1．復(fù)習(xí)直角三角形的相關(guān)知識，歸納并掌握直角三角形的性質(zhì)和判定；
2．學(xué)習(xí)并掌握勾股定理及其逆定理，能夠運用其解決問題．
3．探索并理解直角三角形全等的判定方法“HL”．
4．會用直角三角形全等的判定方法“HL”判定兩個直角三角形全等．
知識點1 直角三角形的性質(zhì)定理及推論
知識點2 勾股定理及逆定理
知識點3 直角三角形全等的判定HL法
題型01 直角三角形的兩個銳角互余
【例題】（2023上·浙江溫州·八年級溫州市第十二中學(xué)校聯(lián)考期中）在中，，那么另一個銳角的度數(shù)是 ．
【答案】/20度
【分析】本題考查的是直角三角形的性質(zhì)，掌握直角三角形兩銳角互余是解題的關(guān)鍵．根據(jù)直角三角形兩銳角互余進行計算即可．
【詳解】解：在中，，
．
故答案為：．
【變式訓(xùn)練】
1．（2023上·江蘇鹽城·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，，，點D在斜邊上，且，則 °．
【答案】
【分析】本題考查直角三角形性質(zhì)、等腰三角的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理得出，即可求解，熟練掌握等腰三角的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理是解答的關(guān)鍵．
【詳解】解：∵在中，，，
∴，
，
∴，
∴，
故答案為：．
2．（2023上·上海閔行·八年級校聯(lián)考期中）如圖，中，，，，若 恰好經(jīng)過點，交于，則的度數(shù)為 °
【答案】
【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并準(zhǔn)確識圖是解答本題的關(guān)鍵．
根據(jù)直角三角形兩銳角互余，求出，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等得到，全等三角形對應(yīng)角相等可得，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出，再求出，然后根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)得到結(jié)果．
【詳解】解：由已知得，
，，
，
，
，，
，
，
，
在中，
．
故答案為：．
題型02 判斷三邊能否構(gòu)成直角三角形
【例題】（2023上·山東煙臺·七年級統(tǒng)考期中）在中，、、的對應(yīng)邊分別是a、b、c，則不能確定是直角三角形的是（ ）
A．B．，
C．D．
【答案】D
【分析】本題考查了直角三角形的性質(zhì)、分別根據(jù)勾股定理的逆定理，三角形的內(nèi)角和定理可以判斷出結(jié)果，熟練運用三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：A、設(shè)，則，，，
∵，
∴是直角三角形，能確定，該選項不符合題意；
B、∵，，，
∴是直角三角形，能確定，該選項不符合題意；
C、設(shè)，則，，
∵，
即，
解得，
則，
∴是直角三角形，能確定，該選項不符合題意；
D、∵，，
∴即，
此時不能確定或是否為，
∴不確定是直角三角形，該選項符合題意；
故選：D．
【變式訓(xùn)練】
1．（2023上·陜西西安·八年級?？茧A段練習(xí)）已知的三條邊長，，滿足，則的面積為 ．
【答案】6
【分析】本題考查的是勾股定理的逆定理、二次根式有意義的條件、絕對值和偶次方的非負(fù)性，根據(jù)二次根式有意義的條件求出、、是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)二次根式有意義的條件求出，根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)分別求出、，根據(jù)勾股定理的逆定理得到，根據(jù)三角形的面積公式計算，得到答案．
【詳解】解：，
，
，
故答案為：6．
2．（2023上·山東青島·八年級校考階段練習(xí)）在中，給出以下4個條件：
①；②；③；④．
從中任取一個條件，可以判定出是直角三角形的有 ．（填序號）
【答案】①②③
【分析】由可直接得出是直角三角形，可判斷①；由，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理可求出，得出是直角三角形，可判斷②；由，可設(shè)，則，，根據(jù)勾股定理逆定理即可證明是直角三角形，可判斷③；由，可設(shè)，則，，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理可求出，從而即可證明，可判斷④．
【詳解】解：①可直接得出是直角三角形；
②∵，，
∴，
∴，故是直角三角形；
③∵，故可設(shè)，則，，
又∵，即，
∴是直角三角形；
④∵，故可設(shè)，則，，
∵，
∴，
解得：，
∴，，，
∴不是直角三角形．
故答案為：①②③．
【點睛】本題考查直角三角形的定義，三角形內(nèi)角和定理，勾股定理逆定理．熟練掌握以上知識點是解題關(guān)鍵．
3．已知a，b，c滿足．
(1)求a，b，c的值；
(2)試問：以a，b，c為三邊長能否構(gòu)成直角三角形，如果能，請求出這個三角形的面積，如不能構(gòu)成三角形，請說明理由．
【詳解】（1）根據(jù)題意得：，，，
解得：，，．
（2）能構(gòu)成直角三角形，
，
，
，
以、、為邊長的三角形是直角三角形．
三角形的面積是：．
題型03 在網(wǎng)格中判斷直角三角形
【例題】如圖，正方形網(wǎng)格中的每個小正方形的邊長都是，求下列問題：

