1．（23-24高一上·四川達(dá)州·期中）已知集合，集合，則（ ）
A．B．
C．D．
2．（23-24高三下·江蘇泰州·階段練習(xí)）若復(fù)數(shù)z滿足，則的最小值為（ ）
A．B．C．1D．
3．（23-24高二上·山西運(yùn)城·期末）各項(xiàng)為正的等比數(shù)列中，，則的前4項(xiàng)和（ ）
A．40B．121C．27D．81
4．（2024·浙江臺(tái)州·一模）已知非零向量，，滿足，，若為在上的投影向量，則向量，夾角的余弦值為（ ）
A．B．C．D．
5．（2024·山東·模擬預(yù)測(cè)）已知，則（ ）
A．B．C．D．
6．（22-23高三上·江蘇宿遷·階段練習(xí)）深度學(xué)習(xí)是人工智能的一種具有代表性的實(shí)現(xiàn)方法，它是以神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)為出發(fā)點(diǎn)的，在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化中，指數(shù)衰減的學(xué)習(xí)率模型為，其中表示每一輪優(yōu)化時(shí)使用的學(xué)習(xí)率，表示初始學(xué)習(xí)率，表示衰減系數(shù)，表示訓(xùn)練迭代輪數(shù)，表示衰減速度.已知某個(gè)指數(shù)衰減的學(xué)習(xí)率模型的初始學(xué)習(xí)率為，衰減速度為18，且當(dāng)訓(xùn)練迭代輪數(shù)為18時(shí)，學(xué)習(xí)率衰減為，則學(xué)習(xí)率衰減到以下（不含）所需的訓(xùn)練迭代輪數(shù)至少為（ ）（參考數(shù)據(jù)：）
A．72B．74C．76D．78
7．（2024·河南·一模）甲?乙兩人進(jìn)行一場(chǎng)友誼比賽，賽前每人記入3分．一局比賽后，若決出勝負(fù)，則勝的一方得1分，負(fù)的一方得分；若平局，則雙方各得0分．若干局比賽后，當(dāng)一方累計(jì)得分為6時(shí)比賽結(jié)束且該方最終獲勝．令表示在甲的累計(jì)得分為i時(shí)，最終甲獲勝的概率，若在一局中甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，則（ ）
A．B．C．D．
8．（2024·山東棗莊·一模）已知為拋物線的焦點(diǎn)，的三個(gè)頂點(diǎn)都在上，為的中點(diǎn)，且，則的最大值為（ ）
A．4B．5C．D．
二、多選題(本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分)
9．（2024·廣東茂名·一模）在棱長(zhǎng)為2的正方體中，，分別為棱，的中點(diǎn)，則（ ）
A．直線與所成的角為60°
B．過(guò)空間中一點(diǎn)有且僅有兩條直線與所成的角都是60°
C．過(guò)，，三點(diǎn)的平面截該正方體，所得截面圖形的周長(zhǎng)為
D．過(guò)直線的平面截正方體，所得截面圖形可以是五邊形
10．（2024·廣西·二模）已知實(shí)數(shù)a，b，c滿足，且，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．B．
C．D．
11．（22-23高二下·吉林長(zhǎng)春·期末）定義：對(duì)于定義在區(qū)間I上的函數(shù)和正數(shù)，若存在正數(shù)M，使得不等式對(duì)任意恒成立，則稱函數(shù)在區(qū)間I上滿足階李普希茲條件，則下列說(shuō)法正確的有（ ）
A．函數(shù)在上滿足階李普希茲條件
B．若函數(shù)在上滿足一階李普希茲條件，則M的最小值為
C．若函數(shù)在上滿足的一階李普希茲條件，且方程在區(qū)間上有解，則是方程在區(qū)間上的唯一解
D．若函數(shù)在上滿足的一階李普希茲條件，且，則對(duì)任意函數(shù)，，恒有
三、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分，把答案填在題中的橫線上)
12．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)橢圓的焦點(diǎn)為，，P是橢圓上一點(diǎn)，且，若的外接圓和內(nèi)切圓的半徑分別為R，r，當(dāng)時(shí)，橢圓的離心率為 ．
13．（2024·河北石家莊·二模）已知函數(shù)在區(qū)間上的值域均為，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 ．
14．（2024·四川遂寧·模擬預(yù)測(cè)）在直四棱柱中，所有棱長(zhǎng)均為2，，為的中點(diǎn)，點(diǎn)在四邊形內(nèi)（包括邊界）運(yùn)動(dòng)，下列結(jié)論中正確的是 （填序號(hào)）
①當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，四面體的體積為定值
②若面，則的最小值為
③若的外心為M，則為定值2
④若，則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為
2025年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)小題提升練17
