【知識(shí)梳理】2
【真題自測(cè)】3
【考點(diǎn)突破】12
【考點(diǎn)1】對(duì)數(shù)的運(yùn)算12
【考點(diǎn)2】對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用16
【考點(diǎn)3】對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用21
【分層檢測(cè)】25
【基礎(chǔ)篇】25
【能力篇】31
【培優(yōu)篇】34
考試要求：
1.理解對(duì)數(shù)的概念及運(yùn)算性質(zhì)，知道用換底公式能將一般對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化成自然對(duì)數(shù)或常用對(duì)數(shù).
2.通過(guò)實(shí)例，了解對(duì)數(shù)函數(shù)的概念，能用描點(diǎn)法或借助計(jì)算工具畫(huà)具體對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象，理解對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn).
3.了解指數(shù)函數(shù)y＝ax與對(duì)數(shù)函數(shù)y＝lgax(a＞0，且a≠1)互為反函數(shù).
知識(shí)梳理
1.對(duì)數(shù)的概念
如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么數(shù)x叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作x＝lgaN，其中a叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù).
2.對(duì)數(shù)的性質(zhì)、運(yùn)算性質(zhì)與換底公式
(1)對(duì)數(shù)的性質(zhì)：①algaN＝N；②lgaab＝b(a>0，且a≠1).
(2)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)
如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么
①lga(MN)＝lgaM＋lgaN；
②lgaeq \f(M,N)＝lgaM－lgaN；
③lgaMn＝nlgaM(n∈R).
(3)換底公式：lgab＝eq \f(lgcb,lgca)(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1).
3.對(duì)數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)
(1)概念：函數(shù)y＝lgax(a＞0，且a≠1)叫做對(duì)數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，定義域是(0，＋∞).
(2)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)
4.反函數(shù)
指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)與對(duì)數(shù)函數(shù)y＝lgax(a>0，且a≠1)互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線y＝x對(duì)稱.它們的定義域和值域正好互換.
1.換底公式的兩個(gè)重要結(jié)論
(1)lgab＝eq \f(1,lgba)(a>0，且a≠1；b>0，且b≠1).
(2)lgambn＝eq \f(n,m)lgab(a>0，且a≠1；b>0；m，n∈R，且m≠0).
2.對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與底數(shù)大小的比較
如圖，作直線y＝1，則該直線與四個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為相應(yīng)的底數(shù).
故0＜c＜d＜1＜a＜b.
由此我們可得到以下規(guī)律：在第一象限內(nèi)從左到右底數(shù)逐漸增大.
真題自測(cè)
一、單選題
1．（2023·北京·高考真題）下列函數(shù)中，在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2022·全國(guó)·高考真題）已知，則（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·全國(guó)·高考真題）設(shè)，則（ ）
A．B．C．D．
4．（2021·全國(guó)·高考真題）已知，，，則下列判斷正確的是（ ）
A．B．C．D．
5．（2021·全國(guó)·高考真題）設(shè)，，．則（ ）
A．B．C．D．
6．（2021·全國(guó)·高考真題）青少年視力是社會(huì)普遍關(guān)注的問(wèn)題，視力情況可借助視力表測(cè)量．通常用五分記錄法和小數(shù)記錄法記錄視力數(shù)據(jù)，五分記錄法的數(shù)據(jù)L和小數(shù)記錄表的數(shù)據(jù)V滿足．已知某同學(xué)視力的五分記錄法的數(shù)據(jù)為4.9，則其視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)為（ ）（）
A．1.5B．1.2C．0.8D．0.6
7．（2021·天津·高考真題）若，則（ ）
A．B．C．1D．
8．（2021·天津·高考真題）設(shè)，則a，b，c的大小關(guān)系為（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
9．（2023·全國(guó)·高考真題）噪聲污染問(wèn)題越來(lái)越受到重視．用聲壓級(jí)來(lái)度量聲音的強(qiáng)弱，定義聲壓級(jí)，其中常數(shù)是聽(tīng)覺(jué)下限閾值，是實(shí)際聲壓．下表為不同聲源的聲壓級(jí)：
已知在距離燃油汽車、混合動(dòng)力汽車、電動(dòng)汽車處測(cè)得實(shí)際聲壓分別為，則（ ）．
A．B．
C．D．
三、填空題
10．（2023·全國(guó)·高考真題）設(shè)，若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是 .
11．（2023·北京·高考真題）已知函數(shù)，則 ．
12．（2022·全國(guó)·高考真題）若是奇函數(shù)，則 ， ．
參考答案：
1．C
【分析】
利用基本初等函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷ABC，舉反例排除D即可.
【詳解】
對(duì)于A，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以在上單調(diào)遞減，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以在上單調(diào)遞減，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，
所以在上單調(diào)遞增，故C正確；
對(duì)于D，因?yàn)?，?br>顯然在上不單調(diào)，D錯(cuò)誤.
故選：C.
2．A
【分析】法一：根據(jù)指對(duì)互化以及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可知，再利用基本不等式，換底公式可得，，然后由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可解出．
【詳解】［方法一］：（指對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)）
由可得，而，所以，即，所以.
又，所以，即，
所以.綜上，.
［方法二］：【最優(yōu)解】（構(gòu)造函數(shù)）
由，可得．
根據(jù)的形式構(gòu)造函數(shù) ，則，
令，解得 ，由 知 .
在 上單調(diào)遞增，所以 ，即 ，
又因?yàn)?，所以 .
故選：A.
【點(diǎn)評(píng)】法一：通過(guò)基本不等式和換底公式以及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較，方法直接常用，屬于通性通法；
法二：利用的形式構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得出大小關(guān)系，簡(jiǎn)單明了，是該題的最優(yōu)解．
3．C
【分析】構(gòu)造函數(shù)， 導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，由此確定的大小.
【詳解】方法一：構(gòu)造法
設(shè)，因?yàn)椋?br>當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，
所以函數(shù)在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，所以，故，即，
所以，所以，故，所以，
故，
設(shè)，則,
令，，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，
又，
所以當(dāng)時(shí)，，
所以當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，
所以，即，所以
故選：C.
方法二：比較法
解： ， ， ，
① ，
令
則 ，
故 在 上單調(diào)遞減，
可得 ，即 ，所以 ；
② ，
令
則 ，
令 ，所以 ，
所以 在 上單調(diào)遞增，可得 ，即 ，
所以 在 上單調(diào)遞增，可得 ，即 ，所以
故
4．C
【分析】對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可比較、與的大小關(guān)系，由此可得出結(jié)論.
【詳解】，即.
故選：C.
5．B
【分析】利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性不難對(duì)a,b的大小作出判定，對(duì)于a與c，b與c的大小關(guān)系，將0.01換成x,分別構(gòu)造函數(shù),，利用導(dǎo)數(shù)分析其在0的右側(cè)包括0.01的較小范圍內(nèi)的單調(diào)性，結(jié)合f(0)=0,g(0)=0即可得出a與c，b與c的大小關(guān)系.
【詳解】[方法一]：
，
所以；
下面比較與的大小關(guān)系.
記，則，，
由于
所以當(dāng)0

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