2025年高考數(shù)學(xué)解密匯編壓軸訓(xùn)練13（Word版附解析）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

A．B．C．D．
2．（2024?莆田三模）若制作一個容積為的圓錐形無蓋容器（不考慮材料的厚度），要使所用材料最省，則該圓錐的高是
A．B．2C．D．4
3．（2024?張家口模擬）已知一個底面內(nèi)口直徑為的圓柱體玻璃杯中盛有高為的水，向該杯中放入一個半徑為的實心冰球和一個半徑為的實心鋼球，待實心冰球融化后實心鋼球恰好淹沒在水中（實心鋼球與杯中水面、杯底均相切），若實心冰球融化為水前后的體積變化忽略不計，則實心鋼球的表面積為
A．B．C．D．
4．（2024?永春縣校級模擬）已知圓臺存在內(nèi)切球（與圓臺的上、下底面及側(cè)面都相切的球），若圓臺的上、下底面面積之和與它的側(cè)面積之比為，設(shè)圓臺與球的體積分別為，，則
A．B．C．D．
5．（2024?懷柔區(qū)校級模擬）如圖，已知正方體中，為線段的中點(diǎn)，為線段上的動點(diǎn)，則下列四個結(jié)論正確的是
A．存在點(diǎn)，使平面
B．三棱錐的體積隨動點(diǎn)變化而變化
C．直線與所成的角不可能等于
D．存在點(diǎn)，使平面
6．（2024?菏澤二模）如圖，在正方體中，，，則下列結(jié)論中正確的是
A．平面
B．平面平面
C．平面
D．平面內(nèi)存在與平行的直線
7．（2024?寶雞模擬）△與△都是邊長為2的正三角形，沿公共邊折疊成三棱錐且長為，若點(diǎn)，，，在同一球的球面上，則球的表面積為
A．B．C．D．
8．（2024?東興區(qū)校級模擬）如圖，四邊形是一個角為且邊長為2的菱形，把沿折起，得到三棱錐．若，則三棱錐的外接球的表面積為
A．B．C．D．
9．（2024?閔行區(qū)校級三模）空間和兩條異面直線同時都垂直且相交的直線
A．不一定存在B．有且只有1條
C．有1條或不存在D．有無數(shù)條
10．（2024?天津模擬）如今中國被譽(yù)為基建狂魔，可謂是逢山開路，遇水架橋．公路里程、高鐵里程雙雙都是世界第一．建設(shè)過程中研制出用于基建的大型龍門吊、平衡盾構(gòu)機(jī)等國之重器更是世界領(lǐng)先．如圖是某重器上一零件結(jié)構(gòu)模型，中間最大球為正四面體的內(nèi)切球，中等球與最大球和正四面體三個面均相切，最小球與中等球和正四面體三個面均相切，已知正四面體棱長為，則模型中九個球的表面積和為
A．B．C．D．
二．多選題（共5小題）
11．（2024?郴州模擬）如圖，在棱長為2的正方體中，點(diǎn)是正方體的上底面內(nèi)（不含邊界）的動點(diǎn)，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，則以下命題正確的是
A．三棱錐的體積是定值
B．存在點(diǎn)，使得與所成的角為
C．直線與平面所成角的正弦值的取值范圍為
D．若，則的軌跡的長度為
12．（2024?隨州模擬）在棱長為2的正方體中，，分別為，的中點(diǎn)，則
A．異面直線與所成角的余弦值為
B．點(diǎn)為正方形內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)平面時，的最大值為
C．過點(diǎn)，，的平面截正方體所得的截面周長為
D．當(dāng)三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球的表面上時，球的表面積為
13．（2024?保定三模）如圖，在正方體中，，，，分別為棱，，，的中點(diǎn)，點(diǎn)是面的中心，則下列結(jié)論正確的是
A．，，，四點(diǎn)共面
B．平面被正方體截得的截面是等腰梯形
C．平面
D．平面平面
14．（2024?江蘇模擬）如圖，在棱長為2的正方體中，為的中點(diǎn)，點(diǎn)滿足，則
A．當(dāng)時，平面
B．任意，，三棱錐的體積是定值
C．存在，，使得與平面所成的角為
D．當(dāng)時，平面截該正方體的外接球所得截面的面積為
15．（2024?江西一模）已知正方體的棱長為1，是棱的中點(diǎn)，是平面上的動點(diǎn)（如圖），則下列說法正確的是
A．若點(diǎn)在線段上，則平面
B．平面平面
C．若，則動點(diǎn)的軌跡為拋物線
D．以的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)一周，旋轉(zhuǎn)過程中，三棱錐體積的取值范圍為
三．填空題（共5小題）
16．（2024?黃浦區(qū)二模）在四面體中，，，，設(shè)四面體與四面體的體積分別為、，則的值為．
17．（2024?灌云縣校級模擬）正方體棱長為2，，分別是棱，的中點(diǎn)，是正方體的表面上一動點(diǎn)，當(dāng)四面體的體積最大時，四面體的外接球的表面積為．
18．（2024?西城區(qū)模擬）如圖，正方形和矩形所在的平面互相垂直．點(diǎn)在正方形及其內(nèi)部運(yùn)動，點(diǎn)在矩形及其內(nèi)部運(yùn)動．設(shè)，，給出下列四個結(jié)論：
①存在點(diǎn)，，使；
②存在點(diǎn)，，使；
③到直線和的距離相等的點(diǎn)有無數(shù)個；
④若，則四面體體積的最大值為；
其中所有正確結(jié)論的序號是．
19．（2024?安徽模擬）已知正方體的體積為8，且，則當(dāng)取得最小值時，三棱錐的外接球體積為．
20．（2024?遼寧模擬）古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯發(fā)現(xiàn)：平面上到兩定點(diǎn)，距離之比為常數(shù)且的點(diǎn)的軌跡是一個圓心在直線上的圓，該圓簡稱為阿氏圓．根據(jù)以上信息，解決下面的問題：
如圖，在長方體中，，點(diǎn)在棱上，，動點(diǎn)滿足．若點(diǎn)在平面內(nèi)運(yùn)動，則點(diǎn)所形成的阿氏圓的半徑為；若點(diǎn)在長方體內(nèi)部運(yùn)動，為棱的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則三棱錐的體積的最小值為．
四．解答題（共5小題）
21．（2024?鼓樓區(qū)校級模擬）如圖，四棱錐中，底面，，，，，分別為線段，上一點(diǎn)，．
（1）若為的中點(diǎn)，證明：平面；
（2）求直線與平面所成角的正弦值的最大值．
22．（2024?河南模擬）如圖所示，在△中，點(diǎn)在邊上，且，為邊的中點(diǎn)．是平面外一點(diǎn)，且．
（1）證明：；
（2）已知，，，直線與平面所成角的正弦值為．
求△的面積；
求三棱錐的體積．
23．（2024?重慶模擬）正多面體又稱為柏拉圖立體，是指一個多面體的所有面都是全等的正三角形或正多邊形，每個頂點(diǎn)聚集的棱的條數(shù)都相等，這樣的多面體就叫做正多面體．可以驗證一共只有五種多面體．令，，，，均為正整數(shù)），我們發(fā)現(xiàn)有時候某正多面體的所有頂點(diǎn)都可以和另一個正多面體的一些頂點(diǎn)重合，例如正面體的所有頂點(diǎn)可以與正面體的某些頂點(diǎn)重合，正面體的所有頂點(diǎn)可以與正面體的所有頂點(diǎn)重合，等等．（1）當(dāng)正面體的所有頂點(diǎn)可以與正面體的某些頂點(diǎn)重合時，求正面體的棱與正面體的面所成線面角的最大值；
（2）當(dāng)正面體在棱長為1的正面體內(nèi)，且正面體的所有頂點(diǎn)均為正面體各面的中心時，求正面體某一面所在平面截正面體所得截面面積；
（3）已知正面體的每個面均為正五邊形，正面體的每個面均為正三角形．考生可在以下2問中選做1問．
（第一問答對得2分，第二問滿分8分，兩題均作答，以第一問結(jié)果給分）
第一問：求棱長為1的正面體的表面積；
第二問：求棱長為1的正面體的體積．
24．（2024?湖北模擬）如圖，在三棱錐中，側(cè)面底面，，是邊長為2的正三角形，，，分別是，的中點(diǎn)，記平面與平面的交線為．
（1）證明：直線平面；
（2）設(shè)點(diǎn)在直線上，直線與平面所成的角為，異面直線與所成的角為，求當(dāng)為何值時，．
25．（2024?墊江縣校級模擬）如圖，在四棱錐中，為正三角形，底面為正方形，平面平面，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，平面與棱交于點(diǎn)．
