學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________
題型：8（單選）+4（多選）+4（填空）+2（解答題）
時間：90分鐘
一、單選題
1．（2020·四川成都·高三月考（理））某市抽調5位醫(yī)生分赴4所醫(yī)院支援抗疫，要求每位醫(yī)生只能去一所醫(yī)院，每所醫(yī)院至少安排一位醫(yī)生.由于工作需要，甲?乙兩位醫(yī)生必須安排在不同的醫(yī)院，則不同的安排種數(shù)是（ ）
A．90B．216C．144D．240
【答案】B
【分析】
先將5為醫(yī)生分為四組且甲、乙兩位醫(yī)生不在同一組，再將他們分配到四個醫(yī)院即可.
【詳解】
完成這件事情，可以分兩步完成，
第一步，先將5為醫(yī)生分為四組且甲、乙兩位醫(yī)生不在同一組，共有種方案；
第二步，再將這四組醫(yī)生分配到四所醫(yī)院，共有種不同方案，
所以根據(jù)分步乘法計數(shù)原理得共有種不同安排方案.
故選：B.
【點睛】
本題考查分組分配問題和分步乘法計數(shù)原理,考查邏輯推理能力,是中檔題.本題解題的關鍵在于根據(jù)分組分配的方法先將5為醫(yī)生分為四組且甲、乙兩位醫(yī)生不在同一組，再將四組醫(yī)生分別分配到醫(yī)院.
2．（2020·湖南郴州·高三月考）《易經(jīng)》是中國傳統(tǒng)文化中的精髓.下圖是易經(jīng)先天八卦圖（記憶口訣：乾三連、坤六斷、巽下斷、震仰盂、坎中滿、離中虛、艮覆碗、兌上缺），每一卦由三根線組成（“——”表示一根陽線，“— —”表示一根陰線），現(xiàn)從八卦中任取兩卦，已知每卦都含有陽線和陰線，則這兩卦的六根線中恰有四根陽線和兩根陰線的概率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
先從八卦中任取兩卦，求得兩卦的方法數(shù)，再求得兩卦的六根線中恰有四根陽線和兩根陰線，取法的方法數(shù)，結合古典摡型的概率計算公式，即可求解.
【詳解】
由題意，八卦分成了四類，A類是：3個卦含1陰2陽，B類是：3個卦含2陰1陽，C類是：1個卦含3陽，D類是：1個卦含3陰，
從八卦中任取兩卦，共有種不同的取法，
其中這兩卦的六根線中恰有四根陽線和兩根陰線，
則可從A類中選2卦，方法數(shù)為種，或從D類和B類中各選1卦：方法數(shù)為，
所以所求概率為.
故選：C.
3．（2020·云南高三期末（文））我國古代著名的數(shù)學著作中，《周髀算經(jīng)》、《九章算術》、《孫子算經(jīng)》、《五曹算經(jīng)》、《夏侯陽算經(jīng)》、《孫丘建算經(jīng)》、《海島算經(jīng)》、《五經(jīng)算術》、《綴術》和《緝古算經(jīng)》，稱為“算經(jīng)十書”.某校數(shù)學興趣小組為了解本校學生對《周髀算經(jīng)》、《九章算術》、《孫子算經(jīng)》閱讀的情況，隨機調查了100名學生，閱讀情況統(tǒng)計如下表，
則該100名學生中閱讀過《九章算術》的人數(shù)為（ ）
A．60B．70C．80D．90
【答案】C
【分析】
根據(jù)統(tǒng)計表分析可得結果.
【詳解】
根據(jù)統(tǒng)計表可知，只閱讀過《周髀算經(jīng)》沒閱讀過《九章算術》的人數(shù)為人，
所以只閱讀過《九章算術》沒閱讀過《周髀算經(jīng)》的人數(shù)為人，
所以閱讀過《九章算術》的人數(shù)為人.
