第04講 多邊形的內(nèi)角和與外角和(7類熱點題型講練) 1．理解多邊形內(nèi)角和公式的推導過程，并掌握多邊形的內(nèi)角和與外角和公式；(重點) 2．靈活運用多邊形的內(nèi)角和與外角和定理解決有關(guān)問題．(難點) 知識點01 多邊形的概念 1．定義：在平面內(nèi)不在同一直線上的一些線段首尾順次相接所組成的封閉圖形叫做多邊形．其中，各個角相等、各條邊相等的多邊形叫做正多邊形． 2．相關(guān)概念： 邊：組成多邊形的各條線段叫做多邊形的邊． 頂點：每相鄰兩條邊的公共端點叫做多邊形的頂點． 內(nèi)角：多邊形相鄰兩邊組成的角叫多邊形的內(nèi)角，一個n邊形有n個內(nèi)角. 外角：多邊形的邊與它的鄰邊的延長線組成的角叫做多邊形的外角. 對角線：連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段，叫做多邊形的對角線． 凸多邊形 凹多邊形 3.多邊形的分類:畫出多邊形的任何一邊所在的直線，如果整個多邊形都在這條直線的同一側(cè)，那么這個多邊形就是凸多邊形，如果整個多邊形不在直線的同一側(cè)，這個多邊形叫凹多邊形．如圖： 特別說明： (1)正多邊形必須同時滿足“各邊相等”，“各角相等”兩個條件，二者缺一不可； (2)過n邊形的一個頂點可以引(n-3)條對角線，n邊形對角線的條數(shù)為； (3)過n邊形的一個頂點的對角線可以把n邊形分成(n-2)個三角形． 知識點02 多邊形內(nèi)角和 n邊形的內(nèi)角和為(n-2)·180°(n≥3)． 特別說明： (1)內(nèi)角和公式的應用：①已知多邊形的邊數(shù)，求其內(nèi)角和；②已知多邊形內(nèi)角和求其邊數(shù)；(2)正多邊形的每個內(nèi)角都相等，都等于； 知識點03 多邊形的外角和 多邊形的外角和為360°． 特別說明：(1)在一個多邊形的每個頂點處各取一個外角，這些外角的和叫做多邊形的外角和．n邊形的外角和恒等于360°，它與邊數(shù)的多少無關(guān)； (2)正n邊形的每個內(nèi)角都相等，所以它的每個外角都相等，都等于； (3)多邊形的外角和為360°的作用是：①已知各相等外角度數(shù)求多邊形邊數(shù)；②已知多邊形邊數(shù)求各相等外角的度數(shù)． 題型01 多邊形內(nèi)角和問題 【例題】（2024·遼寧·模擬預測）一個八邊形的內(nèi)角和是 ． 【變式訓練】 1．（23-24八年級下·上?！るA段練習）一個多邊形的內(nèi)角和是，則這個多邊形是 邊形． 2．（2024·河北邯鄲·一模）已知一個正邊形的內(nèi)角和與外角和的差為，則 ． 題型02 多邊形對角線的條數(shù)問題 【例題】（23-24七年級下·江蘇泰州·階段練習）從十邊形的一個頂點畫這個多邊形的對角線，最多可畫 條． 【變式訓練】 1．（23-24八年級上·湖北武漢·階段練習）六邊形的內(nèi)角和為 ，外角和為 ，它共有 條對角線． 2．（23-24八年級上·湖北武漢·階段練習）八邊形從一個頂點出發(fā)可以畫a條對角線，將這個八邊形分成b個三角形，則 ． 題型03 多邊形截角后的邊數(shù)問題 【例題】（22-23八年級上·青海西寧·階段練習）一個四邊形截去一個角后，所形成的一個新多邊形的邊數(shù)是 ． 【變式訓練】 1．（21-22八年級上·四川綿陽·階段練習）若一個多邊形截去一個角后，得到的新多邊形為十五邊形，則原來的多邊形邊數(shù)為 ． 2．（22-23八年級上·黑龍江牡丹江·期末）一個多邊形的外角和是內(nèi)角和的，若這個多邊形截去一個角后，則所形成的多邊形是 邊形． 題型04 多邊形截角后的內(nèi)角和問題 【例題】（22-23八年級上·貴州安順·期末）將一個五邊形紙片，剪去一個角后得到另一個多邊形，則得到的多邊形的內(nèi)角和是（?????） A． B． C．