（1）求證：平面；
（2）為平面內(nèi)一動點(diǎn)，為線段上一點(diǎn)；
①求證：；
②當(dāng)最小時，求的值．
2025年菁優(yōu)高考數(shù)學(xué)壓軸訓(xùn)練13
參考答案與試題解析
一．選擇題（共10小題）
1．（2024?四川模擬）如圖所示，在棱長為2的正方體中，直線平面，，是的中點(diǎn)，是線段上的動點(diǎn)，則直線與側(cè)面的交點(diǎn)的軌跡長為
A．B．C．D．
【答案】
【考點(diǎn)】棱柱的結(jié)構(gòu)特征
【專題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；向量法；轉(zhuǎn)化思想；空間位置關(guān)系與距離；邏輯推理
【分析】先建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，保證，，，四點(diǎn)共面，從而得到向量與平面的法向量垂直，進(jìn)而分析得出的方程表示的軌跡是什么，求解即可．
【解答】解：在棱長為2的正方體中，直線平面，，是的中點(diǎn)，是線段上的動點(diǎn)，
分別以，，所在直線為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，
則，2，，，2，，
直線平面，，設(shè)，如圖，
在矩形中，，△，，
點(diǎn)滿足，，
設(shè)平面的法向量為，
且，，
可得，即，不妨取，
由于直線與側(cè)面的交點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，0，，
可得，，，四點(diǎn)共面，
且，顯然，
得方程，顯然方程在平面內(nèi)表示一條直線，
當(dāng)時，點(diǎn)，0，，此時兩點(diǎn)，重合，
當(dāng)時，，點(diǎn)，0，，設(shè)線段的中點(diǎn)為，此時兩點(diǎn)，重合，
直線與側(cè)面的交點(diǎn)的軌跡為線段，且．
故選：．
【點(diǎn)評】本題考查正方體結(jié)構(gòu)特征、三角形相似、四點(diǎn)共面、點(diǎn)的軌跡等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．
2．（2024?莆田三模）若制作一個容積為的圓錐形無蓋容器（不考慮材料的厚度），要使所用材料最省，則該圓錐的高是
A．B．2C．D．4
【答案】
【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺的體積；旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓臺）的體積
【專題】轉(zhuǎn)化思想；計算題；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算；綜合法；立體幾何
【分析】根據(jù)題意，設(shè)圓錐的高與半徑，利用體積公式得出高與半徑的關(guān)系，再消元轉(zhuǎn)化得出側(cè)面積，利用導(dǎo)數(shù)計算單調(diào)性與最值，即可得答案．
【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)該圓錐的高為，底面圓的半徑為，
則，從而，變形可得，
該圓錐的側(cè)面積．
令，
易知時，，，單調(diào)遞減，
時，，，單調(diào)遞增，
則當(dāng)時，取得最小值；
所以要使所用材料最省，則該圓錐的高是2．
故選：．
【點(diǎn)評】本題考查圓錐的體積、表面積計算，涉及導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，屬于中檔題．
3．（2024?張家口模擬）已知一個底面內(nèi)口直徑為的圓柱體玻璃杯中盛有高為的水，向該杯中放入一個半徑為的實心冰球和一個半徑為的實心鋼球，待實心冰球融化后實心鋼球恰好淹沒在水中（實心鋼球與杯中水面、杯底均相切），若實心冰球融化為水前后的體積變化忽略不計，則實心鋼球的表面積為
A．B．C．D．
【答案】
【考點(diǎn)】球的表面積
【專題】立體幾何；數(shù)學(xué)運(yùn)算；轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法
【分析】根據(jù)實心冰球融化前后總體積不變列出等式融化前水的體積實心冰球的體積實心鋼球的體積融化后水的總體積，由題鋼球恰好淹沒在水中得到此時水面高為，列出等式，解出的值，再算出鋼球的表面積即可．
【解答】解：由題意可得，實心冰球融化前后體積不變，
則有，
化簡有，
即，
解得，
所以．
故選：．
【點(diǎn)評】本題考查幾何體的體積問題，屬于中檔題．
4．（2024?永春縣校級模擬）已知圓臺存在內(nèi)切球（與圓臺的上、下底面及側(cè)面都相切的球），若圓臺的上、下底面面積之和與它的側(cè)面積之比為，設(shè)圓臺與球的體積分別為，，則
A．B．C．D．
【答案】
【考點(diǎn)】球的體積和表面積；棱柱、棱錐、棱臺的體積
【專題】綜合法；立體幾何；數(shù)學(xué)運(yùn)算；計算題；整體思想
【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合圓臺軸截面等腰梯形的內(nèi)切圓是球的截面大圓，探討圓臺兩底半徑與母線的關(guān)系，再利用圓臺側(cè)面積公式及圓臺、球的體積公式求解即得．
【解答】解：設(shè)圓臺的上、下底面半徑分別為，，母線長為，高為，內(nèi)切球的半徑為，
顯然圓臺軸截面等腰梯形的內(nèi)切圓是球的截面大圓，則，，
由，整理得，而，解得，，
因此圓臺的高，，
則圓臺的體積，
內(nèi)切球的體積，所以．
故選：．
【點(diǎn)評】本題考查了圓臺和球的體積計算，屬于中檔題．
5．（2024?懷柔區(qū)校級模擬）如圖，已知正方體中，為線段的中點(diǎn)，為線段上的動點(diǎn)，則下列四個結(jié)論正確的是
A．存在點(diǎn)，使平面
B．三棱錐的體積隨動點(diǎn)變化而變化
C．直線與所成的角不可能等于
D．存在點(diǎn)，使平面
【答案】
【考點(diǎn)】空間中直線與平面之間的位置關(guān)系；棱柱、棱錐、棱臺的體積；異面直線及其所成的角；直線與平面垂直；直線與平面平行
【專題】轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學(xué)運(yùn)算；立體幾何；綜合法；邏輯推理
【分析】對選項，根據(jù)反證法，線面平行的判定定理與性質(zhì)定理，即可判斷；對選項，根據(jù)三棱錐的體積公式，即可判斷；對選項，將兩條直線平移成相交直線，即可判斷；對選項，根據(jù)正方體性質(zhì)易得平面，從而再根據(jù)三角形中位線性質(zhì)，即可判斷．
【解答】解：對選項，，
易得平面，又平面，設(shè)平面平面，
則，
假設(shè)存在點(diǎn)，使平面，又平面，平面平面，
，又，，這顯然與已知條件相矛盾，假設(shè)不成立，
不存在點(diǎn)，使平面，選項錯誤；
對選項，到平面的距離為定值，又的面積也為定值，
三棱錐的體積為定值，選項錯誤；
對選項，易知，
直線與所成的角即為直線與所成的角，
又易知△為正三角形，又為的中點(diǎn)，為線段上的動點(diǎn)，
直線與所成的角的范圍為，選項錯誤；
對選項，在正方體中，易得平面，
當(dāng)為的中點(diǎn)時，又為線段的中點(diǎn)，
，又平面，
平面，選項正確．
故選：．
【點(diǎn)評】本題考查正方體中點(diǎn)的軌跡問題，線面平行的判定定理與性質(zhì)定理的應(yīng)用，三棱錐的體積問題，線線角的求解，線面垂直的判定，反證法的應(yīng)用，屬中檔題．
6．（2024?菏澤二模）如圖，在正方體中，，，則下列結(jié)論中正確的是
A．平面
B．平面平面
C．平面
D．平面內(nèi)存在與平行的直線
【答案】
【考點(diǎn)】直線與平面垂直；直線與平面平行；平面與平面垂直
【專題】向量法；轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學(xué)運(yùn)算；立體幾何
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合線面平行的判定定理，線面垂直，面面垂直的判定定理，逐項判定計算即可．