故選：C
【點睛】
關鍵點點睛：理解并運用統(tǒng)計表給出的信息是解題關鍵.
4．（2020·內蒙古高三其他模擬（理））陜西省西安市周至縣的旅游景點樓觀臺，景區(qū)內有一處景點建筑，是按古典著作《連山易》中記載的金、木、水、火、土之間相生相克的關系，如圖所示，現(xiàn)從五種不同屬性的物質中任取兩種，則取出的兩種物質恰好是相生關系的概率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
從五種不同屬性的物質中任取兩種，基本事件總數(shù)，取出的兩種物質恰好是相生關系包含的基本事件個數(shù)，由此能求出取出的兩種物質恰好是相生關系的概率.
【詳解】
由金、木、水、火、土之間相生相克的關系可以看出，
現(xiàn)從五種不同屬性的物質中任取兩種，
基本事件總數(shù)，
取出的兩種物質恰好是相生關系包含的基本事件個數(shù)，
則取出的兩種物質恰好是相生關系的概率為.
故選：.
【點睛】
本題考查概率的求法，考查古典概型等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題.
5．（2020·廣東深圳·高三月考（理））算盤是中國傳統(tǒng)的計算工具，是中國古代一項偉大的發(fā)明，“珠算”一詞最早見于東漢徐岳所撰的《數(shù)術記遺》，其中有云；珠算控帶四時，經(jīng)緯三才，大意是：把木板刻為3部分，上?下兩部分是停游珠用的，中間一部分是作定位用的.下圖是一把算盤的初始狀態(tài)，自右向左，s分別是個位?十位?百位?……，上面一粒珠(簡稱上珠)代表5，下面一粒珠(簡稱下珠)是1，即五粒下珠的大小等于同組一粒上珠的大小，現(xiàn)從個位?十位和百位這三組中隨機撥動2粒珠(上珠只能往下?lián)芮颐课恢炼鄵?粒上珠，下珠只能往上撥)，則算盤表示的整數(shù)能夠被3整除的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
從個位，十位，百位和千位這四組中隨機撥動2粒珠，利用列舉法列出整數(shù)共有32個，其中能夠被3整除的整數(shù)有16個，進而根據(jù)古典概型的概率公式計算即可.
【詳解】
從個位，十位，百位和千位這四組中隨機撥動2粒珠，利用列舉法列出整數(shù)有：
11，15，51，55，101，105，501，505，110，150，510，550，1001，1005，3001，5005，1010，1050，5010，5050，1100，1500，5100，5500，2，20，200，2000，6，60，600，6000共32個，其中算盤表示的整數(shù)能夠被3整除有15，51，105，501，150，510，1005，5001，1050，5010，1500，5100，6，60，600，6000共16個，則算盤表示的整數(shù)能夠被3整除的概率是.
故選：B.
6．（2020·江蘇南通·高三期中）埃及金字塔之謎是人類史上最大的謎，它的神奇遠遠超過了人類的想象.在埃及金字塔內有一組神秘的數(shù)字142857，因為，…，所以這組數(shù)字又叫“走馬燈數(shù)”.該組數(shù)字還有如下發(fā)現(xiàn)：，…，若從這組神秘數(shù)字中任選3個數(shù)字構成一個三位數(shù)x，剩下的三個數(shù)字構成另一個三位數(shù)y，，將所有可能的三位數(shù)x按從小到大依次排序，則第12個三位數(shù)x為（ ）
A．214B．215C．248D．284
【答案】C
【分析】
觀察，將數(shù)字分成三組，每組取一個數(shù)字可構成符合條件的，由此分析求解即可.
【詳解】
∵1,4,7,2,8,5,這六個數(shù)中，1+8=9，2+7=9，4+5=9，共3組
要使六個數(shù)字中任意取出3個數(shù)字構成一個三位數(shù)，剩下的三個數(shù)字構成另一個三位數(shù)，且，
所以從小到大排列為：，
故第12個三位數(shù)x為248.
