主干知識(shí)達(dá)標(biāo)練
1.(15分)(2024安徽池州模擬)如圖,四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形,△EAB與△FAD是兩個(gè)全等的直角三角形,且FA=4,FC與AD交于點(diǎn)G,將Rt△EAB與Rt△FAD分別沿AB,AD翻折,使E,F重合于點(diǎn)P,連接PC,得到四棱錐P-ABCD.
(1)證明:BD⊥PC;
(2)若M為棱PC的中點(diǎn),求直線BM與平面PCG所成的角的正弦值.
(1)證明由題可知PA⊥AD,PA⊥AB,且AB⊥AD.
又AB∩AD=A,AB,AD?平面ABCD,所以PA⊥平面ABCD.
又BD?平面ABCD,所以PA⊥BD.連接AC,則AC⊥BD.
又PA∩AC=A,PA,AC?平面PAC,所以BD⊥平面PAC.
又PC?平面PAC,所以BD⊥PC.
(2)解以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB,AD,AP所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.
由題可得△PAG∽△CDG,所以AGGD=PACD=2.
又AD=2,所以AG=43,則B(2,0,0),C(2,2,0),G0,43,0,P(0,0,4),
所以GC=2,23,0,PC=(2,2,-4),BP=(-2,0,4).
又點(diǎn)M為PC的中點(diǎn),所以PM=12PC=(1,1,-2),所以BM=BP+PM=(-1,1,2).
設(shè)平面PCG的一個(gè)法向量為n=(x,y,z),則n·PC=0,n·GC=0,即2x+2y-4z=0,2x+23y=0.
令y=3,得x=-1,z=1,所以平面PCG的一個(gè)法向量為n=(-1,3,1).
設(shè)直線BM與平面PCG所成的角為θ,
則sin θ=|cs|=|n·BM||n||BM|=611×6=6611,所以直線BM與平面PCG所成的角的正弦值為6611.
2.(15分)如圖,棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱長(zhǎng)都等于2,且∠ABC=∠A1AC=60°,平面AA1C1C⊥平面ABCD.
(1)求平面DAA1與平面C1CAA1所成角的余弦值.
(2)在棱CC1所在直線上是否存在點(diǎn)P,使得BP∥平面DA1C1?若存在,求出點(diǎn)P的位置;若不存在,說(shuō)明理由.
解(1)如圖,取AC中點(diǎn)O,連接A1O,A1C,BD.
因?yàn)槔庵骼忾L(zhǎng)均為2,且∠ABC=60°,所以四邊形ABCD是菱形,△ABC是等邊三角形,所以BD過(guò)點(diǎn)O,AC=2,AC⊥BD.
又因?yàn)锳A1=2,∠A1AC=60°,所以△A1AC是等邊三角形,所以A1O⊥AC.又平面AA1C1C⊥平面ABCD,平面AA1C1C∩平面ABCD=AC,A1O?平面AA1C1C,所以A1O⊥平面ABCD.
又AC,BD?平面ABCD,所以A1O,AC,BD兩兩垂直.
以點(diǎn)O為原點(diǎn),分別以O(shè)B,OC,OA1所在直線為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則D(-3,0,0),A(0,-1,0),A1(0,0,3),所以DA=(3,-1,0),DA1=(3,0,3).
設(shè)平面DAA1的一個(gè)法向量為m=(x,y,z),
則m·DA=3x-y=0,m·DA1=3x+3z=0.
取x=1,則y=3,z=-1,所以平面DAA1的一個(gè)法向量為m=(1,3,-1).
易知平面C1CAA1的一個(gè)法向量為n=(1,0,0),則cs=m·n|m||n|=15=55,所以平面DAA1與平面C1CAA1所成的角的余弦值為55.
(2)存在.因?yàn)镃1(0,2,3),C(0,1,0),B(3,0,0),所以DC1=(3,2,3),CC1=(0,1,3),BC=(-3,1,0).