或 D．或或 【變式訓練】 1．（22-23七年級下·江蘇淮安·階段練習）小明將一個五邊形用剪刀沿直線剪去一個角，將這個五邊形分成兩個多邊形，那么關(guān)于這兩個多邊形所有的內(nèi)角的和與原五邊形的內(nèi)角和相比，下列說法中不可能的是（???） A．減少180° B．不變 C．增加180° D．增加360° 2．（22-23八年級下·浙江·單元測試）一個四邊形，截一刀后得到的新多邊形的內(nèi)角和將（　?。?A．增加 B．減少 C．不變 D．不變或增加或減少 題型05 多邊形外角和的實際應用 【例題】（22-23八年級下·浙江杭州·期末）如圖，是五邊形的外角，且，則的度數(shù)是（????） A． B． C． D． 【變式訓練】 1．（23-24七年級下·江蘇鹽城·階段練習）將等邊三角形、正方形、正五邊形按如圖所示的位置擺放，如果，，那么的度數(shù)等于（????） ?? A． B． C． D． 2．（23-24八年級上·貴州黔東南·期中）如圖所示，七邊形中，的延長線相交于點O，若圖中的和為，則的度數(shù)為（????） A． B． C． D． 題型06 多邊形內(nèi)角和與外角和綜合 【例題】（23-24八年級上·新疆昌吉·期中）如圖，在五邊形中， (1)若，請求的度數(shù)； (2)試求出及五邊形外角和的度數(shù)． 【變式訓練】 1．（22-23八年級下·河北保定·期末）某數(shù)學興趣小組在學習了“多邊形內(nèi)角和與外角和”后深入思考，繼續(xù)探究多邊形的一個外角與它不相鄰的內(nèi)角之和具有的數(shù)量關(guān)系． ?? (1)如圖1，與，之間的數(shù)量關(guān)系為______．若，，則______． (2)如圖2，是四邊形ABCD的外角，求證：． (3)若n邊形的一個外角為，與其不相鄰的內(nèi)角之和為，則x，y與n的數(shù)量關(guān)系是______． 2．（23-24九年級上·甘肅蘭州·期中）【題目】如圖①：根據(jù)圖形填空： （1）　　，　??； （2）______　 ； 【應用】 （3）如圖②．求的度數(shù)； 【拓展】 （4）如圖③，若，則的大小為度． ?? 題型07 平面鑲嵌 【例題】（2023·山東青島·模擬預測）如圖是一種特殊的五邊形，3個這樣的五邊形可以密鋪拼成一個正六邊形．若，則 ． ?? 【變式訓練】 1．（23-24八年級上·江西南昌·階段練習）如圖所示，是工人師傅用邊長均為a的一塊正六邊形和一塊正方形地磚繞著點B進行的鋪設(shè)，若將一塊邊長為a的正多邊形地磚恰好能無空隙、不重疊地拼在處，則這塊正多邊形地磚的邊數(shù)是 ． 2．（23-24八年級上·山東煙臺·期末）小穎家買了新樓，她想在邊長相同的①正三角形、②正方形、③正五邊形、④正六邊形四種瓷磚中，選擇一些瓷磚進行地面的鑲嵌（彼此之間不留空隙、不重疊）． (1)她想選用兩種瓷磚，若已選用正三角形瓷磚，則可以再選擇的是______瓷磚（填寫序號）； (2)她發(fā)現(xiàn)僅用正五邊形瓷磚不能鑲嵌地面，若將三塊相同的正五邊形瓷磚按如圖所示放置，求的度數(shù)． 一、單選題 1．（2024·北京東城·一模）正八邊形每個內(nèi)角的度數(shù)為（????） A． B． C． D． 2．（23-24八年級上·安徽淮南·期末）若一個多邊形的外角和與它的內(nèi)角和相等，則這個多邊形是（????）邊形 A．六 B．五 C．四 D．三 3．（23-24七年級下·全國·課后作業(yè)）如果一個多邊形的每個內(nèi)角都相等，且內(nèi)角和為，那么這個多邊形的一個外角的度數(shù)為（　　） A． B． C． D． 