專題20 任意角和弧度制及三角函數(shù)的概念-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義（知識梳理+真題自測+考點突破+分層檢測）（新高考專用）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

【知識梳理】2
【真題自測】3
【考點突破】4
【考點1】象限角及終邊相同的角4
【考點2】弧度制及其應(yīng)用6
【考點3】三角函數(shù)的定義及應(yīng)用8
【分層檢測】9
【基礎(chǔ)篇】9
【能力篇】12
【培優(yōu)篇】13
考試要求：
1.了解任意角的概念和弧度制的概念.
2.能進行弧度與角度的互化.
3.理解任意角三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義.
知識梳理
1.角的概念的推廣
(1)定義：角可以看成一條射線繞著它的端點旋轉(zhuǎn)所形成的圖形.
(2)分類eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(按旋轉(zhuǎn)方向不同分為正角、負角、零角.,按終邊位置不同分為象限角和軸線角.))
(3)終邊相同的角：所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可構(gòu)成一個集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}.
2.弧度制的定義和公式
(1)定義：長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角叫做1弧度的角，記作1 rad.
(2)公式
3.任意角的三角函數(shù)
(1)定義
(2)定義的推廣
設(shè)P(x，y)是角α終邊上異于原點的任一點，它到原點的距離為r(r>0)，那么sin α＝eq \f(y,r)；cs α＝eq \f(x,r)，tan α＝eq \f(y,x)(x≠0).
1.三角函數(shù)值在各象限的符號規(guī)律：一全正，二正弦，三正切，四余弦.
2.角度制與弧度制可利用180°＝π rad進行互化，在同一個式子中，采用的度量制必須一致，不可混用.
3.象限角
4.軸線角
真題自測
一、單選題
1．（2023·全國·高考真題）已知函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，直線和為函數(shù)的圖像的兩條相鄰對稱軸，則（）
A．B．C．D．
2．（2022·全國·高考真題）沈括的《夢溪筆談》是中國古代科技史上的杰作，其中收錄了計算圓弧長度的“會圓術(shù)”，如圖，是以O(shè)為圓心，OA為半徑的圓弧，C是AB的中點，D在上，．“會圓術(shù)”給出的弧長的近似值s的計算公式：．當(dāng)時，（）
A．B．C．D．
二、填空題
3．（2023·北京·高考真題）已知命題若為第一象限角，且，則．能說明p為假命題的一組的值為，．
4．（2023·全國·高考真題）已知函數(shù)，如圖A，B是直線與曲線的兩個交點，若，則．

