專題19 利用導數(shù)研究函數(shù)的零點-2025年高考數(shù)學一輪復習講義（知識梳理+真題自測+考點突破+分層檢測）（新高考專用）-試卷下載-教習網(wǎng)

【真題自測】2
【考點突破】3
【考點1】判斷、證明或討論零點的個數(shù)3
【考點2】根據(jù)零點情況求參數(shù)范圍4
【考點3】與函數(shù)零點相關(guān)的綜合問題5
【分層檢測】7
【基礎(chǔ)篇】7
【能力篇】8
【培優(yōu)篇】9
真題自測
一、單選題
1．（2023·全國·高考真題）函數(shù)存在3個零點，則的取值范圍是（）
A．B．C．D．
二、解答題
2．（2023·全國·高考真題）（1）證明：當時，；
（2）已知函數(shù)，若是的極大值點，求a的取值范圍．
3．（2022·全國·高考真題）已知函數(shù)．
(1)當時，求的最大值；
(2)若恰有一個零點，求a的取值范圍．
4．（2022·全國·高考真題）已知函數(shù)．
(1)若，求a的取值范圍；
(2)證明：若有兩個零點，則．
5．（2022·全國·高考真題）已知函數(shù)
(1)當時，求曲線在點處的切線方程；
(2)若在區(qū)間各恰有一個零點，求a的取值范圍．
6．（2021·全國·高考真題）已知函數(shù)．
（1）討論的單調(diào)性；
（2）從下面兩個條件中選一個，證明：只有一個零點
①；
②．
考點突破
【考點1】判斷、證明或討論零點的個數(shù)
一、單選題
1．（2022·浙江寧波·模擬預測）已知函數(shù)，設(shè)關(guān)于的方程有個不同的實數(shù)解，則的所有可能的值為（）
A．3B．4C．2或3或4或5D．2或3或4或5或6
二、多選題
2．（2023·湖南·模擬預測）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（）
A．
B．在區(qū)間上單調(diào)遞增
C．將函數(shù)圖象上各點橫坐標變?yōu)樵瓉淼模v坐標不變），再將所得圖象向右平移個單位長度，可得函數(shù)的圖象
D．函數(shù)的零點個數(shù)為7
三、填空題
3．（2021·浙江·模擬預測）已知實數(shù)且，為定義在上的函數(shù)，則至多有個零點；若僅有個零點，則實數(shù)的取值范圍為．
四、解答題
4．（2024·四川成都·二模）已知函數(shù).
(1)判斷的零點個數(shù)并說明理由；
(2)當時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.
5．（2024·陜西寶雞·模擬預測）已知函數(shù).
(1)時，求的零點個數(shù)；
(2)若時，恒成立，求a的取值范圍.
6．（2022·全國·模擬預測）已知函數(shù)，.
(1)當時，求證：；
(2)求函數(shù)的零點個數(shù).
反思提升：
利用導數(shù)求函數(shù)的零點常用方法
(1)構(gòu)造函數(shù)g(x)，利用導數(shù)研究g(x)的性質(zhì)，結(jié)合g(x)的圖象，判斷函數(shù)零點的個數(shù).
(2)利用零點存在定理，先判斷函數(shù)在某區(qū)間有零點，再結(jié)合圖象與性質(zhì)確定函數(shù)有多少個零點.
【考點2】根據(jù)零點情況求參數(shù)范圍
一、單選題
1．（23-24高三上·黑龍江哈爾濱·階段練習）設(shè)函數(shù)若恰有5個不同零點，則正實數(shù)的范圍為（）
A．B．
C．D．
二、多選題
2．（2021·山東聊城·二模）用符號表示不超過的最大整數(shù)，例如：，.設(shè)有3個不同的零點，，，則（）
A．是的一個零點
B．
C．的取值范圍是
D．若，則的范圍是.
三、填空題
3．（2021·安徽安慶·三模）已知函數(shù)有三個零點，，，且，其中，為自然對數(shù)的底數(shù)，則的范圍為．
四、解答題
4．（2023·陜西寶雞·模擬預測）設(shè)函數(shù)
(1)若時函數(shù)有三個互不相同的零點，求m的范圍；
(2)若函數(shù)在內(nèi)沒有極值點，求a的范圍；
5．（23-24高三上·遼寧沈陽·開學考試）已知函數(shù).
(1)若，求函數(shù)在處的切線方程；
(2)若函數(shù)在區(qū)間上有且只有一個零點，求實數(shù)的范圍.
6．（2023·天津濱海新·模擬預測）已知函數(shù)，.
(1)若，求的單調(diào)區(qū)間.
(2)若，且在區(qū)間上恒成立，求a的范圍；
(3)若，判斷函數(shù)的零點的個數(shù).
反思提升：
1.函數(shù)零點個數(shù)可轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的交點個數(shù)，根據(jù)圖象的幾何直觀求解.
2.與函數(shù)零點有關(guān)的參數(shù)范圍問題，往往利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值點，并結(jié)合特殊點判斷函數(shù)的大致圖象，進而求出參數(shù)的取值范圍.也可分離出參數(shù)，轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象的交點情況.
