主干知識(shí)達(dá)標(biāo)練
1.(2023北京,5)(2x-1x)5的展開式中含x的項(xiàng)的系數(shù)為( )
A.-80B.-40C.40D.80
答案D
解析(2x-1x)5的展開式的通項(xiàng)為Tk+1=C5k(2x)5-k-1xk=(-1)k,25-kC5kx5-2k,令5-2k=1,得k=2,所以(2x-1x)5的展開式中含x的項(xiàng)的系數(shù)為(-1)223C52=80.故選D.
2.(2024山東聊城模擬)三名男同學(xué)和兩名女同學(xué)隨機(jī)站成一列,則兩名女同學(xué)相鄰的概率是( )
A.16B.25C.13D.23
答案B
解析五名同學(xué)排成一列的排法有A55=120(種),其中兩名女同學(xué)相鄰的排法有A22A44=48(種),所以兩名女同學(xué)相鄰的概率是48120=25.故選B.
3.(2024廣東湛江二模)已知(1-2x)9=a0+a1x+…+a9x9,則a0+∑i=29ai=( )
A.-2B.-19C.15D.17
答案D
解析令x=1,得a0+a1+…+a9=(1-2)9=-1.
(1-2x)9的展開式的通項(xiàng)為Tk+1=C9k(-2x)k=(-1)kC9k2kxk(k=0,1,…,9),所以a1=(-1)1×C91×2=-18,所以a0+∑i=29ai=-1-(-18)=17.故選D.
4.(2024遼寧沈陽二模)我國古代典籍《周易》用“卦”描述萬物的變化,每一“重卦”由6個(gè)爻組成,爻分為陽爻“”和陰爻“”,如圖就是一重卦.在所有重卦中隨機(jī)取一重卦,記事件A=“取出的重卦中至少有1個(gè)陰爻”,事件B=“取出的重卦中至少有3個(gè)陽爻”,則P(B|A)=( )
A.516B.1132C.4163D.1564
答案C
解析P(A)=26-126=6364,事件AB=“取出的重卦中有3陽3陰或4陽2陰或5陽1陰”,則P(AB)=C63+C64+C6526=4164,則P(B|A)=P(AB)P(A)=4163.故選C.
5.有5名志愿者參加社區(qū)服務(wù),共服務(wù)星期六、星期日兩天,每天從中任選2人參加服務(wù),則恰有1人連續(xù)參加兩天服務(wù)的選擇種數(shù)為( )
A.120B.60
C.40D.30
答案B
解析(方法一)先在5名志愿者中安排1名在這兩天都參加社區(qū)服務(wù),有5種安排方法,再在星期六、星期日,每天從剩下的4名志愿者中安排1名不同的志愿者參加社區(qū)服務(wù),有4×3=12(種)安排方法.由分步乘法計(jì)數(shù)原理得恰有1人在這兩天都參加的不同的安排方法共有5×12=60(種).
(方法二)在5名志愿者中安排2名在星期六參加社區(qū)服務(wù),有C52=10(種)安排方法.再從星期六參加社區(qū)服務(wù)的2名志愿者中安排1名及從剩下的3名志愿者中安排1名在星期日參加社區(qū)服務(wù),有2×3=6(種)安排方法.由分步乘法計(jì)數(shù)原理得恰有1人在這兩天都參加的不同的安排方法共有10×6=60(種).
(方法三)從5名志愿者中,在星期六、星期日兩天各安排2名參加社區(qū)服務(wù),有C52×C52=100(種)安排方法,星期六、星期日兩天的志愿者全不相同的安排方法有C52×C32=30(種),全相同的安排方法有C52=10(種),所以恰有1人在這兩天都參加的不同的安排方法共有100-30-10=60(種).故選C.
