人教B版 (2019)第二章　平面解析幾何2.2 直線及其方程2.2.3 兩條直線的位置關(guān)系課堂檢測(cè)-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

知識(shí)點(diǎn)01 兩條直線的相交、平行與重合
1.若直線l1：y=k1x+b1,l2：y=k2x+b2,則兩條直線的位置關(guān)系，可以用方程組y=k1k+b1y=k2k+b2的解的情況進(jìn)行判斷，得出結(jié)論： = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①l1與l2相交：k1≠k2; = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②l1與l2平行：k1=k2且b1≠b2; = 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③l1與l2重合：k1=k2且b1=b2
2.設(shè)直線l1：A1x+B1y+C1=0,l2：A2x+B2y+C2=0,則兩條直線的位置關(guān)系可以用法向量來處理.
因?yàn)関1=(A1,B1)是直線l1的一個(gè)法向量，v2=(A2,B2)是直線l2的一個(gè)法向量，則：
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①l1與l2相交（只有一個(gè)交點(diǎn)）的充要條件是v1與v2不共線，即A1B2≠A2B1
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②l1與l2平行或重合的充要條件是v1與v2共線，即A1B2=A2B1，其中l(wèi)1與l2重合的充要條件是，存在實(shí)數(shù)
A1=λA2，B1=λB2，C1=λC2。
直線Ax+By+C1=0與直線Ax+By+C2=0平行的充要條件是C1≠C2，重合的充要條件C1=C2
【即學(xué)即練1】（23-24高二上·新疆·期末）直線y=2x-1與y=ax+1平行，則a=（）
A．-1B．0C．1D．2
【即學(xué)即練2】（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）根據(jù)下列給定的條件，判斷直線l1與直線l2是否平行．
(1)l1經(jīng)過點(diǎn)A2,1，B-3,5，l2經(jīng)過點(diǎn)C3,-3，D8,-7；
(2)l1的傾斜角為60°，l2經(jīng)過點(diǎn)M3,23，N-2,-33．
知識(shí)點(diǎn)02兩條直線的垂直
一般地，若已知平面直角坐標(biāo)系中的直線l1：y=k1x+b1,l2：y=k2x+b2,（k1，k2存在且不為0）可得l1⊥l2，則k1k2=-1.
設(shè)直線l1：A1x+B1y+C1=0,l2：A2x+B2y+C2=0,因?yàn)関1=(A1,B1)是l1直線的一個(gè)法向量，v2=(A2,B2)是l2直線的一個(gè)法向量，所以l1⊥l2，則v1⊥v2，則A1A2+B1B2=0.
【即學(xué)即練3】（23-24高二上·重慶長(zhǎng)壽·期末）已知兩條直線y=ax-2和3x-y+1=0互相垂直，則a＝ .
【即學(xué)即練4】（24-25高二上·上?！ふn后作業(yè)）經(jīng)過直線l1：5x+2y-3=0和l2：3x-5y-8=0的交點(diǎn)，且與直線x+4y-7=0垂直的直線方程為．
難點(diǎn)：分類討論思想的運(yùn)用
示例1：（22-23高二上·四川雅安·階段練習(xí)）已知點(diǎn)A-4,0,B4,0,C2,2,D-2,2，直線y=ax+b(a>0)將四邊形ABCD分割為面積相等的兩部分，則b的取值范圍是．
【題型1：平行垂直關(guān)系的判定】
例1．（22-23高二上·全國·課后作業(yè)）下列說法中正確的有（）
A．若兩直線平行，則兩直線的斜率相等
B．若兩直線的斜率相等，則兩直線平行
C．若兩直線的斜率乘積等于-1，則兩直線垂直
D．若兩直線垂直，則兩直線的斜率乘積等于-1
變式1．（2023高二·上?！ｎ}練習(xí)）已知直線m:y=xcsα和n:3x+y=c，則（）
A．m和n可能重合
B．m和n不可能垂直
C．存在直線m上一點(diǎn)P，以P為中心旋轉(zhuǎn)后與n重合
D．以上都不對(duì)
變式2．(多選)（23-24高二上·江西九江·期末）設(shè)α∈R，對(duì)于直線l：xsinα+y+2=0，下列說法中正確的是（）
A．l的斜率為sinαB．l在y軸上的截距為-2
C．l不可能平行于x軸D．l與直線x-ysinα-1=0垂直
變式3．（多選）（23-24高二上·全國·課后作業(yè)）下列各直線中，與直線2x-y-3=0平行的是（）
A．2ax-ay+6=0a≠0,a≠-2B．y=2x
C．2x-y+5=0D．2x+y-3=0
變式4．（23-24高二下·全國·課前預(yù)習(xí)）直線l1:y=3x+2,l2:y=3x-1，那么l1與l2 .
