專題18 利用導數(shù)研究不等式恒(能)成立問題-2025年高考數(shù)學一輪復習講義（知識梳理+真題自測+考點突破+分層檢測）（新高考專用）-學案下載-教習網(wǎng)

【真題自測】2
【考點突破】2
【考點1】分離參數(shù)法求參數(shù)范圍2
【考點2】分類討論法求參數(shù)范圍4
【考點3】雙變量的恒(能)成立問題5
【分層檢測】6
【基礎篇】6
【能力篇】7
【培優(yōu)篇】8
真題自測
一、解答題
1．（2023·全國·高考真題）已知函數(shù)
(1)當時，討論的單調(diào)性；
(2)若恒成立，求a的取值范圍．
2．（2023·全國·高考真題）已知函數(shù)．
(1)討論的單調(diào)性；
(2)證明：當時，．
3．（2023·全國·高考真題）（1）證明：當時，；
（2）已知函數(shù)，若是的極大值點，求a的取值范圍．
4．（2022·全國·高考真題）已知函數(shù)．
(1)當時，討論的單調(diào)性；
(2)當時，，求a的取值范圍；
(3)設，證明：．
5．（2022·全國·高考真題）已知函數(shù)．
(1)若，求a的取值范圍；
(2)證明：若有兩個零點，則．
考點突破
【考點1】分離參數(shù)法求參數(shù)范圍
一、單選題
1．（2024·全國·模擬預測）已知函數(shù)在上存在單調(diào)遞減區(qū)間，則實數(shù)的取值范圍為（）
A．B．
C．D．
二、多選題
2．（23-24高三上·全國·階段練習）已知函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是（）
A．當時，曲線在處的切線方程為
B．在上的最大值與最小值之和為0
C．若在上為增函數(shù)，則a的取值范圍為
D．在上至多有3個零點
三、填空題
3．（2024·江西·模擬預測）已知關于的不等式在上恒成立，則實數(shù)的取值范圍是 .
四、解答題
4．（23-24高二下·江蘇·期中）設函數(shù)，．
(1)若曲線在點處的切線與直線垂直，求的值：（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）；
(2)在（1）的條件下求的單調(diào)區(qū)間和極小值：
(3)若在上存在增區(qū)間，求的取值范圍．
5．（23-24高二下·江蘇蘇州·階段練習）已知函數(shù)．
(1)若函數(shù)在處取到極值，求實數(shù)a的值；
(2)若,對于任意,當時，不等式恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．
6．（23-24高三下·四川巴中·階段練習）函數(shù)；
(1)當時，討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)在恒成立，求整數(shù)的最大值.
反思提升：
分離參數(shù)法解決恒(能)成立問題的策略
(1)分離變量.構(gòu)造函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.
(2)a≥f(x)恒成立?a≥f(x)max；
a≤f(x)恒成立?a≤f(x)min；
a≥f(x)能成立?a≥f(x)min；
a≤f(x)能成立?a≤f(x)max.
【考點2】分類討論法求參數(shù)范圍
一、單選題
1．（2024·全國·模擬預測）已知函數(shù)，若不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（）
A．B．
C．D．
二、多選題
2．（2024·江西·二模）若恒成立，則實數(shù)的取值可以是（）
A．0B．C．D．
三、填空題
3．（2024·上海虹口·二模）已知關于的不等式對任意均成立，則實數(shù)的取值范圍為 .
四、解答題
4．（2024·吉林長春·模擬預測）已知，函數(shù).
(1)當時，求的最小值；
(2)若時，恒成立，求的取值范圍.
5．（2024·陜西渭南·二模）已知函數(shù)，其中.
(1)討論的單調(diào)性；
(2)若恒成立，求.
6．（2024·浙江紹興·二模）已知函數(shù).
(1)當時，求曲線在點處的切線方程；
(2)當時，，求實數(shù)的取值范圍.
反思提升：
根據(jù)不等式恒成立求參數(shù)范圍的關鍵是將恒成立問題轉(zhuǎn)化為最值問題，此類問題關鍵是對參數(shù)分類討論，在參數(shù)的每一段上求函數(shù)的最值，并判斷是否滿足題意，若不滿足題意，只需找一個值或一段內(nèi)的函數(shù)值不滿足題意即可.