【解答】解：因為為正方體，設(shè)正方體棱長為2，
以為原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則，0，，，0，，，2，，，2，，，2，，，0，，
，1，，，0，，，2，，
所以，，，，
設(shè)平面的法向量為，
則，令，則，
設(shè)平面的法向量為．
則，令，則，1，，
又，
所以，故不正確；
，故不正確；
又因為，，，
所以，，
所以，，又，
所以平面，故正確；
易知平面的一個法向量為，
因為，故不正確．
故選：．
【點(diǎn)評】本題考查線面平行的判定，線面垂直，面面垂直的判定，屬于中檔題．
7．（2024?寶雞模擬）△與△都是邊長為2的正三角形，沿公共邊折疊成三棱錐且長為，若點(diǎn)，，，在同一球的球面上，則球的表面積為
A．B．C．D．
【答案】
【考點(diǎn)】球的體積和表面積
【專題】對應(yīng)思想；綜合法；立體幾何；數(shù)學(xué)運(yùn)算
【分析】根據(jù)外接球球心的性質(zhì)確定球心的位置為過正△與正△的中心的垂線上，再構(gòu)造直角三角形求解球的半徑即可．
【解答】解：由題，設(shè)的中點(diǎn)為，正△與正△的中心分別為，，如圖，
根據(jù)正三角形的性質(zhì)有，分別在，上，平面，平面，
因為△與△都是邊長為2的正三角形，則，又，
則△是正三角形，
故，易得△△，
故，
故，又，故球的半徑，
故球的表面積為．
故選：．
【點(diǎn)評】本題考查了幾何體外接球的相關(guān)問題，屬于中檔題．
8．（2024?東興區(qū)校級模擬）如圖，四邊形是一個角為且邊長為2的菱形，把沿折起，得到三棱錐．若，則三棱錐的外接球的表面積為
A．B．C．D．
【答案】
【考點(diǎn)】球的表面積；球內(nèi)接多面體
【專題】轉(zhuǎn)化法；轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學(xué)運(yùn)算；立體幾何
【分析】取的中點(diǎn)，連接，，證明平面，設(shè)為的重心，過作平面，且點(diǎn)為三棱錐的外接球球心，外接球半徑為，過作，交于，連接，，在中，，在中，，列式即可求解外接球的半徑．
【解答】解：取中點(diǎn)，連接，，
因為四邊形是一個角為且邊長為2的菱形，
所以，
所以△，為等邊三角形，故，，
又因為，即，
所以，
因為，平面，平面，
所以平面，平面，
所以．
設(shè)為的重心，過作平面，
且點(diǎn)為三棱錐的外接球球心，外接球半徑為，
過作，交于，連接，，
因為平面，平面，所以，
因為，，所以四邊形為矩形，
所以，
設(shè)，則，
在中，，
在中，，
解得，，
所以三棱錐的外接球的表面積為．
故選：．
【點(diǎn)評】本題考查錐體外接球表面積的計算，屬于中檔題．
9．（2024?閔行區(qū)校級三模）空間和兩條異面直線同時都垂直且相交的直線
A．不一定存在B．有且只有1條
C．有1條或不存在D．有無數(shù)條
【答案】
【考點(diǎn)】空間中直線與直線之間的位置關(guān)系；空間中直線與平面之間的位置關(guān)系
【專題】綜合法；轉(zhuǎn)化思想；空間位置關(guān)系與距離；邏輯推理
【分析】利用平行平面確定有都垂直的直線，再利用垂直平面說明有與兩條異面直線都垂直且相交的直線，然后用反證法說明這樣的直線只有一條．
【解答】解：如圖，，是異面直線，過上一點(diǎn)作直線，則，相交，
設(shè)，確定的平面為，當(dāng)直線與平面垂直時，則直線與，都垂直，從而也與垂直，
因此有與異面直線，都垂直的直線，
過與直線平行的平面是唯一的，
設(shè)是在平面內(nèi)的射影，，在平面內(nèi)（即，，是過點(diǎn)的直線，因此，
從而與相交，直線是與，既垂直又相交的直線，
若與，既垂直又相交的直線有兩條為，，，不可能平行（否則，共面），
若，不相交，過與的交點(diǎn)作直線，，相交，
由，確定的平面為（若，相交，則平面就是由，確定的平面），
可得，與平面都是垂直，從而，這是不可能的，
與，既垂直又相交的直線只有一條，
故選：．
【點(diǎn)評】本題考查平行平面、垂直平面、異面直線、反證法等基礎(chǔ)知識，考查空間思維能力，是中檔題．
10．（2024?天津模擬）如今中國被譽(yù)為基建狂魔，可謂是逢山開路，遇水架橋．公路里程、高鐵里程雙雙都是世界第一．建設(shè)過程中研制出用于基建的大型龍門吊、平衡盾構(gòu)機(jī)等國之重器更是世界領(lǐng)先．如圖是某重器上一零件結(jié)構(gòu)模型，中間最大球為正四面體的內(nèi)切球，中等球與最大球和正四面體三個面均相切，最小球與中等球和正四面體三個面均相切，已知正四面體棱長為，則模型中九個球的表面積和為
A．B．C．D．
【答案】
【考點(diǎn)】球的體積和表面積
【專題】球；對應(yīng)思想；整體思想；數(shù)學(xué)運(yùn)算；綜合法
【分析】先求出正四面體的內(nèi)切球半徑，再利用三個球的半徑之間的關(guān)系得到另外兩個球的半徑，得到答案．
【解答】解：如圖，取的中點(diǎn)，連接，，
則，，
過點(diǎn)作底面，垂足在上，且，
所以，
故，
點(diǎn)為最大球的球心，連接并延長，交于點(diǎn)，
則，
設(shè)最大球的半徑為，
則，
因為，
所以，
即，
解得，
即，
則，
故，
設(shè)最小球的球心為，中間球的球心為，則兩球均與直線相切，設(shè)切點(diǎn)分別為，，
連接，，則，分別為最小球和中間球的半徑，長度分別設(shè)為，，
則，，則，
又，所以，解得，
又，故，解得，
所以，
模型中九個球的表面積和為．
故選：．
【點(diǎn)評】本題考查了正四面體的內(nèi)切球，球的表面積公式，難點(diǎn)是求出最大球、中等球及最小球的半徑，屬于中檔題．
二．多選題（共5小題）
11．（2024?郴州模擬）如圖，在棱長為2的正方體中，點(diǎn)是正方體的上底面內(nèi)（不含邊界）的動點(diǎn)，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，則以下命題正確的是
A．三棱錐的體積是定值
B．存在點(diǎn)，使得與所成的角為
C．直線與平面所成角的正弦值的取值范圍為
D．若，則的軌跡的長度為
【答案】
【考點(diǎn)】直線與平面所成的角；棱柱的結(jié)構(gòu)特征；棱柱、棱錐、棱臺的體積；異面直線及其所成的角
【專題】轉(zhuǎn)化法；立體幾何；數(shù)學(xué)運(yùn)算；轉(zhuǎn)化思想
【分析】對于：利用等體積轉(zhuǎn)換即可求得體積為定值；
對于：建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，，得出，，利用向量夾角公式即可求解；
對于：求出平面的法向量為，0，，利用向量夾角公式即可求解；
對于：由可得，即可求解．
【解答】解：對于，（定值），故正確；
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，1，，設(shè)，，，，
則，
對于，，
與的夾角滿足，故錯誤；
對于，平面的法向量為，0，，
直線與平面所成的角的正弦值為，故正確；
對于，，2，，，
由可得，
化簡可得，
在平面內(nèi)，令，得，
令，得，
所以的軌跡的長度為，正確．
故選：．
【點(diǎn)評】本題考查等體積法求體積以及空間向量的應(yīng)用，屬于中檔題．
12．（2024?隨州模擬）在棱長為2的正方體中，，分別為，的中點(diǎn)，則
A．異面直線與所成角的余弦值為
B．點(diǎn)為正方形內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)平面時，的最大值為
C．過點(diǎn)，，的平面截正方體所得的截面周長為
D．當(dāng)三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球的表面上時，球的表面積為
【答案】
【考點(diǎn)】點(diǎn)、線、面間的距離計算；直線與平面平行；異面直線及其所成的角；球的體積和表面積
【專題】立體幾何；數(shù)學(xué)運(yùn)算；空間角；對應(yīng)思想；向量法
