專題15 導(dǎo)數(shù)的概念及運算-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義（知識梳理+真題自測+考點突破+分層檢測）（新高考專用）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

【知識梳理】2
【真題自測】3
【考點突破】10
【考點1】導(dǎo)數(shù)的運算10
【考點2】導(dǎo)數(shù)的幾何意義14
【考點3】導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用20
【分層檢測】25
【基礎(chǔ)篇】25
【能力篇】31
【培優(yōu)篇】35
考試要求：
1.通過實例分析，了解平均變化率、瞬時變化率，了解導(dǎo)數(shù)概念的實際背景.
2.通過函數(shù)圖象，理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義.
3.了解利用導(dǎo)數(shù)定義求基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù).
4.能利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運算法則求簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù).5.能求簡單的復(fù)合函數(shù)(形如f(ax＋b))的導(dǎo)數(shù).
知識梳理
1.導(dǎo)數(shù)的概念
(1)如果當(dāng)Δx→0時，平均變化率eq \f(Δy,Δx)無限趨近于一個確定的值，即eq \f(Δy,Δx)有極限，則稱y＝f(x)在x＝x0處可導(dǎo)，并把這個確定的值叫做y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)(也稱瞬時變化率)，記作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝ eq^\(lim,\s\d4(Δx→0))＝eq^\(lim,\s\d4(Δx→0)).
(2)當(dāng)x＝x0時，f′(x0)是一個唯一確定的數(shù)，當(dāng)x變化時，y＝f′(x)就是x的函數(shù)，我們稱它為y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)(簡稱導(dǎo)數(shù))，記為f′(x)(或y′)，即f′(x)＝y(tǒng)′＝
eq^\(lim,\s\d4(Δx→0))eq \f(f（x＋Δx）－f（x）,Δx).
2.導(dǎo)數(shù)的幾何意義
函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義就是曲線y＝f(x)在點P(x0，f(x0))處的切線的斜率，相應(yīng)的切線方程為y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0).
3.基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式
4.導(dǎo)數(shù)的運算法則
若f′(x)，g′(x)存在，則有：
[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(f（x）,g（x）)))′＝eq \f(f′（x）g（x）－f（x）g′（x）,[g（x）]2)(g(x)≠0)；
[cf(x)]′＝cf′(x).
5.復(fù)合函數(shù)的定義及其導(dǎo)數(shù)
(1)一般地，對于兩個函數(shù)y＝f(u)和u＝g(x)，如果通過中間變量u，y可以表示成x的函數(shù)，那么稱這個函數(shù)為函數(shù)y＝f(u)與u＝g(x)的復(fù)合函數(shù)，記作y＝f(g(x)).
(2)復(fù)合函數(shù)y＝f(g(x))的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)y＝f(u)，u＝g(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為yx′＝y(tǒng)u′·ux′，即y對x的導(dǎo)數(shù)等于y對u的導(dǎo)數(shù)與u對x的導(dǎo)數(shù)的乘積.
1.f′(x0)代表函數(shù)f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)值；(f(x0))′是函數(shù)值f(x0)的導(dǎo)數(shù)，則(f(x0))′＝0.
2.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,f（x）)))′＝－eq \f(f′（x）,[f（x）]2)(f(x)≠0).
3.曲線的切線與曲線的公共點的個數(shù)不一定只有一個，而直線與二次曲線相切只有一個公共點.
4.函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)反映了函數(shù)f(x)的瞬時變化趨勢，其正負號反映了變化的方向，其大小|f′(x)|反映了變化的快慢，|f′(x)|越大，曲線在這點處的切線越“陡”.真題自測
一、單選題
1．（2023·全國·高考真題）曲線在點處的切線方程為（）
A．B．C．D．
2．（2022·全國·高考真題）當(dāng)時，函數(shù)取得最大值，則（）
A．B．C．D．1
3．（2021·全國·高考真題）若過點可以作曲線的兩條切線，則（）
A．B．
C．D．
二、多選題
4．（2022·全國·高考真題）已知函數(shù)，則（）
A．有兩個極值點B．有三個零點
C．點是曲線的對稱中心D．直線是曲線的切線
三、填空題
5．（2022·全國·高考真題）曲線過坐標原點的兩條切線的方程為，．
6．（2022·全國·高考真題）若曲線有兩條過坐標原點的切線，則a的取值范圍是．
7．（2021·全國·高考真題）曲線在點處的切線方程為．
8．（2021·全國·高考真題）已知函數(shù)，函數(shù)的圖象在點和點的兩條切線互相垂直，且分別交y軸于M，N兩點，則取值范圍是．
參考答案：
1．C
【分析】先由切點設(shè)切線方程，再求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，把切點的橫坐標代入導(dǎo)數(shù)得到切線的斜率，代入所設(shè)方程即可求解.
【詳解】設(shè)曲線在點處的切線方程為，
因為，
所以，
所以
所以
所以曲線在點處的切線方程為.