5．（2023·全國·高考真題）若，則．
6．（2021·北京·高考真題）若點關(guān)于軸對稱點為，寫出的一個取值為．
考點突破
【考點1】象限角及終邊相同的角
一、單選題
1．（23-24高一下·河南·階段練習(xí)）如圖，終邊落在陰影部分（包括邊界）的角的集合是（）
A．B．
C．D．
2．（2022·全國·模擬預(yù)測）已知角第二象限角，且，則角是（）
A．第一象限角B．第二象限角
C．第三象限角D．第四象限角
二、多選題
3．（23-24高一上·吉林長春·期末）下列說法正確的是（）
A．“為第一象限角”是“為第一象限角或第三象限角”的充分不必要條件
B．“，”是“”的充要條件
C．設(shè)，，則“”是“”的充分不必要條件
D．“”是“”的必要不充分條件
4．（22-23高二下·吉林長春·期末）下列說法正確的是（）
A．軸截面為等腰直角三角形的圓錐，其側(cè)面展開圖的圓心角的弧度數(shù)為
B．若，則
C．已知為銳角，，角的終邊上有一點，則
D．在范圍內(nèi)，與角終邊相同的角是和
三、填空題
5．（2022·河南開封·三模）在平面直角坐標系xOy中，角α與角β均以O(shè)x為始邊，它們的終邊關(guān)于直線對稱.若，則 .
6．（2022·全國·模擬預(yù)測）已知的頂點為坐標原點，始邊與x軸非負半軸重合，終邊在第二象限，，則的值為．
反思提升：
(1)利用終邊相同的角的集合可以求適合某些條件的角，方法是先寫出與這個角的終邊相同的所有角的集合，然后通過集合中的參數(shù)k(k∈Z)賦值來求得所需的角.
(2)確定kα，eq \f(α,k)(k∈N*)的終邊位置的方法
先寫出kα或eq \f(α,k)的范圍，然后根據(jù)k的可能取值確定kα或eq \f(α,k)的終邊所在的位置.
【考點2】弧度制及其應(yīng)用
一、單選題
1．（2023·陜西安康·三模）羽毛球運動是一項全民喜愛的體育運動，標準的羽毛球由16根羽毛固定在球托上，測得每根羽毛在球托之外的長為，球托之外由羽毛圍成的部分可看成一個圓臺的側(cè)面，測得頂端所圍成圓的直徑是，底部所圍成圓的直徑是，據(jù)此可估算得球托之外羽毛所在曲面的展開圖的圓心角為（）
A．B．C．D．
2．（2024·全國·模擬預(yù)測）石雕、木雕、磚雕被稱為建筑三雕．源遠流長的磚雕，由東周瓦當(dāng)、漢代畫像磚等發(fā)展而來，明清時代進入巔峰，形成北京、天津、山西、徽州、廣東、臨夏以及蘇派磚雕七大主要流派．蘇派磚雕被稱為“南方之秀”，是南方地區(qū)磚雕藝術(shù)的典型代表，被廣泛運用到墻壁、門窗、檐廊、欄檻等建筑中．圖（1）是一個梅花磚雕，其正面是一個扇環(huán)，如圖（2），磚雕厚度為6cm，，，所對的圓心角為直角，則該梅花磚雕的表面積為（單位：）（）

A．B．C．D．
二、多選題
3．（2024·全國·模擬預(yù)測）如圖，設(shè)單位圓與軸的正半軸相交于點，以軸的非負半軸為始邊作銳角，，，它們的終邊分別與單位圓相交于點，，．若，則下列說法正確的是（）