【分析】對于：根據(jù)正方體的性質(zhì)得出在△中即為異面直線與所成的角，即可判定；對于：取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，，，得到，，即可證明面面，則根據(jù)已知得出軌跡為線段，則過作，此時取得最小值，即可判定；對于：過點(diǎn)、、的平面截正方體所得的截面圖形為五邊形，得出，，設(shè)，，以為原點(diǎn)，分別以方向為軸、軸、軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，得出，，，的坐標(biāo)，則可根據(jù)，列式得出，，即可得出，，在△中得出，同理得出，在中得出，同理得出，在中得出，即可得出五邊形的周長，即過點(diǎn)、、的平面截正方體所得的截面周長，即可判定；對于：取的中點(diǎn)，則，過作，且使得，則為三棱錐的外接球的球心，則為外接球的半徑，計算得出半徑即可求出球的表面積，即可判定．
【解答】解：對于選項，，
在△中即為異面直線與所成的角，
，
異面直線與所成的角的余弦值為．故正確；
對于選項，過點(diǎn)、、的平面截正方體，
平面平面，則過點(diǎn)、、的平面必與與交于兩點(diǎn)，
設(shè)過點(diǎn)、、的平面必與與分別交于、，
過點(diǎn)、、的平面與平面和平面分別交于與，，同理可得，
如圖過點(diǎn)、、的平面截正方體所得的截面圖形為五邊形，
如圖以為原點(diǎn)，分別以方向為軸、軸、軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)，，
則，0，，，2，，，1，，，2，，，0，，
，，，，
，，
，解得，
，，，，
在△中，，，，同理：，
在中，，，，同理：
在中，，，
，
即過點(diǎn)、、的平面截正方體所得的截面周長為．故正確；
對于選項，取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連接，，，，，
，，
四邊形為平行四邊形，，，，
同理可得，
又面，面，面，面，
面，面，
又，，面，
面面，
又面，面，
軌跡為線段，
在中，過作，此時取得最小值，
在△中，，，，
在△中，，，，
在△中，，，，
如圖，在中，，
即的最小值為，而的最大值為．故錯誤；
對于選項，如圖所示，取的中點(diǎn)，則，過作，
且使得，則為三棱錐的外接球的球心，
所以為外接球的半徑，
在中，，
，
．故項正確，
故選：．
【點(diǎn)評】本題考查線面角以及利用空間向量法解決球體相關(guān)問題，屬于中檔題．
13．（2024?保定三模）如圖，在正方體中，，，，分別為棱，，，的中點(diǎn)，點(diǎn)是面的中心，則下列結(jié)論正確的是
A．，，，四點(diǎn)共面
B．平面被正方體截得的截面是等腰梯形
C．平面
D．平面平面
【答案】
【考點(diǎn)】平面與平面垂直；直線與平面平行；平面的基本性質(zhì)及推論；空間中直線與平面之間的位置關(guān)系
【專題】立體幾何；綜合法；轉(zhuǎn)化思想；邏輯推理
【分析】由題意可得過，，三點(diǎn)的平面為一個正六邊形，判斷出的真假；分別連接，和，，截面是等腰梯形，判斷出的真假；分別取，的中點(diǎn)，，易證顯然不平行平面，可判斷出的真假；平面，可判斷出的真假．
【解答】解：對于：如圖經(jīng)過，，三點(diǎn)的平面為一個正六邊形，點(diǎn)在平面外，
所以，，，四點(diǎn)不共面，所以選項錯誤；
對于：分別連接，和，，則平面即平面，截面是等腰梯形，所以選項正確；
對于：分別取，的中點(diǎn)，，則平面即為平面，
由正六邊形，可知，所以不平行于，
又，平面，所以，
所以平面，
所以不平行于平面，故選項錯誤；
對于：因為，是等腰三角形，所以，
所以，所以，
因為，是，的中點(diǎn)，易證，
由正方體可得平面，
所以平面，又平面，所以，
因為，平面，所以平面，
因為平面，
所以平面平面，故選項正確．
故選：．
【點(diǎn)評】本題考查直線與平面平行的證法及平面與平面垂直的證法，屬于中檔題．
14．（2024?江蘇模擬）如圖，在棱長為2的正方體中，為的中點(diǎn)，點(diǎn)滿足，則
A．當(dāng)時，平面
B．任意，，三棱錐的體積是定值
C．存在，，使得與平面所成的角為
D．當(dāng)時，平面截該正方體的外接球所得截面的面積為
【答案】
【考點(diǎn)】球的體積和表面積；棱柱、棱錐、棱臺的體積；直線與平面所成的角；直線與平面垂直
【專題】立體幾何；綜合法；數(shù)學(xué)運(yùn)算；轉(zhuǎn)化思想；邏輯推理
【分析】根據(jù)三垂線定理及線面垂直的判定定理，三棱錐的體積公式，線面角的求法，坐標(biāo)法求點(diǎn)面距，即可分別求解．
【解答】解：對選項，當(dāng)時，與重合，
根據(jù)三垂線定理易證，，
從而可得平面，即平面，選項正確；
對選項，與相交，到平面的距離不是定值，又的面積為定值，
對任意，，三棱錐的體積不是定值，選項錯誤；
對選項，當(dāng)時，與重合，此時易知平面，
當(dāng)時，與重合，
如圖，設(shè)，連接，，
易知平面，又平面，
平面平面，且平面平面，
在平面的射影為，
與平面所成角為，
又易知，
存在，，使得與平面所成的角為，選項正確；
對選項，正方體的外接球的球心為正方體的體心，
且外接球的直徑為正方體的體對角線，
，，
當(dāng)時，為靠近的三等分點(diǎn)，建系如圖，
則，0，，，2，，，，，，1，，
，，，
設(shè)平面的法向量為，
則，取，
球心到平面的距離，
平面截該正方體的外接球所得截面小圓半徑，
平面截該正方體的外接球所得截面小圓的面積為，選項正確．
故選：．
【點(diǎn)評】本題考查線面垂直的證明，三棱錐的體積變化問題，線面角的變化問題，球的截面面積的求解，三垂線定理的應(yīng)用，坐標(biāo)法的應(yīng)用，化歸轉(zhuǎn)化思想，屬難題．
15．（2024?江西一模）已知正方體的棱長為1，是棱的中點(diǎn)，是平面上的動點(diǎn)（如圖），則下列說法正確的是
A．若點(diǎn)在線段上，則平面
B．平面平面
C．若，則動點(diǎn)的軌跡為拋物線
D．以的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)一周，旋轉(zhuǎn)過程中，三棱錐體積的取值范圍為
【答案】
【考點(diǎn)】棱柱的結(jié)構(gòu)特征；平面與平面垂直；棱柱、棱錐、棱臺的體積；直線與平面平行；命題的真假判斷與應(yīng)用
【專題】運(yùn)動思想；數(shù)形結(jié)合；數(shù)學(xué)運(yùn)算；空間位置關(guān)系與距離；邏輯推理；綜合法
【分析】證明面面平行，可得線面平行判定；由直線與平面垂直可得平面與平面垂直判斷；由雙曲線的定義求出點(diǎn)的軌跡判定；由運(yùn)動思想求得三棱錐體積的取值范圍判斷．
【解答】解：在正方體中，由，且，
可得四邊形為平行四邊形，則，同理可得，
由面面平行的判定可得平面平面，
若點(diǎn)在線段上，則平面，得平面，故正確；
由正方體的結(jié)構(gòu)特征可得平面，又平面，平面平面，故正確；
為定值，滿足的點(diǎn)在以為頂點(diǎn)，為軸的圓錐的側(cè)面上，
又在平面上，且平面，點(diǎn)的運(yùn)動軌跡是雙曲線，故錯誤；
設(shè)，的中點(diǎn)分別為，，則點(diǎn)的運(yùn)動軌跡是平面內(nèi)以為圓心，為半徑的圓，
，，平面，則平面平面，
設(shè)與圓的交點(diǎn)分別為，（點(diǎn)位于點(diǎn)，之間），
可知當(dāng)點(diǎn)分別位于點(diǎn)，時，點(diǎn)到平面的距離分別取到最小值和最大值，
且距離的最小值，
距離的最大值．
的面積，
，
．
三棱錐體積的取值范圍為，故正確．
故選：．
【點(diǎn)評】本題考查正方體的結(jié)構(gòu)特征，考查直線與平面平行、平面與平面垂直的判定，考查空間想象能力與思維能力，訓(xùn)練了多面體體積的求法，綜合性強(qiáng)，難度較大．
三．填空題（共5小題）
16．（2024?黃浦區(qū)二模）在四面體中，，，，設(shè)四面體與四面體的體積分別為、，則的值為．
【答案】．
【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺的體積
【專題】立體幾何；綜合法；轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學(xué)運(yùn)算
【分析】根據(jù)題意易得，，，再作出底面圖形，根據(jù)向量共線定理，三棱錐的體積公式，化歸轉(zhuǎn)化，即可求解．
