D．是等比數(shù)列
【答案】BD
【解析】
【分析】
利用等比數(shù)列的定義及求和公式，結(jié)合，等特殊情況，分析數(shù)據(jù)，即可判斷選項(xiàng)正誤.
【詳解】
解：A選項(xiàng)中，當(dāng)時，數(shù)列，，，，為等比數(shù)列，但，
所以，，，就不能構(gòu)成等比數(shù)列，故A錯誤；
B選項(xiàng)中，當(dāng)時，，，
則，所以為常數(shù)，
所以數(shù)列是等比數(shù)列，故B正確；
C選項(xiàng)中，當(dāng)時，則，即，
所以不能構(gòu)成等比數(shù)列，故C錯誤；
D選項(xiàng)中，，則為常數(shù)，
所以是等比數(shù)列，故D正確.
故選：BD.
【890】．（2022·全國·模擬預(yù)測·★★★★）(多選題）
已知等比數(shù)列的公比為，且，記的前項(xiàng)和為，前項(xiàng)積為，則下列說法正確的是（ ）
A．當(dāng)時，遞減B．當(dāng)時，
C．當(dāng)時，D．當(dāng)時，
【答案】BCD
【解析】
【分析】
由，，得到，即可判斷A錯誤；利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和基本不等式求解，可判定B正確；分類討論與1的大小關(guān)系，可判定C正確；分析出的特征，得到，可判定D正確.
【詳解】
對于A中，因?yàn)椋?，所以，所以遞增，所以A錯誤.
對于B中，當(dāng)時，
，
當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以B正確.
對于C中，當(dāng)時，遞增，因?yàn)?，所以?dāng)時，；
當(dāng)時，，所以當(dāng)或時，最小，
所以，故C正確.
對于D中，當(dāng)時，是擺動數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)為正，奇數(shù)項(xiàng)為負(fù)，遞減，
因?yàn)椋援?dāng)或時，最大，的前2022項(xiàng)中有1011項(xiàng)為正，1011項(xiàng)為負(fù)，所以，所以恒成立，所以D正確.
故選：BCD.
【891】．（2022·湖北·大冶市第一中學(xué)模擬預(yù)測·★★★★）(多選題）
給出構(gòu)造數(shù)列的一種方法：在數(shù)列的每相鄰兩項(xiàng)之間插入此兩項(xiàng)的和，形成新的數(shù)列，再把所得數(shù)列按照同樣的方法不斷構(gòu)造出新的數(shù)列．現(xiàn)自1，1起進(jìn)行構(gòu)造，第1次得到數(shù)列1，2，1，第2次得到數(shù)列1，3，2，3，1，…，第次得到數(shù)列，記，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】CD
【解析】
【分析】
通過計(jì)算求出的值，運(yùn)用歸納法得到之間的關(guān)系，最后根據(jù)等比數(shù)列的定義和前n項(xiàng)和公式進(jìn)行求解判斷即可.
【詳解】
由題意得：，
所以有，因此選項(xiàng)AB不正確；
，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，因此有，因此選項(xiàng)C正確；
，所以選項(xiàng)D正確，
故選：CD
【點(diǎn)睛】
關(guān)鍵點(diǎn)睛：通過計(jì)算得到是解題的關(guān)鍵.
【892】．（2022·青?！ず|市第一中學(xué)模擬預(yù)測·★★★）
已知等比數(shù)列的公比，則 等于（ ）
A．B．C．3D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式計(jì)算可得；
【詳解】
解：因?yàn)榈缺葦?shù)列的公比，
所以．
故選：D
【893】．（2022·內(nèi)蒙古·海拉爾第二中學(xué)模擬預(yù)測·★★★）
已知等差數(shù)列中，其前5項(xiàng)的和，等比數(shù)列中，則（ ）
A．或B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由等差數(shù)列求和公式求出，由等比數(shù)列通項(xiàng)公式基本量計(jì)算得到公比，進(jìn)而求出，從而求出結(jié)果.
【詳解】
由題意得：，解得：，
設(shè)等比數(shù)列的公比是，因?yàn)?，所以，解得：?br>顯然，所以，所以，
所以
故選：D
【894】．（2022·河南安陽·模擬預(yù)測·★★★）
已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
利用求出，再由數(shù)列為等比數(shù)列可求出的值，從而可求得答案
【詳解】
當(dāng)時，，
當(dāng)時，
，
因?yàn)閿?shù)列為等比數(shù)列，
所以，得，
所以，
故選：A
【895】．（2022·湖南·邵陽市第二中學(xué)模擬預(yù)測·★★★★）
已知正項(xiàng)等比數(shù)列滿足，若存在、，使得，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，根據(jù)已知條件求出的值，由已知條件可得出，將代數(shù)式與相乘，利用基本不等式可求得的最小值.
【詳解】
設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，由可得，解得，
因?yàn)?，則，，可得，
由已知、，所以，
，
當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，
因此，的最小值為.
故選：D.
