一、基本概念
1.數(shù)列
(1)定義.
按照一定順序排列的一列數(shù)就叫做數(shù)列.
(2)數(shù)列與函數(shù)的關系.
從函數(shù)的角度來看,數(shù)列是特殊的函數(shù).在中,當自變量時,所對應的函數(shù)值就構成一數(shù)列,通常記為,所以數(shù)列有些問題可用函數(shù)方法來解決.
2.等差數(shù)列
(1)定義.
一般地,如果一個數(shù)列從第2項起,每一項與它前一項的差等于同一常數(shù),則該數(shù)列叫做等差數(shù)列,這個常數(shù)叫做公差,常用字母表示,即.
(2)等差數(shù)列的通項公式.
若等差數(shù)列的首項是,公差是,則其通項公式為,是關于的一次型函數(shù).或,公差(直線的斜率)().
(3)等差中項.
若成等差數(shù)列,那么叫做與的等差中項,即或.在一個等差數(shù)列中,從第2項起(有窮等差數(shù)列的末項除外),每一項都是它的前一項與后一項的等差中項;事實上,等差數(shù)列中每一項都是與其等距離的前后兩項的等差中項.
(4)等差數(shù)列的前項和(類似于),是關于的二次型函數(shù)(二次項系數(shù)為且常數(shù)項為0).的圖像在過原點的直線上或在過原點的拋物線上.
3.等比數(shù)列
(1)定義.
一般地,如果一個數(shù)列從第2項起,每一項與它前一項的比等于同一個非零常數(shù),則該數(shù)列叫做等比數(shù)列,這個常數(shù)叫做公比,常用字母表示,即.
(2)等比數(shù)列的通項公式.
等比數(shù)列的通項,是不含常數(shù)項的指數(shù)型函數(shù).
(3).
(4)等比中項
如果成等比數(shù)列,那么叫做與的等比中項,即或(兩個同號實數(shù)的等比中項有兩個).
(5)等比數(shù)列的前項和
二、基本性質(zhì)
1.等差數(shù)列的性質(zhì)
(1)等差中項的推廣.
當時,則有,特別地,當時,則有.
(2)等差數(shù)列線性組合.
①設是等差數(shù)列,則也是等差數(shù)列.
②設是等差數(shù)列,則也是等差數(shù)列.
(3)等差數(shù)列的單調(diào)性及前項和的最值.
公差為遞增等差數(shù)列,有最小值;
公差為遞減等差數(shù)列,有最大值;
公差為常數(shù)列.
特別地
若,則有最大值(所有正項或非負項之和);
若,則有最小值(所有負項或非正項之和).
(4)其他衍生等差數(shù)列.
若已知等差數(shù)列,公差為,前項和為,則為等差數(shù)列,公差為.
3.等比數(shù)列的性質(zhì)
(1)等比中項的推廣.
若時,則,特別地,當時,.
(2)①設為等比數(shù)列,則(為非零常數(shù)),,仍為等比數(shù)列.
②設與為等比數(shù)列,則也為等比數(shù)列.
(3)等比數(shù)列的單調(diào)性(等比數(shù)列的單調(diào)性由首項與公比決定).
當或時,為遞增數(shù)列;
當或時,為遞減數(shù)列.
(4)其他衍生等比數(shù)列.
若已知等比數(shù)列,公比為,前項和為,則為等比數(shù)列,公比為(當時,不為偶數(shù)).
4.等差數(shù)列與等比數(shù)列的轉化
(1)若為正項等比數(shù)列,則為等差數(shù)列.
(2)若為等差數(shù)列,則為等比數(shù)列.
(3)若既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列是非零常數(shù)列.
【典型例題】
例1．（2022·全國·高三專題練習）等差數(shù)列{an}的首項為1，公差不為0.若a2，a3，a6成等比數(shù)列，則{an}前6項的和為（ ）
A．－24B．－3
C．3D．8
例2．（2022·全國·高三專題練習）已知等差數(shù)列的前項和為，且，則（ ）
A．38B．50C．36D．45
例3．（2022·全國·高三專題練習）等比數(shù)列｛an｝的前n項和為Sn，已知S3 = a2 +10a1 ，a5 = 9，則a1=（ ）
A．B．C．D．
例4．（2022·全國·高三專題練習）設等比數(shù)列{an}的前n項和記為Sn，若S10∶S5=1∶2，則S15∶S5=（ ）
A．B．C．D．
例5．（2020·全國·高考真題（理））北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場所，分上、中、下三層，上層中心有一塊圓形石板(稱為天心石)，環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加9塊，下一層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多9塊，向外每環(huán)依次也增加9塊，已知每層環(huán)數(shù)相同，且下層比中層多729塊，則三層共有扇面形石板(不含天心石)（ ）
A．3699塊B．3474塊C．3402塊D．3339塊
例6．（2019·海南·嘉積中學高三階段練習）已知是等差數(shù)列前項和，，，當取得最小值時（ ）．
A．2B．14C．7D．6或7
例7．（2022·全國·高三專題練習）已知數(shù)列、都是等差數(shù)列，設的前項和為，的前項和為.若，則（ ）
A．B．C．D．
例8．（2022·全國·高三專題練習）已知正項數(shù)列滿足，且對任意的正整數(shù)n，是和的等差中項，證明：是等差數(shù)列，并求的通項公式．
例9．（2022·全國·高三專題練習）已知數(shù)列滿足，且點在函數(shù)的圖象上，求證：是等比數(shù)列，并求的通項公式：
例10．（2022·全國·高三專題練習）有下列三個條件：①數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，②是公差為1的等差數(shù)列，③，在這三個條件中任選一個，補充在題中“___________”處，使問題完整，并加以解答.