【解答】解：，，，
，，，
，，，
作出底面圖形，延長，交于點(diǎn)，如圖所示：
由，可得，設(shè)，又，
，又，，三點(diǎn)共線，
，，，又，
，，
又，且，
，
．
故答案為：．
【點(diǎn)評】本題考查四面體的體積問題，向量的線性運(yùn)算，向量共線定理的應(yīng)用，化歸轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題．
17．（2024?灌云縣校級模擬）正方體棱長為2，，分別是棱，的中點(diǎn)，是正方體的表面上一動點(diǎn)，當(dāng)四面體的體積最大時，四面體的外接球的表面積為．
【答案】．
【考點(diǎn)】球的體積和表面積
【專題】綜合法；立體幾何；數(shù)學(xué)運(yùn)算；轉(zhuǎn)化思想
【分析】根據(jù)題意只需點(diǎn)離平面最遠(yuǎn)即可，構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，應(yīng)用向量法求各點(diǎn)到面距離得到與重合，再將△置于如下直角坐標(biāo)系中求△外接圓圓心，進(jìn)而確定空間坐標(biāo)系中外接球球心坐標(biāo)，即可求球的表面積．
【解答】解：如下圖，，即，，，四點(diǎn)共面，要使四面體的體積最大，
只需點(diǎn)離平面最遠(yuǎn)即可，顯然點(diǎn)、線段上點(diǎn)到平面距離都相等，
構(gòu)建下圖空間直角坐標(biāo)系，
則，1，，，0，，，2，，，2，，
，2，，，0，，，2，，
所以，，，，，
設(shè)平面的一個法向量為，
則，取，
所以到平面距離為，到平面距離為，
到平面距離為，到平面距離為，
綜上，正方體的表面上到面距離最遠(yuǎn)，故四面體的體積最大，與重合，
首先確定△外接圓圓心坐標(biāo)，將△置于如下直角坐標(biāo)系中，
則，，，則是直線與的垂直平分線的交點(diǎn)，
由，則，且中點(diǎn)為，故，即，
聯(lián)立，即對應(yīng)到空間直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)為，
由四面體的外接球球心在過垂直于面的直線上，設(shè)，
由，即，所以，
故外接球半徑為，故外接球的表面積為．
故答案為：．
【點(diǎn)評】本題考查四面體的外接球問題，屬中檔題．
18．（2024?西城區(qū)模擬）如圖，正方形和矩形所在的平面互相垂直．點(diǎn)在正方形及其內(nèi)部運(yùn)動，點(diǎn)在矩形及其內(nèi)部運(yùn)動．設(shè)，，給出下列四個結(jié)論：
①存在點(diǎn)，，使；
②存在點(diǎn)，，使；
③到直線和的距離相等的點(diǎn)有無數(shù)個；
④若，則四面體體積的最大值為；
其中所有正確結(jié)論的序號是 ①③④ ．
【答案】①③④．
【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺的體積
【專題】轉(zhuǎn)化思想；向量法；立體幾何；數(shù)學(xué)運(yùn)算
【分析】建立適當(dāng)空間直角坐標(biāo)系后，借助空間向量研究位置關(guān)系，結(jié)合軌跡方程、三棱錐體積公式逐項判斷即可．
【解答】解：建立如圖所示的坐標(biāo)系，則，0，，，0，，，2，，，2，，，0，，，2，，
設(shè)，，，，，，其中，，，，
對于①，，，，則，當(dāng)，，時，有，故①正確；
對于②，，，，，，，
若，則有，由，，，，得，，
此時與重合，與重合，不符合題意，故②錯誤；
對于③，點(diǎn)到直線的距離為，點(diǎn)到直線的距離為，
則，即，，，，，
故其軌跡為雙曲線的一部分，即點(diǎn)有無數(shù)個，③正確；
對于④，，，，，，，又由，
則，即，，
又，
故，故④正確．
故答案為：①③④．
【點(diǎn)評】考查向量法、向量坐標(biāo)運(yùn)算法則、向量平行的性質(zhì)、軌跡方程、體積公式等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．
19．（2024?安徽模擬）已知正方體的體積為8，且，則當(dāng)取得最小值時，三棱錐的外接球體積為．
【答案】．
【考點(diǎn)】球的體積和表面積
【專題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；立體幾何；綜合法；轉(zhuǎn)化思想
【分析】將平面與平面展開鋪平，即可求的最值；建系求球心坐標(biāo)，從而得球的半徑，從而可求球的體積．
【解答】解：由題意得可知，如圖，將平面與平面展開鋪平，
當(dāng)點(diǎn)，，共線時，此時最小，
在展開圖中作，垂足為，，解得，
建系如上圖，則，2，，，
連接，易得平面，且經(jīng)過△的中心，
所以三棱錐外接球的球心在上，
設(shè)球心，，，則，
即，解得，
所以外接球，
所以三棱錐的外接球體積為．
故答案為：．
【點(diǎn)評】本題考查空間中距離的最值問題，三棱錐的外接球問題，化歸轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題．
20．（2024?遼寧模擬）古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯發(fā)現(xiàn)：平面上到兩定點(diǎn)，距離之比為常數(shù)且的點(diǎn)的軌跡是一個圓心在直線上的圓，該圓簡稱為阿氏圓．根據(jù)以上信息，解決下面的問題：
如圖，在長方體中，，點(diǎn)在棱上，，動點(diǎn)滿足．若點(diǎn)在平面內(nèi)運(yùn)動，則點(diǎn)所形成的阿氏圓的半徑為；若點(diǎn)在長方體內(nèi)部運(yùn)動，為棱的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則三棱錐的體積的最小值為．
【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺的體積
【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間位置關(guān)系與距離；數(shù)學(xué)運(yùn)算
【分析】①若點(diǎn)在平面內(nèi)運(yùn)動時，如圖以為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，可得，．設(shè)，由可得．即，．即可
②若點(diǎn)在長方體內(nèi)部運(yùn)動，由①可得點(diǎn)在半徑為，球心為球上．如圖建立空間直角坐標(biāo)系，求得到面的距離為，求得到面的距離的最小值，又到面的距離的最小值為，利用體積公式即可求解．
【解答】解：①若點(diǎn)在平面內(nèi)運(yùn)動時，
如圖以為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，可得，．
設(shè)，由可得．
即，．
則點(diǎn)所形成的阿氏圓的半徑為，圓心為，
②若點(diǎn)在長方體內(nèi)部運(yùn)動，由①可得點(diǎn)在半徑為，球心為球上．
如圖建立空間直角坐標(biāo)系，可得，0，，，3，，，6，，，6，
則，
設(shè)面的法向量為，
，可得．
到面的距離為．
則到面的距離的最小值為，
為的中點(diǎn)，到面的距離的最小值為．
則三棱錐的體積的最小值為．
故答案為：，．
【點(diǎn)評】本題考查了空間動點(diǎn)軌跡問題，考查了轉(zhuǎn)化思想，計算能力，屬于中檔題．
四．解答題（共5小題）
21．（2024?鼓樓區(qū)校級模擬）如圖，四棱錐中，底面，，，，，分別為線段，上一點(diǎn)，．
（1）若為的中點(diǎn)，證明：平面；
（2）求直線與平面所成角的正弦值的最大值．
【答案】（1）證明見解答；
（2）．
【考點(diǎn)】直線與平面平行；空間向量法求解直線與平面所成的角
【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間位置關(guān)系與距離；空間角；邏輯推理；數(shù)學(xué)運(yùn)算
【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接，，先證四邊形為平行四邊形，有，再由線面平行的判定定理，得證；
