一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.
1.(2024·福建漳州三模)在二項式(1-2x)6的展開式中,含x2項的系數(shù)為( )
A.-60B.-15
C.15D.60
答案D
解析展開式的通項Tr+1=C6r(-2x)r,其中含x2的項為T3=C62(-2x)2=60x2,所以在(1-2x)6的展開式中,含x2的項的系數(shù)為60.
2.(2024·江蘇南通模擬)某志愿者小組有5人,從中選3人到A,B兩個社區(qū)開展活動,其中1人到A社區(qū),則不同的選法有( )
A.12種B.24種C.30種D.60種
答案C
解析先從5人中選1人去A社區(qū),再從余下4人中選2人去B社區(qū),所以不同的選法有C51C42=30(種).
3.(2024·河北滄州模擬)在xa-13x8的展開式中,常數(shù)項為7,則正數(shù)a=( )
A.1B.2
C.3D.4
答案B
解析xa-13x8展開式的通項為Tk+1=C8kxa8-k·-13xk=(-1)kC8k1a8-kx8-43k,
令8-43k=0,得k=6,
所以常數(shù)項為(-1)6×C86×1a2=7,
化簡得a2=4,
又a為正數(shù),所以a=2.
4.(2024·湖南長沙模擬)學校計劃于4月份其中一周的周一至周五這五天內組織高一、高二、高三年級的同學進行春季研學活動,每天只能有一個年級參加,其中高一年級需要連續(xù)兩天,高二、高三年級各需要一天,則不同的安排方案有( )
A.18種B.24種
C.30種D.32種
答案B
解析高一年級可以從周一和周二、周二和周三、周三和周四、周四和周五中選擇兩天去參觀,共4種選擇;再從剩下的三天里安排高二、高三年級,有A32種安排方法;根據(jù)分步乘法計數(shù)原理,不同的方案有4×A32=4×3×2=24種.
5.(2024·山西晉城模擬)若(2-x)3+(2-x)4+(2-x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,則a0+a1+a2+a3+a4=( )
A.4B.3
C.2D.1
答案A
解析令x=1,得a0+a1+a2+a3+a4+a5=3,
又a5=C55×(-1)5=-1,
所以a0+a1+a2+a3+a4=3-(-1)=4.
6.(2024·安徽六安模擬)300的不同正因數(shù)的個數(shù)為( )
A.16B.20
C.18D.24
答案C
解析顯然300=22×3×52,則300的正因數(shù)為2α×3β×5γ,其中α=0,1,2,β=0,1,γ=0,1,2,
所以300的不同正因數(shù)有3×2×3=18個.
7.(2024·山東菏澤模擬)球類運動對學生的身心發(fā)展非常重要.現(xiàn)某高中為提高學生的身體素質,特開設了乒乓球、排球、羽毛球、籃球、足球五門選修課程,要求該校每名學生高一到高三三學年間必須將五門選修課程學完,每學年至多選3門,每門課程限選修一學年,一學年只上學期選擇一次,則每名學生的不同選修方式有( )
A.210種B.78種
C.150種D.144種
答案A
解析根據(jù)題意,分2種情況討論:
①五門選修課2年學完.先將五門課程分為2組(3,2),再在三年中選出2年來學習,有C53A32=60種選修方式;
②五門選修課3年學完.先將五門課程分為3組(3,1,1或2,2,1),再安排在三年中學完,有C53+C52C32A22A33=150種選修方式.
則每名學生的不同選修方式有60+150=210種.
8.(2024·浙江金華模擬)將1至8這8個整數(shù)排成一列,要求任意相鄰兩項互質,則不同的排列方法有( )
A.1 296種B.1 728種
C.2 304種D.2 592種
答案B
解析因為任意相鄰兩項互質,所以偶數(shù)必須隔開.先把四個奇數(shù)排成一列,有A44種方法.然后把偶數(shù)插空進去:因為四個偶數(shù)中只有6不能與3相鄰,其他偶數(shù)可以隨意插空,所以先把6插空,有A31種方法;剩下的3個偶數(shù)在剩下的4個空中隨意插空,有A43種方法.所以共有A44A31A43=1 728種方法.