變式5．（24-25高二上·上海·課堂例題）已知a2-3a+2=0，則直線l1：ax+3-ay-a=0和直線l2：6-2ax+3a-5y-4+a=0的位置關(guān)系為．
變式6．（24-25高二上·全國·課前預(yù)習(xí)）判斷下列兩條直線是否垂直．
(1)直線l1的斜率為-10，直線l2經(jīng)過點(diǎn)A10,2，B20,3；
(2)直線l1經(jīng)過點(diǎn)A3,4，B3,7，直線l2經(jīng)過點(diǎn)P-2,4，Q2,4；
(3)直線l1的法向量為1,2，直線l2的法向量為2,-1．
【方法技巧與總結(jié)】
判斷兩條直線是否平行的步驟：
看斜率：
1.斜率都不存在?看橫截距： = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①橫截距相等時(shí)：兩條直線重合 = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②橫截距不相等時(shí)：兩條直線平行
2.斜率存在?看斜率是否相等： = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①斜率相等時(shí)?看縱截距： = 1 \* Arabic \* MERGEFORMAT 1）縱截距相等：兩條直線重合，2）縱截距不相等時(shí)：兩條直線平行.
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②斜率不相等時(shí)，兩條直線不平行.
【題型2：由平行關(guān)系求參數(shù)】
例2．（24-25高三上·湖北·開學(xué)考試）已知兩條直線l1:ax+4y-1=0,l2:x+ay+2=0，則“a=2”是“l(fā)1//l2”的（）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
變式1．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）已知點(diǎn)Am,3，B2m,m+4，Cm+1,2，D1,0，且直線AB與直線CD平行，則m的值為（）
A．-1或0B．0或1C．1D．2
變式2．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）已知A1,-1，B2,2，C3,0三點(diǎn)，且有一點(diǎn)D滿足CD⊥AB，CB∥AD，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為（）
A．-1,0B．0,-1C．1,0D．0,1
變式3．（23-24高二下·安徽蕪湖·階段練習(xí)）“a=16”是“直線x+2ay-1=0與直線3a-1x-ay+1=0平行”的（）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
變式4．（23-24高二下·山西長(zhǎng)治·階段練習(xí)）已知直線2x-3y-3=0與直線ax+by-4=0平行，則ab=（）
A．-32B．-23C．23D．32
變式5．（23-24高三下·上海浦東新·期中）“a=1”是“直線ax-2y-2=0與直線x-a+1y+1=0平行”的（）
A．充分非必要條件B．必要非充分條件
C．充要條件D．既非充分又非必要條件
變式6．（23-24高二下·上?！るA段練習(xí)）已知平行四邊形ABCD中，一組對(duì)邊AB、CD所在直線的方程分別為ax+4y=a+2，x+ay=a，求實(shí)數(shù)a的值 .