（2）取的中點(diǎn)，連接，以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解即可．
【解答】解：（1）證明：取的中點(diǎn)，連接，，
由已知及得，
為的中點(diǎn)，
，，
又，
，且，
四邊形為平行四邊形，
，
平面，平面，
平面．
（2）取的中點(diǎn)，連接，建立如圖所示的空間坐標(biāo)系，
則，
不妨設(shè)，
則，
，
設(shè)平面的一個法向量為，
則，即，
取，則，
設(shè)直線與平面所成角為，
則
，
故直線與平面所成角的正弦值的最大值為．
【點(diǎn)評】本題考查線面平行的證明，考查線面角的正弦值的求法，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．
22．（2024?河南模擬）如圖所示，在△中，點(diǎn)在邊上，且，為邊的中點(diǎn)．是平面外一點(diǎn)，且．
（1）證明：；
（2）已知，，，直線與平面所成角的正弦值為．
求△的面積；
求三棱錐的體積．
【答案】（1）證明見解答；（2）；．
【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺的體積
【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；立體幾何；運(yùn)算求解
【分析】（1）利用，得出，再根據(jù)，得出，進(jìn)而得出平面，即可得證；
（2）在△中，，，，由余弦定理得出，進(jìn)而求出，利用三角形面積公式即可求解；
利用等體積轉(zhuǎn)換法求三棱錐體積即可．
【解答】解：（1）證明：因為為邊的中點(diǎn)，所以，
又，故，即，
如圖，
設(shè)線段的中點(diǎn)為，連接，又，所以，
，
因為，所以，即，
所以，
因為，，平面，
所以平面，因為平面，
所以；
（2）在△中，，，，
由余弦定理得，
所以，
故△的面積為；
設(shè)直線與平面所成角為，
由題意可知，則，
故，
又因為平面，所以直線與平面所成的角為，
于是，所以，
如圖，
連接，則三棱錐的體積為，
設(shè)△，△的面積分別為，，點(diǎn)到平面的距離為，
因為為邊的中點(diǎn)，，
所以由平面幾何知識易得，
則三棱錐的體積為．
【點(diǎn)評】本題考查向量法在立體幾何中的應(yīng)用，考查等體積法求三棱錐體積，屬于中檔題．
23．（2024?重慶模擬）正多面體又稱為柏拉圖立體，是指一個多面體的所有面都是全等的正三角形或正多邊形，每個頂點(diǎn)聚集的棱的條數(shù)都相等，這樣的多面體就叫做正多面體．可以驗證一共只有五種多面體．令，，，，均為正整數(shù)），我們發(fā)現(xiàn)有時候某正多面體的所有頂點(diǎn)都可以和另一個正多面體的一些頂點(diǎn)重合，例如正面體的所有頂點(diǎn)可以與正面體的某些頂點(diǎn)重合，正面體的所有頂點(diǎn)可以與正面體的所有頂點(diǎn)重合，等等．（1）當(dāng)正面體的所有頂點(diǎn)可以與正面體的某些頂點(diǎn)重合時，求正面體的棱與正面體的面所成線面角的最大值；
（2）當(dāng)正面體在棱長為1的正面體內(nèi)，且正面體的所有頂點(diǎn)均為正面體各面的中心時，求正面體某一面所在平面截正面體所得截面面積；
（3）已知正面體的每個面均為正五邊形，正面體的每個面均為正三角形．考生可在以下2問中選做1問．
（第一問答對得2分，第二問滿分8分，兩題均作答，以第一問結(jié)果給分）
第一問：求棱長為1的正面體的表面積；
第二問：求棱長為1的正面體的體積．
【答案】（1）；（2）；（3）第一問：；第二問：．
【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺的體積
【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間位置關(guān)系與距離；邏輯推理；數(shù)學(xué)運(yùn)算
【分析】（1）根據(jù)正面體特點(diǎn)求出，，，，，由此能求出結(jié)果；
（2）推導(dǎo)出截面為邊長為2的正三角形，能求出結(jié)果；
（3）第一問：根據(jù)正二十面體各面為正三角形即可求解；
第二問：圖形可分為得到一個棱長相等的平行六面體和六個相同的立體圖形，由此能求出結(jié)果．
【解答】解：（1）設(shè)正面體每個頂點(diǎn)出去的棱數(shù)相等為，每個面的邊的數(shù)量相等為，端點(diǎn)數(shù)量為，面的數(shù)量為，棱的數(shù)量為，
每個棱有兩個端點(diǎn)，，
每兩個相鄰的面共用一條棱，，
，，
代表多邊形的邊數(shù)，，要得到立體圖形，必須有，
由題意易得，，，
滿足條件的只有5組解，
①，，，即正四面體；
②，，，即正六面體；
③，，，即正十二面體；
④，，，即正八面體；
⑤，，，即正二十面體．
，，，，，
為了滿足題意，只需找到正六面體的四個端點(diǎn)，端點(diǎn)距離全部相等，
滿足題意的僅有一種，如圖，
由題意得線面角只有或，
當(dāng)正面體的所有頂點(diǎn)可以與正面體的某些頂點(diǎn)重合時，
正面體的棱與正面體的面所成線面角的最大值為；
（2）當(dāng)正面體在棱長為1的正面體內(nèi)，且正面體的所有頂點(diǎn)均為正面體各面的中心時，
、、代表正六面體的中心，、、代表截面三角形，
由題意得截面為邊長為的正三角形，
正面體某一面所在平面截正面體所得截面面積面積為；
（3）第一問：正二十面體各面為正三角形，表面積為；
第二問：正十二面體各面為正五邊形，圖形如下：
按照圖示帶箭頭的虛線分割，得到一個棱長相等的平行六面體和六個相同的立體圖形，
如圖，、長度為1，且，
由，知，即正六面體邊長為，
正六面體邊長為，則，
沿著頂棱的兩個端點(diǎn)，分別作關(guān)于頂棱垂直的切面，立體圖形可以拆成兩個四面體，一個三棱柱，
先算出綠色邊的長度，再用勾股定理易得立體圖形高為，
，
總體積為．
【點(diǎn)評】本題考查正多面體的性質(zhì)、歐拉公式等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．
24．（2024?湖北模擬）如圖，在三棱錐中，側(cè)面底面，，是邊長為2的正三角形，，，分別是，的中點(diǎn)，記平面與平面的交線為．
（1）證明：直線平面；
（2）設(shè)點(diǎn)在直線上，直線與平面所成的角為，異面直線與所成的角為，求當(dāng)為何值時，．
【答案】（1）證明見解析；
（2）當(dāng)時，．
【考點(diǎn)】異面直線及其所成的角；直線與平面垂直
【專題】空間角；計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；數(shù)學(xué)運(yùn)算
【分析】（1）利用中位線，直線平面的平行問題得出，根據(jù)直線平面的垂直問題得出平面，即可得出直線平面．
（2）建立坐標(biāo)系得出平面的法向量，，，，，直線平面，直線的夾角的關(guān)系求解即可，，，．
【解答】（1）證明：，分別為，中點(diǎn)，
，
又平面，平面，
平面
又平面，平面平面，
．
，
，
，
，
，平面平面，
平面，
直線平面，
（2）如圖建立坐標(biāo)系得出：，0，，，0，，
，0，，，2，，，0，，，，
，0，為平面的法向量，，2，，，，
，，，，
設(shè)直線分別與平面、直線所成的角分別為，，，
，，，
即，求解，，，0，，
存在，1，或，，，
即當(dāng)時，．
【點(diǎn)評】本題綜合考查了空間直線，平面的位置關(guān)系，判斷方法，空間向量解決存在性問題，運(yùn)用代數(shù)方法求解幾何問題，考查了學(xué)生的計算能力．
25．（2024?墊江縣校級模擬）如圖，在四棱錐中，為正三角形，底面為正方形，平面平面，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，平面與棱交于點(diǎn)．
（1）求證：平面；
（2）為平面內(nèi)一動點(diǎn)，為線段上一點(diǎn)；
①求證：；
②當(dāng)最小時，求的值．
【答案】（1）證明見解答；
（2）①證明見解答；②．
【考點(diǎn)】直線與平面垂直；直線與平面平行
【專題】邏輯推理；數(shù)形結(jié)合；立體幾何；綜合法