故選：C
2．B
【分析】根據(jù)題意可知，即可解得，再根據(jù)即可解出．
【詳解】因為函數(shù)定義域為，所以依題可知，，，而，所以，即，所以，因此函數(shù)在上遞增，在上遞減，時取最大值，滿足題意，即有．
故選：B.
3．D
【分析】解法一：根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義求得切線方程，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)圖象，結(jié)合圖形確定結(jié)果；
解法二：畫出曲線的圖象，根據(jù)直觀即可判定點在曲線下方和軸上方時才可以作出兩條切線.
【詳解】在曲線上任取一點，對函數(shù)求導(dǎo)得，
所以，曲線在點處的切線方程為，即，
由題意可知，點在直線上，可得，
令，則.
當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減，
所以，，
由題意可知，直線與曲線的圖象有兩個交點，則，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，作出函數(shù)的圖象如下圖所示：

由圖可知，當(dāng)時，直線與曲線的圖象有兩個交點.
故選：D.
解法二：畫出函數(shù)曲線的圖象如圖所示，根據(jù)直觀即可判定點在曲線下方和軸上方時才可以作出兩條切線.由此可知.

故選：D.
【點睛】解法一是嚴格的證明求解方法，其中的極限處理在中學(xué)知識范圍內(nèi)需要用到指數(shù)函數(shù)的增長特性進行估計，解法二是根據(jù)基于對指數(shù)函數(shù)的圖象的清晰的理解與認識的基礎(chǔ)上，直觀解決問題的有效方法.
4．AC
【分析】利用極值點的定義可判斷A，結(jié)合的單調(diào)性、極值可判斷B，利用平移可判斷C；利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義判斷D.
【詳解】由題，，令得或，
令得，
所以在，上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，所以是極值點，故A正確；
因，，，
所以，函數(shù)在上有一個零點，
當(dāng)時，，即函數(shù)在上無零點，
綜上所述，函數(shù)有一個零點，故B錯誤；
令，該函數(shù)的定義域為，，
則是奇函數(shù)，是的對稱中心，
將的圖象向上移動一個單位得到的圖象，
所以點是曲線的對稱中心，故C正確；
令，可得，又，
當(dāng)切點為時，切線方程為，當(dāng)切點為時，切線方程為，故D錯誤.
故選：AC.
5．
【分析】分和兩種情況，當(dāng)時設(shè)切點為，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可求出切線的斜率，從而表示出切線方程，再根據(jù)切線過坐標原點求出，即可求出切線方程，當(dāng)時同理可得；
【詳解】[方法一]：化為分段函數(shù)，分段求
分和兩種情況，當(dāng)時設(shè)切點為，求出函數(shù)導(dǎo)函數(shù)，即可求出切線的斜率，從而表示出切線方程，再根據(jù)切線過坐標原點求出，即可求出切線方程，當(dāng)時同理可得；
解：因為，
當(dāng)時，設(shè)切點為，由，所以，所以切線方程為，
又切線過坐標原點，所以，解得，所以切線方程為，即；
當(dāng)時，設(shè)切點為，由，所以，所以切線方程為，
又切線過坐標原點，所以，解得，所以切線方程為，即；故答案為：；
[方法二]：根據(jù)函數(shù)的對稱性，數(shù)形結(jié)合
當(dāng)時，設(shè)切點為，由，所以，所以切線方程為，
又切線過坐標原點，所以，解得，所以切線方程為，即；
因為是偶函數(shù)，圖象為：
所以當(dāng)時的切線，只需找到關(guān)于y軸的對稱直線即可.
[方法三]：
因為，
當(dāng)時，設(shè)切點為，由，所以，所以切線方程為，
又切線過坐標原點，所以，解得，所以切線方程為，即；
當(dāng)時，設(shè)切點為，由，所以，所以切線方程為，
又切線過坐標原點，所以，解得，所以切線方程為，即；
故答案為：；.
6．
【分析】設(shè)出切點橫坐標，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線方程，根據(jù)切線經(jīng)過原點得到關(guān)于的方程，根據(jù)此方程應(yīng)有兩個不同的實數(shù)根，求得的取值范圍.
【詳解】∵，∴，
設(shè)切點為,則,切線斜率,
切線方程為：,
∵切線過原點，∴,
整理得：,
∵切線有兩條，∴,解得或,
∴的取值范圍是,
故答案為：
7．
【分析】先驗證點在曲線上，再求導(dǎo)，代入切線方程公式即可．
【詳解】由題，當(dāng)時，，故點在曲線上．
求導(dǎo)得：，所以．
故切線方程為．
故答案為：．
8．
【分析】結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，結(jié)合直線方程及兩點間距離公式可得，，化簡即可得解.
【詳解】由題意，，則，
所以點和點，,
所以，
所以，
所以，
同理,
所以.