A．當(dāng)時，的面積為
B．當(dāng)時，扇形的面積為
C．當(dāng)時，四邊形的面積為
D．四邊形面積的最大值為1
4．（23-24高三上·云南昆明·階段練習(xí)）質(zhì)點A，B在以坐標原點O為圓心，半徑為1的圓上同時出發(fā)做逆時針勻速圓周運動，點A的起點在射線（）與圓O的交點處，點A的角速度為，點B的起點在圓O與x軸正半軸的交點處，點B的角速度為，則下列說法正確的是（）
A．在末時，點B的坐標為
B．在末時，劣弧的長為
C．在末時，點A與點B重合
D．當(dāng)點A與點B重合時，點A的坐標可以為
三、填空題
5．（2023·上海普陀·一模）若圓上的一段圓弧長與該圓的內(nèi)接正六邊形的邊長相等，則這段圓弧所對的圓心角的大小為 .
6．（2024·上海黃浦·二模）如圖是某公園局部的平面示意圖，圖中的實線部分（它由線段與分別以為直徑的半圓弧組成）表示一條步道.其中的點是線段上的動點，點O為線段的中點，點在以為直徑的半圓弧上，且均為直角.若百米，則此步道的最大長度為百米.
反思提升：
應(yīng)用弧度制解決問題時應(yīng)注意：
(1)利用扇形的弧長和面積公式解題時，要注意角的單位必須是弧度.
(2)求扇形面積最大值的問題時，常轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題.
(3)在解決弧長問題和扇形面積問題時，要合理地利用圓心角所在的三角形.
【考點3】三角函數(shù)的定義及應(yīng)用
一、單選題
1．（2024·湖北·模擬預(yù)測）在直角坐標系中，繞原點將軸的正半軸逆時針旋轉(zhuǎn)角交單位圓于點、順時針旋轉(zhuǎn)角交單位圓于點，若點的縱坐標為，且的面積為，則點的縱坐標為（）
A．B．C．D．
2．（2024·新疆烏魯木齊·二模）已知角終邊上點坐標為，則（）
A．B．C．D．
二、多選題
3．（2024·廣東廣州·模擬預(yù)測）下列命題正確的是（）
A．“是第二象限角或第三象限角”，“”，則是的充分不必要條件
B．若為第一象限角，則
C．在中，若，則為銳角三角形
D．已知，且，則
4．（2024·河北保定·二模）一般地，任意給定一個角，它的終邊與單位圓的交點P的坐標，無論是橫坐標x還是縱坐標y，都是唯一確定的，所以點P的橫坐標x、縱坐標y都是角的函數(shù).下面給出這些函數(shù)的定義：
①把點P的縱坐標y叫作的正弦函數(shù)，記作，即；
②把點P的橫坐標x叫作的余弦函數(shù)，記作，即；
③把點P的縱坐標y的倒數(shù)叫作的余割，記作，即；
④把點P的橫坐標x的倒數(shù)叫作的正割，記作，即.
下列結(jié)論正確的有（）
A．
B．
C．函數(shù)的定義域為
D．
三、填空題
5．（2024·全國·模擬預(yù)測）在平面直角坐標系中，若角的頂點為原點，始邊為軸非負半軸，終邊經(jīng)過點，則 .
6．（2023·江西贛州·二模）已知為銳角，滿足，則．
反思提升：
1.三角函數(shù)定義的應(yīng)用
(1)直接利用三角函數(shù)的定義，找到給定角的終邊上一個點的坐標，及這點到原點的距離，確定這個角的三角函數(shù)值.
(2)已知角的某一個三角函數(shù)值，可以通過三角函數(shù)的定義列出含參數(shù)的方程，求參數(shù)的值.
2.要判定三角函數(shù)值的符號，關(guān)鍵是要搞清三角函數(shù)中的角是第幾象限角，再根據(jù)正、余弦函數(shù)值在各象限的符號確定值的符號.如果不能確定角所在象限，那就要進行分類討論求解.
分層檢測
【基礎(chǔ)篇】
一、單選題
1．（2023·安徽·模擬預(yù)測）已知角終邊上有一點，則為（）
A．第一象限角B．第二象限角
C．第三象限角D．第四象限角
2．（23-24高一上·山東菏澤·期末）集合，，，則集合中的元素個數(shù)為（）
A．B．C．D．
3．（2024·湖南·一模）出土于魯國故城遺址的“出廓雙龍勾玉紋黃玉璜”（圖1）的璜身滿刻勾云紋，體扁平，呈扇面狀，黃身外耬空雕飾“”型雙龍，造型精美．現(xiàn)要計算璜身面積（厚度忽略不計），測得各項數(shù)據(jù)（圖2）：，若，則璜身（即曲邊四邊形）面積近似為（）
A．B．C．D．
4．（2024·北京房山·一模）已知角的終邊經(jīng)過點，把角的終邊繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)得到角的終邊，則（）
A．B．C．D．
二、多選題
5．（2022·福建·三模）若滿足，，則可以是（）
A．B．C．D．
6．（23-24高一上·吉林延邊·期末）已知函數(shù)且的圖象經(jīng)過定點，且點在角的終邊上，則的值可能是（）
A．B．C．D．
7．（22-23高一下·浙江杭州·期末）如圖，質(zhì)點和在單位圓上逆時針作勻速圓周運動.若和同時出發(fā)，的角速度為，起點位置坐標為，B的角速度為，起點位置坐標為，則（）