一、單選題(本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)
1．（23-24高一上·四川達(dá)州·期中）已知集合，集合，則（ ）
A．B．
C．D．
2．（23-24高三下·江蘇泰州·階段練習(xí)）若復(fù)數(shù)z滿足，則的最小值為（ ）
A．B．C．1D．
3．（23-24高二上·山西運(yùn)城·期末）各項(xiàng)為正的等比數(shù)列中，，則的前4項(xiàng)和（ ）
A．40B．121C．27D．81
4．（2024·浙江臺(tái)州·一模）已知非零向量，，滿足，，若為在上的投影向量，則向量，夾角的余弦值為（ ）
A．B．C．D．
5．（2024·山東·模擬預(yù)測(cè)）已知，則（ ）
A．B．C．D．
6．（22-23高三上·江蘇宿遷·階段練習(xí)）深度學(xué)習(xí)是人工智能的一種具有代表性的實(shí)現(xiàn)方法，它是以神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)為出發(fā)點(diǎn)的，在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化中，指數(shù)衰減的學(xué)習(xí)率模型為，其中表示每一輪優(yōu)化時(shí)使用的學(xué)習(xí)率，表示初始學(xué)習(xí)率，表示衰減系數(shù)，表示訓(xùn)練迭代輪數(shù)，表示衰減速度.已知某個(gè)指數(shù)衰減的學(xué)習(xí)率模型的初始學(xué)習(xí)率為，衰減速度為18，且當(dāng)訓(xùn)練迭代輪數(shù)為18時(shí)，學(xué)習(xí)率衰減為，則學(xué)習(xí)率衰減到以下（不含）所需的訓(xùn)練迭代輪數(shù)至少為（ ）（參考數(shù)據(jù)：）
A．72B．74C．76D．78
7．（2024·河南·一模）甲?乙兩人進(jìn)行一場(chǎng)友誼比賽，賽前每人記入3分．一局比賽后，若決出勝負(fù)，則勝的一方得1分，負(fù)的一方得分；若平局，則雙方各得0分．若干局比賽后，當(dāng)一方累計(jì)得分為6時(shí)比賽結(jié)束且該方最終獲勝．令表示在甲的累計(jì)得分為i時(shí)，最終甲獲勝的概率，若在一局中甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，則（ ）
A．B．C．D．
8．（2024·山東棗莊·一模）已知為拋物線的焦點(diǎn)，的三個(gè)頂點(diǎn)都在上，為的中點(diǎn)，且，則的最大值為（ ）
A．4B．5C．D．
二、多選題(本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分)
9．（2024·廣東茂名·一模）在棱長(zhǎng)為2的正方體中，，分別為棱，的中點(diǎn)，則（ ）
A．直線與所成的角為60°
B．過(guò)空間中一點(diǎn)有且僅有兩條直線與所成的角都是60°
C．過(guò)，，三點(diǎn)的平面截該正方體，所得截面圖形的周長(zhǎng)為
D．過(guò)直線的平面截正方體，所得截面圖形可以是五邊形
10．（2024·廣西·二模）已知實(shí)數(shù)a，b，c滿足，且，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．B．
C．D．
11．（22-23高二下·吉林長(zhǎng)春·期末）定義：對(duì)于定義在區(qū)間I上的函數(shù)和正數(shù)，若存在正數(shù)M，使得不等式對(duì)任意恒成立，則稱函數(shù)在區(qū)間I上滿足階李普希茲條件，則下列說(shuō)法正確的有（ ）
A．函數(shù)在上滿足階李普希茲條件
B．若函數(shù)在上滿足一階李普希茲條件，則M的最小值為
C．若函數(shù)在上滿足的一階李普希茲條件，且方程在區(qū)間上有解，則是方程在區(qū)間上的唯一解
D．若函數(shù)在上滿足的一階李普希茲條件，且，則對(duì)任意函數(shù)，，恒有
三、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分，把答案填在題中的橫線上)
12．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)橢圓的焦點(diǎn)為，，P是橢圓上一點(diǎn)，且，若的外接圓和內(nèi)切圓的半徑分別為R，r，當(dāng)時(shí)，橢圓的離心率為 ．
13．（2024·河北石家莊·二模）已知函數(shù)在區(qū)間上的值域均為，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 ．
14．（2024·四川遂寧·模擬預(yù)測(cè)）在直四棱柱中，所有棱長(zhǎng)均為2，，為的中點(diǎn)，點(diǎn)在四邊形內(nèi)（包括邊界）運(yùn)動(dòng)，下列結(jié)論中正確的是 （填序號(hào)）
①當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，四面體的體積為定值
②若面，則的最小值為
③若的外心為M，則為定值2
④若，則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為
參考答案：
1．B
【分析】先求得集合或，，結(jié)合交集與補(bǔ)集的運(yùn)算，即可求解.