設數(shù)列的前項和為，，對任意的，都有___________.已知數(shù)列滿足，是否存在，使得對任意的，都有？若存在，試求出的值；若不存在，請說明理由.
注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.
【技能提升訓練】
一、單選題
1．（2022·全國·高三專題練習）在等差數(shù)列中，，其前項和為，若，則等于（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·全國·高三專題練習）已知數(shù)列是等比數(shù)列，數(shù)列是等差數(shù)列，若，則（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·全國·高三專題練習）記等差數(shù)列的前項和為，若，則的公差為（ ）
A．3B．2C．－2D．－3
4．（2021·湖北·高三階段練習）已知是等差數(shù)列的前項和，若，則（ ）
A．22B．45C．50D．55
5．（2021·四川遂寧·模擬預測（理））已知數(shù)列的前項和，且滿足，，若，則（ ）
A．9B．C．10D．
6．（2022·全國·高三專題練習）設等差數(shù)列{an}，{bn}的前n項和分別為Sn，Tn，若對任意的n∈N*，都有＝，則＋的值為（ ）
A．B．C．D．
7．（2022·全國·高三專題練習）等差數(shù)列{an}中，a1＋3a8＋a15＝120，則2a9－a10的值是（ ）
A．20B．22C．24D．8
8．（2022·全國·高三專題練習）設是等差數(shù)列，且，，則（ ）
A．B．C．D．
9．（2022·全國·高三專題練習）已知等差數(shù)列的項數(shù)為奇數(shù)，其中所有奇數(shù)項之和為，所有偶數(shù)項之和為，則該數(shù)列的中間項為（ ）
A．B．C．D．
10．（2022·全國·高三專題練習）等差數(shù)列的前n項和為，若，則數(shù)列的通項公式可能是（ ）
A．B．
C．D．
11．（2021·貴州畢節(jié)·模擬預測（文））等差數(shù)列的前項和為，若且，則( )
A．B．
C．D．
12．（2021·安徽定遠·高三階段練習（理））等差數(shù)列和的前項和分別為和，且，則（ ）
A．B．C．D．
13．（2022·全國·高三專題練習）設等差數(shù)列的前項和為，若，則（ ）
A．28B．34C．40D．44
14．（2021·廣東廣州·高三階段練習）已知是等差數(shù)列的前項和，，，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
15．（2022·全國·高三專題練習）我國明代數(shù)學家程大位的《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個問題：今有鈔二百三十八貫，令五等人從上作互和減半分之，只云戊不及甲三十三貫六百文，問：各該鈔若干？其意思是：現(xiàn)有錢238貫，采用等差數(shù)列的方法依次分給甲?乙?丙?丁?戊五個人，現(xiàn)在只知道戊所得錢比甲少33貫600文(1貫=1000文)，問各人各得錢多少？在這個問題中，戊所得錢數(shù)為（ ）
A．30.8貫B．39.2貫C．47.6貫D．64.4貫
16．（2022·全國·高三專題練習）已知等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，且，則（ ）
A．B．5C．10D．15
17．（2022·浙江·高三專題練習）已知數(shù)列是等差數(shù)列，數(shù)列是等比數(shù)列，若，，則的值是（ ）
A．B．C．D．
18．（2022·全國·高三專題練習）已知正項等比數(shù)列的前n項和為，，，則的公比為( )
A．1B．C．2D．4
19．（2022·全國·高三專題練習（文））等比數(shù)列{an}中，每項均為正數(shù)，且a3a8＝81，則lg3a1＋lg3a2＋…＋lg3a10等于（ ）
A．5B．10C．20D．40
20．（2022·全國·高三專題練習）已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，且an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，那么a3＋a5＝（ ）
A．5B．10C．15D．20
21．（2021·陜西安康·高三期中（理））等比數(shù)列的前項和為，，，則（ ）
A．1B．5C．1或31D．5或11
22．（2021·四川·雙流中學高三階段練習（理））已知為等比數(shù)列，是它的前n項和．若，且與的等差中項為，則（ ）
A．29B．31C．33D．35
23．（2021·西藏·拉薩那曲第二高級中學高三階段練習（文））記等比數(shù)列的前項和為，若，，則公比 （ ）