故答案為：
【點睛】關(guān)鍵點點睛：
解決本題的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義轉(zhuǎn)化條件，消去一個變量后，運算即可得解.
考點突破
【考點1】導(dǎo)數(shù)的運算
一、單選題
1．（2023·湖北·模擬預(yù)測）已知，，直線與曲線相切，則的最小值是（）
A．16B．12C．8D．4
2．（23-24高二上·江蘇鹽城·期末）若點是曲線上任意一點，則點到直線的最小距離為（）
A．1B．C．D．
二、多選題
3．（2024·湖南·二模）已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，記.若滿足的圖象關(guān)于直線對稱，且，則（）
A．是偶函數(shù)B．
C．D．
4．（2024·甘肅隴南·一模）已知函數(shù)有3個不同的零點,且，則（）
A．B．的解集為
C．是曲線的切線D．點是曲線的對稱中心
三、填空題
5．（23-24高三上·上海普陀·期末）函數(shù)，如果為奇函數(shù)，則的取值范圍為
6．（23-24高二下·河南·階段練習(xí)）已知函數(shù)，則 .
參考答案：
1．D
【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義結(jié)合已知方程求出的關(guān)系，再根據(jù)不等式中“1”的整體代換即可得出答案.
【詳解】對求導(dǎo)得，
由得，則，即，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時取等號．
故選：D．
2．D
【分析】求出平行于的直線與曲線相切的切點坐標，再利用點到直線的距離公式可得結(jié)論．
【詳解】設(shè)，函數(shù)的定義域為，求導(dǎo)得，
當(dāng)曲線在點處的切線平行于直線時，，
則，而，解得，于是，
平行于的直線與曲線相切的切點坐標為，
所以點到直線的最小距離即點到直線的距離．
故選：D
3．ABD
【分析】推導(dǎo)出函數(shù)的奇偶性，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)推導(dǎo)出為常值函數(shù)，結(jié)合函數(shù)奇偶性的定義可判斷A選項；推導(dǎo)出，令代值計算可判斷B選項；由、推導(dǎo)可判斷C選項；求出的值，結(jié)合函數(shù)的周期性可判斷D選項．
【詳解】對于A選項，因為函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，
則，
即，所以，函數(shù)為偶函數(shù)，故A正確；
對于選項，因為，令，可得，即，
對等式兩邊求導(dǎo)得，即，
故，所以，故B正確；
對于選項，因為，則，
令，則，所以，為常值函數(shù)，
設(shè)，其中為常數(shù)，
當(dāng)時，，故C錯誤；
對于D選項，因為，所以，.
，可得，
，
由，令，可得，則，
所以，
因為，則，故D正確.
故選：ABD.
【點睛】結(jié)論點睛：本題考查抽象函數(shù)的對稱性與周期性，一般可根據(jù)如下規(guī)則判斷：
（1）若對任意的實數(shù)，滿足，則函數(shù)的周期為；
（2）若對任意的實數(shù)，滿足，則函數(shù)關(guān)于直線對稱；
（3）若對任意的實數(shù)，滿足，則函數(shù)關(guān)于點對稱．
4．AC
【分析】利用三次函數(shù)的零點式，結(jié)合條件可求得，從而可判斷AB，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可判斷C，舉反例排除D.
【詳解】對于A，因為有3個不同的零點,
所以不妨設(shè)，
易知展開式中的常數(shù)項為，故，
又，所以，解得，
所以，解得，故A正確；
對于B，因為，
令，即，
利用數(shù)軸穿根法，解得或，故B錯誤；
對于C，易得，
當(dāng)切線斜率為時，令，解得或，
當(dāng)時，，
此時切線為，即，故C正確；
對于D，因為，又，
所以，所以點是曲線的對稱中心，故D錯誤.
故選：AC.
5．
【分析】
求出，結(jié)合函數(shù)奇偶性的定義判斷可得出結(jié)果.
【詳解】由可得，即函數(shù)的定義域為，
則，
又因為函數(shù)為奇函數(shù)，對任意的，
，
對任意的實數(shù)都滿足條件，故實數(shù)的取值范圍是.
故答案為：.
6．
【分析】左右兩側(cè)同時求導(dǎo)得到，求出原函數(shù)后再求即可.
【詳解】由題意知，令，
得，解得，
所以，
所以.
故答案為：
反思提升：
1.求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)要準確地把函數(shù)拆分成基本初等函數(shù)的和、差、積、商，再利用運算法則求導(dǎo).
2.抽象函數(shù)求導(dǎo)，恰當(dāng)賦值是關(guān)鍵，然后活用方程思想求解.
3.復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，應(yīng)由外到內(nèi)逐層求導(dǎo)，必要時要進行換元.