因?yàn)辄c(diǎn)P在CC1上,可設(shè)CP=λCC1=(0,λ,3λ),所以BP=BC+CP=(-3,1+λ,3λ).
設(shè)平面DA1C1的一個(gè)法向量為s=(a,b,c),
則s·DA1=3a+3c=0,s·DC1=3a+2b+3c=0.
取a=1,則b=0,c=-1,所以平面DA1C1的一個(gè)法向量為s=(1,0,-1).
因?yàn)锽P∥平面DA1C1,所以BP⊥s,所以s·BP=-3-3λ=0,所以λ=-1,
所以CP=-CC1,即點(diǎn)P在C1C的延長(zhǎng)線上,且CP=C1C.
3.(15分)(2024河北張家口模擬)如圖,在矩形ABCD中,AB=2,AD=2.將△ABD沿對(duì)角線BD折起,形成一個(gè)四面體A-BCD,此時(shí)AC=m.
(1)是否存在實(shí)數(shù)m,使得AB⊥CD,AD⊥BC同時(shí)成立?若存在,求出m的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
(2)求當(dāng)二面角A-CD-B的正弦值為多少時(shí),四面體A-BCD的體積最大?
解(1)不存在,理由如下:
假設(shè)存在實(shí)數(shù)m,使得AB⊥CD,AD⊥BC同時(shí)成立.
因?yàn)锳B⊥CD,AB⊥AD,AD∩CD=D,AD,CD?平面ACD,所以AB⊥平面ACD.
因?yàn)锽C⊥AD,BC⊥CD,AD∩CD=D,AD,CD?平面ACD,所以BC⊥平面ACD,所以AB∥BC,或AB與BC重合.
又AB∩BC=B,矛盾,所以不存在實(shí)數(shù)m,使得AB⊥CD,AD⊥BC同時(shí)成立.
(2)因?yàn)椤鰾CD的面積為定值,要使四面體A-BCD的體積最大,所以只需讓平面BCD上的高最大即可,易知此時(shí)平面ABD⊥平面BCD.
過(guò)點(diǎn)A作AO⊥BD于點(diǎn)O,連接OA.
因?yàn)锳O?平面ABD,平面ABD∩平面BCD=BD,所以AO⊥平面BCD.
以點(diǎn)O為原點(diǎn),以在平面BCD中過(guò)點(diǎn)O且垂直于BD的直線為x軸,分別以O(shè)D,OA所在直線為y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.
在Rt△ABD中,BD=AB2+AD2=6,所以AO=AB·ADBD=233,所以BO=AB2-AO2=63.過(guò)點(diǎn)C作CE⊥BD,交BD于點(diǎn)E,則CE=AO=233,DE=BO=63,OE=BD-BO-DE=63,則A0,0,233,C233,63,0,D0,263,0,所以CD=-233,63,0,AD=0,263,-233.
設(shè)平面ACD的一個(gè)法向量為n=(x,y,z),
則n·CD=-233x+63y=0,n·AD=263y-233z=0.
取x=1,得y=2,z=2,所以平面ACD的一個(gè)法向量為n=(1,2,2).
易知平面BCD的一個(gè)法向量為m=(0,0,1),所以cs=m·n|m||n|=27=277,所以二面角A-CD-B的正弦值為sin θ=1-(277) 2=217.
關(guān)鍵能力提升練
4.(15分)(2024湖南長(zhǎng)沙模擬)如圖,在直角梯形ABGH中,AB∥GH,AB⊥BG,AB=5,HG=1,∠BAH=60°,C,D分別為線段BG與AH的中點(diǎn),現(xiàn)將四邊形CDHG沿直線CD折成一個(gè)五面體AED-BFC.
(1)在線段BF上是否存在點(diǎn)M,使CM∥平面ADE?若存在,找出點(diǎn)M的位置;若不存在,說(shuō)明理由.
(2)若二面角F-DC-B的大小為60°,求平面ADE與平面DEFC的夾角的余弦值.