【詳解】由集合或，
所以，可得.
故選：.
2．B
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)模的運(yùn)算公式，結(jié)合配方法進(jìn)行求解即可.
【詳解】令，為實(shí)數(shù)
由，
所以，
因此當(dāng)時(shí)，取最小值，
故選：B
3．A
【分析】先根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式求出，再根據(jù)前項(xiàng)和公式求值即可.
【詳解】設(shè)等比數(shù)列公比為,
故選：A.
4．B
【分析】根據(jù)題意，由平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，向量的投影向量的計(jì)算公式，結(jié)合其夾角公式代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.
【詳解】由，為在上的投影向量，
所以，故
故選：B
5．B
【分析】先利用兩角差的余弦公式處理?xiàng)l件，結(jié)合兩角差的正弦公式，可得，再利用二倍角公式可得，再結(jié)合誘導(dǎo)公式，可求.
【詳解】由，
所以，
所以.
故選：B
6．B
【分析】根據(jù)已知條件列方程，可得，再由，結(jié)合指對(duì)數(shù)關(guān)系和對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解即可．
【詳解】由于，所以，
依題意，則，
則，
由，
所以，即，
所以所需的訓(xùn)練迭代輪數(shù)至少為74次．
故選：B
7．C
【分析】根據(jù)題意結(jié)合全概率公式分析可得，進(jìn)而可知是公比為的等比數(shù)列，利用累加法結(jié)合等比數(shù)列求和公式分析求解.
【詳解】由題意可知：i的取值集合為，且，
在甲累計(jì)得分為1時(shí)，下局甲勝且最終甲獲勝的概率為，
在甲累計(jì)得分為1時(shí)，下局平局且最終甲獲勝的概率為，
在甲累計(jì)得分為1時(shí)，下局甲敗且最終甲獲勝的概率為，
根據(jù)全概率公式可得，
整理得，變形得，
因?yàn)?，則，
同理可得，
所以是公比為的等比數(shù)列，
所以，
各項(xiàng)求和得，
則，即，解得．
故選：C.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)題意利用全概率公式結(jié)合等比數(shù)列的定義可得是公比為的等比數(shù)列.
8．B
【分析】結(jié)合向量的線性運(yùn)算可得，結(jié)合焦半徑公式與即可得解.
【詳解】設(shè)Ax1,y1、Bx2,y2、，由可得F1,0，
由，為的中點(diǎn)，
則有，即，
即，故，
，
又，故，此時(shí)點(diǎn)在原點(diǎn).
故選：B.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵點(diǎn)在于借助向量的線性運(yùn)算，得到，從而可結(jié)合焦半徑公式得到.
9．ACD
【分析】根據(jù)線線角和截面的相關(guān)知識(shí)逐一判斷各個(gè)選項(xiàng)即可.
【詳解】對(duì)于A，如圖所示，連接，

因?yàn)椋謩e為棱，的中點(diǎn)，所以，
由可知，四邊形是平行四邊形，
所以，所以，
所以與所成的角即為與所成的角，即或其補(bǔ)角，
因?yàn)槭堑冗吶切危裕?br>所以與所成的角為60°，故A正確；
對(duì)于B，因?yàn)橹本€，所成角是90°，且兩條直線相交于，
所以過(guò)點(diǎn)與兩直線所成角為60°的直線有4條，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，易知平面為過(guò)，，三點(diǎn)的截面，該截面為梯形，

顯然，
所以截面圖形的周長(zhǎng)為，故C正確；
對(duì)于D，如圖所示，分別取，的靠近，的三等分點(diǎn)，，
連接，，，，易知，，

故點(diǎn)，，，，共面，該截面圖形為五邊形，故D正確.
故選：ACD
10．AD
【分析】根據(jù)不等式的基本性質(zhì)和已知條件可逐項(xiàng)分析得到答案.
【詳解】且，則，，
則，A正確；
因?yàn)?，，所以，B錯(cuò)誤；
因?yàn)?，，a?b?b?c=a+c?2b=?3b，
當(dāng)時(shí)，，則；當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，則，故C錯(cuò)誤；
因?yàn)閍?cb?c?94c2=a?c?a?2c?94c2=?a2?ac?14c2=?a+12c2≤0，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)由可得，不符合，
所以?a+12c2=0不成立，故?a+12c2

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