第三章　培優(yōu)點(diǎn)5　隱零點(diǎn)-【北師大版】2025年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)（課件+講義+練習(xí)）

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隱零點(diǎn)問(wèn)題是指函數(shù)的零點(diǎn)存在但無(wú)法直接求解出來(lái)的問(wèn)題，在函數(shù)、不等式與導(dǎo)數(shù)的綜合題目中常會(huì)遇到涉及隱零點(diǎn)的問(wèn)題，處理隱零點(diǎn)問(wèn)題的基本策略是判斷單調(diào)性，合理取點(diǎn)判斷符號(hào)，再結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)存在定理處理.
題型一　不含參函數(shù)的隱零點(diǎn)問(wèn)題
(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；
由題知，f′(x)＝(x2－1)ex－a(x2－1)＝(x－1)(x＋1)(ex－a).若a≤1，當(dāng)00，所以g(x)在(－1，＋∞)上單調(diào)遞增，
又g(－1)＝－10，故g(x)在(－1,0)上有唯一的零點(diǎn)β，即g(β)＝0，因此有aeβ(β＋1)＝1.當(dāng)x∈(－1，β)時(shí)，g(x)0.所以f(x)在(－1，β)上單調(diào)遞減，在(β，＋∞)上單調(diào)遞增，故f(β)為最小值.
由aeβ(β＋1)＝1，得－ln(β＋1)＝ln a＋β，所以當(dāng)－10，
所以f(x)≥f(β)>0.因此當(dāng)a>1時(shí)，f(x)沒(méi)有零點(diǎn).
已知含參函數(shù)f(x，a)，其中a為參數(shù)，導(dǎo)函數(shù)方程f′(x，a)＝0的根存在，卻無(wú)法求出，設(shè)方程f′(x)＝0的根為x0，則①有關(guān)系式f′(x0)＝0成立，該關(guān)系式給出了x0，a的關(guān)系；②注意確定x0的合適范圍，往往和a的范圍有關(guān).
跟蹤訓(xùn)練2　已知函數(shù)f(x)＝ex－a－ln x＋x.(1)當(dāng)a＝1時(shí)，求曲線f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線方程；
當(dāng)a＝1時(shí)，f(x)＝ex－1－ln x＋x，
則f′(1)＝1，而f(1)＝2，則切線方程為y－2＝x－1，即x－y＋1＝0，所以曲線f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線方程為x－y＋1＝0.
(2)當(dāng)a≤0時(shí)，證明：f(x)>x＋2.
當(dāng)a≤0時(shí)，令F(x)＝f(x)－x－2＝ex－a－ln x－2，x>0，
顯然函數(shù)F′(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，令g(x)＝xex－a－1，x≥0，g′(x)＝(x＋1)ex－a>0，即函數(shù)g(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，而g(0)＝－10，
則存在唯一x0∈(0,1)，使得g(x0)＝0，
因此存在唯一x0∈(0,1)，使得F′(x0)＝0，當(dāng)0x＋2.
1.(2023·荊門(mén)模擬)設(shè)函數(shù)f(x)＝ex＋bsin x，x∈(－π，＋∞).若函數(shù)f(x)在(0，f(0))處的切線的斜率為2.(1)求實(shí)數(shù)b的值；
∵f(x)＝ex＋bsin x，∴f′(x)＝ex＋bcs x，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知，f(x)在(0，f(0))處的切線的斜率k＝f′(0)＝e0＋bcs 0＝1＋b，由已知k＝1＋b＝2，解得b＝1.
(2)求證：f(x)存在唯一的極小值點(diǎn)x0，且f(x0)>－1.
由(1)得f(x)＝ex＋sin x，x∈(－π，＋∞)，∴f′(x)＝ex＋cs x，令g(x)＝ex＋cs x，x∈(－π，＋∞)，則g′(x)＝ex－sin x，當(dāng)x∈(－π，0]時(shí)，ex>0，sin x≤0，g′(x)＝ex－sin x>0，當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，ex>1，sin x≤1，g′(x)＝ex－sin x>0，
∴當(dāng)x∈(－π，＋∞)時(shí)，g′(x)>0，g(x)在區(qū)間(－π，＋∞)上單調(diào)遞增，
使g(x0)＝ ＋cs x0＝0，又∵g(x)在區(qū)間(－π，＋∞)上單調(diào)遞增，
∴x＝x0是g(x)在(－π，＋∞)上的唯一零點(diǎn)，∴f′(x)＝ex＋cs x在區(qū)間(－π，＋∞)上單調(diào)遞增，且f′(x0)＝ ＋cs x0＝0，當(dāng)x∈(－π，x0)時(shí)，f′(x)0，f(x)在區(qū)間(x0，＋∞)上單調(diào)遞增，∴f(x)存在唯一極小值點(diǎn)x0.又∵ ＋cs x0＝0，∴ ＝－cs x0，∴f(x0)＝ ＋sin x0＝sin x0－cs x0
2.(2023·綿陽(yáng)模擬)已知函數(shù)f(x)＝ax－ln x，a∈R.
令f′(x)＝0得x＝e，所以當(dāng)x∈(0，e)時(shí)，f′(x)0，f(x)單調(diào)遞增，所以函數(shù)f(x)在x＝e處取得最小值，f(x)min＝f(e)＝0.
(2)若函數(shù)f(x)≤xex－(a＋1)ln x對(duì)x∈(0，＋∞)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
因?yàn)楹瘮?shù)f(x)≤xex－(a＋1)ln x對(duì)x∈(0，＋∞)恒成立，所以xex－a(x＋ln x)≥0對(duì)x∈(0，＋∞)恒成立，令h(x)＝xex－a(x＋ln x)，x>0，
①當(dāng)a＝0時(shí)，h′(x)＝(x＋1)ex>0，h(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，所以由h(x)＝xex可得h(x)>0，即滿足xex－a(x＋ln x)≥0對(duì)x∈(0，＋∞)恒成立；
②當(dāng)a0，h′(x)>0，h(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，因?yàn)楫?dāng)x趨近于0＋時(shí)，h(x)趨近于負(fù)無(wú)窮，不成立，故不滿足題意；③當(dāng)a>0時(shí)，令h′(x)＝0得a＝xex，
故k(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，因?yàn)楫?dāng)x趨近于正無(wú)窮時(shí)，k(x)趨近于正無(wú)窮，當(dāng)x趨近于0時(shí)，k(x)趨近于負(fù)無(wú)窮，
所以?x0∈(0，＋∞)，使得h′(x0)＝0，a＝ ，所以當(dāng)x∈(0，x0)時(shí)，h′(x)0，h(x)單調(diào)遞增，所以只需h(x)min＝h(x0)＝ －a(x0＋ln x0)＝ ≥0即可；所以1－x0－ln x0≥0,1≥x0＋ln x0，因?yàn)閤0＝ ，所以ln x0＝ln a－x0，