1.理解正數(shù)和負(fù)數(shù)的意義,會(huì)判斷一個(gè)數(shù)是正數(shù)還是負(fù)數(shù)；2.能用正數(shù)、負(fù)數(shù)表示生活中具有相反意義的量．(難點(diǎn))3.掌握有理數(shù)的概念.（重點(diǎn)）4.會(huì)對(duì)有理數(shù)按一定的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類(lèi),培養(yǎng)分類(lèi)能力.(難點(diǎn)）
世界上最高的山峰是珠穆朗瑪峰，其海拔大約是8848.86 m，吐魯番盆地最低處的海拔大約是-154.31 m。你能說(shuō)出-154.31 m的含義嗎？怎樣計(jì)算珠穆朗瑪峰的海拔和吐魯番盆地最低處的海拔相差多少呢？
為什么要引入負(fù)數(shù)？請(qǐng)看下面動(dòng)畫(huà)視頻！
1.用正數(shù)負(fù)數(shù)表示具有相反意義的量
某班舉行知識(shí)競(jìng)賽，評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)是：答對(duì)1題加1分，答錯(cuò)1題扣1分，不回答得0分；每個(gè)參賽隊(duì)的基本分均為0分。下表是用下圖所示的表情表示的兩個(gè)參賽隊(duì)的答題情況。
（2）如果用“+1”表示答對(duì)1 題的得分，用“-1”表示答錯(cuò)1 題的得分，那么你如何填寫(xiě)這個(gè)表？
（1）下表是2023年1月1日四個(gè)城市的氣溫情況。你能說(shuō)出表中各數(shù)的實(shí)際意義嗎？
答：該表表示為2023年1月1日北京的氣溫為零下7℃到零上5℃； 2023年1月1日昆明的氣溫為零上7℃到零上13℃； 2023年1月1日西安的氣溫為零下2℃到零上2℃； 2023年1月1日哈爾濱的氣溫為零下19℃到零上14℃.
（2）珠穆朗瑪峰的海拔大約是 8848.86 m，吐魯番盆地最低處的海拔大約是-154.31 m。8848.86m，-154.31 m 兩數(shù)的實(shí)際意義分別是什么？
將海平面的高度看做0，低于海平面的為負(fù)記作-154.31m，高于海平面的為正記作+8848.86m.
（3）右圖展示了2021年7月我國(guó)居民消費(fèi)價(jià)格分類(lèi)別同比漲跌情況。說(shuō)說(shuō)-1.8%，0.4%等數(shù)的實(shí)際意義，并與同伴進(jìn)行交流。
答：-1.8%表示2021年7月我國(guó)居民在食品煙酒消費(fèi)價(jià)格上減少了1.8%；0.4%表示2021年7月我國(guó)居民在衣著消費(fèi)價(jià)格上漲0.4%.
“加分與扣分”“零上溫度與零下溫度”“高于海平面與低于海平面”“上漲量與下跌量”等都是具有相反意義的量。為了表示具有相反意義的量，我們可以把其中一個(gè)量規(guī)定為正的，把與這個(gè)量意義相反的量規(guī)定為負(fù)的，并分別用“+”“-”來(lái)表示。
例如，“加 3 分”記為+3分，“扣2分”就記為-2分。像 +3，+15，+6.9%，…都是正數(shù)，正數(shù)前面的“+”可以省略不寫(xiě).像-2，-8，-1.8%，···都是負(fù)數(shù).