A．B．C．D．或2
24．（2021·山西運城·高三期中（文））數(shù)列中，，對任意 ，若，則 （ ）
A．2B．3C．4D．5
25．（2021·遼寧·大連市第一中學高三期中）等比數(shù)列的前項和為，若，則（ ）
A．2B．-2C．1D．-1
26．（2022·全國·高三專題練習）已知各項均為正數(shù)且單調(diào)遞減的等比數(shù)列滿足、、成等差數(shù)列.其前項和為，且，則（ ）
A．B．C．D．
27．（2022·全國·高三專題練習）已知為等比數(shù)列，且，與的等差中項為，則（ ）
A．1B．2C．31D．
28．（2022·浙江·高三專題練習）已知1，a1，a2，9四個實數(shù)成等差數(shù)列，1，b1，b2，b3，9五個數(shù)成等比數(shù)列，則b2（a2﹣a1）等于（ ）
A．8B．﹣8C．±8D．
二、多選題
29．（2022·江蘇·高三專題練習）等差數(shù)列是遞增數(shù)列，公差為，前項和為，滿足，下列選項正確的是（ ）
A．B．
C．當時最小D．時的最小值為
三、填空題
30．（2022·全國·高三專題練習）在等比數(shù)列中，，，成等差數(shù)列，則_______.
31．（2022·全國·高三專題練習）已知為等差數(shù)列的前項和，且，，則當取最大值時，的值為___________.
32．（2022·上海寶山·一模）已知數(shù)列的前項和為，且滿足，，則___________.
33．（2022·全國·高三專題練習）設等差數(shù)列的前項和為，，，，則______．
34．（2022·全國·高三專題練習）已知等差數(shù)列的前項和有最小值，且，則使得成立的的最小值是________．
35．（2022·全國·高三專題練習）在等差數(shù)列中，，，求____
36．（2022·全國·高三專題練習）已知公比大于1的等比數(shù)列滿足，，則公比等于________.
37．（2022·全國·高三專題練習）在等比數(shù)列{an}中，各項均為正值，且a6a10＋a3a5＝41，a4a8＝5，則a4＋a8＝________．
38．（2021·海南·三亞華僑學校高三階段練習）若數(shù)列為等比數(shù)列，且，，則___________.
39．（2022·全國·高三專題練習）已知等比數(shù)列中，為其前項之和，，則______
40．（2021·江蘇·無錫市第一中學高三階段練習）已知等比數(shù)列的前n項和，則________．
四、解答題
41．（2022·全國·高三專題練習）已知數(shù)列的各項均為正數(shù)，記為的前n項和，從下面①②③中選取兩個作為條件，證明另外一個成立．
①數(shù)列是等差數(shù)列：②數(shù)列是等差數(shù)列；③．
42．（2022·全國·高三專題練習）已知數(shù)列中，，.
（1）證明數(shù)列為等差數(shù)列；
（2）若數(shù)列前n項和，求n的最小值.
43．（2021·江西南昌·模擬預測（文））已知等差數(shù)列的前項和為，，.
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）求數(shù)列的前項和.
44．（2021·全國·高三專題練習）已知等差數(shù)列的前項和為，且
（1）求通項公式；
（2）求數(shù)列的前項和
45．（2022·全國·高三專題練習）已知數(shù)列的前項和為.
（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；
（2）求的最大值及取得最大值時的值.
46．（2022·全國·高三專題練習）已知數(shù)列滿足：.證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項；
47．（2020·湖南·長沙一中高三階段練習）數(shù)列滿足：，．
（1）記，求證：數(shù)列為等比數(shù)列；
（2）記為數(shù)列的前項和，求．
48．（2022·全國·高三專題練習）已知數(shù)列{an}滿足，，，成等差數(shù)列，證明:數(shù)列是等比數(shù)列，并求{an}的通項公式.
49．（2022·全國·高三專題練習）已知數(shù)列{an}，{bn}，其中a1＝3，b1＝－1，且滿足an＝(3an－1－bn－1)，bn＝－(an－1－3bn－1)，n∈N*，n≥2.求證：數(shù)列{an－bn}為等比數(shù)列.
50．（2022·浙江·高三專題練習）已知是等差數(shù)列，，，且，，是等比數(shù)列的前3項.
（1）求數(shù)列，的通項公式；
（2）數(shù)列是由數(shù)列的項刪去數(shù)列的項后仍按照原來的順序構成的新數(shù)列，求數(shù)列的前20項的和.

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