第三章　培優(yōu)點2　指對同構(gòu)問題-2025年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（課件+講義+練習(xí)）-課件下載-教習(xí)網(wǎng)

1、揣摩例題。課本上和老師講解的例題，一般都具有一定的典型性和代表性。要認(rèn)真研究，深刻理解，要透過“樣板”，學(xué)會通過邏輯思維，靈活運用所學(xué)知識去分析問題和解決問題，特別是要學(xué)習(xí)分析問題的思路、解決問題的方法，并能總結(jié)出解題的規(guī)律。 2、精練習(xí)題。復(fù)習(xí)時不要搞“題海戰(zhàn)術(shù)”，應(yīng)在老師的指導(dǎo)下，選一些源于課本的變式題，或體現(xiàn)基本概念、基本方法的基本題，通過解題來提高思維能力和解題技巧，加深對所學(xué)知識的深入理解。在解題時，要獨立思考，一題多思，一題多解，反復(fù)玩味，悟出道理。 3、加強(qiáng)審題的規(guī)范性。每每大考過后，總有同學(xué)抱怨沒考好，糾其原因是考試時沒有注意審題。審題決定了成功與否，不解決這個問題勢必影響到高考的成敗。那么怎么審題呢? 應(yīng)找出題目中的已知條件 ;善于挖掘題目中的隱含條件 ;認(rèn)真分析條件與目標(biāo)的聯(lián)系，確定解題思路。 4、重視錯題?！板e誤是最好的老師”，但更重要的是尋找錯因，及時進(jìn)行總結(jié)，三五個字，一兩句話都行，言簡意賅，切中要害，以利于吸取教訓(xùn)，力求相同的錯誤不犯第二次。
培優(yōu)點2　指對同構(gòu)問題
把一個等式或不等式通過變形，使左右兩邊結(jié)構(gòu)形式完全相同，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行處理，找到這個函數(shù)模型的方法就是同構(gòu)法.同構(gòu)法主要解決含有指數(shù)、對數(shù)混合的等式或不等式問題.
例1　(1)若ea＋a>b＋ln b(a，b為變量)成立，則下列選項正確的是A.a＞ln b B.a＜ln bC.ln a＞b D.ln a＜b
方法一　由ea＋a>b＋ln b，可得ea＋a>eln b＋ln b，令f(x)＝ex＋x，則f(a)＞f(ln b)，因為f(x)在R上是增函數(shù)，所以a＞ln b.方法二　由ea＋a>b＋ln b，可得ea＋ln ea>b＋ln b，令g(x)＝x＋ln x，則g(ea)>g(b)，因為g(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)，所以ea>b，即a＞ln b.
(2)若關(guān)于a的方程aea－2＝e4和關(guān)于b的方程b(ln b－2)＝e3λ－1(a，b∈R＋)可化為同構(gòu)方程，則ab的值為A.e8 B.e C.ln 6 D.1
對aea－2＝e4兩邊取自然對數(shù)，得ln a＋a＝6，①對b(ln b－2)＝e3λ－1兩邊取自然對數(shù)，得ln b＋ln(ln b－2)＝3λ－1，即ln b－2＋ln(ln b－2)＝3λ－3，②因為方程①②為兩個同構(gòu)方程，所以3λ－3＝6，解得λ＝3，
所以F(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，所以方程F(x)＝6的解只有一個，所以a＝ln b－2，所以ab＝(ln b－2)b＝b(ln b－2)＝e3×3－1＝e8.
利用恒等式x＝ln ex和x＝eln x，通過冪轉(zhuǎn)指或冪轉(zhuǎn)對進(jìn)行等價變形，構(gòu)造函數(shù)，然后由構(gòu)造的函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行研究.
跟蹤訓(xùn)練1　已知不等式ax＋eax＞ln(bx)＋bx進(jìn)行指對同構(gòu)時，可以構(gòu)造的函數(shù)是A.f(x)＝ln x＋x B.f(x)＝xln xC.f(x)＝xex D.f(x)＝
由恒等式x＝ln ex可得ax＝ln eax，所以ax＋eax＞ln(bx)＋bx可變形為ln eax＋eax＞ln(bx)＋bx，構(gòu)造函數(shù)f(x)＝ln x＋x，可得f(eax)＞f(bx).