變式7．（23-24高二下·上?！て谥校┮阎本€l1:x+my+6=0，l2:(m-2)x+3y+2m=0，根據(jù)下列條件分別求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
(1)l1與l2相交；
(2)l1與l2重合．
【方法技巧與總結(jié)】
設(shè)直線l1：y=k1x+b1,l2：y=k2x+b2,則有
1.l1與l2的斜率都存在，分別為，k1，k2則l1//l2?k1=k2,b1≠b2
2.設(shè)直線l1：A1x+B1y+C1=0,l2：A2x+B2y+C2=0，l1//l2?A1B2=A2B1,且直線不重合
【題型3：由垂直關(guān)系求參數(shù)】
例3．（24-25高三上·江蘇宿遷·階段練習(xí)）已知a>0，b>0，直線(a-1)x+y-1=0和x+2by+1=0垂直，則2a+1b的最小值為（）
A．16B．8C．4D．2
變式1．（23-24高二上·福建莆田·期中）若直線x+ay-2=0與直線a2x+y+1=0垂直.則a=（）
A．1B．-1C．0D．0或-1
變式2．（2024·河南·三模）已知直線Ax+By+C=0與直線y=2x-3垂直，則（）
A．A=-2B≠0B．A=2B≠0
C．B=-2A≠0D．B=2A≠0
變式3．（多選）（23-24高二下·浙江·期中）已知直線l1:A1x+B1y+C1=0和直線l2:A2x+B2y+C2=0，則下列說法正確的是（）
A．若A2=0，則l2表示與x軸平行或重合的直線
B．直線l1可以表示任意一條直線
C．若A1B2-A2B1=0，則l1 ∥ l2
D．若A1A2+B1B2=0，則l1⊥l2
變式4．（23-24高二下·上海·期中）若直線Ax+4y-2=0和直線2x-5y+C=0垂直，則A= ．
變式5．（24-25高二上·廣西·開學(xué)考試）已知直線l1:ax-a-4y+2=0，直線l2:2x+ay-1=0.
(1)若l1 // l2，求實(shí)數(shù)a的值；
(2)若l1⊥l2，求實(shí)數(shù)a的值.
變式6．（23-24高二下·上?！て谥校┮阎c(diǎn)A1,0，B-1,2．
(1)設(shè)m∈R，若直線AB與直線x-my+1=0垂直，求m的值；
(2)求過點(diǎn)B且與直線2x-y+1=0夾角的余弦值為255的直線方程．
變式7．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）已知直線l1的斜率為1，若直線l2⊥l1，則直線l2的傾斜角為．
【方法技巧與總結(jié)】
1.設(shè)直線l1：y=k1x+b1,l2：y=k2x+b2,則有
設(shè)直線l1：A1x+B1y+C1=0,l2：A2x+B2y+C2=0，l1⊥l2?A1A2+B1B2=0
【題型4：由平行關(guān)系求直線方程】
例4．（23-24高二下·四川南充·階段練習(xí)）與直線2x+3y+1=0平行且過點(diǎn)0,1的直線方程是（）
A．2x+3y-3=0
B．3x+2y-2=0
C．2x-3y+3=0
D．3x-2y+2=0
變式1．（2024高二上·全國·專題練習(xí)）過點(diǎn)(5,0)且與x+2y-2=0平行的直線方程是（）
A．2x+y+5=0B．2x+y-5=0
C．x+2y-5=0D．x+2y+5=0
變式2．（23-24高二上·青海西寧·期末）經(jīng)過點(diǎn)A3,2，且與直線4x+y-2=0平行的直線方程是（）
A．4x-y-10=0B．x+4y-11=0
C．4x+y-14=0D．x-4y+5=0
變式3．（20-21高二上·天津北辰·期末）過點(diǎn)0,1且與直線2x-y-1=0平行的直線方程是（）
A．2x-y+1=0B．2x-y-2=0
C．2x+y-1=0D．2x+y-2=0
變式4．（23-24高二上·北京西城·期末）過點(diǎn)A2,-3且與直線x+y+3=0平行的直線方程為 .
變式5．（23-24高二上·安徽蚌埠·期末）求過兩條直線y=2x+3與3x-y+2=0的交點(diǎn)，且分別滿足下列條件的直線方程.
(1)過點(diǎn)P2,3；
(2)平行于直線3x+y-1=0.
