函數(shù)中的構(gòu)造問題是高考考查的一個熱點內(nèi)容，經(jīng)常以客觀題出現(xiàn)，同構(gòu)法構(gòu)造函數(shù)也在解答題中出現(xiàn)，通過已知等式或不等式的結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造新函數(shù)，解決比較大小、解不等式、恒成立等問題.
題型一　利用f(x)與x構(gòu)造函數(shù)
例1　(2023·信陽統(tǒng)考)已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，當x>0時，xf′(x)－f(x)0的解集是A.(－2,0)∪(0,2)B.(－∞，－2)∪(2，＋∞)C.(－2,0)∪(2，＋∞)D.(－∞，－2)∪(0,2)
因為f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，所以f(－x)＝f(x).
所以g(x)為奇函數(shù)，所以g(－2)＝－g(2).
因為f(－2)＝0，所以g(－2)＝g(2)＝0.
所以g(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，
因為g(x)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱，
所以g(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞減，
(1)出現(xiàn)nf(x)＋xf′(x)形式，構(gòu)造函數(shù)F(x)＝xnf(x).
跟蹤訓(xùn)練1　(多選)(2023·郴州統(tǒng)考)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當x>0時，xf′(x)＋2f(x)>0恒成立，則A.f(1)0，∴當x>0時，g′(x)＝2xf(x)＋x2f′(x)＝x[xf′(x)＋2f(x)]>0，∴g(x)＝x2f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增.又f(x)為定義在R上的奇函數(shù)，y＝x2為定義在R上的偶函數(shù)，
∴g(x)＝x2f(x)為定義在R上的奇函數(shù).∴g(x)是增函數(shù).由g(2)>g(1)，可得4f(2)>f(1)，故A正確；由g(－1)>g(－2)，可得f(－1)>4f(－2)，故B錯誤；由g(4)>g(3)，可得16f(4)>9f(3)，故C錯誤；由g(－2)>g(－3)，可得4f(－2)>9f(－3)，故D正確.
題型二　利用f(x)與ex構(gòu)造函數(shù)
例2　(2024·吉安模擬)已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)2(e＋1)D.f(2 023)－ef(2 022)2(e－1)，故B正確.
(1)出現(xiàn)f′(x)＋nf(x)形式，構(gòu)造函數(shù)F(x)＝enxf(x).
跟蹤訓(xùn)練2　(2023·南昌模擬)已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)＋f′(x)>0，且有f(3)＝3，則f(x)>3e3－x的解集為___________.
設(shè)F(x)＝f(x)·ex，則F′(x)＝f′(x)·ex＋f(x)·ex＝ex[f(x)＋f′(x)]>0，∴F(x)是增函數(shù).又f(3)＝3，則F(3)＝f(3)·e3＝3e3.∵f(x)>3e3－x等價于f(x)·ex>3e3，即F(x)>F(3)，∴x>3，即所求不等式的解集為(3，＋∞).
題型三　利用f(x)與sin x，cs x構(gòu)造函數(shù)
∵當x∈(0，π)時，f′(x)sin x－f(x)cs xx2＋2即為不等式g(x)>2，
由f(1)＝3，得g(1)＝2，所以g(x)>g(1)，所以|x|>1，解得x>1或xx2＋2的解集是(－∞，－1)∪(1，＋∞).
A.α3>β3 B.α＋β>0C.|α||β|
則f(－x)＝－xsin(－x)＝xsin x＝f(x)，則f(x)為偶函數(shù)，又f′(x)＝sin x＋xcs x，
又αsin α－βsin β>0，即f(α)>f( β)，所以|α|>|β|.
3.定義在R上的函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，若對任意實數(shù)x，有f(x)>f′(x)，且f(x)＋2 024為奇函數(shù)，則不等式f(x)＋2 024exf′(x)，所以g′(x)0，則下列結(jié)論正確的是A.f(2)－ln 2>f(1) 　　B.f(4)－f(2)>ln 2C.f(2)＋ln 2>f(e)＋1 　　D.f(e2)－f(e)>1
構(gòu)造函數(shù)g(x)＝f(x)－ln x，x>0，
因為xf′(x)－1>0，所以g′(x)>0，故g(x)是增函數(shù)，由g(2)>g(1)得，f(2)－ln 2>f(1)－ln 1，即f(2)－ln 2>f(1)，故A正確；由g(4)>g(2)得，f(4)－ln 4>f(2)－ln 2，
即f(4)－f(2)>ln 4－ln 2＝ln 2，故B正確；由g(e)>g(2)得，f(e)－ln e>f(2)－ln 2，即f(e)＋ln 2>f(2)＋1，故C錯誤；由g(e2)>g(e)得，f(e2)－ln e2>f(e)－ln e，即f(e2)－2>f(e)－1，即f(e2)－f(e)>1，故D正確.
8.(2023·保定模擬)已知函數(shù)f(x)的定義域為(0，＋∞)，導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，滿足xf′(x)－f(x)＝(x－1)ex(e為自然對數(shù)的底數(shù))，且f(1)＝0，則A.3f(2)>2f(3)B.f(1)0，則x>1，
故g(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，
則3f(2)0，得x>1，令f′(x)＝ex－e

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