負(fù)數(shù)與對(duì)應(yīng)的正數(shù)在數(shù)量上相等，表示的意義相反。
例 1（1）某人轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán)，如果用+5圈表示沿逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)了5圈，那么沿順時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)了12圈怎樣表示？
（2）在某次乒乓球質(zhì)量檢測(cè)中，一只乒乓球的質(zhì)量高于標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量 0.02 g記作 +0.02g，那么-0.03 g 表示什么？
解：（1）沿順時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)了 12 圈記作-12 圈；
解：（2）-0.03g表示乒乓球的質(zhì)量低于標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量0.03g；
（3）某大米包裝袋上標(biāo)注著“凈含量：10 kg ±50 g”，這里的“10 kg±50g”表示什么？
（3）每袋大米的標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量應(yīng)為10kg，但實(shí)際每袋大米可能有50g的誤差，即每袋大米的凈含量最多10kg+50g，最少是10kg-50g。
（1）選定一個(gè)身體高度作為標(biāo)準(zhǔn)，用正負(fù)數(shù)和0表示你們班每名同學(xué)的身高與選定的身高標(biāo)準(zhǔn)的差。你是怎樣表示的？從你的表示能看出誰(shuí)最高嗎？
你能將所學(xué)的數(shù)進(jìn)行分類(lèi)嗎？與同伴進(jìn)行交流。
像1，2，3，…稱(chēng)為正整數(shù)；
形如－1，－2，－3，…稱(chēng)為負(fù)整數(shù)；
那么小數(shù)和0呢？我們?cè)撛趺捶诸?lèi)將它們包含進(jìn)去？
正整數(shù)、零和負(fù)整數(shù)統(tǒng)稱(chēng)整數(shù).
整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱(chēng)有理數(shù).
正分?jǐn)?shù)和負(fù)分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱(chēng)分?jǐn)?shù).
目前我們所學(xué)的小數(shù)都可以化成分?jǐn)?shù)，所以把小數(shù)劃分到分?jǐn)?shù)一類(lèi).
1.有理數(shù)的分類(lèi)(1)按有理數(shù)的定義分類(lèi) (2) 按性質(zhì)分類(lèi)
1.（1）如果零上 5℃ 記作 +5℃，那么零下 3℃ 記作什么？（2）東、西為兩個(gè)相反方向，如果-4m表示一個(gè)物體向西運(yùn)動(dòng) 4m，那么+2m表示什么？物體原地不動(dòng)記作什么？（3）某倉(cāng)庫(kù)運(yùn)進(jìn)面粉 7.5t 記作+7.5t，那么運(yùn)出面粉 3.8t 記作什么？
解：(1)零下3℃記作﹣3℃.
解：(2)﹢2m表示物體向東運(yùn)動(dòng)2m，物體原地不動(dòng)記作0m.
解：(3)運(yùn)出面粉 3.8 t 應(yīng)記作﹣3.8 t.
知識(shí)點(diǎn)1　具有相反意義的量1.相反意義的量必須包含兩層含義：第一是具有相反意義；第二是具有一定的數(shù)量，但不要求數(shù)量一定 ?.
2.下列各組量中，不具有相反意義的是(　B　)
3. 【新考向·數(shù)學(xué)文化2023永州】我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章 算術(shù)》中對(duì)正負(fù)數(shù)的概念注有“今兩算得失相反，要令正 負(fù)以名之”.如：糧庫(kù)把運(yùn)進(jìn)30噸糧食記為“＋30”，則 “－30”表示(　A　)
4. 【真實(shí)情境題·科技創(chuàng)新】我國(guó)科技工作者踐行“科技強(qiáng)國(guó)”使命，不斷取得世界級(jí)的科技成果，如由我國(guó)研制的中國(guó)首臺(tái)作業(yè)型全海深自主遙控潛水器“海斗一號(hào)”，最大下潛深度10 907米，填補(bǔ)了中國(guó)水下萬(wàn)米作業(yè)型無(wú)人潛水器的空白；由我國(guó)自主研發(fā)的極目一號(hào)Ⅲ型浮空艇“大白鯨”，升空高度至海拔9 050米，創(chuàng)造了浮空艇原位大氣科學(xué)觀測(cè)海拔最高的世界記錄.若把海平面以上9 050米記作“＋9 050米”，則海平面以下10 907米記作“ 米”.
知識(shí)點(diǎn)2　正數(shù)與負(fù)數(shù)5.大于 的數(shù)叫作正數(shù)；正數(shù)是通過(guò)與 ?比較大小來(lái) 定義的.在正數(shù)前面加上符號(hào)“－”(負(fù)號(hào))的數(shù)叫作 ? .負(fù)數(shù)是相對(duì)于 來(lái)定義的.