解(1)存在,M為BF的中點(diǎn),證明如下:
如圖,令M為BF的中點(diǎn),取AE中點(diǎn)N,連接MN,DN,則MN∥AB,MN=EF+AB2=3.
因?yàn)镃,D分別為BG,AH的中點(diǎn),所以CD∥AB,CD=GH+AB2=3,
所以CD∥MN,CD=MN,所以四邊形CMND為平行四邊形,所以CM∥DN.又CM?平面AED,DN?平面ADE,所以CM∥平面ADE.
(2)因?yàn)镕C⊥CD,BC⊥CD,FC∩BC=C,FC,BC?平面FCB,所以CD⊥平面FCB.又CD?平面ABCD,所以平面ABCD⊥平面FCB.
因?yàn)槠矫鍱FCD∩平面ABCD=CD,所以∠FCB為二面角F-DC-B的平面角,所以∠FCB=60°.又FC=CB,所以△FCB為等邊三角形.
在直角梯形ABGH中,AB∥GH,AB⊥BG,AB=5,HG=1,∠BAH=60°,可得BG=43,所以FC=BC=BF=23.過(guò)點(diǎn)F作FO⊥BC交BC于點(diǎn)O,則點(diǎn)O為BC的中點(diǎn).
取AD中點(diǎn)P,連接OP,OF.易知OP∥CD,所以O(shè)P⊥平面FCB.又FO,BC?平面FCB,所以O(shè)P,BC,FO兩兩垂直.
以點(diǎn)O為原點(diǎn),分別以O(shè)P,OB,OF所在直線為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則A(5,3,0),D(3,-3,0),E(1,0,3),C(0,-3,0),所以DE=(-2,3,3),DC=(-3,0,0),DA=(2,23,0).
設(shè)平面DEFC的一個(gè)法向量為m=(x1,y1,z1),則DE·m=-2x1+3y1+3z1=0,DC·m=-3x1=0.取y1=3,則x1=0,z1=-1,所以平面DEFC的一個(gè)法向量為m=(0,3,-1).
設(shè)平面ADE的一個(gè)法向量為n=(x2,y2,z2),
則DE·n=-2x2+3y2+3z2=0,DA·n=2x2+23y2=0.
取x2=3,則y2=-1,z2=3,所以平面ADE的一個(gè)法向量為n=(3,-1,3),則cs=m·n|m||n|=-232×7=-217,所以平面ADE與平面DEFC的夾角的余弦值為-217.
5.(15分)(2024山西運(yùn)城一模)如圖,在矩形紙片ABCD中,AB=4,BC=2,沿AC將△ADC折起,使點(diǎn)D到達(dá)點(diǎn)P的位置,點(diǎn)P在平面ABC上的射影H落在AB上.
(1)求AH的長(zhǎng)度;
(2)若M是PC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),是否存在點(diǎn)M,使得平面AMB與平面PBC的夾角的余弦值為34?若存在,求CM的長(zhǎng)度;若不存在,說(shuō)明理由.
解(1)如圖,作PE⊥AC,交AC于點(diǎn)E,連接EH.
因?yàn)辄c(diǎn)P在平面ABC上的射影H落在AB上,所以PH⊥平面ABC.
又AC?平面ABC,所以PH⊥AC.
又PH∩PE=P,PH,PE?平面PHE,所以AC⊥平面PHE.
又EH?平面PHE,所以AC⊥EH,
由題可知AP=2,PC=4,所以AC=25,所以PE=AP·PCAC=455,所以AE=AP2-PE2=255.易知△ABC∽△AEH,所以AEAH=ABAC,
所以AH=AE·ACAB=255×254=1.
(2)存在.因?yàn)镻H⊥平面ABC,AB,BC?平面ABC,所以PH,AB,BC兩兩垂直.
以點(diǎn)H為坐標(biāo)原點(diǎn),以過(guò)點(diǎn)H且平行于BC的直線為y軸,分別以HB,PH所在直線為x軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.