故選：C
【點睛】
關鍵點點睛：本題解題的關鍵在于將這6個數(shù)分為1+8=9，2+7=9，4+5=9，共3組，進而利用列舉法求解.
7．（2019·陜西高三三模（理））“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊.問水深、葭長各幾何？”其意思是：有一個正方形的池塘，池塘的邊長為一丈，有一顆蘆葦生長在池塘的正中央.露出水面一尺，若把它引向岸邊，正好與岸邊齊（如圖所示），問水有多深，蘆葦有多長？其中一丈為十尺.若從該蘆葦上隨機取一點，則該點取自水上的概率為
A．B．C．D．
【答案】B
【詳解】
設水深為尺，根據(jù)勾股定理可得，解得，可得水深尺，蘆葦長尺，根據(jù)幾何概型概率公式可得，從該蘆葦上隨機取一點，該點取自水上的概率為，故選B.
8．（2021年全國新高考Ⅰ卷數(shù)學試題）有6個相同的球，分別標有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中有放回的隨機取兩次，每次取1個球，甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”，則（ ）
A．甲與丙相互獨立B．甲與丁相互獨立
C．乙與丙相互獨立D．丙與丁相互獨立
【答案】B
【分析】
根據(jù)獨立事件概率關系逐一判斷
【詳解】
，
故選：B
【點睛】
判斷事件是否獨立，先計算對應概率，再判斷是否成立
二、多選題
9．（2021·湖南湘潭·高三月考（理））下圖是甲、乙兩個工廠的輪胎寬度的雷達圖（虛線代表甲，實線代表乙）.根據(jù)下圖中的信息，下面說法錯誤的是（ ）
A．甲廠輪胎寬度的平均數(shù)大于乙廠輪胎寬度的平均數(shù)
B．甲廠輪胎寬度的眾數(shù)大于乙廠輪胎寬度的眾數(shù)
C．甲廠輪胎寬度的中位數(shù)與乙廠輪胎寬度的中位數(shù)相同
D．甲廠輪胎寬度的極差小于乙廠輪胎寬度的極差
【答案】B
【分析】
通過雷達圖分別求出甲、乙輪胎寬度的平均數(shù)、眾數(shù)中位數(shù)和極差，對照選項選出錯誤的答案.
【詳解】
由題意可知甲廠輪胎寬度的平均數(shù)是195，眾數(shù)是194，中位數(shù)是194.5，極差是3；
乙廠輪胎寬度的平均數(shù)是194，眾數(shù)是195，中位數(shù)是194.5，極差是5；
則A，C，D正確，B錯誤.
故選：B.
【點睛】
本題考查用雷達圖計算平均數(shù)、眾數(shù)中位數(shù)和極差，需注意甲、乙數(shù)據(jù)不要搞混，考查理解辨析能力和運算求解能力，是基礎題.
10．（2020·遼寧高二期末）疫苗的研制需要經(jīng)過臨床試驗階段，抗體產(chǎn)生的初次應答和再次應答兩個階段都需經(jīng)過一定的潛伏期，潛伏期長短與抗原的性質有關.疫苗經(jīng)5~7天，類毒素在2~3周后，血液中才出現(xiàn)抗體，初次應答所產(chǎn)生的抗體量一般不多，持續(xù)時間也較短，從抗體出現(xiàn)的種類來看，（免疫球蛋白）出現(xiàn)最早，但消失也快，在血液中只維持數(shù)周至數(shù)月.（免疫球蛋白）出現(xiàn)稍遲于，當接近消失時，達高峰，它在血液中維持時間可達數(shù)年之久.當?shù)诙谓邮芟嗤乖瓡r，機體可出現(xiàn)再次反應，開始時抗體有所下降，這是因為原有抗體被再次進入的抗原結合所致.下圖是某種疫苗試驗得到的有關測試數(shù)據(jù)繪制出的圖形，則下列關于該圖形說法正確的是（ ）
A．初次抗原刺激階段，在10天內試驗個體對抗原刺激不夠靈敏，產(chǎn)生的濃度比較低
B．初次抗原刺激階段，峰值出現(xiàn)早于峰值
C．再次抗原刺激階段，總抗體量大概8天左右達到峰值，且潛伏期比初次抗原刺激階段要短
D．在試驗的兩個階段的峰值出現(xiàn)比出現(xiàn)最早，但消失也快
【答案】AC
【分析】
根據(jù)圖形所給的信息依次判斷選項即可.