【896】．（2022·安徽·合肥市第六中學(xué)模擬預(yù)測·★★★）
已知正項(xiàng)等比數(shù)列滿足，則的最小值為（ ）
A．16B．24C．32D．8
【答案】C
【解析】
【分析】
由得，，再利用基本不等式可得答案．
【詳解】
等比數(shù)列滿足，且公比，則，，，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立．
故選：C.
【897】．（2022·北京·人大附中模擬預(yù)測·★★★★）
如圖是標(biāo)準(zhǔn)對數(shù)遠(yuǎn)視力表的一部分．最左邊一列“五分記錄”為標(biāo)準(zhǔn)對數(shù)視力記錄，這組數(shù)據(jù)從上至下為等差數(shù)列，公差為；最右邊一列“小數(shù)記錄”為國際標(biāo)準(zhǔn)視力記錄的近似值，這組數(shù)據(jù)從上至下為等比數(shù)列，公比為．已知標(biāo)準(zhǔn)對數(shù)視力對應(yīng)的國際標(biāo)準(zhǔn)視力準(zhǔn)確值為，則標(biāo)準(zhǔn)對數(shù)視力對應(yīng)的國際標(biāo)準(zhǔn)視力精確到小數(shù)點(diǎn)后兩位約為（ ）
（參考數(shù)據(jù)：）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根據(jù)給定條件，確定標(biāo)準(zhǔn)對數(shù)視力從下到上的項(xiàng)數(shù)，再利用等比數(shù)列計(jì)算作答.
【詳解】
依題意，以標(biāo)準(zhǔn)對數(shù)視力為左邊數(shù)據(jù)組的等差數(shù)列的首項(xiàng)，其公差為-0.1，標(biāo)準(zhǔn)對數(shù)視力為該數(shù)列第3項(xiàng)，
標(biāo)準(zhǔn)對數(shù)視力對應(yīng)的國際標(biāo)準(zhǔn)視力值1.0為右邊數(shù)據(jù)組的等比數(shù)列的首項(xiàng)，其公比為，
因此，標(biāo)準(zhǔn)對數(shù)視力對應(yīng)的國際標(biāo)準(zhǔn)視力值為該等比數(shù)列的第3項(xiàng)，其大小為.
故選：D
【898】．（2022·湖南·長郡中學(xué)模擬預(yù)測·★★★）
設(shè)等比數(shù)列滿足，則的最大值為（ ）
A．64B．128C．256D．512
【答案】A
【解析】
【分析】
根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.
【詳解】
由，得.
又，得.故.
由，得，得，且.故當(dāng)或4時，取得最大值，即.
故選：A.
【899】．（2022·上海閔行·二?！ぁ铩铩铩铮?br>已知無窮等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正整數(shù)，且，則滿足條件的不同數(shù)列的個數(shù)為___________；
【答案】13
【解析】
【分析】
對題干條件變形得到，整理后得到，得到能整除，且，因?yàn)椋?br>所以，求出滿足條件的不同數(shù)列的個數(shù).
【詳解】
由題意得：此等比數(shù)列的公比，
由得：，
則，即，
所以能整除，且
因?yàn)椋?br>所以，
解得：，
經(jīng)檢驗(yàn)，均滿足要求，
故滿足條件的不同數(shù)列的個數(shù)為13個.
故答案為：13
【點(diǎn)睛】
本題的關(guān)鍵點(diǎn)為化簡整理得到，結(jié)合能整除，且，，從而得到，求出答案..
【900】．（2022·青?！ず|市第一中學(xué)模擬預(yù)測·★★★）
設(shè)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，且，則λ＝________.
【答案】
【解析】
【分析】
運(yùn)用等比數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)，以及前n項(xiàng)和公式來進(jìn)行相關(guān)運(yùn)算即可.
【詳解】
∵，∴，∴，∵，
∴，，
將代入，可得.
故答案為：
【901】．（2022·河南省杞縣高中模擬預(yù)測·★★★）
在等比數(shù)列中，，則的公比______．
【答案】或##或
【解析】
【分析】
利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和已知條件可得答案.
【詳解】
因?yàn)?，所以?br>所以，因?yàn)?，所以或?br>故答案為：或．
【902】．（2022·福建·廈門一中模擬預(yù)測·★★★）
已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則______．
【答案】
【解析】
【分析】
利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式即可求解.
【詳解】
由已知條件得
，解得，
∴；
故答案為：.
【903】．（2022·安徽·合肥市第八中學(xué)模擬預(yù)測·★★★★）
“一朵雪花”是2022年北京冬奧會開幕式貫穿始終的一個設(shè)計(jì)理念，每片“雪花”均以中國結(jié)為基礎(chǔ)造型構(gòu)造而成，每一朵雪花都閃耀著奧運(yùn)精神，理論上，一片雪花的周長可以無限長，圍成雪花的曲線稱作“雪花曲線”，又稱“科赫曲線”，是瑞典數(shù)學(xué)家科赫在1901年研究的一種分形曲線，如圖是“雪花曲線”的一種形成過程：從一個正三角形開始，把每條邊分成三等份，然后以各邊的中間一段為底邊分劃向外作正三角形，再去掉底邊，反復(fù)進(jìn)行這一過程.若第一個正三角形（圖①）的邊長為1，則第5個圖形的周長為___________.
