主干知識(shí)達(dá)標(biāo)練
1.(17分)(2024山東濟(jì)寧一模)袋中裝有大小相同的4個(gè)紅球,2個(gè)白球.某人進(jìn)行摸球游戲,游戲規(guī)則如下:①每次從袋中摸取一個(gè)小球,若摸到紅球則放回袋中,充分?jǐn)嚢韬笤龠M(jìn)行下一次摸取;②若摸到白球或摸球次數(shù)達(dá)到4次時(shí)本輪摸球游戲結(jié)束.
(1)求摸球游戲結(jié)束時(shí)摸球次數(shù)不超過3的概率;
(2)若摸出1次紅球計(jì)1分,摸出1次白球記2分,求游戲結(jié)束時(shí),此人總得分X的分布列和數(shù)學(xué)期望.
解(1)設(shè)Bi=“第i次摸球時(shí)摸到紅球”(i=1,2,3,4),則由題可知P(Bi)=C41C61=23,則P(Bi)=1-P(Bi)=1-23=13.
設(shè)A=“摸球游戲結(jié)束時(shí),摸球次數(shù)不超過3”,則A=B1∪B1B2∪B1B2B3,事件B1、事件B1B2與事件B1B2B3互斥,
由概率的加法公式及乘法公式,得P(A)=P(B1)+P(B1B2)+P(B1B2B3)=P(B1)+P(B1)·P(B2)+P(B1)P(B2)P(B3)=13+23×13+23×23×13=1927.因此,摸球游戲結(jié)束時(shí),摸球次數(shù)不超過3的概率為1927.
(2)由題可知,X的可能取值為2,3,4,5,則P(X=2)=P(B1)=13,P(X=3)=P(B1B2)=P(B1)P(B2)=23×13=29,P(X=4)=P(B1B2B3)+P(B1B2B3B4)=P(B1)P(B2)·P(B3)+P(B1)P(B2)P(B3)P(B4)=23×23×13+23×23×23×23=2881,P(X=5)=P(B1B2B3B4)=P(B1)P(B2)P(B3)P(B4)=23×23×23×13=881,
所以X的分布列為
所以E(X)=2×13+3×29+4×2881+5×881=26081.
2.(17分)(2024陜西西安一模)某市為提升中學(xué)生的環(huán)境保護(hù)意識(shí),舉辦了一次“環(huán)境保護(hù)知識(shí)競(jìng)賽”,分預(yù)賽和復(fù)賽兩個(gè)環(huán)節(jié),預(yù)賽成績(jī)排名前三百名的學(xué)生參加復(fù)賽.已知共有12 000名學(xué)生參加了預(yù)賽,現(xiàn)從參加預(yù)賽的全體學(xué)生中隨機(jī)地抽取100人的預(yù)賽成績(jī)作為樣本,得到如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)規(guī)定預(yù)賽成績(jī)不低于80分為優(yōu)良,若從上述樣本中預(yù)賽成績(jī)不低于60分的學(xué)生中隨機(jī)地抽取2人,用X表示其中預(yù)賽成績(jī)優(yōu)良的人數(shù),求至少有1人預(yù)賽成績(jī)優(yōu)良的概率,并求X的分布列及數(shù)學(xué)期望;
(2)由頻率分布直方圖可認(rèn)為該市參加預(yù)賽的學(xué)生的預(yù)賽成績(jī)Z服從正態(tài)分布N(μ,σ2),其中μ可近似為樣本中的100名學(xué)生預(yù)賽成績(jī)的平均值(同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替),且σ2=362,已知小明的預(yù)賽成績(jī)?yōu)?1分,利用該正態(tài)分布,估計(jì)小明是否有資格參加復(fù)賽?
附:若Z~N(μ,σ2),則P(μ-σ≤Z≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤Z≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ≤Z≤μ+3σ)≈0.997 3;362≈19.
解(1)根據(jù)頻率分布直方圖可得,抽取的100人中,成績(jī)位于區(qū)間[60,80)內(nèi)的有0.012 5×20×100=25(人),成績(jī)優(yōu)良(位于區(qū)間[80,100)內(nèi))的有0.007 5×20×100=15(人),則X服從超幾何分布,且N=40,M=15,n=2.
X的分布列為P(X=k)=C15kC252-kC402,k=0,1,2.
至少有1人預(yù)賽成績(jī)優(yōu)良的概率為P(X≥1)=P(X=1)+P(X=2)=C151C251C402+C152C250C402=813.
E(X)=nMN=2×1540=34.
(2)由頻率分布直方圖可知,樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)的估計(jì)值為(10×0.005+30×0.01+50×0.015+70×0.012 5+90×0.007 5)×20=53,所以μ=53.
又σ2=362,所以σ=362≈19,所以Z~N(53,192),所以P(Z>91)=P(Z>μ+2σ)=12[1-P(μ-2σ≤Z≤μ+2σ)]≈12×(1-0.954 5)=0.022 75,
故全市參加預(yù)賽的學(xué)生中,成績(jī)高于91分的約有12 000×0.022 75=273(人).
因?yàn)?73

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