【詳解】
根據(jù)試驗圖形，對于選項A，初次抗原刺激階段，潛伏期大概10天，
且在該時期內和的濃度比較低，因而選項A正確；
對于選項B，峰值出現(xiàn)晩于的峰值，且消失較早，因而選項B錯誤；
對于選項C，結合圖形，總抗體量出現(xiàn)在大概8天左右，
且潛伏期比初次抗原刺激階段大大縮短，因而選項C正確；
對于選項D，在試驗的兩個階段的峰值出現(xiàn)比出現(xiàn)晚，但消失也快，
因而選項D錯誤.
故選：AC
【點睛】
本題主要考查學生的識圖能力，能夠從圖中提取所需的信息，屬于簡單題.
11．（2020·廣東揭陽·高二期末）我國南宋數(shù)學家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》就給出了著名的楊輝三角，由此可見我國古代數(shù)學的成就是非常值得中華民族自豪的.以下關于楊輝三角的猜想中正確的有（ ）
A．由“與首末兩端‘等距離’的兩個二項式系數(shù)相等”猜想：
B．由“在相鄰的兩行中，除1以外的每一個數(shù)都等于它‘肩上’兩個數(shù)的和”猜想：
C．由“第行所有數(shù)之和為”猜想：
D．由“，，”猜想
【答案】ABC
【分析】
根據(jù)楊輝三角的性質結合二項式定理即可判斷.
【詳解】
由楊輝三角的性質以及二項式定理可知A、B、C正確；
，故D錯誤.
故選：ABC.
【點睛】
本題考查楊輝三角的性質和二項式定理，屬于基礎題.
12．（2020·廣東珠海·）已知隨機變量的取值為不大于的非負整數(shù)，它的概率分布列為
其中滿足，且．定義由生成的函數(shù)，為函數(shù)的導函數(shù)，為隨機變量的期望．現(xiàn)有一枚質地均勻的正四面體型骰子，四個面分別標有1，2，3，4個點數(shù)，這枚骰子連續(xù)拋擲兩次，向下點數(shù)之和為，此時由生成的函數(shù)為，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】CD
【分析】
先求出和，并判斷，則排除選項A，判斷選項C正確；
再求出的分布列和的解析式，最后求出，則排除選項B；判斷選項D正確.
【詳解】
解：因為，
則，
，
令時，，
故選項A錯誤，選項C正確；
連續(xù)拋擲兩次骰子，向下點數(shù)之和為，則的分布列為：
故選項B錯誤；選項D正確.
故選：CD.
【點睛】
本題考查導數(shù)的運算、由生成的函數(shù)求數(shù)學期望、求隨機變量生成的函數(shù)與函數(shù)值，是基礎題.
三、填空題
13．（2020·全國高二單元測試）臺風在危害人類的同時，也在保護人類．臺風給人類送來了淡水資源，大大緩解了全球水荒，另外還使世界各地冷熱保持相對均衡．甲、乙、丙三顆衛(wèi)星同時監(jiān)測臺風，在同一時刻，甲、乙、丙三顆衛(wèi)星準確預報臺風的概率分別為0.8，0.7，0.9，各衛(wèi)星間相互獨立，則在同一時刻至少有兩顆預報準確的概率是________．
【答案】0.902
【分析】
根據(jù)題意，設甲、乙、丙預報準確依次記為事件A，B，C，不準確分別記為，則至少兩顆預報準確的事件有AB，AC，BC，ABC，分別求出這四個事件的概率，求和即可得解.