6.(多選題)(2024河北衡水模擬)對(duì)于(x-12x)6的展開式,下列說法中正確的是( )
A.常數(shù)項(xiàng)是154
B.各項(xiàng)系數(shù)的和是64
C.第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大
D.奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和是32
答案ACD
解析x-12x6的展開式的通項(xiàng)為Tk+1=C6k·(x)6-k(-12x)k=C6k·(-12)kx3-32k(k=0,1,…,6),令3-32k=0,得k=2,所以常數(shù)項(xiàng)為C62×(-12)2=154,故A正確;
令x=1,得1-126=164,所以各項(xiàng)系數(shù)的和是164,故B錯(cuò)誤;
第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大,故C正確;
奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和為12×26=32,故D正確.
故選ACD.
7.(多選題)某班星期一上午要安排語文、數(shù)學(xué)、英語、物理4節(jié)課,且該天上午總共4節(jié)課,下列結(jié)論正確的是( )
A.若數(shù)學(xué)課不安排在第一節(jié),則有18種不同的安排方法
B.若語文課和數(shù)學(xué)課必須相鄰,且語文課排在數(shù)學(xué)課前面,則有6種不同的安排方法
C.若語文課和數(shù)學(xué)課不能相鄰,則有12種不同的安排方法
D.若語文課、數(shù)學(xué)課、英語課按從前到后的順序安排,則有3種不同的安排方法
答案ABC
解析對(duì)于A,先安排數(shù)學(xué)課,有3種排法,再安排其他3節(jié)課,有A33種排法,故總共有3A33=18(種)排法,故A正確;對(duì)于B,采用捆綁法,有A33=6(種)排法,故B正確;對(duì)于C,先排英語課和物理課,有A22種排法,再采用插空法排語文課和數(shù)學(xué)課,有A32種排法,故總共有A22A32=12(種)排法,故C正確;對(duì)于D,4節(jié)課共有A44種排法,語文課、數(shù)學(xué)課、英語課的排列順序共有A33種,所以有A44A33=4(種)排法,故D錯(cuò)誤.故選ABC.
8.(5分)(2024甘肅定西一模)已知某廠甲、乙兩車間生產(chǎn)同一批衣架,且甲、乙兩車間的產(chǎn)量分別占全廠產(chǎn)量的60%,40%,甲、乙車間的優(yōu)品率分別為95%,90%.現(xiàn)從該廠這批產(chǎn)品中任取一件,則取到優(yōu)品的概率為 .(用百分?jǐn)?shù)表示)
答案93%
解析從該廠這批產(chǎn)品中任取一件,設(shè)A1=“取到的產(chǎn)品由甲車間生產(chǎn)”,A2=“取到的產(chǎn)品由乙車間生產(chǎn)”,B=“取到的產(chǎn)品為優(yōu)品”.
由題可得P(A1)=0.6,P(A2)=0.4,P(B|A1)=0.95,P(B|A2)=0.9,
故P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=0.6×0.95+0.4×0.9=0.93=93%.
9.(5分)(2023新高考Ⅰ,13)某學(xué)校開設(shè)了4門體育類選修課和4門藝術(shù)類選修課,學(xué)生需從這8門課中選修2門或3門課,并且每類選修課至少選修1門,則不同的選課方案共有 種(用數(shù)字作答).
答案64
解析(方法一 直接法) 若選2門課,只需體育類和藝術(shù)類各選1門,有C41×C41=16(種)不同的選課方案;
若選3門課,則需體育類選1門、藝術(shù)類選2門,或體育類選2門、藝術(shù)類選1門,有C41×C42+C42×C41=48(種)不同的選課方案.綜上,共有16+48=64(種)不同的選課方案.
(方法二 間接法) 由題意可知,從8門課中選擇2門或者3門共有C82+C83=84(種)不同的選課方案,只選擇體育類或藝術(shù)類的選課方案有C21C42+C21C43=20(種),則符合題意的共有84-20=64(種)不同的選課方案.