【方法技巧與總結(jié)】
當(dāng)所求直線與已知直線Ax＋By＋C＝0平行時(shí)，可設(shè)所求直線為Ax＋By＋λ＝0(λ為參數(shù)，且λ≠C)，再結(jié)合其他條件求出λ，即得所求直線方程．
【題型5：由垂直關(guān)系求直線方程】
例5．（23-24高二上·吉林延邊·期中）過兩條直線l1:x+2y-4=0，l2:2x-y-3=0的交點(diǎn)，且與直線x+3y+1=0垂直的直線的方程為（）
A．3x-y-5=0B．6x-2y-3=0
C．x-3y+3=0D．3x+y-7=0
變式1．（多選）（23-24高二上·四川成都·期末）已知△ABC的頂點(diǎn)A5,1，邊AB上的中線CM所在直線方程為2x-y-5=0，邊AC上的高BH所在直線方程為x-2y-5=0，則下列說法正確的有（）
A．過點(diǎn)A且平行于CM的直線的方程為2x-y-9=0
B．直線AC的方程為2x+y-11=0
C．點(diǎn)C的坐標(biāo)為4,3
D．邊AC的垂直平分線的方程為x-2y-1=0
變式2．（24-25高二上·江蘇徐州·開學(xué)考試）直線l過點(diǎn)(-2,2)且與直線x+2y=0垂直，則直線l與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為
變式3．（23-24高二下·河北張家口·開學(xué)考試）過直線x-2y+1=0與3x-y-2=0的交點(diǎn)，且垂直于直線x-y+1=0的直線方程是．
變式4．（23-24高二上·北京·期中）經(jīng)過點(diǎn)M1,2且與直線2x-y+8=0垂直的直線方程為 .
變式5．（23-24高二上·四川成都·期中）已知△ABC的兩頂點(diǎn)坐標(biāo)為A1,-1，C3,0，B1(0,1)是邊AB的中點(diǎn)，AD是BC邊上的高．
(1)求BC所在直線的方程；
(2)求高AD所在直線的方程.
變式6．（23-24高二上·四川成都·階段練習(xí)）已知直線l經(jīng)過點(diǎn)-2,2，求分別滿足下列條件直線l的方程：
(1)垂直于直線3x-2y+4=0；
(2)平行于直線4x-3y-7=0.
變式7．（23-24高二下·全國·課后作業(yè)）已知點(diǎn)A3,3和直線l： y=34x-52，求：
(1)過點(diǎn)A且與直線l平行的直線的點(diǎn)斜式方程；
(2)過點(diǎn)A且與直線l垂直的直線的點(diǎn)斜式方程.
變式8．（23-24高二上·甘肅白銀·期中）已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(-3,0)，B(2,1)，C(-2,3)，求：
(1)BC邊所在直線的方程；
(2)BC邊的垂直平分線所在直線的方程．
變式9．（23-24高二上·廣東珠?！て谀┮阎鰽BC的三個(gè)頂點(diǎn)是A4,0，B6,7，C0,4．
(1)求BC邊上的中線的直線方程；
(2)求BC邊上的高的直線方程
(3)求AC邊的垂直平分線
【方法技巧與總結(jié)】
當(dāng)所求直線與已知直線Ax＋By＋C＝0垂直時(shí)，可設(shè)所求直線為Bx－Ay＋λ＝0(λ為參數(shù))，再結(jié)合其他條件求出λ，即得所求直線方程．
一、單選題
1．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）已知直線l：a-1x+b+2y+c=0，若l//y軸，則下列結(jié)論正確的是（）
A．a(chǎn)≠1，b≠2，c≠0B．a(chǎn)≠1，b=-2，c≠0
C．a(chǎn)=1，b≠-2，c≠0D．a(chǎn)=1，b≠-2，c≠0
2．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）過點(diǎn)A2,5和點(diǎn)B-4,5的直線與直線y=3的位置關(guān)系是（）
A．相交但不垂直B．平行C．重合D．垂直
3．（24-25高二上·上海·隨堂練習(xí)）已知Px0,y0是直線l：Ax+By+C=0外一點(diǎn)，則方程Ax+By+C+Ax0+By0+C=0與l的傾斜角（）
A．相等B．互余C．互補(bǔ)D．不相等
4．（23-24高二下·上海楊浦·期末）“m=-1”是“直線l1:x+my-2=0與直線l2:(m-2)x+3my+2m=0互相垂直”的（）．
A．充分非必要條件B．必要非充分條件C．充要條件D．既非充分也非必要條件
5．（23-24高二下·江西·開學(xué)考試）過點(diǎn)1,-3且與直線x-2y+1=0平行的直線方程是（）
A．x-2y-7=0B．x+2y+5=0
C．2x+y+1=0D．2x-y-5=0
6．（23-24高二上·福建廈門·期末）已知直線l1的傾斜角為π3，直線l2過點(diǎn)(-1,3)，若l1//l2，則l2在y軸上的截距為（）