【詳解】
設甲、乙、丙預報準確依次記為事件A，B，C，不準確分別記為，
則P(A)＝0.8，P(B)＝0.7，P(C)＝0.9，P()＝0.2，
P()＝0.3，P()＝0.1，
至少兩顆預報準確的事件有AB，AC，BC，ABC，這四個事件兩兩互斥且獨立．
所以至少兩顆預報準確的概率為
P＝P(A∩B∩)＋P(A∩∩C)＋P(∩B∩C)＋P(A∩B∩C)
＝0.8×0.7×0.1＋0.8×0.3×0.9＋0.2×0.7×0.9＋0.8×0.7×0.9
＝0.056＋0.216＋0.126＋0.504＝0.902.
故答案為：0.902.
14．（2020·安徽高二月考（理））明朝著名易學家來知德以其太極圖解釋一年、一日之象的圖式，一年氣象圖將二十四節(jié)氣配以太極圖，說明一年之氣象，來氏認為“萬古之人事，一年之氣象也，春作夏長秋收冬藏，一年不過如此”.上圖是來氏太極圖，其大圓半徑為4，大圓內部的同心小圓半徑為1，兩圓之間的圖案是對稱的，若在大圓內隨機取一點，則該點落在黑色區(qū)域的概率為______.
【答案】
【分析】
設大圓面積為，小圓面積，求得，，進而求得黑色區(qū)域的面積，結合面積比，即可求解.
【詳解】
設大圓面積為，小圓面積，則，，
可得黑色區(qū)域的面積為，
所以落在黑色區(qū)域的概率為.
故答案為：.
【點睛】
本題主要考查了幾何概型的概率的計算問題，解決此類問題的步驟：求出滿足條件A的基本事件對應的“幾何度量”，再求出總的基本事件對應的“幾何度量”，然后根據(jù)求解，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎題．
15．（2020·遼寧高二期末）江先生朝九晚五上班，上班通常乘坐公交加步行或乘坐地鐵加步行.江先生從家到公交站或地鐵站都要步行5分鐘.公交車多且路程近一些，但乘坐公交路上經(jīng)常擁堵，所需時間（單位：分鐘）服從正態(tài)分布，下車后從公交站步行到單位要12分鐘；乘坐地鐵暢通，但路線長且乘客多，所需時間（單位：分鐘）服從正態(tài)分布，下地鐵后從地鐵站步行到單位要5分鐘.下列說法：①若8：00出門，則乘坐公交不會遲到；②若8：02出門，則乘坐地鐵上班不遲到的可能性更大；③若8：06出門，則乘坐公交上班不遲到的可能性更大；④若8：12出門，則乘坐地鐵幾乎不可能上班不遲到.從統(tǒng)計的角度認為以上說法中所有合理的序號是__________．
參考數(shù)據(jù)：若，則，，.
【答案】③④
【分析】
利用正態(tài)分布對每一個說法求解其發(fā)生的概率，逐項分析，選出正確的選項.