【考點2】導(dǎo)數(shù)的幾何意義
一、單選題
1．（2024·重慶·模擬預(yù)測）（）
A．72B．12C．8D．4
2．（2024·江蘇南通·二模）已知曲線與曲線在第一象限交于點，在處兩條曲線的切線傾斜角分別為，，則（）
A．B．
C．D．
二、多選題
3．（2024·河南洛陽·模擬預(yù)測）過點向拋物線作兩條切線，切點分別為為拋物線的焦點，則（）
A．B．
C．D．
4．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．若過原點可作函數(shù)的三條切線，則（）
A．恰有2個異號極值點B．若，則
C．恰有2個異號零點D．若，則
三、填空題
5．（2024·山東泰安·三模）已知函數(shù)若曲線與直線恰有2個公共點，則的取值范圍是 .
6．（2024·安徽·模擬預(yù)測）已知拋物線的焦點為F，過F的直線l與C交于A，B兩點．過A作C的切線m及平行于x軸的直線，過F作平行于m的直線交于M，過B作C的切線n及平行于x軸的直線，過F作平行于n的直線交于N．若，則點A的橫坐標為．
參考答案：
1．B
【分析】令，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的概念，可求解.
【詳解】令，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的概念，
，
，所以.
故選：B．
2．A
【分析】聯(lián)立曲線曲線與曲線方程求出切點，再由圓的切線與圓心和切點連線垂直，結(jié)合兩垂直直線斜率乘積等于可求出在處圓的切線斜率，從而得出；由導(dǎo)數(shù)知識里在某點處的切線方程求法可得出，進而根據(jù)兩角和與差的正切公式進行檢驗判斷即可.
【詳解】
因為曲線，即，
所以曲線是以為圓心，為半徑的圓，
且，即曲線過原點O，
聯(lián)立，得，
所以在處圓的切線斜率為，所以，
由，
所以曲線在A處的切線斜率為，
又，
所以，所以，從而，
即，故A正確，C錯誤，
注意到，，且，故B、D錯誤，
故選：A.
3．BC
【分析】設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出兩切線斜率，即可求出兩切線方程，然后根據(jù)韋達定理判斷AB，根據(jù)焦半徑公式化簡求解判斷CD.
【詳解】設(shè)點為點，拋物線的方程為，即，則,
設(shè)，則切線PA，PB的斜率分別為，
切線方程分別為，
將的坐標及代入，并整理得，
可得為方程的兩個實數(shù)根，
由韋達定理得，故A錯誤，B正確；
，故C正確；
，故D錯誤.
故選：BC
4．BD
【分析】利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)的符號可判斷AC，設(shè)切點，利用導(dǎo)數(shù)求出切線方程，代入原點方程有三解，轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值，由數(shù)形結(jié)合求解即可判斷BD.
【詳解】因為，所以在上單調(diào)遞增，故AC錯誤；
設(shè)過原點的函數(shù)的切線的切點為，則切線的斜率，
所以切線方程為，
即，
因為過原點，所以，
化簡得，即方程有3個不等實數(shù)根，
令，則，
當(dāng)時，或時，，時，，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以極大值，極小值為，如圖，
所以與相交有三個交點需滿足，故B正確；
同理，當(dāng)時，可知極大值，極小值為，如圖，

可得時，與相交有三個交點，故D正確.
故選：BD
5．
【分析】由導(dǎo)函數(shù)等求出函數(shù)單調(diào)性和切線方程，畫出的圖象，數(shù)形結(jié)合得到答案.
【詳解】當(dāng)時，，其在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，則；
當(dāng)時，，，其在上單調(diào)遞減，且.
作出的圖像，如圖，易知的取值范圍是.
故答案為：
6．3
【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求切線的斜率，并利用直線的交點求點的坐標，再根據(jù)方程，求點的坐標.
【詳解】設(shè),，不妨設(shè)點在第一象限，點在第四象限，

當(dāng)時，，所以點處切線的斜率為，
所以過點且與直線平行的直線為，當(dāng)時，得，即
當(dāng)時，，所以點處切線的斜率為，
所以過點且與直線平行的直線為，當(dāng)時，得，即，
所以，
所以，（*）
設(shè)直線，聯(lián)立，得，
得，，代入（*），得，
化簡為，解得：，或（舍）
所以點的橫坐標為3.
故答案為：3
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)求切線的斜率，以及利用韋達定理得到.
反思提升：
1.求曲線在點P(x0，y0)處的切線，則表明P點是切點，只需求出函數(shù)在P處的導(dǎo)數(shù)，然后利用點斜式寫出切線方程，若在該點P處的導(dǎo)數(shù)不存在，則切線垂直于x軸，切線方程為x＝x0.
2.求曲線的切線方程要分清“在點處”與“過點處”的切線方程的不同.過點處的切點坐標不知道，要設(shè)出切點坐標，根據(jù)斜率相等建立方程(組)求解，求出切點坐標是解題的關(guān)鍵.