(1)試說明是直角三角形；
(2)求點到的距離．
【詳解】（1）解：由圖可知：
，，．
是直角三角形

（2）由（1）可知：，，
點到的距離是．
故答案為
【變式訓(xùn)練】
1．（2023上·陜西西安·八年級校考期中）如圖，網(wǎng)格中的每個小正方形的邊長為1，的頂點A、B、C均在網(wǎng)格的格點上，邊上的高長為 ．

【答案】
【分析】由勾股定理可得，，，由勾股定理的逆定理判斷是直角三角形，然后根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論．
【詳解】解：由勾股定理得：，，，
，
為直角三角形，，
設(shè)邊上的高為，
，
，
，
上的高為2，
故答案為：2．
【點睛】本題主要考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形的面積公式，二次根式的乘法運算，熟練掌握勾股定理及勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵．
2．如圖，正方形網(wǎng)格中的每個小正方形的邊長都是1，每個小格的頂點叫格點，網(wǎng)格中有以格點A，B，C為頂點的，請根據(jù)所學(xué)的知識回答下列問題：
(1)判斷的形狀，并說明理由；
(2)求的面積．
【詳解】（1）解：是直角三角形，
理由：，，，
所以，
所以是直角三角形；
（2）的面積：．
題型04 利用勾股定理的逆定理求解
【例題】如圖，點在中，，，，

(1)求的長；
(2)求圖中陰影部分的面積．
【詳解】（1）解：∵，，，
，
（2）∵，，
，
是直角三角形，，
．
故圖中陰影部分的面積為．
【變式訓(xùn)練】
1．在四邊形中，，求四邊形的面積．
【詳解】解：連接，
∵∠B=90°，
∴為直角三角形，
∵，
根據(jù)勾股定理得：，
又∵，
∴，
∴，
∴為直角三角形，
∴，
答：四邊形的面積36．
2．如圖，學(xué)校有一塊三角形空地，計劃將這塊三角形空地分割成四邊形和，分別擺放“秋海棠”和“天竺葵”兩種不同的花卉，經(jīng)測量，，，，，，，求四邊形的面積．
【詳解】解：由題意得：，
，
在中，由勾股定理得：，
，
，
是直角三角形，且，
．
答：四邊形的面積為18．
題型05 勾股定理逆定理的實際應(yīng)用
【例題】如圖，在筆直的公路旁有一座山，為方便運輸貨物現(xiàn)要從公路上的處開鑿隧道修通一條公路到處，已知點與公路上的?？空镜木嚯x為，與公路上另一?？空镜木嚯x為，?？空局g的距離為，且．

(1)求修建的公路的長；
(2)一輛貨車從點到點處走過的路程是多少？
【詳解】（1）解：，，，
，
是直角三角形，，
，
（）．
故修建的公路的長是；
（2）解：在中， （），
故一輛貨車從點到處的路程是．
【變式訓(xùn)練】
1．在一條東西走向的河流一側(cè)有一村莊C，河邊原有兩個取水點A，B，其中，由于某種原因，由C到A的路現(xiàn)在已經(jīng)不通，該村為方便村民取水，決定在河邊新建一個取水點D（A，D，B在同一條直線上），并新修一條路，測得千米，千米，千米．