【分析】（1）由題設(shè)條件及線面平行的判定定理即可證明；
（2）①由題設(shè)證明平面，即可證明；
②首先求得當(dāng)為中點(diǎn)時，，此時最小，再根據(jù)相似三角形，求得比值即可．
【解答】（1）證明：，平面，平面，
平面，又平面，
平面平面，，
又平面，平面，
平面；
（2）①證明：由平面平面，平面平面，
平面，，故平面，
又平面，故，
由（1）知，，故，
又是的中點(diǎn)，則是中點(diǎn)，為正三角形，
故，又，
所以平面，故，
②解：由，，
當(dāng)為與平面的交點(diǎn)時，取得最小值，
故當(dāng)最小時，取得最小值，此時，
由，可得，
同理，
故時，為中點(diǎn)，取中點(diǎn)，連接，如圖所示，
則有且，
則有，．
【點(diǎn)評】本題考查線面平行的判定，考查空間距離的最值問題，屬中檔題．
考點(diǎn)卡片
1．命題的真假判斷與應(yīng)用
【知識點(diǎn)的認(rèn)識】
判斷含有“或”、“且”、“非”的復(fù)合命題的真假，首先要明確p、q及非p的真假，然后由真值表判斷復(fù)合命題的真假．
注意：“非p”的正確寫法，本題不應(yīng)將“非p”寫成“方程x2﹣2x+1＝0的兩根都不是實根”，因為“都是”的反面是“不都是”，而不是“都不是”，要認(rèn)真區(qū)分．
【解題方法點(diǎn)撥】
1．判斷復(fù)合命題的真假，常分三步：先確定復(fù)合命題的構(gòu)成形式，再指出其中簡單命題的真假，最后由真值表得出復(fù)合命題的真假．
2．判斷一個“若p則q”形式的復(fù)合命題的真假，不能用真值表時，可用下列方法：若“p q”，則“若p則q”為真；而要確定“若p則q”為假，只需舉出一個反例說明即可．
3．判斷逆命題、否命題、逆否命題的真假，有時可利用原命題與逆否命題同真同假，逆命題與否命題同真同假這一關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化判斷．
【命題方向】該部分內(nèi)容是《課程標(biāo)準(zhǔn)》新增加的內(nèi)容，幾乎年年都考，涉及知識點(diǎn)多而且全，多以小題形式出現(xiàn)．
2．棱柱的結(jié)構(gòu)特征
【知識點(diǎn)的認(rèn)識】
1．棱柱：有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱．棱柱用表示底面各頂點(diǎn)的字母來表示（例：ABCD﹣A′B′C′D′）．
2．認(rèn)識棱柱
底面：棱柱中兩個互相平行的面，叫做棱柱的底面．
側(cè)面：棱柱中除兩個底面以外的其余各個面都叫做棱柱的側(cè)面．
側(cè)棱：棱柱中兩個側(cè)面的公共邊叫做棱柱的側(cè)棱．
頂點(diǎn)：棱柱的側(cè)面與底面的公共頂點(diǎn)．
高：棱中兩個底面之間的距離．
3．棱柱的結(jié)構(gòu)特征
根據(jù)棱柱的結(jié)構(gòu)特征，可知棱柱有以下性質(zhì)：
（1）側(cè)面都是平行四邊形
（2）兩底面是全等多邊形
（3）平行于底面的截面和底面全等；對角面是平行四邊形
（4）長方體一條對角線長的平方等于一個頂點(diǎn)上三條棱的長的平方和．
4．棱柱的分類
（1）根據(jù)底面形狀的不同，可把底面為三角形、四邊形、五邊形…的棱柱稱為三棱柱、四棱柱、五棱柱…．
（2）根據(jù)側(cè)棱是否垂直底面，可把棱柱分為直棱柱和斜棱柱；其中在直棱柱中，若底面為正多邊形，則稱其為正棱柱．
5．棱柱的體積公式
設(shè)棱柱的底面積為S，高為h，
V棱柱＝S×h．
3．球內(nèi)接多面體
【知識點(diǎn)的認(rèn)識】
1、球內(nèi)接多面體的定義：多面體的頂點(diǎn)都在球面上，且球心到各頂點(diǎn)的距離都是半徑．球內(nèi)接多面體也叫做多面體外接球．
球外切多面體的定義：球面和多面體的各個面都相切，球心到各面的距離都是球的半徑．球外切多面體也叫做多面體內(nèi)切球
2、研究球與多面體的接、切問題主要考慮以下幾個方面的問題：
（1）球心與多面體中心的位置關(guān)系；
（2）球的半徑與多面體的棱長的關(guān)系；
（3）球自身的對稱性與多面體的對稱性；
（4）能否做出軸截面．
3、球與多面體的接、切中有關(guān)量的分析：
（1）球內(nèi)接正方體：球和正方體都是中心對稱和軸對稱圖形，設(shè)球的半徑為r，正方體的棱長為a，則：
①球心就是正方體的中心，球心在正方體的體對角線的中點(diǎn)處；
②正方體的四個頂點(diǎn)都在球面上；
③軸截面就是正方體的對角面；
④在軸截面上，含有一個球的大圓和正方體的棱、面對角線、體對角線，且構(gòu)造一個直角三角形；
⑤球半徑和正方體棱長的關(guān)系：r＝a．＝
4．棱柱、棱錐、棱臺的體積
【知識點(diǎn)的認(rèn)識】
柱體、錐體、臺體的體積公式：
V柱＝sh，V錐＝Sh．
5．旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓臺）的體積
【知識點(diǎn)的認(rèn)識】
旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征：一條平面曲線繞著它所在的平面內(nèi)的一條定直線旋轉(zhuǎn)所形成的曲面叫作旋轉(zhuǎn)面；該定直線
叫做旋轉(zhuǎn)體的軸；封閉的旋轉(zhuǎn)面圍成的幾何體叫作旋轉(zhuǎn)體．
1．圓柱
①定義：以矩形的一邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，將矩形旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體叫做圓柱．
圓柱用軸字母表示，如下圖圓柱可表示為圓柱OO′．
②認(rèn)識圓柱
③圓柱的特征及性質(zhì)
圓柱與底面平行的截面是圓，與軸平行的截面是矩形．
④圓柱的體積和表面積公式
設(shè)圓柱底面的半徑為r，高為h：
2．圓錐
①定義：以直角三角形的一條直角邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體叫做圓錐．
圓錐用軸字母表示，如下圖圓錐可表示為圓錐SO．
②認(rèn)識圓錐
③圓錐的特征及性質(zhì)
與圓錐底面平行的截面是圓，過圓錐的頂點(diǎn)的截面是等腰三角形，兩個腰都是母線．
母線長l與底面半徑r和高h(yuǎn)的關(guān)系：l2＝h2+r2
④圓錐的體積和表面積公式
設(shè)圓錐的底面半徑為r，高為h，母線長為l：
3．圓臺
①定義：以直角梯形中垂直于底邊的腰所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)一周而成的曲面所圍成的幾何體叫做圓臺．
圓臺用軸字母表示，如下圖圓臺可表示為圓臺OO′．
②認(rèn)識圓臺
③圓臺的特征及性質(zhì)
平行于底面的截面是圓，軸截面是等腰梯形．
④圓臺的體積和表面積公式
設(shè)圓臺的上底面半徑為r，下底面半徑為R，高為h，母線長為l：
．
6．球的體積和表面積
【知識點(diǎn)的認(rèn)識】
1．球體：在空間中，到定點(diǎn)的距離等于或小于定長的點(diǎn)的集合稱為球體，簡稱球．其中到定點(diǎn)距離等于定長的點(diǎn)的集合為球面．
2．球體的體積公式
設(shè)球體的半徑為R，
V球體＝
3．球體的表面積公式
設(shè)球體的半徑為R，
S球體＝4πR2．
【命題方向】
考查球體的體積和表面積公式的運(yùn)用，常見結(jié)合其他空間幾何體進(jìn)行考查，以增加試題難度，根據(jù)題目所給條件得出球體半徑是解題關(guān)鍵．
7．球的表面積
【知識點(diǎn)的認(rèn)識】
球的表面積依賴于球的半徑r，計算公式為．
【解題方法點(diǎn)撥】
﹣計算公式：表面積計算公式為．
﹣實際應(yīng)用：如何根據(jù)實際問題中的球尺寸進(jìn)行表面積計算．
【命題方向】
﹣球的表面積計算：考查如何根據(jù)球的半徑計算表面積．
﹣實際應(yīng)用：如何在實際問題中應(yīng)用球的表面積計算．
8．平面的基本性質(zhì)及推論
【知識點(diǎn)的認(rèn)識】
平面的基本性質(zhì)及推論：
1．公理1：如果一條直線上的兩個點(diǎn)在一個平面內(nèi)，則這條直線上所有的點(diǎn)都在這個平面內(nèi)．
2．公理2：經(jīng)過不在同一直線上的三點(diǎn)，有且只有一個平面．