6.[2024佛山南海區(qū)期末]下列各數(shù)中，負(fù)數(shù)是(　A　)
7.下列各組數(shù)中都是正數(shù)或都是負(fù)數(shù)的是(　B　)
8.[2024天津和平區(qū)月考]據(jù)史料記載，早在兩千多年前，中 國(guó)就有了正負(fù)數(shù)的概念，關(guān)于負(fù)數(shù)有下列4種說(shuō)法：①在某個(gè)數(shù)的前面加上符號(hào)“－”得到的數(shù)；②不大于0的數(shù)；③除去正數(shù)的其他數(shù)；④在正數(shù)的前面加上符號(hào)“－”得到的數(shù).其中正確的是 (填序號(hào)).
知識(shí)點(diǎn)3　有理數(shù)的概念及其分類(lèi)9. 、 、 統(tǒng)稱(chēng)為整數(shù)， ? 與 統(tǒng)稱(chēng)為分?jǐn)?shù)， 與 ?統(tǒng)稱(chēng) 為有理數(shù).
11.下列關(guān)于0的說(shuō)法錯(cuò)誤的是(　A　)
14.規(guī)定45分鐘為1個(gè)單位時(shí)間，并以每天上午9時(shí)記為0，9時(shí)以前的時(shí)間記為負(fù)數(shù)，9時(shí)以后的時(shí)間記為正數(shù)，例如：8：15記為－1；9：45記為＋1，依此類(lèi)推，則上午7：30應(yīng)記為 ?.
16.某飲料公司生產(chǎn)的一種瓶裝飲料的外包裝上印有“(600±20) mL”字樣.(1)請(qǐng)問(wèn)“±20 mL”是什么含義？
解：(1)“＋20 mL”表示比600 mL多裝20 mL， “－20 mL”表示比600 mL少裝20 mL.
(2)質(zhì)監(jiān)局對(duì)該產(chǎn)品隨機(jī)抽查了5瓶，瓶中飲料的體積分別是603 mL，611 mL，589 mL，573 mL，627 mL，則抽查的產(chǎn)品是否都合格？
解：(2)600＋20＝620(mL)，600－20＝580(mL)，所以合格產(chǎn)品瓶中飲料的體積為580 mL～620 mL，所以隨機(jī)抽查的5瓶產(chǎn)品中573 mL，627 mL兩瓶不合格，其他3瓶是合格的.
(3)如果以瓶中飲料的標(biāo)準(zhǔn)體積為標(biāo)準(zhǔn)，超過(guò)標(biāo)準(zhǔn)記為 “＋”，低于標(biāo)準(zhǔn)記為“－”，那么該種產(chǎn)品瓶中飲 料的體積的浮動(dòng)范圍又可以怎樣表示？
解：(3)該種產(chǎn)品瓶中飲料的體積的浮動(dòng)范圍又可以表 示為－20 mL～＋20 mL .
17. 【新視角·規(guī)律探究題】將一串有理數(shù)按如圖所示的規(guī)律 排列，回答下列問(wèn)題：
(1)A位置的數(shù)是正數(shù)還是負(fù)數(shù)？
解：(1)A位置的數(shù)是正數(shù).
(2)A，B，C，D中哪些位置的數(shù)是負(fù)數(shù)？
解：(2)B和D位置的數(shù)是負(fù)數(shù).
(3)第2 027個(gè)數(shù)是正數(shù)還是負(fù)數(shù)？排在對(duì)應(yīng)于A，B，C， D中的哪個(gè)位置？
解：(3)第2 027個(gè)數(shù)是負(fù)數(shù)，排在對(duì)應(yīng)于D的位置.點(diǎn)撥：通過(guò)觀察可知，題目中每4個(gè)數(shù)為一組，用2 027除以4，根據(jù)余數(shù)解答.若能整除，則在A的位置；若余數(shù)為1，則在B的位置；若余數(shù)為2，則在C的位置；若余數(shù)為3，則在D的位置.
