1.等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本運算
2.等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)
3.等差數(shù)列、等比數(shù)列的判斷與證明
4.求數(shù)列通項公式的常用方法(1)公式法.(2)已知an+1-an=f(n),求an,用累加法:an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=f(n-1)+f(n-2)+…+f(1)+a1 (n≥2,n∈N*).
5.數(shù)列求和的常用方法
鏈高考1.(2024新高考Ⅱ,12)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和.若a3+a4=7,3a2+a5=5,則S10=　　　　　.?
微點撥 在應(yīng)用等比數(shù)列的此性質(zhì)時,要注意Sm≠0,m為偶數(shù)且q=-1的情況不適用此公式.
鏈高考2.(2024全國甲,文5)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和.已知S9=1,則a3+a7=(　　)
鏈高考3.(2023新高考Ⅰ,7)設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項和,設(shè)甲:{an}為等差數(shù)列;乙: 為等差數(shù)列,則(　　)A.甲是乙的充分條件但不是必要條件B.甲是乙的必要條件但不是充分條件C.甲是乙的充要條件D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件
當(dāng)n≥2時,an=Sn-Sn-1=A(2n-1)+B=2An-A+B.當(dāng)n=1時也符合上式,故an=2An-A+B,故{an}為等差數(shù)列,則甲是乙的必要條件.綜上,甲是乙的充要條件.故選C.
鏈高考4.(2021新高考Ⅰ,17節(jié)選)已知數(shù)列{an}滿足a1=1, an+1= 記bn=a2n,寫出b1,b2,并求數(shù)列{bn}的通項公式.
解 b1=a2=a1+1=2,b2=a4=a3+1=a2+2+1=5.由bn+1=a2n+2=a2n+1+1=a2n+2+1=a2n+3,得bn+1-bn=a2n+3-a2n=3.所以{bn}是首項為2,公差為3的等差數(shù)列,所以bn=2+(n-1)×3=3n-1.
鏈高考5.(2024全國甲,理18)記Sn為數(shù)列{an}的前n項和,已知4Sn=3an+4.(1)求{an}的通項公式;(2)設(shè)bn=(-1)n-1nan,求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.
解 (1)因為4Sn=3an+4,所以4Sn+1=3an+1+4,兩式相減,得4an+1=3an+1-3an,即an+1=-3an,又4S1=3a1+4,則a1=4,故數(shù)列{an}是首項為4,公比為-3的等比數(shù)列,則an=4×(-3)n-1.(2)bn=(-1)n-1nan=4n·3n-1,所以Tn=4(1×30+2×31+3×32+…+n·3n-1).3Tn=4(1×31+2×32+3×33+…+n·3n),
考點一　等差、等比數(shù)列基本量的運算
例1(2023全國甲,理5)設(shè)等比數(shù)列{an}的各項均為正數(shù),前n項和為Sn,若a1=1,S5=5S3-4,則S4=(　　)
考點二　等差、等比數(shù)列的性質(zhì)(多考向探究預(yù)測)
考向1等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用例2(1)(2023全國甲,文5)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和.若a2+a6=10, a4a8=45,則S5=(　　)A.25B.22C.20D.15
(2)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,已知S3=15,S9=99,則S6=　　　　.?
解析 因為等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,所以S3,S6-S3,S9-S6成等差數(shù)列,所以2(S6-S3)=S3+(S9-S6),因為S3=15,S9=99,所以2(S6-15)=15+(99-S6),解得S6=48.
考向2等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用例3(1)(2023新高考Ⅱ,8)記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和,若S4=-5,S6=21S2,則S8=(　　)A.120B.85C.-85D.-120
(2)已知等比數(shù)列{an}滿足lg2a2+lg2a13=1,且a5a6a8a9=16,則數(shù)列{an}的公比為(　　)
解析 設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,由lg2a2+lg2a13=lg2(a2a13)=1=lg22,得a2a13=2且a2,a13>0,所以a13=a2q11>0,則q>0.又a5a6a8a9=16,a6a9=a2a13=2,所以a5a8=8,
[對點訓(xùn)練2](1)在等比數(shù)列{an}中,a1+a2=6,a3+a4=12,則數(shù)列{an}的前8項和為(　　)
解析 ∵{an}是等比數(shù)列,∴a1+a2,a3+a4,a5+a6,a7+a8也成等比數(shù)列,∵a1+a2=6,a3+a4=12,∴a5+a6=24,a7+a8=48,∴前8項和為a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8=90.故選A.
(2)(2024山東淄博一模)已知等比數(shù)列{an}共有2n+1項,a1=1,所有奇數(shù)項的和為85,所有偶數(shù)項的和為42,則公比q=　　　　.?
解析 依題意,a1+a3+a5+…+a2n+1=85,即a2q+a4q+…+a2nq=84,而a2+a4+…+a2n=42,所以q=2.
考點三　兩數(shù)列的公共項問題
例4(2020新高考Ⅰ,14)將數(shù)列{2n-1}與{3n-2}的公共項從小到大排列得到數(shù)列{an},則{an}的前n項和為　　　　　.?
解析 數(shù)列{2n-1}的項均為奇數(shù),數(shù)列{3n-2}的所有奇數(shù)項均為奇數(shù),所有偶數(shù)項均為偶數(shù).并且顯然{3n-2}中的所有奇數(shù)均能在{2n-1}中找到,所以{2n-1}與{3n-2}的所有公共項就是{3n-2}的所有奇數(shù)項,這些項從小到大排列構(gòu)成的新數(shù)列{an}為以1為首項,以6為公差的等差數(shù)列.所以{an}的前n項和為Sn=n×1 ×6=3n2-2n.
規(guī)律方法求兩個數(shù)列公共項的兩種方法
[對點訓(xùn)練3]已知數(shù)列{an},{bn}的通項公式分別為an=2n,bn=2n,現(xiàn)從數(shù)列{an}中剔除{an}與{bn}的公共項后,將余下的項按照從小到大的順序進行排列,得到新的數(shù)列{cn},則數(shù)列{cn}的前150項之和為(　　)A.23 804B.23 946C.24 100D.24 612
解析 因為a150=300,28=256300,所以數(shù)列{an}的前150項中包含{bn}的前8項,又a158=316

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