【考點3】導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用
一、單選題
1．（2024·遼寧大連·一模）斜率為的直線與曲線和圓都相切，則實數(shù)的值為（）
A．或B．或C．或D．或
2．（2024·河北邢臺·二模）已知函數(shù)的圖像在，兩個不同點處的切線相互平行，則下面等式可能成立的是（）
A．B．C．D．
二、多選題
3．（2023·安徽蕪湖·模擬預(yù)測）牛頓在《流數(shù)法》一書中，給出了高次代數(shù)方程根的一種解法.具體步驟如下：設(shè)是函數(shù)的一個零點，任意選取作為的初始近似值，過點作曲線的切線，設(shè)與軸交點的橫坐標為，并稱為的1次近似值；過點作曲線的切線，設(shè)與軸交點的橫坐標為，稱為的2次近似值.一般地，過點（）作曲線的切線，記與軸交點的橫坐標為，并稱為的次近似值.對于方程，記方程的根為，取初始近似值為，下列說法正確的是（）
A．B．切線：
C．D．
4．（2024·江西·二模）設(shè)函數(shù)（）在處的切線與直線平行，則（）
A．
B．函數(shù)存在極大值，不存在極小值
C．當(dāng)時，
D．函數(shù)有三個零點
三、填空題
5．（2024·河南·二模）若兩個函數(shù)和存在過點的公切線，設(shè)切點坐標分別為，則 .
6．（2022·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，若曲線在處的切線與直線垂直，則實數(shù) ；若不等式有且僅有一個正整數(shù)解，則實數(shù)a的取值范圍是 .
參考答案：
1．A
【分析】設(shè)直線的方程為，先根據(jù)直線和圓相切算出，在根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義算.
【詳解】依題意得，設(shè)直線的方程為，
由直線和圓相切可得，，解得，
當(dāng)時，和相切，
設(shè)切點為，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，，
又切點同時在直線和曲線上，即，解得，
即和相切，此時將直線和曲線同時向右平移兩個單位，
和仍會保持相切狀態(tài)，即時，，
綜上所述，或.
故選：A
2．B
【分析】函數(shù)在兩點處的切線平行，轉(zhuǎn)化為函數(shù)在兩點處的導(dǎo)數(shù)相等，得到的關(guān)系，在結(jié)合不等式求的取值范圍即可.
【詳解】因為，.
所以，.
由因為在，兩個不同點處的切線相互平行，
所以，又，所以，故CD錯誤；
因為且，所以，故A不成立；
當(dāng)時，.故B成立.
故選：B
3．ABD
【分析】由函數(shù)零點的存在性定理和，得到，可判定A正確；求得，設(shè)切點，求得切線方程，令，求得，可判定D正確；當(dāng)時，求得，得出切線方程，可判定B正確；計算求得的值，可得判定C錯誤.
【詳解】由，可得，即，
根據(jù)函數(shù)零點的存在性定理，可得，所以A正確；
又由，設(shè)切點，則切線的斜率為，
所以切線方程為，
令，可得，所以D正確；
當(dāng)時，可得，則，
所以的方程為，即，所以B正確；
由，可得，，此時，
所以C錯誤；
故選：ABD
4．AC
【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可判定A，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值可判定B，構(gòu)造差函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性與最值即可判定C，作出的圖象結(jié)合條件可判定D.
【詳解】對于A，，故，解得，故A正確；
對于B．因為，，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，不存在極值，故B錯誤；
對于C，令（），
則，由，故，
故在上單調(diào)遞減，所以.
即當(dāng)時，，故C正確；
對于D，因為，當(dāng)時，；當(dāng)時，，
又，在同一坐標系中作出與的圖象，
如圖所示，所以函數(shù)有且只有1個零點，故D錯誤.
故選：AC．
5．9
【分析】分別求出兩個函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的幾何意義求出斜率，由求出切點坐標得，利用斜率相等得，代入原式即得
【詳解】，設(shè)切點坐標為，切線斜率為，
切線方程為，將代入得，
即.
，設(shè)切點坐標為，切線斜率為，
切線方程為，將代入得，
即，
又因為，可得，即，
，
所以.
故答案為：9
6． 1
【分析】根據(jù)在處的導(dǎo)數(shù)與已知直線的斜率之積等于-1可得；將不等式轉(zhuǎn)化為，令，，考察的最值點，結(jié)合題意可解.
【詳解】依題意，，所以.因為曲線在處的切線與直線垂直，所以，解得；若不等式，即，可化為.令，，且函數(shù)的圖象恒過定點.因為函數(shù)，，所以當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，.又，設(shè)點，，若滿足不等式有且僅有一個正整數(shù)解，則必有.又因為，，所以，即實數(shù)a的取值范圍是.
故答案為：1，
反思提升：
1.處理與切線有關(guān)的參數(shù)問題，通常利用曲線、切線、切點的三個關(guān)系列出參數(shù)的方程(組)并解出參數(shù)：(1)切點處的導(dǎo)數(shù)是切線的斜率；(2)切點在切線上，故滿足切線方程；(3)切點在曲線上，故滿足曲線方程.
