在某些函數(shù)方程、不等式問題中,可以通過等價變形,將方程或不等式變成左右兩端結(jié)構(gòu)一致的情形,進而構(gòu)造函數(shù),運用函數(shù)的單調(diào)性來解決問題,這種處理問題的方法叫做同構(gòu).常見的同構(gòu)有雙變量同構(gòu)和指對同構(gòu),難度較大.
如果同構(gòu)后不等式兩邊具有結(jié)構(gòu)的一致性,那么往往暗示了單調(diào)性.
2.指對同構(gòu)(1)應(yīng)用條件:指對形式同時出現(xiàn),可能需要利用指對同構(gòu)來解決問題.(2)變形依據(jù):為了實現(xiàn)不等式兩邊“結(jié)構(gòu)”相同的目的,需時時對指對式進行“改頭換面”,常用的恒等變形的依據(jù)是x=eln x(x>0),x=ln ex(x∈R).例如:①xex=ex+ln x;x+ln x=ln(xex).
有時也需要對兩邊同時加、乘某式等.
(3)常見同構(gòu)等式:xln x=eln xln x,xex=eln xex;x+ln x=ln x+eln x,x+ex=eln x+ex.(4)常見同構(gòu)不等式①乘積同構(gòu)模型:aea1,即f'(x)>0,f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.綜上可知,f(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞減,在(0,+∞)上單調(diào)遞增.
(2)證明 要證f(x)-ln x≥1,即證xex-x-ln x≥1,即證ex+ln x-(x+ln x)≥1,令t=x+ln x,易知t∈R,待證不等式轉(zhuǎn)化為et-t≥1.設(shè)u(t)=et-t,則u'(t)=et-1,當(dāng)t0,故u(t)在(-∞,0)上單調(diào)遞減,在(0,+∞)上單調(diào)遞增.所以u(t)≥u(0)=1,原命題得證.
4.(2024·河南平頂山模擬)已知函數(shù)f(x)=x+2+aln x.(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)設(shè)a>0,若對任意x1,x2∈(0,1],且x1≠x2,都有|f(x1)-f(x2)|< ,求實數(shù)a的取值范圍.
解 (1)函數(shù)y=f(x)的定義域為(0,+∞),f'(x)=當(dāng)a≥0時,f'(x)>0恒成立,此時,函數(shù)y=f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增;當(dāng)a

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