(1)求的度數(shù)；
(2)求取水點A到取水點D的距離．
【詳解】（1）∵千米，千米，千米，
∴，
∴，
∴為直角三角形，
∴，
∴；
（2）設(shè)千米，則千米，
∴千米，
∵，
∴，
∴，即，
解得：．
答：取水點A到取水點D的距離為千米．
2．某小區(qū)在社區(qū)管理人員及社區(qū)居民的共同努力之下，在臨街的拐角清理出了一塊可以綠化的空地，如圖，，，，．
(1)技術(shù)人員在只有卷尺的情況下，通過測量某兩點間的距離，便快速確定了．寫出技術(shù)人員測量的是哪兩點之間的距離以及確定的依據(jù)；
(2)現(xiàn)計劃在空地內(nèi)種草，若每平方米草地造價30元，這塊地全部種草的費用是多少元？
【詳解】（1）測量的是點A，C之間的距離；
依據(jù)是：如果是三角形的三邊長a，b，c滿足，那么這個三角形是直角三角形；
（2）如圖，連接，
∵由（1）得，
在中，，
在中，，，
∵，
∴，
∴，
∴（平方米），
（元），
答：這塊地全部種草的費用是1080元．
題型06 全等的性質(zhì)和HL綜合
【例題】（2023上·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，在中，，D為邊的中點，于點E，于點F，．求證：是等邊三角形．
【答案】見解析
【分析】本題考查了等邊三角形的判定，利用三角形全等，證明，繼而證明三角形的三邊相等即可．
【詳解】證明：∵D為邊的中點，
∴．
∵，，
∴．
在和中，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
∴是等邊三角形．
【變式訓(xùn)練】
1．（2023上·福建莆田·八年級校聯(lián)考期中）如圖，點、、、在同一條直線上， ，，，．求證：．
【答案】見詳解
【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，先由，得，再結(jié)合，，，則通過“”證明，即可作答．
【詳解】證明：∵，
∴，
即，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
2．（2023上·湖南衡陽·八年級衡陽市外國語學(xué)校?？计谥校┤鐖D，，垂足分別為．
(1)求證：；
(2)若，求四邊形的面積．
【答案】(1)見解析
(2)12
【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握直角三角形全等的判定方法是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)“如果兩個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等，那么這兩個直角三角形全等”，即可證明；
（2）利用全等三角形的對應(yīng)邊相等，面積相等，即可求解．
【詳解】（1）證明：在和中，
，
∴；
（2）解：由（1）知：，
∴，，
∴，
∴，
∴．
即四邊形的面積是12．
題型07 全等的性質(zhì)和HL綜合
【例題】（2023上·吉林白城·八年級校聯(lián)考期末）如圖，已知是上的一點，且．
(1)和全等嗎？請說明理由；
(2)判斷的形狀，并說明理由．
【答案】(1)．理由見解析
(2)是等腰直角三角形．理由見解析
【分析】本題考查的是直角三角形的全等判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的定義，熟練的證明直角三角形全等是解本題的關(guān)鍵；
（1）先證明，再證明即可；
（2）由全等三角形的性質(zhì)可得，再證明，從而可得結(jié)論．
【詳解】（1）解：．理由如下：
，
∴，
∵，
∴，
在和中，．
．
（2），
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又，
∴是等腰直角三角形．
【變式訓(xùn)練】
1．（2023上·甘肅慶陽·八年級統(tǒng)考期中）如圖，已知，點在一條直線上，與交于點．
(1)求證：．
(2)若，求的度數(shù)．
【答案】(1)詳見解析
(2)
【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形外角的性質(zhì)．
（1）根據(jù)證明兩個三角形全等；
（2）根據(jù)三角形全等的性質(zhì)和三角形外角的性質(zhì)可求解．
【詳解】（1）解：證明：，
，即，
在和中，，
．
（2）解：，
，
由（1）知，
，
．
2．（2023上·甘肅蘭州·八年級蘭州市第五十六中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在中， F為延長線上一點，點 E在上，且 ．
(1)若 ，求 度數(shù)；
(2)求證： ；
(3)試判斷與的位置關(guān)系．
【答案】(1)
(2)見詳解
(3)
【分析】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的兩個銳角互余，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出所要證明結(jié)論需要的條件．
（1）根據(jù)在中，，F(xiàn)為延長線上一點，點E在上，且，可以得到和全等，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，進行求解即可；
（2）根據(jù)，可以得到，然后即可轉(zhuǎn)化為的關(guān)系，從而可以證明所要證明的結(jié)論；
（3）根據(jù)，，，結(jié)合，即可作答．
【詳解】（1）解：∵，
∴，
在和中，
，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
即．
（2）證明：∵，
∴，
∵，
∴．
（3）解：，過程如下：
延長交于一點H，如圖
∵，
∴，
由（1）知，
∴，
∴.
一、單選題
1．（2023上·河南周口·八年級統(tǒng)考期中）在中，，，則的度數(shù)是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本題考查直角三角形的性質(zhì)，直角三角形的兩銳角互余，根據(jù)直角三角形兩銳角互余即可求解．
【詳解】解：在中，，，
∴，
故選：B．
2．（2023上·河南鄭州·八年級?？计谥校┲?，，，的對邊分別記為a，b，c，有下列說法錯誤的是（ ）
A．如果，則
B．如果，則為直角三角形
C．如果a，b，c長分別為6，8，10，則a，b，c是一組勾股數(shù)
D．如果，則為直角三角形
【答案】B
【分析】本題考查了勾股定理的逆定理，三角形的內(nèi)角和定理．根據(jù)勾股定理的逆定理，三角形內(nèi)角和定理，勾股數(shù)的定義進行分析判斷即可．
【詳解】解：A、∵，
∴設(shè)，
∵，，
∴，
∴，故不符合題意；
B、∵，，
∴，
∴不是直角三角形，故符合題意；
C、∵a，b，c長分別為6，8，10，
∴，且a，b，c的長都是正整數(shù)，
∴a，b，c是一組勾股數(shù)．故不符合題意；
D、∵①，
②，
將①代入②得：，
∴，
∴是直角三角形，故不符合題意．
故選：B．
3．（2023上·浙江溫州·八年級溫州市第十二中學(xué)校聯(lián)考期中）如圖，是等腰底邊邊上的中線，，，則度數(shù)是（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本題考查了等腰三角形的三線合一性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余，平行線性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．首先根據(jù)題意得到，，然后求出，然后求出，然后利用平行線的性質(zhì)求解即可．
【詳解】∵是等腰底邊邊上的中線，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
故選：B．
4．（2023上·重慶墊江·八年級重慶市墊江中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖，在和中，，則下列結(jié)論中不一定成立的是（ ）