用正負(fù)數(shù)表示具有相反意義的量.2.(1)如果零上5度記作＋5℃，那么零下5度記作 ；(2)比海平面高50米的地方，它的高度記作海拔 ；比海平面低30米的地方，它的高度記作海拔 ；(3)如果－5元表示支出5元，那么＋10元表示 ．
【思路分析】(1)中重合部分應(yīng)填負(fù)整數(shù)，所以只在負(fù)數(shù)集圈內(nèi)的應(yīng)填其它負(fù)數(shù)，即負(fù)分?jǐn)?shù)，只在整數(shù)集圈內(nèi)的應(yīng)填除負(fù)整數(shù)外的整數(shù)，即0和正整數(shù)；(2)中重合部分應(yīng)填正整數(shù)，所以只在整數(shù)集圈內(nèi)的填0和負(fù)整數(shù)，只在正數(shù)集圈內(nèi)的填正分?jǐn)?shù)．
【方法歸納】填數(shù)時(shí)一定要注意一個(gè)圈內(nèi)不能讓同一個(gè)數(shù)出現(xiàn)兩次，一定要分清重合部分和其余部分所應(yīng)填的數(shù)．
【規(guī)范解答】如圖所示：
2.(1)相反意義的量是指意義相反的兩個(gè)量,相反意義的量是成對(duì)出現(xiàn)的．(2)判斷相反意義的量的標(biāo)準(zhǔn):①兩個(gè)同類(lèi)量;②意義相反．(3)具有相反意義的量的正負(fù)性是相對(duì)的,且是可以互換的.
1.正數(shù)是比零大的數(shù)，正數(shù)前面加“-”號(hào)的數(shù)叫做負(fù)數(shù).
注意0的特殊性：0既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù).
在人類(lèi)生活中，早就存在著收入與支出、贏利與虧本等具有相反意義的現(xiàn)象．中國(guó)是最早采用正負(fù)數(shù)表示相反意義的量，并進(jìn)行負(fù)數(shù)運(yùn)算的國(guó)家．有關(guān)正負(fù)數(shù)的概念和運(yùn)算法則的系統(tǒng)論述，記載于我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《 九章算術(shù)》一書(shū)中，書(shū)中明確提出“正負(fù)術(shù)”，這是世界上至今發(fā)現(xiàn)的最早最詳細(xì)的記載．
公元3世紀(jì)，我國(guó)數(shù)學(xué)家劉徽在“正負(fù)術(shù)”的注文中指出：“今兩算得失相反， 要令正、負(fù)以名之．正算（籌）赤，負(fù)算（籌）黑，否則以邪正為異．”就是說(shuō)，對(duì)兩個(gè)得失相反的量，要以正、負(fù)加以區(qū)別．用紅籌表示正，黑籌表示負(fù)， 也可將算籌正放、斜放來(lái)區(qū)別．
在國(guó)外，負(fù)數(shù)概念的建立和使用，經(jīng)歷了一個(gè)曲折的過(guò)程． 印度在公元 7 世紀(jì)出現(xiàn)了負(fù)數(shù)概念，并有了負(fù)數(shù)的運(yùn)算，不過(guò)他們總把負(fù)數(shù)解釋為負(fù)債．歐洲的數(shù)學(xué)家遲遲不承認(rèn)負(fù)數(shù)，認(rèn)為零是最小的數(shù)，而比零還小的數(shù)是不可思議的．歐洲最早承認(rèn)負(fù)數(shù)的是 17 世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家笛卡兒（ René Descartes， 1596-1650），他承認(rèn)解方程中出現(xiàn)的負(fù)根，不過(guò)他稱(chēng)之為“假根”．直到 19 世紀(jì)，負(fù)數(shù)在歐洲才獲得普遍承認(rèn)．

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1 認(rèn)識(shí)有理數(shù)

版本： 北師大版（2024）

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