關(guān)鍵能力提升練
10.(2024山東臨沂一模)將1到30這30個(gè)正整數(shù)分成甲、乙兩組,每組各15個(gè)數(shù),使得甲組的中位數(shù)比乙組的中位數(shù)小2,則不同的分組方法數(shù)是( )
A.2(C137)2B.2C137C147
C.2C146C147D.2(C147)2
答案B
解析因?yàn)榧捉M、乙組均為15個(gè)數(shù),所以其中位數(shù)也均為從小到大排列的第8個(gè)數(shù),即各組小于中位數(shù)的有7個(gè)數(shù),大于中位數(shù)的也有7個(gè)數(shù).因?yàn)榧捉M的中位數(shù)比乙組的中位數(shù)小2,所以甲組的中位數(shù)和乙組的中位數(shù)中間有1個(gè)數(shù),所以小于甲組的中位數(shù)的數(shù)至少有7×2-1=13(個(gè)),至多有7×2=14(個(gè)),所以甲組的中位數(shù)為14或15.
若甲組的中位數(shù)為14,則乙組的中位數(shù)為16,15一定在乙組,此時(shí)從1~13中選7個(gè)數(shù)放到甲組,剩下的6個(gè)數(shù)放到乙組,再從17~30中選7個(gè)數(shù)放到甲組,剩下的7個(gè)數(shù)放到乙組,此時(shí)有C137C147種分組方法;
若甲組的中位數(shù)為15,則乙組的中位數(shù)為17,16一定在甲組,此時(shí)從1~14中選7個(gè)數(shù)放到甲組,剩下的7個(gè)數(shù)放到乙組,再從18~30中選6個(gè)數(shù)放到甲組,剩下的7個(gè)數(shù)放到乙組,此時(shí)有C147C136種分組方法.
綜上可得不同的分組方法數(shù)是C137C147+C147C136=2C137C147.故選B.
11.(多選題)(2024廣東廣州一模)甲箱中有3個(gè)紅球和2個(gè)白球,乙箱中有2個(gè)紅球和2個(gè)白球(兩箱中的球除顏色外沒有其他區(qū)別),先從甲箱中隨機(jī)取出一球放入乙箱,分別用事件A1和A2表示從甲箱中取出的球是紅球和白球;再從乙箱中隨機(jī)取出兩球,用事件B表示從乙箱中取出的兩球都是紅球,則( )
A.P(A1)=35
B.P(B)=1150
C.P(B|A1)=950
D.P(A2|B)=211
答案ABD
解析依題意可得P(A1)=35,P(A2)=25.
若從甲箱中取出紅球,則乙箱中有3個(gè)紅球和2個(gè)白球,所以P(B|A1)=C32C52=310;
若從甲箱中取出白球,則乙箱中有2個(gè)紅球和3個(gè)白球,所以P(B|A2)=C22C52=110,所以P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=35×310+25×110=1150,故A,B正確,C錯(cuò)誤;
P(A2|B)=P(A2B)P(B)=P(B|A2)P(A2)P(B)=110×251150=211,故D正確.
故選ABD.
12.(2024山東濟(jì)南一模)某公司現(xiàn)有員工120人,在榮獲“優(yōu)秀員工”稱號(hào)的85人中,有75人是高級(jí)工程師,既沒有榮獲“優(yōu)秀員工”稱號(hào)又不是高級(jí)工程師的員工共有14人,公司將隨機(jī)選擇一名員工接受電視新聞節(jié)目的采訪,被選中的員工是高級(jí)工程師的概率為( )
A.38B.1724C.45D.3340
答案C
解析由題意得,試驗(yàn)的樣本空間Ω的樣本點(diǎn)總數(shù)為120,即n(Ω)=120.
每個(gè)樣本點(diǎn)都是等可能的,所以這是一個(gè)古典概型.
設(shè)事件A=“被選中的員工是高級(jí)工程師”,則n(A)=120+75-85-14=96,所以所求概率為P=n(A)n(Ω)=96120=45.故選C.