【詳解】
解：①若8：00出門，江先生乘坐公交，
因為從家到車站要5分鐘，下車步行到公司要12分鐘，并且乘公交車所需時間服從正態(tài)分布，
故當滿足時，江先生仍舊有可能遲到，只不過發(fā)生的概率較小，故①錯誤；
②若8：02出門，江先生乘坐公交，
因為從家到車站要5分鐘，下車步行到公司要12分鐘，并且乘公交所需時間服從正態(tài)分布，
故當滿足時，江先生乘公交不會遲到；
若8：02出門，江先生乘坐地鐵，
因為從家到車站要5分鐘，下地鐵步行到公司要5分鐘，并且乘地鐵所需時間服從正態(tài)分布，
故當滿足時，江先生乘地鐵不會遲到；
此時兩種上班方式，江先生不遲到的概率相當，故②錯誤；
③若8：06出門，江先生乘坐公交上班；
因為從家到車站要5分鐘，下車步行到公司要12分鐘，并且乘公交所需時間服從正態(tài)分布，
故當滿足時，江先生乘地鐵不會遲到；
若8：06出門，江先生乘坐地鐵，
因為從家到車站要5分鐘，下地鐵步行到公司要5分鐘，并且乘地鐵所需時間服從正態(tài)分布，
故當滿足時，江先生乘地鐵不會遲到，
此時兩種上班方式，顯然江先生公交上班不遲到的可能性更大，故③正確；
④若8：12出門，江先生乘坐地鐵上班，
因為從家到車站要5分鐘，下地鐵步行到公司要5分鐘，并且乘地鐵所需時間服從正態(tài)分布，
故當滿足時，江先生乘地鐵不會遲到，
此時不遲到的可能性極小，故江先生乘坐地鐵幾乎不可能上班不遲到，故④正確；
綜上：③④正確.
【點睛】
本題考查了正態(tài)分布的實際應用，解題的關鍵是熟知正態(tài)曲線是關于對稱，在正態(tài)曲線下方和x軸上方范圍內的區(qū)域面積為1等正態(tài)密度曲線圖象的特征.
16．（2020·甘肅省會寧縣第二中學高二期中（理））四根繩子上共掛有10只氣球,繩子上的球數(shù)依次為1,2,3,4，每槍只能打破一只球,而且規(guī)定只有打破下面的球才能打上面的球,則將這些氣球都打破的不同打法數(shù)是________.
【答案】12600
【解析】
問題等價于編號為的10個小球排列，其中號，號，號的排列順序是固定的，據(jù)此可得：將這些氣球都打破的不同打法數(shù)是.
四、解答題
17．（2020·安徽安慶市·高三二模（理））某小區(qū)為了加強對“新型冠狀病毒”的防控，確保居民在小區(qū)封閉期間生活不受影響，小區(qū)超市采取有力措施保障居民正常生活物資供應.為做好甲類生活物資的供應，超市對社區(qū)居民戶每天對甲類生活物資的購買量進行了調查，得到了以下頻率分布直方圖.
（1）從小區(qū)超市某天購買甲類生活物資的居民戶中任意選取5戶.
①若將頻率視為概率，求至少有兩戶購買量在（單位：）的概率是多少？
②若抽取的5戶中購買量在（單位：）的戶數(shù)為2戶，從5戶中選出3戶進行生活情況調查，記3戶中需求量在（單位：）的戶數(shù)為，求的分布列和期望；
（2）將某戶某天購買甲類生活物資的量與平均購買量比較，當超出平均購買量不少于時，則稱該居民戶稱為“迫切需求戶”，若從小區(qū)隨機抽取10戶，且抽到k戶為“迫切需求戶”的可能性最大，試求k的值.
【答案】（1）①；②詳見解析；（2）.
【分析】
（1）事件“從小區(qū)超市購買甲類物資的居民戶中任意選取1戶，購買量在，”發(fā)生的概率為．
①記事件“從小區(qū)超市購買甲類物資的居民戶中任意選取5戶，則至少有兩戶購買量在，”為，利用獨立重復實驗的概率求解即可．
②隨機變量所有可能的取值為0，1，2．求出概率得到分布列，然后求解期望．
（2）每天對甲類物資的購買量平均值，求出從小區(qū)隨機抽取中隨機抽取一戶為“迫切需求戶”的概率為，判斷，通過若戶的可能性最大，列出不等式組，求解即可．
【詳解】
（1）由題意，事件“從小區(qū)超市購買甲類生活物資的居民戶中任意選取1戶，購買量在”發(fā)生的概率為.
①記事件“從小區(qū)超市購買甲類生活物資的居民戶中任意選取5戶，則至少有兩戶購買量在”為A，則.