4．（2024·河北保定·一模）如圖，將五邊形沿虛線裁去一個角，得到六邊形，則下列說法正確的是（????） A．外角和減少 B．外角和增加 C．內(nèi)角和減少 D．內(nèi)角和增加 5．（22-23七年級下·江蘇蘇州·期中）如圖，在四邊形中，的角平分線與的外角平分線相交于點P，且，則（????） A． B． C． D． 二、填空題 6．（2024·廣東潮州·一模）圖（1）是一張六角発，其俯視圖為正六邊形[圖（2）]，則該六邊形的每個內(nèi)角為 ． ?? 7．（2024·陜西咸陽·二模）已知一個正多邊形的內(nèi)角和與其外角和的和為，那么從這個正多邊形的一個頂點出發(fā)，可以作 條對角線． 8．（2024·陜西榆林·二模）某廣場的地面是由相同的正五邊形與相同的四角星形（四個尖角的度數(shù)相同）鋪成的無縫隙，不重疊的圖形，如圖是該廣場地面的一部分，則圖中四角星形的尖角的度數(shù)為 °． 9．（2024·廣東江門·模擬預測）春節(jié)期間，小宇去表哥家拜年，好學的他發(fā)現(xiàn)在表哥新裝修的房子里，鋼琴房的背景墻上有用巖板作的幾何圖案造型．如圖，這個圖案是由正六邊形、正方形及拼成的（不重疊，無縫隙），則的度數(shù)是 ． 10．（2024·河北邢臺·一模）如圖，在正六邊形中，P、Q點分別是、的中點，點M從點P出發(fā)，沿向終點Q運動，在運動過程中，若 （1）點M在邊 上； （2）若，則 ． 三、解答題 11．（23-24八年級下·全國·課后作業(yè)）（1）已知一個多邊形的內(nèi)角和比它的外角和的3倍還多，求這個多邊形的邊數(shù)； （2）已知一個多邊形的每一個外角都相等，一個內(nèi)角與一個外角的度數(shù)之比為，求這個多邊形的邊數(shù)． 12．（23-24七年級下·全國·課后作業(yè)）如圖，在五邊形中，． (1)求的度數(shù)； (2)試說明：． 13．（23-24八年級上·陜西安康·期中）如圖，小東在操場的中心位置，從點出發(fā)，每走向左轉(zhuǎn)， ?? (1)小東能否走回點處？若能，請求出小東一共走了多少米；若不能，請說明理由． (2)小東走過的路徑是一個什么幾何圖形？并求這個幾何圖形的內(nèi)角和． 14．（23-24八年級下·浙江紹興·階段練習）已知：如圖，四邊形中，，平分，交于點E，，交于點F． (1)求的度數(shù)； (2)寫出圖中與相等的角并說明理由． 15．“轉(zhuǎn)化”是數(shù)學中的一種重要思想，即把陌生的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題，把復雜的問題轉(zhuǎn)化為簡單的問題，把抽象的問題轉(zhuǎn)化為具體的問題． ?? (1)請你根據(jù)已經(jīng)學過的知識求出下面星形圖①中的度數(shù)； (2)若將圖①中的星形截去一個角，如圖②，請你求出的度數(shù)； (3)若再將圖②中的星形進一步截去角，你能由題(2)中所得的方法或規(guī)律，猜想出圖③中的的度數(shù)嗎？(只要寫出結(jié)論，不需要寫出解題過程) 16．（23-24八年級下·湖北武漢·開學考試）在四邊形中，O在其內(nèi)部，滿足，． (1)如圖1，當時，如果，直接寫出的度數(shù)______； (2)當時，M、N分別在、的延長線上，下方一點P，滿足，， ①如圖2，判斷與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論； ②如圖3，延長線段、交于點Q，中，存在一個內(nèi)角等于另一個內(nèi)角的2倍，直接寫出的度數(shù)為______．

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