A．B．C．D．E為BC中點
【答案】D
【分析】根據(jù)斜邊直角邊定理，可得，運用全等三角形的性質(zhì)，可推，．
【詳解】解：
A. ∵
∴，故結(jié)論成立，本選項不合題意；
B. ∵
∴，故結(jié)論成立，本選項不合題意；
C. 如圖，∵
∴.
∵
∴
∴．故結(jié)論成立，本選項不合題意；

D. 根據(jù)題目條件無法推證E為BC中點，本結(jié)論錯誤，本選項符合題意；
故選：D
【點睛】本題考查直角三角形全等的判定和性質(zhì)，由全等三角形得到線段相等、角相等是解題的關(guān)鍵．
5．（2023上·河南南陽·八年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1．點A，B，C都在格點上，則下列結(jié)論錯誤的是（ ）
A．B．
C．的面積為5D．點A到的距離是1.5
【答案】D
【分析】本題考查的是勾股定理及其逆定理，利用網(wǎng)格圖計算三角形的面積，點到直線的距離．熟練掌握勾股定理及其逆定理是解題的關(guān)鍵．
利用勾股定理及其逆定理判定A，利用勾股定理求出長可判定B；利用網(wǎng)格圖計算三角形的面積可判定C；利用面積公式求出邊的高，即可利用點到直線的距離判定D．
【詳解】解：A、，，，
，
，本選項結(jié)論正確，不符合題意；
B、∵，
∴，本選項結(jié)論正確，不符合題意；
C、，本選項結(jié)論正確，不符合題意；
D、點A到的距離，本選項結(jié)論錯誤，符合題意；
故選：D．
二、填空題
6．（2023上·甘肅武威·八年級校考期末）如圖所示，，可使用“”判定與全等，則應(yīng)添加一個條件是 ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】本題考查了全等三角形的判定定理，能熟記全等三角形的判定定理是解此題的關(guān)鍵，注意：全等三角形的判定定理有，兩直角三角形全等含有．
本題是一道開放型的題目，答案不唯一，只有符合兩直角三角形全等的判定定理即可，條件可以是或．
【詳解】解：添加的條件是，
理由是：∵，
∴在與中，
∴，
故答案為：．
7．（2023上·甘肅張掖·八年級?？茧A段練習(xí)）若，則由，，組成的三角形是 三角形．
【答案】直角
【分析】本題考查了絕對值非負(fù)數(shù)，平方數(shù)非負(fù)數(shù)，算術(shù)平方根非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)幾個非負(fù)數(shù)的和等于0，則每一個算式都等于0列式是解題的關(guān)鍵，還考查了勾股定理逆定理的運用．根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)列式求出、、的值， 再根據(jù)勾股定理逆定理進行判斷即可得到此三角形是直角三角形 ．
【詳解】解：根據(jù)題意得，，，，
解得，，，
，
此三角形是直角三角形 ．
故答案為： 直角三角形 ．
8．（2023上·內(nèi)蒙古呼和浩特·八年級呼和浩特市實驗中學(xué)?？计谥校┤鐖D所示，在中，，，將其沿折疊，使點A落在邊上的處，則 ．
【答案】/20度
【分析】本題考查直三角形兩銳角互余及翻轉(zhuǎn)折疊有全等，先求出，再根據(jù)折疊性質(zhì)即可得到答案；
【詳解】解：∵，，
∴，
由翻折的性質(zhì)可得：，
∵，
∴，
故答案為：．
9．（2023上·河北石家莊·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，，，過上一點D作交的延長線于點P，交于點Q．若，則 ， ．
【答案】 2 2
【分析】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，含30度角的直角三角形，熟練掌握等邊三角形的判定與性質(zhì)，以及含30度角的直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)已知易得是等邊三角形，從而利用等邊三角形的性質(zhì)可得，，再利用垂直定義可得，從而利用直角三角形的兩個銳角互余可得，然后在中，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)可得，從而可得，最后利用對頂角相等可得，從而可得，進而利用等角對等邊即可解答．
【詳解】解：∵，，
∴是等邊三角形，
∴，，
∵，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案為：2，2．
10．（2023上·江蘇南通·九年級校考期末）如圖，在等腰梯形中，，，，，直角三角板含角的頂點放在邊上移動，直角邊始終經(jīng)過點，斜邊與交于點，若為等腰三角形，則的長為 ．

