主干知識達標練
1.(15分)(2024河北滄州模擬)如圖,四棱錐P-ABCD的底面是邊長為2的菱形,∠DAB=60°,對角線AC與BD相交于點O,PO⊥平面ABCD,PB與平面ABCD所成的角為60°,E是PB的中點.
(1)求異面直線DE與PA所成的角的余弦值;
(2)證明:OE∥平面PAD,并求點E到平面PAD的距離.
(1)解在菱形ABCD中,AC⊥BD,因為∠DAB=60°,所以BD=2OB=2,
所以OA=AB2-OB2=3.
因為PO⊥平面ABCD,AC,BD?平面ABCD,所以PB與底面ABCD所成的角為∠PBO=60°,PO⊥AC,PO⊥BD,所以PO=OB·tan 60°=3,PO,OB,OC兩兩垂直.
以點O為坐標原點,分別以OB,OC,OP所在直線為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標系,則A(0,-3,0),B(1,0,0),D(-1,0,0),P(0,0,3),則AP=(0,3,3).
因為點E是PB的中點,所以E12,0,32,所以DE=32,0,32,
所以cs=323×6=24,所以異面直線DE與PA所成的角的余弦值為24.
(2)證明連接OE.因為點E,O分別是PB,BD的中點,所以OE∥PD.
又OE?平面PAD,PD?平面PAD,所以OE∥平面PAD.
由(1)可知AP=(0,3,3),AD=(-1,3,0),DE=32,0,32.
設平面PAD的一個法向量為n=(x,y,z),則n·AD=-x+3y=0,n·AP=3y+3z=0.
令y=1,則x=3,z=-1,所以平面PAD的一個法向量為n=(3,1,-1),所以點E到平面PAD的距離為|DE·n||n|=35=155.
2.(15分)(2024山東濰坊一模)如圖,在四棱臺ABCD-A1B1C1D1中,下底面ABCD是平行四邊形,∠ABC=120°,AB=2A1B1=2,BC=8,A1A=42,DD1⊥DC,M為BC的中點.
(1)求證:平面CDD1C1⊥平面D1DM;
(2)若D1D=4,求直線DM與平面BCC1B1所成的角的正弦值.
(1)證明在?ABCD中,由∠ABC=120°,得∠DCM=60°.
在△DCM中,CD=2,CM=12BC=4,
所以DM=22+42-2×2×4×12=23,所以DM2+CD2=CM2,
所以DM⊥CD.
又CD⊥DD1,DD1∩DM=D,DD1,DM?平面D1DM,所以CD⊥平面D1DM.
又CD?平面CDD1C1,所以平面CDD1C1⊥平面D1DM.
(2)解在梯形ADD1A1中,AD=8,DD1=4,過點A1作A1E∥D1D,交AD于點E,則AE=4,A1E=4.
又AA1=42,所以AE2+A1E2=AA12,所以A1E⊥AD,所以D1D⊥AD.
又D1D⊥CD,AD∩CD=D,AD,CD?平面ABCD,所以D1D⊥平面ABCD.
以點D為坐標原點,分別以DM,DC,DD1所在直線為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標系,則D(0,0,0),C(0,2,0),C1(0,1,4),M(23,0,0),所以DM=(23,0,0),MC=(-23,2,0),CC1=(0,-1,4).
設平面BCC1B1的一個法向量為n=(x,y,z),
則MC·n=-23x+2y=0,CC1·n=-y+4z=0,
令y=43,則x=4,z=3,所以平面BCC1B1的一個法向量為n=(4,43,3).
設DM與平面BCC1B1所成的角為θ,
則sin θ=|cs|=|DM·n||DM||n|=8323×67=46767,所以直線DM與平面BCC1B1所成的角的正弦值為46767.
3.(15分)(2024湖北襄陽模擬)如圖,在四棱錐A-BCDE中,側棱AB⊥平面BCDE,底面四邊形BCDE是矩形,AB=BE=4,點P,M分別為棱AE,AC的中點,點F在棱BE上(不與點B,E重合).
(1)若BFBE=13,求證:直線BM∥平面PCF;
(2)若BC=2,從下面①②兩個條件中選取一個作為已知,證明另外一個成立.
①平面ADE與平面ABC的交線為直線l,直線l與直線CF的夾角的余弦值為255;
②二面角P-CF-E的余弦值為66.
(1)證明
如圖所示,取AP的中點N,連接BN,MN.
因為M,N分別為AC,AP的中點,所以MN∥PC.
因為BFBE=13,NPNE=13,所以BN∥PF.又因為MN∩BN=N,MN,BN?平面BMN,PC∩PF=P,PC,PF?平面PCF,所以平面BMN∥平面PCF.又BM?平面BMN,所以BM∥平面PCF.
(2)解若條件①為已知:
因為BC∥DE,BC?平面ADE,DE?平面ADE,所以BC∥平面ADE.
又由BC?平面ABC,平面ABC∩平面ADE=l,所以l∥BC,所以直線l與直線CF的夾角為∠BCF,所以cs∠BCF=BCCF=255,所以CF=5,BF=1.
以點B為坐標原點,分別以BC,BE,BA所在直線為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標系,則C(2,0,0),E(0,4,0),P(0,2,2),F(0,1,0),所以FC=(2,-1,0),FP=(0,1,2).設平面PCF的一個法向量為m=(x,y,z),
則m·FC=2x-y=0,m·FP=y+2z=0.令x=1,可得y=2,z=-1,所以平面PCF的一個法向量為m=(1,2,-1).易知平面CEF的一個法向量為n=(0,0,1),所以cs=m·n|m||n|=-16=-66,所以二面角P-CF-E的余弦值為66.
若條件②為已知:
以點B為坐標原點,分別以BC,BE,BA所在直線為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標系.
設BF=m,0b>0)的左、右焦點分別為F1,F2,離心率為12,經(jīng)過點F1且傾斜角為θ00.聯(lián)立my=x+1,x24+y23=1,化簡得(3m2+4)y2-6my-9=0,
則Δ>0,且y1+y2=6m3m2+4,y1y2=-93m2+4.因為△ABF2的周長為8,△A'B'F2的周長為152,所以|AF2|+|BF2|+|AB|=8,|A'F2|+|B'F2|+|A'B'|=152.又|AF2|=|A'F2|,|BF2|=|B'F2|,
所以|AB|-|A'B'|=12,
即(x1-x2)2+(y1-y2)2-(x1-x2)2+y12+y22=12, ①
所以-2y1y2(x1-x2)2+(y1-y2)2+(x1-x2)2+y12+y22=
12,
所以(x1-x2)2+(y1-y2)2+(x1-x2)2+y12+y22
=-4y1y2. ②
由①+②可得(x1-x2)2+(y1-y2)2=14-2y1y2.
因為(x1-x2)2+(y1-y2)2
=(my1-1-my2+1)2+(y1-y2)2
=m2+1y12+y22-2y1y2
=m2+1·(y1+y2)2-4y1y2,
所以14-2y1y2=m2+1(y1+y2)2-4y1y2.
將y1+y2=6m3m2+4,y1y2=-93m2+4代入上式得14+183m2+4=m2+1·(6m3m2+4) 2+363m2+4=m2+1·36m2+36(3m2+4)(3m2+4)2=m2+13m2+4·144(m2+1)=12(m2+1)3m2+4=4-43m2+4.
所以223m2+4=154,所以m2=2845,解得m=22115或m=-22115(舍去),所以tan θ=1m=33514.

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