A．-23B．-2C．2D．23
7．（23-24高二上·湖南益陽·期末）已知直線x+2y-3=0和2x+my+2=0互相平行，則m的值是（）
A．-4B．-1C．1D．4
8．（23-24高二上·浙江金華·期末）過點(diǎn)P-1,2且與直線x+2y+3=0垂直的直線方程是（）
A．x-2y+5=0B．x+2y-3=0C．2x-y+4=0D．2x-y=0
二、多選題
9．（22-23高二上·安徽馬鞍山·期末）若三條直線l1:2x-y+1=0,l2:x+y-1=0,l3:2x+ay+a-2=0可以圍成一個(gè)三角形，則實(shí)數(shù)a的值可以為（）
A．-1B．0C．1D．3
10．（19-20高二·全國·課后作業(yè)）設(shè)平面內(nèi)四點(diǎn)P-4,2，Q6,-4，R12,6，S2,12，則下面四個(gè)結(jié)論正確的是（）
A．PQ∥SRB．PQ⊥PSC．PS∥QSD．PR⊥QS
11．（22-23高二上·安徽·階段練習(xí)）已知△PMN的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為P(1,3),M(-1,-3),N(4,0)，則（）
A．△PMN為直角三角形
B．過點(diǎn)P斜率范圍是-33,3的直線與線段MN有公共點(diǎn)
C．x+3y=0是△PMN的一條中位線所在直線方程
D．x-3y+2=0是△PMN的一條高線所在直線的方程
三、填空題
12．（23-24高二上·內(nèi)蒙古赤峰·期末）過點(diǎn)M(2,-3)且與直線x+2y-9=0垂直的直線方程是 .
13．（23-24高二上·江蘇淮安·期末）直線l過點(diǎn)-2,2且與直線x+2y=0平行，則直線l與x，y軸圍成的三角形面積為 .
14．（23-24高二上·全國·課后作業(yè)）已知直線l1的傾斜角為30°，直線l1//l2，則直線l2的斜率為．
四、解答題
15．（23-24高二下·全國·課堂例題）判斷下列各組直線的位置關(guān)系，如果相交，求出交點(diǎn)坐標(biāo)：
(1)l1:y=2x+3，l2:2x-y+5=0；
(2)l1:y=2x+1，l2:x-2y=0；
(3)l1:x=3，l2:x=10；
(4)l1:y=2x+1，l2:2x-y+1=0．
16．（23-24高二上·山東·期中）已知直線l過點(diǎn)(1,2)．
(1)若l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求l的方程；
(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若l與x軸正半軸交于點(diǎn)A,l與y軸正半軸交于點(diǎn)B，求△OAB面積的最小值．
17．（23-24高二上·河北張家口·階段練習(xí)）菱形ABCD的頂點(diǎn)A?C的坐標(biāo)分別為A-1,-1?C9,-13,BC邊所在直線過點(diǎn)P4,-3.
(1)求AD邊所在直線的方程；
(2)求對(duì)角線BD所在直線的方程.
18．（23-24高二上·福建廈門·期中）如圖，已知平行四邊形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為A-1,4，B-2,-1，C2,3.

(1)求平行四邊形ABCD的頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
(2)在△ACD中，求CD邊上的高線所在直線方程.
19．（22-23高二上·浙江溫州·期中）已知直線l： kx-y+2-k=0（k∈R）交x軸正半軸于A，交y軸正半軸于B．
(1)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求△AOB的面積最小時(shí)直線l的方程；
(2)設(shè)點(diǎn)P是直線l經(jīng)過的定點(diǎn)，求PA·PB的值最小時(shí)直線l的方程．
課程標(biāo)準(zhǔn)
學(xué)習(xí)目標(biāo)
1.能根據(jù)兩條直線的斜率判定這兩條直線平行或垂直
2.能用解方程組的方法求兩條相交直線的交點(diǎn)坐標(biāo):
3.掌握兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式，會(huì)求兩條平行直線間的距離
1.掌握兩條直線平行的條件:
2.能應(yīng)用兩條直線平行的條件解題.
對(duì)應(yīng)關(guān)系
l1與l2的斜率都存在，分別為，k1，k2則l1⊥l2?k1k2=-1
l1與l2中的一條斜率不存在，另一條斜率為0，則l1與l2的位置關(guān)系是l1⊥l2
圖示

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