2.利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求參數(shù)問題時，注意利用數(shù)形結(jié)合，化歸與轉(zhuǎn)化的思想方法.
分層檢測
【基礎(chǔ)篇】
一、單選題
1．（23-24高三下·江西撫州·階段練習(xí)）如圖1，現(xiàn)有一個底面直徑為高為的圓錐容器，以的速度向該容器內(nèi)注入溶液，隨著時間（單位：）的增加，圓錐容器內(nèi)的液體高度也跟著增加，如圖2所示，忽略容器的厚度，則當(dāng)時，圓錐容器內(nèi)的液體高度的瞬時變化率為（）
A．B．C．D．
2．（2024·黑龍江·二模）函數(shù)在處的切線方程為（）
A．B．
C．D．
3．（2024·山東·二模）已知為定義在上的奇函數(shù)，設(shè)為的導(dǎo)函數(shù)，若，則（）
A．1B．C．2D．2023
4．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)為奇函數(shù)，則（）
A．0B．C．1D．2
二、多選題
5．（23-24高三上·浙江紹興·期末）已知函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）
A．B．
C．D．
6．（22-23高二下·江蘇蘇州·階段練習(xí)）為了評估某治療新冠肺炎藥物的療效，現(xiàn)有關(guān)部門對該藥物在人體血管中的藥物濃度進行測量．已知該藥物在人體血管中藥物濃度隨時間的變化而變化，甲、乙兩人服用該藥物后，血管中藥物濃度隨時間變化的關(guān)系如圖所示．則下列結(jié)論正確的是（）

A．在時刻，甲、乙兩人血管中的藥物濃度相同
B．在時刻，甲、乙兩人血管中藥物濃度的瞬時變化率相同
C．在這個時間段內(nèi)，甲、乙兩人血管中藥物濃度的平均變化率相同
D．在和兩個時間段內(nèi)，甲血管中藥物濃度的平均變化率相同
7．（2023·廣東·二模）已知函數(shù)的圖象在點處的切線為，則（）
A．的斜率的最小值為B．的斜率的最小值為
C．的方程為D．的方程為
三、填空題
8．（2024·上海靜安·二模）已知物體的位移（單位：m）與時間（單位：s）滿足函數(shù)關(guān)系，則在時間段內(nèi)，物體的瞬時速度為的時刻（單位：s）．
9．（2024·廣西賀州·一模）已知直線與曲線的某條切線平行，則該切線方程為
10．（2024·山西呂梁·二模）若曲線在點處的切線過原點，則 .
四、解答題
11．（2024·江蘇南京·二模）已知函數(shù)，其中．
(1)當(dāng)時，求曲線在處的切線方程；
(2)當(dāng)時，若在區(qū)間上的最小值為，求a的值．
12．（2024·四川成都·一模）設(shè)函數(shù)，
(1)求、的值；
(2)求在上的最值．
參考答案：
1．C
【分析】先根據(jù)圓錐的體積公式列出等式得出；再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運算得出；最后令即可求解.
【詳解】設(shè)注入溶液的時間為（單位：）時，溶液的高為，
則，得.
因為，
所以當(dāng)時，，
即圓錐容器內(nèi)的液體高度的瞬時變化率為.
故選：C
2．D
【分析】當(dāng)時，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，再由點斜式求出切線方程.
【詳解】因為，則，
當(dāng)時，則，所以，
所以切點為，切線的斜率為，
所以切線方程為，即.
故選：D
3．C
【分析】根據(jù)進行奇偶性和周期性的推導(dǎo)，得到是周期為4的偶函數(shù)，從而算出的值.
【詳解】因為，所以兩邊求導(dǎo)，得，
即①
因為為定義在上的奇函數(shù)，則，
所以兩邊求導(dǎo)，得，所以是定義在上的偶函數(shù)，
所以，結(jié)合①式可得，，
所以，兩式相減得，，
所以是周期為4的偶函數(shù)，
所以.
由①式，令，得，所以.
故選：C.
4．A
【分析】由奇函數(shù)性質(zhì)可知，函數(shù)的定義域關(guān)于軸對稱，求得，進而通過導(dǎo)數(shù)公式計算可得結(jié)果.
【詳解】易知的定義域為．
因為函數(shù)為奇函數(shù)，所以，顯然是奇函數(shù)，滿足題意，
所以，故，
故選:A．
5．ABD
【分析】根據(jù)已知函數(shù)，求出導(dǎo)函數(shù)，依次代入驗證各選項的正確性即可.
【詳解】由已知得
，故A正確：
，故B正確；
，而，所以不成立，故C錯誤；
，故D正確：
故選：ABD
6．AC
【分析】利用圖象可判斷A選項；利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可判斷B選項；利用平均變化率的概念可判斷C選項；利用平均變化率的概念可判斷D選項.