【答案】
【解析】
【分析】
觀察“雪花”圖形可得其周長之間的關(guān)系為，根據(jù)等比數(shù)列的定義可知{}是公比為、首項(xiàng)為的等比數(shù)列，求得，即可求出.
【詳解】
由題意知下一個圖形的邊長是上一個圖形邊長的，邊數(shù)是上一個圖形的4倍，
則周長之間的關(guān)系為，
所以{}是公比為的等比數(shù)列，而首項(xiàng)，所以，
當(dāng)時，“雪花”狀多邊形的周長為.
故答案為：
【904】．（2022·安徽·合肥市第六中學(xué)模擬預(yù)測·★★★）
已知等差數(shù)列的公差不為零，且，，成等比數(shù)列，則________．
【答案】
【解析】
【分析】
由等比中項(xiàng)的性質(zhì)可得答案.
【詳解】
因?yàn)榈炔顢?shù)列的公差d不為零，則由，
知，，．
故答案為：.
【905】．（2022·湖北·華中師大一附中模擬預(yù)測·★★★★）
已知等比數(shù)列{an}各項(xiàng)均為正數(shù)，，若存在正整數(shù)，使得，請寫出一個滿足題意的k的值__________ .
【答案】9 (9~12的正整數(shù)均可)
【解析】
【分析】
根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，結(jié)合等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式進(jìn)行求解即可.
【詳解】
在等比數(shù)列{an}中，設(shè)公比為，數(shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)，所以
由，則，解得或（舍），
又，解得.
則
即，即
當(dāng)，即，也即 時，有成立.
又正整數(shù)，且
又當(dāng)時，，顯然有成立.
當(dāng)時，也有成立.
所以9～12的正整數(shù)均可滿足條件.
故答案為：9
【點(diǎn)睛】
關(guān)鍵點(diǎn)睛：運(yùn)用分類討論法是解題的關(guān)鍵.
【906】．（2022·全國·模擬預(yù)測·★★★★）
設(shè)數(shù)列，滿足，，則它們的公共項(xiàng)由小到大排列后組成新數(shù)列．在和中插入個數(shù)構(gòu)成一個新數(shù)列：，1，，3，5，，7，9，11，，…，插入的所有數(shù)構(gòu)成首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，則數(shù)列的前20項(xiàng)和______．
【答案】1589
【解析】
【分析】
首先求出的通項(xiàng)公式，再判斷的前項(xiàng)的特征，利用分組求和法計(jì)算可得；
【詳解】
解：，數(shù)列是以2首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列，
，，，，
因?yàn)?，所以，，?br>知顯然不是數(shù)列中的項(xiàng)．
，
是數(shù)列中的第4項(xiàng)，
設(shè)是數(shù)列中的第項(xiàng)，則、．
，
不是數(shù)列中的項(xiàng)．
，
是數(shù)列中的項(xiàng)．
，，，，，
數(shù)列的通項(xiàng)公式是．
因?yàn)椋?br>所以的前項(xiàng)包括的前項(xiàng)，以及的前項(xiàng)，
所以
故答案為：.
【907】．（2022·寧夏·吳忠中學(xué)三模·★★★★★）在第24屆北京冬奧會開幕式上，一朵朵六角雪花飄拂在國家體育場上空，暢想著“一起向未來”的美好愿景.如圖是“雪花曲線”的一種形成過程：圖1，正三角形的邊長為1，在各邊取兩個三等分點(diǎn)，往外再作一個正三角形，得到圖2中的圖形；對圖2中的各邊作相同的操作，得到圖3中的圖形；依此類推，我們就得到了以下一系列圖形，記第個圖形（圖1為第一個圖形）中的所有外圍線段長的和為，則滿足的最小正整數(shù)的值為______.（參考數(shù)據(jù)：，）
【答案】9
【解析】
【分析】
根據(jù)圖形變化規(guī)律分析出的通項(xiàng)公式，然后求和確定.
【詳解】
由圖形變化規(guī)律可得，，則有，所以最小正整數(shù)的值為9.
故答案為：9.
【908】．（2022·浙江·模擬預(yù)測·★★★）
我國古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一段記載：“三百七十八里關(guān)，初步健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)．”其大意為：“有一個人走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天才到達(dá)目的地．”則該人第一天走的路程為___________里．
【答案】192
【解析】
【分析】
由題意得，該人每天所走的路程成等比數(shù)列，公比為，根據(jù)等比數(shù)列前項(xiàng)和公式計(jì)算即可得解.
【詳解】
解：由題意得，該人每天所走的路程成等比數(shù)列，公比為，
設(shè)第一天走了里，
則，解得，
即則該人第一天走的路程為192里.
故答案為：192.

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