13.(多選題)(2024山東日照一模)從標(biāo)有1,2,3,…,8的8張卡片中有放回地抽取兩次,每次抽取一張,依次得到數(shù)字a,b,記點(diǎn)A(a,b),B(1,-1),O(0,0),則( )
A.∠AOB是銳角的概率為716
B.∠ABO是直角的概率為132
C.△AOB是銳角三角形的概率為764
D.△AOB的面積不大于5的概率為4364
答案ACD
解析由題可知點(diǎn)A位于第一象限.
用圖表表示點(diǎn)A的坐標(biāo),如圖.
可以得到,試驗(yàn)的樣本空間包含的樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)為n(Ω)=C81C81=64,且每個(gè)樣本點(diǎn)都是等可能的,所以這是一個(gè)古典概型.
對(duì)于A,如圖,設(shè)直線l過點(diǎn)O,且與OB垂直,因?yàn)閗OB=-1,所以l:y=x,所以當(dāng)a0,直線OB與直線n的距離為d,則d=|c|2=22c.
若△AOB的面積為5,則12|OB|d=5,即22·22c=5,解得c=10,即n:y=-x+10,所以當(dāng)b≤-a+10,即a+b≤10時(shí),S△AOB≤5.
設(shè)D=“△AOB的面積不大于5”,則n(D)=43,所以P(D)=n(D)n(Ω)=4364,故D正確.故選ACD.
14.(多選題)(2024山東濟(jì)南一模)下列等式中正確的是( )
A.∑k=18C8k=28B.∑k=28Ck2=C93
C.∑k=28k-1k!=1-18!D.∑k=08(C8k)2=C168
答案BCD
解析對(duì)于A,因?yàn)?1+x)8=C80+C81x+C82x2+…+C88x8,令x=1,得28=1+C81+C82+…+C88=1+∑k=18C8k,則∑k=18C8k=28-1,故A錯(cuò)誤;
對(duì)于B,因?yàn)镃n2+Cn3=Cn+13,所以∑k=28Ck2=C22+C32+C42+…+C82=C33+C32+C42+…+C82=C43+C42+…+C82=…=C83+C82=C93,故B正確;
對(duì)于C,因?yàn)?(k-1)!-1k!=k!-(k-1)!k!(k-1)!=(k-1)(k-1)!k!(k-1)!=k-1k!,
所以∑k=28k-1k!=∑k=281(k-1)!-1k!=11!-12!+12!-13!+…+17!-18!=1-18!,故C正確;
對(duì)于D,(1+x)16=(1+x)8(1+x)8,對(duì)于(1+x)16的展開式,其含有x8的項(xiàng)的系數(shù)為C168,對(duì)于(1+x)8(1+x)8的展開式,要得到含有x8的項(xiàng)的系數(shù),須從第一個(gè)式子的展開式中取出含xk(k=0,1,…,8)的項(xiàng),再從第二個(gè)式子的展開式中取出含x8-k的項(xiàng),它們對(duì)應(yīng)的系數(shù)相乘后求和,得∑k=08C8kC88-k=∑k=08(C8k)2,所以∑k=08(C8k)2=C168,故D正確.故選BCD.
15.(5分)(2024廣東佛山模擬)已知a=1+C2012+C20222+C20323+…+C2020220,則a除以10所得的余數(shù)為 .
答案1
解析a=1+C2012+C20222+C20323+…+C2020220=(1+2)20=320=910=(10-1)10=C1001010-C101109+…+C108102-C10910+C1010=10(C100109-C101108+…+C10810-C109)+1,
故a除以10所得的余數(shù)為1.
16.(5分)(2024河北邢臺(tái)模擬)將1,2,3,…,9這9個(gè)數(shù)填入如圖所示的格子中(要求每個(gè)數(shù)都要填入,每個(gè)格子中只能填一個(gè)數(shù)),記第1行中最大的數(shù)為a,第2行中最大的數(shù)為b,第3行中最大的數(shù)為c,則a

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