A．在末，點的坐標為
B．在末，扇形的弧長為
C．在末，點在單位圓上第二次重合
D．面積的最大值為
三、填空題
8．（2021·四川瀘州·一模）在平面直角坐標系中，角與角均以為始邊，它們的終邊關(guān)于軸對稱．若，則．
9．（2023·上?！つM預(yù)測）在平面直角坐標系中，角以O(shè)x為始邊，且．把角α的終邊繞端點O逆時針方向旋轉(zhuǎn)弧度，這時終邊對應(yīng)的角是，則；
10．（2024·湖北·模擬預(yù)測）函數(shù)，設(shè)為的最小正周期，若，則 .
四、解答題
11．（2021·上海閔行·二模）某植物園中有一塊等腰三角形的花圃，腰長為20米，頂角為30°，現(xiàn)在花圃內(nèi)修一條步行道(步行道的寬度忽略不計)，將其分成面積相等的兩部分，分別種植玫瑰和百合.步行道用曲線表示(D?E兩點分別在腰?上，以下結(jié)果精確到0.01).
（1）如果曲線是以A為圓心的一段圓弧(如圖1)，求的長；
（2）如果曲線是直道(如圖2)，求的最小值，并求此時直道的長度.
12．（2023·貴州·模擬預(yù)測）如圖所示，角的終邊與單位圓交于點，將繞原點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)后與圓交于點.

(1)求；
(2)若的內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，，，，求.
【能力篇】
一、單選題
1．（23-24高三上·湖南長沙·階段練習(xí)）“且”是“為第三象限角”的（）
A．充要條件B．必要不充分條件C．充分不必要條件D．既不充分也不必要條件
二、多選題
2．（2024·安徽蕪湖·二模）在平面直角坐標系xOy中，角θ以坐標原點O為頂點，以x軸的非負半軸為始邊，其終邊經(jīng)過點，，定義，，則（）
A．B．
C．若，則D．是周期函數(shù)
三、填空題
3．（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·一模）用一個圓心角為，面積為的扇形（為圓心）用成一個圓錐（點恰好重合），該圓錐頂點為，底面圓的直徑為，則的值為．
四、解答題
4．（2022·上海虹口·二模）如圖，某公園擬劃出形如平行四邊形的區(qū)域進行綠化，在此綠化區(qū)域中，分別以和為圓心角的兩個扇形區(qū)域種植花卉，且這兩個扇形的圓弧均與相切.
(1)若，，（長度單位：米），求種植花卉區(qū)域的面積；
(2)若扇形的半徑為10米，圓心角為，則多大時，平行四邊形綠地占地面積最小？
【培優(yōu)篇】
一、單選題
1．（2023·全國·模擬預(yù)測）如圖所示，面積為的扇形OMN中，M，N分別在x，y軸上，點P在弧MN上（點P與點M，N不重合），分別在點P，N作扇形OMN所在圓的切線交于點Q，其中與x軸交于點R，則的最小值為（）
A．4B．C．D．2
二、多選題
2．（23-24高三上·山東威海·期末）質(zhì)點和同時出發(fā)，在以原點為圓心，半徑為的上逆時針作勻速圓周運動.的角速度大小為，起點為與軸正半軸的交點；的角速度大小為，起點為射線與的交點.則當(dāng)與重合時，的坐標可以為（）
A．B．C．D．
三、填空題
3．（2021·上?！つM預(yù)測）已知，對任意，總存在實數(shù)，使得，則的最小值是
角α的弧度數(shù)公式
|α|＝eq \f(l,r)(弧長用l表示)
角度與弧度的換算
1°＝eq \f(π,180) rad；1 rad＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(180,π)))°
弧長公式
弧長l＝|α|r
扇形面積公式
S＝eq \f(1,2)lr＝eq \f(1,2)|α|r2
前提
如圖，設(shè)α是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點P(x，y)
定義
正弦
y叫做α的正弦函數(shù)，記作sin α，即sin α＝y(tǒng)
余弦
x叫做α的余弦函數(shù)，記作cs α，即cs α＝x
正切
eq \f(y,x)叫做α的正切函數(shù)，記作tan α，即tan α＝eq \f(y,x)(x≠0)
三角函數(shù)
正弦、余弦、正切都是以角為自變量，以單位圓上的點的坐標或坐標的比值為函數(shù)值的函數(shù)，將它們統(tǒng)稱為三角函數(shù)

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