【答案】或或2
【分析】本題考查了等腰梯形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識．分三種情況討論：①當(dāng)時，過點D作于點G，根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)，易證四邊形是矩形，進而證明，得到，的長，由勾股定理求得，然后證明是等腰直角三角形，再利用勾股定理即可求出的長；②當(dāng)時，利用等腰梯形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，求得，進而得到，再利用，即可求出得長；③當(dāng)時，利用等腰梯形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，求得，進而利用勾股定理，得出的長，再利用三角形內(nèi)角和定理，易證是等腰直角三角形，得到，最后由勾股定理即可求出的長．
【詳解】解：①如圖1，當(dāng)時，過點D作于點G，

等腰梯形中，，
，，
，
，
，
，
四邊形是矩形，
，，
，
，
在和中，，
，
，
，
，
，
在中，，
，，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
在中，，
；
②如圖2，當(dāng)時，

，
等腰梯形中，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
；
③如圖3，當(dāng)時，

等腰梯形中，，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
在中，；
綜上所述，CF的長為或或2．
故答案為：或或2．
三、解答題
11．（2023上·四川宜賓·八年級統(tǒng)考期中）如圖，，點B，E，F(xiàn)在同一直線上，，，求證．
【答案】證明見解析．
【分析】本題考查了全等三角形的判定，先證出，由證明即可．
【詳解】證明：∵，
∴，
即，
∵，
在和中，
，
∴．
12．（2023上·遼寧鐵嶺·八年級統(tǒng)考期中）在一條東西走向河的一側(cè)有一村莊C，河邊原有兩個取水點A，B，其中，由C到A的路現(xiàn)在已經(jīng)不通，某村為方便村民取水決定在河邊新建一個取水點H（A、H、B在一條直線上），測得千米，千米，千米，
(1)問是否為從村莊C到河邊的最近路？（即問：與是否垂直？）請通過計算加以說明；
(2)求原來的路線的長．
【答案】(1)是，理由見解析
(2)2.5千米
【分析】本題考查勾股定理及其逆定理．
（1）根據(jù)勾股定理逆定理，求出，即可；
（2）設(shè)，在中，利用勾股定理進行求解即可．
掌握勾股定理及其逆定理，是解題的關(guān)鍵．
【詳解】（1）解：是，理由如下：
∵千米，千米，千米，
∴，
∴，即：，
∴是從村莊C到河邊的最近路；
（2）設(shè)，
∵，
∴，
∵，
∴，
由勾股定理，得：，
∴，
解得：，
∴的長為千米．
13．（2023上·吉林長春·八年級校考期中）如圖，網(wǎng)格中每個小正方形的邊長都為，的頂點均為網(wǎng)格上的格點．