二、選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求,全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯的得0分.
9.(2024·江蘇南京模擬)在二項式x-12x6的展開式中,下列說法正確的是( )
A.常數(shù)項是152
B.第4項的二項式系數(shù)最大
C.各項系數(shù)和是64
D.奇數(shù)項的二項式系數(shù)和是32
答案BD
解析展開式的通項Tr+1=C6r(x)6-r-12xr=C6r-12rx3-32r.令3-32r=0,得r=2,故常數(shù)項為C62×-122=15×14=154,故A錯誤;
展開式共7項,第4項的二項式系數(shù)C63最大,故B正確;
令x=1,得1-126=164,即各項系數(shù)和是164,故C錯誤;
因為C60+C62+C64+C66=32,所以奇數(shù)項的二項式系數(shù)和是32,故D正確.故選BD.
10.(2023·浙江寧波一模)已知(1-2x)5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5,則下列說法正確的是( )
A.a0=1
B.a3=-80
C.a1+a2+a3+a4+a5=-1
D.a0+a2+a4=121
答案ABD
解析在展開式中,令x=0,得a0=1,所以A正確;
(1-2x)5展開式的通項為Tr+1=C5r(-2x)r=C5r(-2)rxr,其中r=0,1,2,…,5,所以a3=C53×(-2)3=-80,故B正確;
在展開式中,令x=1,得a0+a1+a2+a3+a4+a5=-1,①
則a1+a2+a3+a4+a5=-1-a0=-2,故C錯誤;
令x=-1,得a0-a1+a2-a3+a4-a5=35=243,②
①+②,得2(a0+a2+a4)=242,所以a0+a2+a4=121,故D正確.故選ABD.
11.某班星期一上午要安排語文、數(shù)學、英語、物理4節(jié)課,且該天上午總共4節(jié)課,下列結論正確的是( )
A.若數(shù)學課不安排在第一節(jié),則有18種不同的安排方法
B.若語文課和數(shù)學課必須相鄰,且語文課排在數(shù)學課前面,則有6種不同的安排方法
C.若語文課和數(shù)學課不能相鄰,則有12種不同的安排方法
D.若語文課、數(shù)學課、英語課按從前到后的順序安排,則有3種不同的安排方法
答案ABC
解析對于A,有C31A33=18種排法,故A正確;
對于B,采用捆綁法,有A33=6種排法,故B正確;
對于C,采用插空法,有A22A32=12種排法,故C正確;
對于D,有A44A33=4種排法,故D錯誤.故選ABC.
三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.
12.(2024·河北衡水模擬)在數(shù)軸上,一個質點從坐標原點出發(fā)向x軸正半軸移動,每次移動1或者2個單位長度,若質點移動7次后與坐標原點的距離為11,則質點移動的方法總數(shù)有 種.
答案35
解析因為質點移動7次后與坐標原點的距離為11,每次移動1或者2個單位長度,
所以可以判斷共進行了4次“移動2個單位長度”和3次“移動1個單位長度”,
只需要在7個位置上選出4個位置進行“移動2個單位長度”即可,
所以方法總數(shù)為C74=35種.
13.(2024·福建泉州模擬)9人身高各不相等,排成前后兩排,要求每排從左至右身高逐漸增加,前排5人,則不同的排法共有 種(用數(shù)字作答).
答案126
解析從9人選5人排在前排,5人的身高不同,按要求只有1種排法,后排4人,也只有1種排法,所以共有C95=126種排法.
14.(2024·全國甲,理13)13+x10的展開式中,各項系數(shù)的最大值是 .
答案5
解析展開式的通項公式為Tr+1=C10r1310-rxr,0≤r≤10且r∈Z,
設展開式中第r+1項的系數(shù)最大,
則C10r1310-r≥C10r+1139-r,C10r1310-r≥C10r-11311-r,
整理得C10r≥3C10r+1,3C10r≥C10r-1,
解得r≥294,r≤334,
即294≤r≤334,
又r∈Z,故r=8,
所以展開式中系數(shù)最大的項是第9項,該項系數(shù)為C108×132=5.

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