①推論1：經(jīng)過一條直線和這條直線外的一點(diǎn)，有且只有一個平面．
②推論2：經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面．
③推論3：經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面．
3．公理3：如果兩個平面有一個公共點(diǎn)，那么它們還有其他公共點(diǎn)，且這些公共點(diǎn)的集合是一條過這個公共點(diǎn)的直線．
【解題方法點(diǎn)撥】
1．公理1是判定直線在平面內(nèi)的依據(jù)．
2．公理2及推論是確定平面的依據(jù)．
3．公理3是判定兩個平面相交的依據(jù)．
9．異面直線及其所成的角
【知識點(diǎn)的認(rèn)識】
1、異面直線所成的角：
直線a，b是異面直線，經(jīng)過空間任意一點(diǎn)O，作直線a′，b′，并使a′∥a，b′∥b．我們把直線a′和b′所成的銳角（或直角）叫做異面直線a和b所成的角．異面直線所成的角的范圍：θ∈（0，]．當(dāng)θ＝90°時，稱兩條異面直線互相垂直．
2、求異面直線所成的角的方法：
求異面直線的夾角關(guān)鍵在于平移直線，常用相似比，中位線，梯形兩底，平行平面等手段來轉(zhuǎn)移直線．
3、求異面直線所成的角的方法常用到的知識：
10．空間中直線與直線之間的位置關(guān)系
【知識點(diǎn)的認(rèn)識】
空間兩條直線的位置關(guān)系：
11．空間中直線與平面之間的位置關(guān)系
【知識點(diǎn)的認(rèn)識】
空間中直線與平面之間的位置關(guān)系：
12．直線與平面平行
【知識點(diǎn)的認(rèn)識】
1、直線與平面平行的判定定理：
如果平面外一條直線和這個平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行．用符號表示為：若a?α，b?α，a∥b，則a∥α．
2、直線與平面平行的判定定理的實質(zhì)是：對于平面外的一條直線，只需在平面內(nèi)找到一條直線和這條直線平行，就可判定這條直線必和這個平面平行．即由線線平行得到線面平行．
1、直線和平面平行的性質(zhì)定理：
如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線和交線平行．
用符號表示為：若a∥α，a?β，α∩β＝b，則a∥b．
2、直線和平面平行的性質(zhì)定理的實質(zhì)是：
已知線面平行，過已知直線作一平面和已知平面相交，其交線必和已知直線平行．即由線面平行?線線平行．
由線面平行?線線平行，并不意味著平面內(nèi)的任意一條直線都與已知直線平行．
正確的結(jié)論是：a∥α，若b?α，則b與a的關(guān)系是：異面或平行．即平面α內(nèi)的直線分成兩大類，一類與a平行有無數(shù)條，另一類與a異面，也有無數(shù)條．
13．直線與平面垂直
【知識點(diǎn)的認(rèn)識】
直線與平面垂直：
如果一條直線l和一個平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，那么就說直線l和平面α互相垂直，記作l⊥α，其中l(wèi)叫做平面α的垂線，平面α叫做直線l的垂面．
直線與平面垂直的判定：
（1）定義法：對于直線l和平面α，l⊥α?l垂直于α內(nèi)的任一條直線．
（2）判定定理1：如果兩條平行直線中的一條垂直于一個平面，那么另一條也垂直于這個平面．
（3）判定定理2：如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個平面．
直線與平面垂直的性質(zhì)：
①定理：如果兩條直線同垂直于一個平面，那么這兩條直線平行．符號表示為：a⊥α，b⊥α?a∥b
②由定義可知：a⊥α，b?α?a⊥b．
14．平面與平面垂直
【知識點(diǎn)的認(rèn)識】
平面與平面垂直的判定：
判定定理：如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直．
平面與平面垂直的性質(zhì)：
性質(zhì)定理1：如果兩個平面垂直，則在一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面．
性質(zhì)定理2：如果兩個平面垂直，那么經(jīng)過第一個平面內(nèi)的一點(diǎn)垂直于第二個平面的直線在第一個平面內(nèi)．
性質(zhì)定理3：如果兩個相交平面都垂直于第三個平面，那么它們的交線垂直于第三個平面．
性質(zhì)定理4：三個兩兩垂直的平面的交線兩兩垂直．
15．直線與平面所成的角
【知識點(diǎn)的認(rèn)識】
1、直線和平面所成的角，應(yīng)分三種情況：
（1）直線與平面斜交時，直線和平面所成的角是指此直線和它在平面上的射影所成的銳角；
（2）直線和平面垂直時，直線和平面所成的角的大小為90°；
（3）直線和平面平行或在平面內(nèi)時，直線和平面所成的角的大小為0°．
顯然，斜線和平面所成角的范圍是（0，）；直線和平面所成的角的范圍為[0，]．
2、一條直線和一個平面斜交，它們所成的角的度量問題（空間問題）是通過斜線在平面內(nèi)的射影轉(zhuǎn)化為兩條相交直線的度量問題（平面問題）來解決的．具體的解題步驟與求異面直線所成的角類似，有如下的環(huán)節(jié)：
（1）作﹣﹣作出斜線與射影所成的角；
（2）證﹣﹣論證所作（或找到的）角就是要求的角；
（3）算﹣﹣常用解三角形的方法（通常是解由垂線段、斜線段、斜線段的射影所組成的直角三角形）求出角．
（4）答﹣﹣回答求解問題．
在求直線和平面所成的角時，垂線段是其中最重要的元素，它可起到聯(lián)系各線段的紐帶的作用．在直線與平面所成的角的定義中體現(xiàn)等價轉(zhuǎn)化和分類與整合的數(shù)學(xué)思想．
3、斜線和平面所成角的最小性：
斜線和平面所成的角是用兩條相交直線所成的銳角來定義的，其中一條直線就是斜線本身，另一條直線是斜線在平面上的射影．在平面內(nèi)經(jīng)過斜足的直線有無數(shù)條，它們和斜線都組成相交的兩條直線，為什么選中射影和斜線這兩條相交直線，用它們所成的銳角來定義斜線和平面所成的角呢？原因是斜線和平面內(nèi)經(jīng)過斜足的直線所成的一切角中，它是最小的角．對于已知的斜線來說這個角是唯一確定的，它的大小反映了斜線關(guān)于平面的“傾斜程度”．根據(jù)線面所成的角的定義，有結(jié)論：斜線和平面所成的角，是這條斜線和這個平面內(nèi)的直線所成的一切角中最小的角．
用空間向量直線與平面所成角的求法：
（1）傳統(tǒng)求法：可通過已知條件，在斜線上取一點(diǎn)作該平面的垂線，找出該斜線在平面內(nèi)的射影，通過解直角三角形求得．
（2）向量求法：設(shè)直線l的方向向量為，平面的法向量為，直線與平面所成的角為θ，與的夾角為φ，則有sinθ＝|cs φ|＝．
16．空間向量法求解直線與平面所成的角
【知識點(diǎn)的認(rèn)識】
直線與平面所成角的求法：
向量求法：設(shè)直線l的方向向量為，平面的法向量為，直線與平面所成的角為θ，與的夾角為φ，則有sinθ＝|cs φ|＝．
【解題方法點(diǎn)撥】
﹣點(diǎn)積和模：計算向量的數(shù)量積和模，求得角度的余弦值，然后使用反余弦函數(shù)計算角度．
【命題方向】
﹣向量法計算：考查如何使用空間向量法計算直線與平面之間的夾角．
17．點(diǎn)、線、面間的距離計算
【知識點(diǎn)的認(rèn)識】
聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2024/11/4 19:28:31；用戶：組卷36；郵箱：zyb036@xyh.cm；學(xué)號：41418999
位置關(guān)系
共面情況
公共點(diǎn)個數(shù)
圖示
相交直線
在同一平面內(nèi)
有且只有一個

平行直線
在同一平面內(nèi)
無

異面直線
不同時在任何一個平面內(nèi)
無

位置關(guān)系
公共點(diǎn)個數(shù)
符號表示
圖示
直線在平面內(nèi)
有無數(shù)個公共點(diǎn)
a?α

直線和平面相交
有且只有一個公共點(diǎn)
a∩α＝A

直線和平面平行
無
a∥α

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