(1)__________，__________，__________；
(2)的形狀為__________三角形；
(3)求中邊上的高__________．
【答案】(1)，，
(2)直角
(3)
【分析】（1）本題主要考查網(wǎng)格中的勾股定理，直接計算即可求解．
（2）主要考查勾股定理逆定理判定三角形的形狀，直接把三邊長度分別平方，可以發(fā)現(xiàn)即可判定三角形的形狀．
（3）考查利用等面積法求斜邊上的高，直接計算就可以求解．
【詳解】（1）由題可知，；
；
．
（2）解：∵，，；
∴；
∴為直角三角形．
（3）如下圖，過點作的垂線，垂足為；
∴；
∵是直角三角形；
∴；
∴；
∴．

14．（2023上·山東泰安·七年級東平縣實驗中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，已知，，，．
(1)求的長；
(2)求的度數(shù)．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】本題考查了勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，由勾股定理的逆定理判斷出為直角三角形是解題的關(guān)鍵．
（）根據(jù)勾股定理直接計算即可求解；
（）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到，又由勾股定理的逆定理得到，利用角的和差關(guān)系即可求解．
【詳解】（1）解：∵，，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴為直角三角形，，
∴．
15．（2023上·河南濮陽·八年級校聯(lián)考期中）定義：在一個三角形中，如果有一個角是另一個角的2倍，我們稱這兩個角互為“開心角”
例如：在中，如果，為“開心三角形”
問題：如圖，中，，，點是線段上一點（不與重合），連接
(1)如圖1，若，則是“開心三角形”嗎？為什么？
(2)若是“開心三角形”，直接寫出的度數(shù)
【答案】(1)是“開心三角形”，理由見解析
(2)或或
【分析】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理、直角三角形的性質(zhì)，本題是新定義題型，理解新定義，并熟練運用是解題的關(guān)鍵．
（1）利用直角三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理求得，再利用“開心三角形”的定義解答即可；
（2）利用分類討論的方法，根據(jù)“開心三角形”的定義解答即可．
【詳解】（1）解：是“開心三角形”，
理由如下：
，
，
，
，
在中，，
，
為開心三角形”，
在中，，
，
為開心三角形”；
（2）解：若是“開心三角形”，由于點是線段上一點（不與，重合），
則或或，
當(dāng)時，；
當(dāng)時，；
當(dāng)時，；
綜上，的度數(shù)為或或．
16．（2023上·江蘇無錫·八年級校聯(lián)考期中）如圖，已知在中，，D是上的一點，，點P從B點出發(fā)沿射線方向以每秒2個單位的速度向右運動．設(shè)點P的運動時間為t．連接．
(1)當(dāng)時，則______；
(2)當(dāng)為以為腰的等腰三角形時，求t的值；
(3)過點D作于點E．在點P的運動過程中，當(dāng)t為何值時，能使？
【答案】(1)20
(2)t的值16或5
(3)或11
【分析】（1）利用勾股定理進行求解即可．
（2）分，兩種情況進行討論求解即可；
（3）分點P在C點的左側(cè)和點在點的右側(cè)，兩種情況，進行求解即可．
【詳解】（1）當(dāng)時，如圖：
由題意，得：，
∴，
在中，，
在中，，
在中，，
∴，即：，
解得：，
∴；
故答案為：20．
（2）①當(dāng)時，如圖

∵
∴，
∴；

②若，則，
在直角三角形中，，
∴
解得：；
綜上所述：t的值16或5；
（3）∵，
∴，

①若P在C點的左側(cè)，則，
∴．
又，，且，
∴，
∴，
∴，
則，
解得：；

②若P在C點的右側(cè)，則，
∴，
同法可得：，
∴，
∴，
解得，
綜上所述：或11．
【點睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理．熟練掌握相關(guān)知識點，利用數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想，進行求解．
定理1
直角三角形的兩個銳角互余；
定理2
在直角三角形中，如果一個角等于300，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.
推論1：在直角三角形中，如果一個銳角等于，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半；
推論2：在直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對的角等于.
圖形
名稱
定理
符號表示
邊的定理
在直角三角形中，斜邊大于直角邊.
在中，
勾股定理
直角三角形兩條直角邊的平方和，等于斜邊的平方.
在中，，
勾股定理
逆定理
如果三角形的一條邊的平方等于其他兩條邊的平方和，那么這個三角形是直角三角形.
在中，，
圖形
定理
符號
如果兩個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等，那么這兩個直角三角形全等（簡記：H.L）
在中，，

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