【考點3】與函數(shù)零點相關(guān)的綜合問題
一、單選題
1．（2024·湖北·二模）已知函數(shù)（e為自然對數(shù)的底數(shù)）．則下列說法正確的是（）
A．函數(shù)的定義域為R
B．若函數(shù)在處的切線與坐標軸圍成的三角形的面積為，則
C．當時，可能有三個零點
D．當時，函數(shù)的極小值大于極大值
二、多選題
2．（2024·黑龍江哈爾濱·二模）已知函數(shù)，下列說法正確的有（）
A．當時，則在上單調(diào)遞增
B．當時，函數(shù)有唯一極值點
C．若函數(shù)只有兩個不等于1的零點，則必有
D．若函數(shù)有三個零點，則
三、填空題
3．（2024·安徽·模擬預測）對于函數(shù)，當該函數(shù)恰有兩個零點時，設(shè)兩個零點中最大值為，當該函數(shù)恰有四個零點時，設(shè)這四個零點中最大值為，求 .
四、解答題
4．（2024·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·二模）已知函數(shù)．
(1)當時，證明：有且僅有一個零點．
(2)當時，恒成立，求a的取值范圍．
(3)證明：．
5．（2024·江西景德鎮(zhèn)·三模）已知函數(shù)，.
(1)當時，求函數(shù)的極值；
(2)已知實數(shù).
①求證：函數(shù)有且僅有一個零點；
②設(shè)該零點為，若圖象上有且只有一對點，關(guān)于點成中心對稱，求實數(shù)的取值范圍.
6．（2024·全國·模擬預測）已知函數(shù)．
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)若函數(shù)的兩個極值點分別為，證明：；
(3)設(shè)，求證：當時，有且僅有2個不同的零點．
（參考數(shù)據(jù)：）
反思提升：
在求解函數(shù)問題時，很多時候都需要求函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的零點，但所述情形都難以求出其準確值，導致解題過程無法繼續(xù)進行時，可這樣嘗試求解：先證明函數(shù)f(x)在區(qū)間I上存在唯一的零點(例如，函數(shù)f(x)在區(qū)間I上是單調(diào)函數(shù)且在區(qū)間I的兩個端點的函數(shù)值異號時就可證明存在唯一的零點)，這時可設(shè)出其零點是x0.因為x0不易求出(當然，有時是可以求出但無需求出)，所以把零點x0叫做隱零點；若x0容易求出，就叫做顯零點，而后解答就可繼續(xù)進行，實際上，此解法類似于解析幾何中“設(shè)而不求”的方法.
分層檢測
【基礎(chǔ)篇】
一、單選題
1．（2024·云南昆明·一模）已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）
A．為增函數(shù)B．有兩個零點
C．的最大值為2eD．的圖象關(guān)于對稱
2．（2024·四川涼山·二模）若，，則函數(shù)的零點個數(shù)為（）
A．0B．1C．2D．3
3．（22-23高三下·江西·階段練習）若函數(shù)有零點，則的取值范圍是（）
A．B．C．D．
4．（2023·內(nèi)蒙古包頭·一模）已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）
A．有兩個零點B．點是曲線的對稱中心
C．有兩個極值點D．直線是曲線的切線
二、多選題
5．（2023·全國·模擬預測）已知函數(shù)，，下列正確的是（）
A．若函數(shù)有且只有1個零點，則
B．若函數(shù)有兩個零點，則
C．若函數(shù)有且只有1個零點，則，
D．若有兩個零點，則
6．（21-22高三上·湖北·期中）已知函數(shù)，下列結(jié)論成立的是（）
A．函數(shù)在定義域內(nèi)無極值
B．函數(shù)在點處的切線方程為
C．函數(shù)在定義域內(nèi)有且僅有一個零點
D．函數(shù)在定義域內(nèi)有兩個零點，，且
7．（2024·全國·模擬預測）已知函數(shù)，，則（）
A．若有極值點，則
B．當時，有一個零點
C．
D．當時，曲線上斜率為2的切線是直線
三、填空題
8．（2023·四川內(nèi)江·模擬預測）若函數(shù)有兩個零點，則的取值范圍為．
9．（2021·海南·二模）函數(shù)的零點個數(shù)為 .
10．（20-21高三上·吉林長春·期中）若函數(shù)有且只有一個零點，則實數(shù)的值為 .
四、解答題
11．（20-21高二下·重慶·期末）已知函數(shù)的圖象在處的切線與直線垂直.
（1）求的值；
（2）若函數(shù)在上無零點，求的取值范圍.
12．（2024·江蘇揚州·模擬預測）已知函數(shù)．
(1)若恒成立，求的取值范圍；
(2)若有兩個不同的零點，證明．
【能力篇】
一、單選題
1．（2024·全國·模擬預測）若函數(shù)有兩個零點，則實數(shù)的取值范圍是（）
A．B．C．D．
二、多選題
2．（2024·遼寧·三模）已知函數(shù)為實數(shù)，下列說法正確的是（）
A．當時，則與有相同的極值點和極值
B．存在，使與的零點同時為2個
C．當時，對恒成立
D．若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則的取值范圍為
三、填空題
3．（23-24高三下·四川雅安·開學考試）已知，分別是函數(shù)和的零點，且，，則．
四、解答題
4．（22-23高二上·山東濱州·期末）已知函數(shù).
(1)討論的單調(diào)性；
(2)若有兩個零點，求的取值范圍.
【培優(yōu)篇】
一、單選題
1．（2024·甘肅武威·模擬預測）已知函數(shù)有3個零點，則實數(shù)的取值范圍是（）
A．B．C．D．
二、多選題
2．（23-24高三上·湖北武漢·期末）已知函數(shù)，，，則（）
A．當時，函數(shù)有兩個零點
B．存在某個，使得函數(shù)與零點個數(shù)不相同
C．存在，使得與有相同的零點
D．若函數(shù)有兩個零點，有兩個零點，，一定有
三、填空題
3．（2024·廣東佛山·二模）若函數(shù)（）有2個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍是．

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