【考點3】雙變量的恒(能)成立問題
一、單選題
1．（2024·河南鄭州·三模）設，且，則（）
A．若，則B．若，則存在且不唯一
C．D．
二、多選題
2．（23-24高三下·重慶·階段練習）設函數(shù)，下面四個結(jié)論中正確的是（）
A．函數(shù)在上單調(diào)遞增
B．函數(shù)有且只有一個零點
C．函數(shù)的值域為
D．對任意兩個不相等的正實數(shù)，若，則
三、填空題
3．（2023·山西臨汾·模擬預測）已知，恒成立，則．
四、解答題
4．（2024·重慶·模擬預測）函數(shù)．
(1)討論的單調(diào)性；
(2)若函數(shù)有兩個極值點，曲線上兩點，連線斜率記為k，求證：；
(3)盒子中有編號為1~100的100個小球（除編號外無區(qū)別），有放回的隨機抽取20個小球，記抽取的20個小球編號各不相同的概率為p，求證：．
5．（2024·河南商丘·模擬預測）已知函數(shù)的定義域為，其導函數(shù)．
(1)求曲線在點處的切線的方程，并判斷是否經(jīng)過一個定點；
(2)若，滿足，且，求的取值范圍．
6．（2024·全國·模擬預測）已知函數(shù)，．
(1)若存在零點，求a的取值范圍；
(2)若，為的零點，且，證明：．
反思提升：
含參不等式能成立問題(有解問題)可轉(zhuǎn)化為恒成立問題解決，常見的轉(zhuǎn)化有：
(1)?x1∈M，?x2∈N，f(x1)>g(x2)?f(x)min>g(x)min.
(2)?x1∈M，?x2∈N，f(x1)>g(x2)?f(x)min>g(x)max.
(3)?x1∈M，?x2∈N，f(x1)>g(x2)?f(x)max>g(x)min.
(4)?x1∈M，?x2∈N，f(x1)>g(x2)?f(x)max>g(x)max.
分層檢測
【基礎篇】
一、單選題
1．（2024·陜西·模擬預測），有恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（）
A．B．C．D．
2．（23-24高二下·安徽蕪湖·期中）已知函數(shù)存在兩個零點，則實數(shù)t的取值范圍為（）
A．B．C．D．
3．（22-23高二上·山東菏澤·期末）已知函數(shù)與函數(shù)的圖像上恰有兩對關于軸對稱的點，則實數(shù)的取值范圍為（）
A．B．C．D．
4．（2024·云南昆明·模擬預測）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則a的最小值為（）
A．B．C．eD．
二、多選題
5．（23-24高三上·新疆伊犁·階段練習）下列說法正確的是（）
A．B．
C．D．
6．（22-23高二下·甘肅定西·階段練習）若函數(shù)有三個零點，則實數(shù)a的可能取值是（）
A．－10B．－9C．2D．3
7．（2023·全國·模擬預測）設函數(shù)，若恒成立，則滿足條件的正整數(shù)可以是（）
A．1B．2C．3D．4
三、填空題
8．（23-24高二下·天津濱海新·階段練習）已知函數(shù)，若關于的不等式在上恒成立，則實數(shù)的取值范圍是 .
9．（20-21高二下·河北石家莊·期末）已知函數(shù)，，如果對任意的，，都有成立，則實數(shù)a的取值范圍是．
10．（23-24高二上·陜西榆林·期末）已知函數(shù)是上的增函數(shù)，則的最小值為 .
四、解答題
11．（23-24高三上·河南·階段練習）已知函數(shù)．
(1)當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)若，不等式在上存在實數(shù)解，求實數(shù)的取值范圍．
12．（21-22高三上·安徽滁州·階段練習）已知函數(shù)，在處取得極小值．
(1)求函數(shù)的解析式；
(2)求函數(shù)的極值；
(3)設函數(shù)，若對于任意，總存在，使得，求實數(shù)a的取值范圍．
【能力篇】
一、單選題
1．（2024高三·全國·專題練習）函數(shù)對任意成立，則的最小值為（）
A．4B．3C．D．2
二、多選題
2．（23-24高二下·河南·階段練習）已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）
A．存在，使得的圖象與軸相切
B．存在，使得有極大值
C．若，則
D．若，則關于的方程有且僅有3個不等的實根
三、填空題
3．（2022高三上·河南·專題練習）已知，，若曲線上總存在不同的兩點，使曲線在兩點處的切線互相平行，則的取值范圍為．
四、解答題
4．（2024·全國·模擬預測）已知函數(shù)，，.
(1)若的最小值為0，求的值；
(2)當時，證明：方程在上有解.
【培優(yōu)篇】
一、解答題
1．（2024·上海楊浦·二模）函數(shù)、的定義域均為，若對任意兩個不同的實數(shù)，，均有或成立，則稱與為相關函數(shù)對.
(1)判斷函數(shù)與是否為相關函數(shù)對，并說明理由；
(2)已知與為相關函數(shù)對，求實數(shù)的取值范圍；
(3)已知函數(shù)與為相關函數(shù)對，且存在正實數(shù)，對任意實數(shù)，均有.求證：存在實數(shù)，使得對任意，均有.
2．（2024·河北保定·二模）已知函數(shù)為其導函數(shù)．
(1)若恒成立，求的取值范圍；
(2)若存在兩個不同的正數(shù)，使得，證明：．
3．（2023·河南·三模）已知函數(shù)，e為自然對數(shù)的底數(shù)．
(1)若此函數(shù)的圖象與直線交于點P，求該曲線在點P處的切線方程；
(2)判斷不等式的整數(shù)解的個數(shù)；
(3)當時，，求實數(shù)a的取值范圍．

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