【詳解】選項A，在時刻，兩圖象相交，說明甲、乙兩人血管中的藥物濃度相同，即選項A正確；
選項B，在時刻，兩圖象的切線斜率不相等，即兩人的不相等，
說明甲、乙兩人血管中藥物濃度的瞬時變化率不相同，即選項B錯誤；
選項C，由平均變化率公式知，甲、乙兩人在內(nèi)，
血管中藥物濃度的平均變化率均為，即選項C正確；
選項D，在和兩個時間段內(nèi)，甲血管中藥物濃度的平均變化率分別為
和，顯然不相同，即選項D不正確．
故選：AC.
7．BCD
【分析】對函數(shù)求導(dǎo)，表示出在點的切線斜率即可.
【詳解】因為，所以的斜率的最小值為.
因為，所以的方程為.
因為，所以的方程為，即.
故選：BCD.
8．
【分析】可求出導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)即可求解．
【詳解】由題可得：，
可得，又，
可得．
故答案為：．
9．
【分析】先求出切點，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可得解.
【詳解】，設(shè)切點為，則，解得，所以切點為，
故切線方程為，即.
故答案為：.
10．
【分析】求導(dǎo)，根據(jù)點斜式求解直線方程，即可代入求解.
【詳解】因為，所以，
所以在點處的切線方程為.
又切線過原點，則，所以.
故答案為：
11．(1)
(2)
【分析】（1）由，分別求出及，即可寫出切線方程；
（2）計算出，令，解得或，分類討論的范圍，得出的單調(diào)性，由在區(qū)間上的最小值為，列出方程求解即可．
【詳解】（1）當(dāng)時，，則，，所以，
所以曲線在處的切線方程為：，即．
（2），令，解得或，
當(dāng)時，時，，則在上單調(diào)遞減，
所以，則，符合題意；
當(dāng)時，時，，則在上單調(diào)遞減，
時，，則在上單調(diào)遞增，
所以，則，不合題意；
當(dāng)時，時，，則在上單調(diào)遞減，
所以，不合題意；
綜上，．
12．(1)，
(2)，
【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，令求出，再令求出；
（2）由（1）可得，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)性，即可求出函數(shù)的極值，再由區(qū)間端點的函數(shù)值，即可得解.
【詳解】（1）因為，
所以，取，則有，即；
所以，取，則有，即．
故，．
（2）由（1）知，，
則，
所以、與，的關(guān)系如下表：
故，．
【能力篇】
一、單選題
1．（2024·河北邢臺·一模）如果方程能確定y是x的函數(shù)，那么稱這種方式表示的函數(shù)是隱函數(shù)．隱函數(shù)的求導(dǎo)方法如下：在方程中，把y看成x的函數(shù)，則方程可看成關(guān)于x的恒等式，在等式兩邊同時對x求導(dǎo)，然后解出即可．例如，求由方程所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，將方程的兩邊同時對x求導(dǎo)，則（是中間變量，需要用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則），得．那么曲線在點處的切線方程為（）
A．B．
C．D．
二、多選題
2．（2024·湖北·二模）已知拋物線，過y軸正半軸上任意一點的直線交拋物線于，，拋物線在A，B處的切線、交于點Q，則下列結(jié)論正確的有（）
A．的最小值為
B．如果P為定點，那么Q為定點
C．，的斜率之積為定值
D．如果P為定點．那么的面積的最小值為
三、填空題
3．（2024·遼寧·二模）已知函數(shù)的圖象與函數(shù)且的圖象在公共點處有相同的切線，則，切線方程為 .
四、解答題
4．（2024·河南洛陽·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時，求曲線在處的切線方程；
(2)討論的單調(diào)性．
參考答案：
1．B
【分析】利用給定隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求法確定斜率，再求出切線方程即可.
【詳解】由給定定義得，對左右兩側(cè)同時求導(dǎo)，
可得，將點代入，得，
解得，故切線斜率為，得到切線方程為，
化簡得方程為，故B正確.
故選：B
2．AD
【分析】設(shè)出直線方程與拋物線方程聯(lián)立，結(jié)合韋達定理可判斷A，利用導(dǎo)數(shù)可得切線方程進而可判斷C，利用兩點坐標點關(guān)系可判斷B，求出面積表達式可判斷D.
【詳解】顯然直線AB的斜率存在，設(shè)，與聯(lián)立得，
由韋達定理得，，，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以A正確；
因為對于拋物線，，所以，即，
同理，即，
所以，的斜率之積為，所以C錯誤；
因為過點，所以有，同理有，
這表明，在直線上，即直線AB的方程為，
又因為AB經(jīng)過點P，所以，解得，
又因為Q是直線，的交點，所以，所以，
所以，當(dāng)P為定點時，Q在直線上，所以B錯誤；
因為，到直線AB的距離，
所以的面積，顯然如果m為定值．
那么當(dāng)時，S有最小值，且最小值為，所以D正確．
故選：AD
3．
【分析】設(shè)公共點為，即可得到，再由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到，從而求出，即可求出切點坐標，從而求出，再求出切線方程.
