
導函數(shù)的零點在很多時候是無法直接求解出來的,我們稱之為“隱零點”,即能確定其存在,但又無法用顯性的代數(shù)進行表達.這類問題的解題思路是對函數(shù)的零點設而不求,利用整體代換思想,再結合題目條件解決問題.
類型一 不含參函數(shù)的隱零點問題
類型二 含參函數(shù)的隱零點問題
(2024·長沙調研節(jié)選)已知函數(shù)f(x)=xln x-mx(m∈R).當x>1時,不等式f(x)+ln x+3>0恒成立,求整數(shù)m的最大值.
已知不含參函數(shù)f(x),導函數(shù)方程f′(x)=0的根存在,卻無法求出,利用零點存在定理判斷零點存在,設方程f′(x)=0的根為x0,則①有關系式f′(x0)=0成立,②注意確定x0的范圍.
(2024·濟南模擬)已知函數(shù)f(x)=ln x-ax+1,g(x)=x(ex-x).(1)若直線y=2x與函數(shù)f(x)的圖象相切,求實數(shù)a的值;
(2)當a=-1時,求證:f(x)≤g(x)+x2.
且當x∈(0,x0)時,G(x)0.所以函數(shù)F(x)在(0,x0)上單調遞減,在(x0,+∞)上單調遞增,故F(x)min=F(x0)=x0ex0-ln x0-x0-1,由G(x0)=0得x0ex0=1,兩邊取對數(shù)得ln x0+x0=0,故F(x0)=0,所以g(x)-f(x)+x2≥0,即f(x)≤g(x)+x2.
又∵f(π)=-aπ
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