備戰(zhàn)2025年高考二輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)專(zhuān)題突破練9 三角函數(shù)與解三角形解答題（提升篇）（Word版附解析）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1.(13分)(2024陜西西安模擬)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c且csAa+csCc=1b,a>b>c.
(1)證明:b2=ac;
(2)若b=2,sin B=74,求a+c的值.
(1)證明因?yàn)閏sAa+csCc=1b,
所以由余弦定理可得b2+c2-a22abc+a2+b2-c22abc=1b,
整理得到b2=ac.
(2)解由(1)得b2=ac=4,sin B=74,
又因?yàn)閍>b>c,
所以B∈0,π2,
則cs B=1-sin2B=34.
在△ABC中,由余弦定理得b2=a2+c2-2accs B,
即4=a2+c2-6,
由a2+c2=10,ac=4,得(a+c)2=a2+c2+2ac=18,
所以a+c=32(負(fù)值舍去).
2.(13分)(2024北京,16)在△ABC中,a=7,A為鈍角,sin 2B=37bcs B.
(1)求∠A;
(2)從條件①、條件②和條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知,求△ABC的面積.
①b=3;②cs B=1314;③csin A=52 3.
注:如果選擇條件①、條件②和條件③分別解答,按第一個(gè)解答計(jì)分.
解(1)∵sin 2B=37bcs B,
∴2sin B·cs B=37bcs B.
又A為鈍角,
∴B∈0,π2,∴cs B≠0,
∴2sin B=37b,
∴bsinB=1433.
由正弦定理得asinA=bsinB,則7sinA=1433,
∴sin A=32,∴A=2π3.
(2)若選①.
由(1)知A=2π3,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccs A,即49=9+c2-2×3×c×cs2π3,即c2+3c-40=0,解得c=5或c=-8(舍去),
∴S△ABC=12bcsin A=12×3×5×32=1534.
若選②.
由cs B=1314,得sin B=3314.
又2sin B=37b,∴b=3.
由余弦定理得a2=b2+c2-2bccs A,
即49=9+c2-2×3×c×cs2π3,
即c2+3c-40=0,解得c=5或c=-8(舍去),
∴S△ABC=12bcsin A=12×3×5×32=1534.
若選③.
由csin A=532,得32c=532,∴c=5.
由余弦定理得a2=b2+c2-2bccs A,
即49=b2+25-2×b×5×cs2π3,即b2+5b-24=0,解得b=3或b=-8(舍去),∴S△ABC=12bcsin A=12×3×5×32=1534.
3.(13分)(2024河北衡水一模)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c,△ABC的面積為S,若D為AC邊上一點(diǎn),滿足AB⊥BD,BD=2,且a2=-233S+abcs C.
(1)求∠ABC;
(2)求2AD+1CD的取值范圍.
解(1)∵a2=-233S+abcs C,
∴a2=-33absin C+abcs C,
即a=-33bsin C+bcs C,
由正弦定理得,sin A=-33sin∠ABCsin C+sin∠ABCcs C,
∴sin(∠ABC+C)=-33sin∠ABCsin C+sin∠ABCcs C,
∴cs∠ABCsin C=-33sin∠ABCsin C.
∵sin C≠0,
∴tan∠ABC=-3.
由0

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