②隨機變量所有可能的取值為0，1，2.則
，，，
所以
（2）每天對甲類生活物資的需求平均值為
（）
則購買甲類生活物資為“迫切需求戶”的購買量為，從小區(qū)隨機抽取中隨機抽取一戶為“迫切需求戶”的概率為，
若從小區(qū)隨機抽取10戶，且抽到X戶為“迫切需求戶”，，
若k戶的可能性最大，則，
，得，
解得，由于，故.
【點睛】
本題考查統(tǒng)計與概率的基礎知識和基本思想方法、二項分布的知識和應用、樣本估計總體的思想與方法、隨機事件概率的計算以及隨機變量期望的概率的計算與應用，考查學生應用所學的統(tǒng)計與概率知識分析問題、解決問題的能力.
18．（2021·沙坪壩區(qū)·重慶一中高三月考）隨著中美貿易戰(zhàn)的不斷升級，越來越多的國內科技巨頭加大了科技研發(fā)投入的力度．中華技術有限公司擬對“麒麟”手機芯片進行科技升級，根據(jù)市場調研與模擬，得到科技升級投入x（億元與科技升級直接收益y（億元）的數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下：
當時，建立了y與x的兩個回歸模型：模型①：；模型②：；當時，確定y與x滿足的線性回歸方程為．
（1）根據(jù)下列表格中的數(shù)據(jù)，比較當時模型①、②的相關指數(shù)的大小，并選擇擬合精度更高、更可靠的模型，預測對“麒麟”手機芯片科技升級的投入為17億元時的直接收益．
（附：刻畫回歸效果的相關指數(shù)，）
（2）為鼓勵科技創(chuàng)新，當科技升級的投入不少于20億元時，國家給予公司補貼5億元，以回歸方程為預測依據(jù)，比較科技升級投入17億元與20億元時公司實際收益的大?。?br>（附：用最小二乘法求線性回歸方程的系數(shù)：，）
（3）科技升級后，“麒麟”芯片的效率X大幅提高，經(jīng)實際試驗得X大致服從正態(tài)分布．公司對科技升級團隊的獎勵方案如下：若芯片的效率不超過50%，不予獎勵：若芯片的效率超過50%，但不超過53%，每部芯片獎勵2元；若芯片的效率超過53%，每部芯片獎勵4元記為每部芯片獲得的獎勵，求（精確到0.01）．
（附：若隨機變量，則，）
【答案】（1）見解析（2）技術升級投入20億元時，公司的實際收益更大．（3）2.27元
【分析】
（1）由表格中的數(shù)據(jù)，，所以，
轉化，利用相關指數(shù)的定義即得解；
（2）當時，由已知可得，可得，可得y與x滿足的線性回歸方程，代入計算即得結論；
（3）由，，所以，即得解.
【詳解】
解：（1）由表格中的數(shù)據(jù)，，所以，
所以．
可見模型①的相關指數(shù)小于模型②的相關指數(shù)．
所以回歸模型②的擬合效果更好．
所以當億元時，科技升級直接收益的預測值為
（億元）．
（2）當時，由已知可得．
．
所以．
所以當時，y與x滿足的線性回歸方程為．
當時，科技升級直接收益的預測值為億元．
當億元時，實際收益的預測值為億元億元，
所以技術升級投入20億元時，公司的實際收益更大．
（3）因為，，所以
；
．
所以（元）．
【點睛】
本題考查了線性回歸方程、回歸系數(shù)，正態(tài)分布等知識點，考查了學生綜合分析，轉化劃歸，數(shù)學運算能力，屬于中檔題.
書籍
《周髀算經(jīng)》
《九章算術》
《周髀算經(jīng)》且《九章算術》
《周髀算經(jīng)》或《九章算術》
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10
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x
2
3
4
6
8
10
13
21
22
23
24
25
y
13
22
31
42
50
56
58
68.5
68
67.5
66
66
回歸模型
模型①
模型②
回歸方程
182.4
79.2

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