【詳解】設(shè)公共點為，則，即，所以，
所以，
由，，所以，，
又在公共點處有相同的切線，所以，即，所以，則，，
則，
則，所以切線方程為，即.
故答案為：；
4．(1)；
(2)答案見解析.
【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可；
（2）求導(dǎo)可得，含參分類討論、、和時函數(shù)的單調(diào)性即可求解.
【詳解】（1）由題意知，當(dāng)時，，
則，
故曲線在處的切線方程為．
（2）的定義域為，且，
當(dāng)時，則，
令，解得，令，解得，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時，則有：
若，則，令，則單調(diào)遞增；
令，則或單調(diào)遞減；
若，則，令，則單調(diào)遞增；
令，則或單調(diào)遞減；
若，則單調(diào)遞減．
綜上所述，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時，在上單調(diào)遞減．
【培優(yōu)篇】
一、單選題
1．（2024·陜西漢中·二模）已知函數(shù)，若函數(shù)有4個零點，則的取值范圍為（）
A．B．
C．D．
二、多選題
2．（2024·河南·模擬預(yù)測）記，其中，則下列說法正確的是（）
A．若，則
B．若，則
C．若，，且恒成立，則
D．若，則
三、填空題
3．（2024·江西宜春·模擬預(yù)測）已知拋物線是直線上的一點（點不在軸上），過點作的兩條切線，切點分別為，圓與直線切于點，且，則四邊形的面積為．
參考答案：
1．D
【分析】由題意可知：函數(shù)的零點個數(shù)即為與的交點個數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求過原點的切線，結(jié)合圖象分析求解.
【詳解】作出的圖象，如圖所示
令，可得，
由題意可知：函數(shù)的零點個數(shù)即為與的交點個數(shù)，
若，則，可得，
設(shè)切點坐標為，切線斜率為，
則切線方程為，
代入點，可得，解得，
此時切線斜率為；
若，則，可得，
設(shè)切點坐標為，切線斜率為，
則切線方程為，
代入點，可得，解得，
此時切線斜率為；
結(jié)合圖象可知的取值范圍為.
故選：D.
【點睛】易錯點睛：數(shù)形結(jié)合就是通過數(shù)與形之間的對應(yīng)和轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問題．它包含以形助數(shù)和以數(shù)解形兩個方面．一般來說，涉及函數(shù)、不等式、確定參數(shù)取值范圍、方程等問題時，可考慮數(shù)形結(jié)合法．運用數(shù)形結(jié)合法解題一定要對有關(guān)函數(shù)圖象、方程曲線、幾何圖形較熟悉，否則，錯誤的圖象反而導(dǎo)致錯誤的選擇．
2．ABD
【分析】對于A，由的導(dǎo)數(shù)一直是它本身即可判斷；對于B，由誘導(dǎo)公式以及三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式即可判斷；對于C，通過歸納即可判斷；對于D，由C選項結(jié)論即可判斷.
【詳解】由題知，則當(dāng)時，，A正確；
由，，
，，所以，B正確；
，則，
若，則恒成立，，C錯誤；
，由C知，D正確.
故選：ABD.
【點睛】方法點睛：對于遞推類函數(shù)定義，可以用歸納的方法結(jié)合求導(dǎo)公式去驗證即可順利得解.
3．
【分析】設(shè)，，，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得出直線AB的方程為，聯(lián)立拋物線方程得到，從而有，，利用弦長公式得，再直接求出點，到直線AB的距離，進而得到，再利用題設(shè)條件，即可求出結(jié)果.
【詳解】設(shè)，，由，得，則，
所以切線的斜率為，其方程為，即，
設(shè)，．則，同理可得切線PB的方程為，
所以直線AB的方程為，聯(lián)立，得，
則，，，
所以，
設(shè)分別為點，到直線AB的距離，
則，，
則四邊形的面積，
因為．所以為線段AB的中點，則，
由題可知，則，解得，
則，即四邊形的面積為，
故答案為：.
【點睛】關(guān)鍵點晴：本題的關(guān)鍵在于利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出切線方程，進而求出直線AB的方程為，再利用幾何法求出弦長及點，到直線AB的距離，即可得到，從而求解.
基本初等函數(shù)
導(dǎo)函數(shù)
f(x)＝c(c為常數(shù))
f′(x)＝0
f(x)＝xα(α∈Q，α≠0)
f′(x)＝αxα－1
f(x)＝sin x
f′(x)＝cs__x
f(x)＝cs x
f′(x)＝－sin__x
f(x)＝ax(a＞0且a≠1)
f′(x)＝axln__a
f(x)＝ex
f′(x)＝ex
f(x)＝lgax(a＞0且a≠1)
f′(x)＝eq \f(1,xln a)
f(x)＝ln x
f′(x)＝eq \f(1,x)
0
1
2
0
單調(diào)遞增
極大值
單調(diào)遞減

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