則A(-1,0,0),P(0,0,3),B(3,0,0),C(3,2,0),所以AB=(4,0,0),BC=(0,2,0),PC=(3,2,-3).
設(shè)PM=λPC=(3λ,2λ,-3λ),λ∈[0,1],則MB=PB-PM=(3-3λ,-2λ,3λ-3).
設(shè)平面AMB的一個(gè)法向量為m=(x1,y1,z1),所以AB·m=4x1=0,MB·m=(3-3λ)x1-2λy1+(3λ-3)z1=0.
令y1=3λ-3,則x1=0,z1=2λ,所以平面AMB的一個(gè)法向量為m=(0,3λ-3,2λ).
設(shè)平面PBC的一個(gè)法向量為n=(x2,y2,z2),
所以PC·n=3x2+2y2-3z2=0,BC·n=2y2=0.
取x2=1,則y2=0,z2=3,所以平面PBC的一個(gè)法向量為n=(1,0,3).
因?yàn)槠矫鍭MB與平面PBC的夾角的余弦值為34,所以cs=m·n|m||n|=23λ27λ2-6λ+3=-34,解得λ=13或λ=-1(舍去),所以PM=13PC,所以CM=23|PC|=83.
核心素養(yǎng)創(chuàng)新練
6.(15分)(2024陜西西安一模)如圖,在三棱錐P-ABC中,側(cè)面PAC是邊長(zhǎng)為1的正三角形,BC=2,AB=5,E,F分別為PC,PB的中點(diǎn),平面AEF與平面ABC的交線為l.
(1)證明:l∥平面PBC;
(2)若三棱錐P-ABC的體積為36,在直線l上是否存在點(diǎn)Q,使得直線PQ與平面AEF所成的角為α,異面直線PQ與EF所成的角為β,且滿足α+β=π2?若存在,求出線段AQ的長(zhǎng)度;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
(1)證明因?yàn)镋,F分別為PC,PB的中點(diǎn),所以EF∥BC.又BC?平面ABC,EF?平面ABC,所以EF∥平面ABC.又EF?平面AEF,平面AEF∩平面ABC=l,所以EF∥l,所以l∥BC.又BC?平面PBC,l?平面PBC,所以l∥平面PBC.
(2)解存在.
取AC的中點(diǎn)D,連接PD.因?yàn)椤鱌AC是邊長(zhǎng)為1的正三角形,所以AD=12,PD=PA2-AD2=32.
由題可得AC2+BC2=AB2,所以AC⊥BC,所以△ABC的面積為12AC·BC=12×1×2=1.
設(shè)點(diǎn)P到平面ABC的距離為h,
則13×h=36,所以h=32=PD.
所以PD⊥平面ABC.
取AB的中點(diǎn)M,連接DM,則DM∥BC,所以DM⊥AC.
又AC,DM?平面ABC,所以PD,AC,DM兩兩垂直.
以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以DA,DM,DP所在直線為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則A12,0,0,P0,0,32,E-14,0,34,F-14,1,34,所以AE=-34,0,34,EF=(0,1,0).
設(shè)Q12,t,0,則AQ=(0,t,0),PQ=12,t,-32.
設(shè)平面AEF的一個(gè)法向量為n=(x,y,z),則AE·n=-34x+34z=0,EF·n=y=0.
取z=3,則x=1,y=0,所以平面AEF的一個(gè)法向量為n=(1,0,3),
所以cs=n·PQ|n||PQ|=12-3221+t2=-121+t2,
所以sin α=|cs|=121+t2.
又cs=PQ·EF|PQ||EF|=t1+t2,
所以cs β=|cs|=|t|1+t2.
因?yàn)棣?β=π2,所以sin α=cs β,即121+t2=|t|1+t2,所以|t|=12.
當(dāng)t=12時(shí),AQ=0,12,0,所以AQ=|AQ|=12;
當(dāng)t=-12時(shí),AQ=0,-12,0,所以AQ=|AQ|=12.
綜上所述,這樣的點(diǎn)Q存在,且有AQ=12.

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