命題點1　aln a與xex同構(gòu)例2　設(shè)實數(shù)k>0，對于任意的x>1，不等式kekx≥ln x恒成立，則k的最小值為_____.
由kekx≥ln x得kxekx≥xln x，即kxekx≥eln x·ln x，令f(x)＝xex，則f(kx)≥f(ln x).因為f′(x)＝(x＋1)ex，所以f(x)在(－1，＋∞)上單調(diào)遞增，
當(dāng)x∈(1，e)時，h′(x)>0，h(x)單調(diào)遞增，當(dāng)x∈(e，＋∞)時，h′(x)ea C.ab0，且bln b>aea>0，則b>1.當(dāng)x>1時，f′(x)＝ln x＋1>0，則f(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，ealn ea0且x>1，∴aln x>0，設(shè)y＝ex－x，x∈(0，＋∞)，則y′＝ex－1>0，故y＝ex－x在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，
當(dāng)x∈(e，＋∞)時，f′(x)>0，∴f(x)在(1，e)上單調(diào)遞減，在(e，＋∞)上單調(diào)遞增，∴f(x)min＝f(e)＝e，∴a≥e.故a的最小值為e.
(2)若對任意x∈[e，＋∞)，滿足2x3ln x－ ≥0恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是____________.
由2x3ln x－ ≥0，
得2x3ln x≥ ，即2x2ln x≥ ，
即x2ln x2≥ ，即
1.設(shè)x>0，y>0，若ex＋ln y>x＋y，則下列選項正確的是A.x>y B.x>ln yC.xy－ln y，令f(x)＝ex－x，x>0，則f(ln y)＝eln y－ln y＝y(tǒng)－ln y，∴不等式ex－x>y－ln y等價于f(x)>f(ln y)，∵f′(x)＝ex－1，∴當(dāng)x∈(0，＋∞)時，f′(x)>0，f(x)在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞增，∴若y∈(1，＋∞)，則ln y∈(0，＋∞)，
由f(x)>f(ln y)有x>ln y；若y∈(0,1]，則ln y≤0，由x>0，有x>ln y.綜上所述，x>ln y.
2.若ex－ax≥－x＋ln(ax)，則正實數(shù)a的取值范圍為
不等式ex－ax≥－x＋ln(ax)，可化為ex＋x≥eln ax＋ln ax，設(shè)g(x)＝ex＋x，則g′(x)＝ex＋1>0，即g(x)在R上是增函數(shù)，而g(x)≥g(ln ax)，因為a>0，x>0，所以x≥ln ax＝ln a＋ln x，由已知ln a≤x－ln x恒成立，
當(dāng)00，所以a的取值范圍為(0，e].
3.已知函數(shù)f(x)＝x2ex－a(x＋2ln x)有兩個零點，則a的取值范圍是A.a≥1 B.a≤2C.a≤e D.a>e
f(x)＝x2ex－a(x＋2ln x)＝ex＋2ln x－a(x＋2ln x)，令t＝x＋2ln x，顯然該函數(shù)單調(diào)遞增，t∈R，則et－at＝0有兩個根，當(dāng)t＝0時，等式為1＝0，不符合題意；
故當(dāng)x∈(－∞，0)和x∈(0,1)時，g′(x)0，g(x)單調(diào)遞增；且當(dāng)x∈(－∞，0)時，g(x)e.
4.(多選)若不相等的正數(shù)a，b滿足aa＝bb，則
由aa＝bb，得aln a＝bln b，令f(x)＝xln x，f′(x)＝ln x＋1＝0，
所以0ln(x－1)，即ln a>ln(x－1)－x對?x∈(1，＋∞)恒成立.令F(x)＝ln(x－1)－x，
令F′(x)＝0，得x＝2.當(dāng)x∈(1,2)時，F(xiàn)′(x)>0，當(dāng)x∈(2，＋∞)時，F(xiàn)′(x)