第三章　培優(yōu)點2　指對同構問題-【北師大版】2025年高考數學大一輪復習（課件+講義+練習）-課件下載-教習網

把一個等式或不等式通過變形，使左右兩邊結構形式完全相同，構造函數，利用函數的單調性進行處理，找到這個函數模型的方法就是同構法.同構法主要解決含有指數、對數混合的等式或不等式問題.
例1　(1)若ea＋a>b＋ln b(a，b為變量)成立，則下列選項正確的是A.a＞ln b B.a＜ln bC.ln a＞b D.ln a＜b
方法一　由ea＋a>b＋ln b，可得ea＋a>eln b＋ln b，令f(x)＝ex＋x，則f(a)＞f(ln b)，因為f(x)在R上是增函數，所以a＞ln b.方法二　由ea＋a>b＋ln b，可得ea＋ln ea>b＋ln b，令g(x)＝x＋ln x，則g(ea)>g(b)，因為g(x)在(0，＋∞)上是增函數，所以ea>b，即a＞ln b.
(2)若關于a的方程aea－2＝e4和關于b的方程b(ln b－2)＝e3λ－1(a，b∈R＋)可化為同構方程，則ab的值為A.e8 B.e C.ln 6 D.1
對aea－2＝e4兩邊取自然對數，得ln a＋a＝6，①對b(ln b－2)＝e3λ－1兩邊取自然對數，得ln b＋ln(ln b－2)＝3λ－1，即ln b－2＋ln(ln b－2)＝3λ－3，②因為方程①②為兩個同構方程，所以3λ－3＝6，解得λ＝3，
所以F(x)在(0，＋∞)上單調遞增，所以方程F(x)＝6的解只有一個，所以a＝ln b－2，所以ab＝(ln b－2)b＝b(ln b－2)＝e3×3－1＝e8.
利用恒等式x＝ln ex和x＝eln x，通過冪轉指或冪轉對進行等價變形，構造函數，然后由構造的函數的單調性進行研究.
跟蹤訓練1　已知不等式ax＋eax＞ln(bx)＋bx進行指對同構時，可以構造的函數是A.f(x)＝ln x＋x B.f(x)＝xln xC.f(x)＝xex D.f(x)＝
由恒等式x＝ln ex可得ax＝ln eax，所以ax＋eax＞ln(bx)＋bx可變形為ln eax＋eax＞ln(bx)＋bx，構造函數f(x)＝ln x＋x，可得f(eax)＞f(bx).
命題點1　aln a與xex同構例2　設實數k>0，對于任意的x>1，不等式kekx≥ln x恒成立，則k的最小值為_____.
由kekx≥ln x得kxekx≥xln x，即kxekx≥eln x·ln x，令f(x)＝xex，則f(kx)≥f(ln x).因為f′(x)＝(x＋1)ex，所以f(x)在(－1，＋∞)上單調遞增，
當x∈(1，e)時，h′(x)>0，h(x)單調遞增，當x∈(e，＋∞)時，h′(x)ea C.ab0，且bln b>aea>0，則b>1.當x>1時，f′(x)＝ln x＋1>0，則f(x)在(1，＋∞)上單調遞增，ealn ea0且x>1，∴aln x>0，設y＝ex－x，x∈(0，＋∞)，則y′＝ex－1>0，故y＝ex－x在(0，＋∞)上單調遞增，
當x∈(e，＋∞)時，f′(x)>0，∴f(x)在(1，e)上單調遞減，在(e，＋∞)上單調遞增，∴f(x)min＝f(e)＝e，∴a≥e.故a的最小值為e.
(2)若對任意x∈[e，＋∞)，滿足2x3ln x－ ≥0恒成立，則實數m的取值范圍是____________.
由2x3ln x－ ≥0，
得2x3ln x≥ ，即2x2ln x≥ ，
即x2ln x2≥ ，即
1.設x>0，y>0，若ex＋ln y>x＋y，則下列選項正確的是A.x>y B.x>ln yC.xy－ln y，令f(x)＝ex－x，x>0，則f(ln y)＝eln y－ln y＝y(tǒng)－ln y，∴不等式ex－x>y－ln y等價于f(x)>f(ln y)，∵f′(x)＝ex－1，∴當x∈(0，＋∞)時，f′(x)>0，f(x)在區(qū)間(0，＋∞)上單調遞增，∴若y∈(1，＋∞)，則ln y∈(0，＋∞)，
由f(x)>f(ln y)有x>ln y；若y∈(0,1]，則ln y≤0，由x>0，有x>ln y.綜上所述，x>ln y.
2.若ex－ax≥－x＋ln(ax)，則正實數a的取值范圍為
不等式ex－ax≥－x＋ln(ax)，可化為ex＋x≥eln ax＋ln ax，設g(x)＝ex＋x，則g′(x)＝ex＋1>0，即g(x)在R上是增函數，而g(x)≥g(ln ax)，因為a>0，x>0，所以x≥ln ax＝ln a＋ln x，由已知ln a≤x－ln x恒成立，
當00，所以a的取值范圍為(0，e].
3.已知函數f(x)＝x2ex－a(x＋2ln x)有兩個零點，則a的取值范圍是A.a≥1 B.a≤2C.a≤e D.a>e
f(x)＝x2ex－a(x＋2ln x)＝ex＋2ln x－a(x＋2ln x)，令t＝x＋2ln x，顯然該函數單調遞增，t∈R，則et－at＝0有兩個根，當t＝0時，等式為1＝0，不符合題意；
故當x∈(－∞，0)和x∈(0,1)時，g′(x)0，g(x)單調遞增；且當x∈(－∞，0)時，g(x)e.
4.(多選)若不相等的正數a，b滿足aa＝bb，則
由aa＝bb，得aln a＝bln b，令f(x)＝xln x，f′(x)＝ln x＋1＝0，
所以0ln(x－1)，即ln a>ln(x－1)－x對?x∈(1，＋∞)恒成立.令F(x)＝ln(x－1)－x，
令F′(x)＝0，得x＝2.當x∈(1,2)時，F′(x)>0，當x∈(2，＋∞)時，F′(x)