重點：兩直線平行，垂直的條件難點：用代數(shù)方法推導(dǎo)平行和垂直條件的思路
1.掌握兩條直線相交的判定方法，會求兩條相交直線的交點坐標(biāo).2.掌握兩條直線平行與垂直的判定方法，注意利用直線方程的系數(shù)和斜率判定直線平行與垂直的差別.
1.兩條直線的相交、平行與重合
如果兩條直線斜率都存在，且直線l1：y＝k1x+b1，l2：y＝k2x+b2，則：l1與l2相交k1≠k2；l1與l2平行k1＝k2且b1≠b2；l1與l2重合k1＝k2且b1＝b2.
設(shè)直線l1：A1x+B1y+C1＝0，l2：A2x+B2y+C2＝0.v1＝（A1，B1）是直線l1的一個法向量，v2＝（A2，B2）是直線l2的一個法向量，如圖（1）（2）所示，不難看出：（1）l1與l2相交（即只有一個交點）的充要條件是v1與v2不共線，即A1B2≠A2B1；（2）l1與l2平行或重合的充要條件是v1與v2共線，即 .
（1） （2）
題組一 兩條直線平行關(guān)系的判定例1 根據(jù)下列給定的條件，判斷直線l1與直線l2是否平行：（1）直線l1經(jīng)過點A（2，1），B（-3，5），直線l2經(jīng)過點C（3，-2），D（8，-7）；（2）直線l1平行于y軸，直線l2經(jīng)過點P（0，-2），Q（0，5）；（3）直線l1經(jīng)過點E（0，1），F(xiàn)（-2，-1），直線l2經(jīng)過點G（3，4），H（2，3）.
【規(guī)律方法】判定兩條直線平行的常用方法在判斷兩直線是否平行時，先看兩直線的斜率是否存在，再進行判斷，同時注意不要漏掉兩直線重合的情況.設(shè)兩條斜率存在且不重合的直線l1，l2的傾斜角分別為α1，α2，則對應(yīng)關(guān)系如下：
判斷下列各組直線的位置關(guān)系.（1）l1：2x+y+1＝0，l2：x-y-5＝0；（2）l1：x-y-2＝0，l2：2x-2y+3＝0；（3）l1：3x-4y-1＝0，l2：6x-8y-2＝0.
題組二　兩條直線垂直關(guān)系的判定例2 判斷下列各題中的直線l1，l2是否垂直：（1）l1經(jīng)過點A（-1，-2），B（1，2），l2經(jīng)過點P（-2，-1），Q（2，1）；（2）l1經(jīng)過點A（3，4），B（3，6），l2經(jīng)過點P（-5，20），Q（5，20）；（3）l1經(jīng)過點A（1，3），B（-1，-1），l2經(jīng)過點P（2，1），Q（4，0）.
解題提示：（1）（3）求出兩直線的斜率，判斷是否垂直；（2）易知直線l1的斜率不存在，直線l2的斜率為0，可判斷兩直線垂直.
【規(guī)律方法】兩直線垂直與斜率的關(guān)系
題組三　根據(jù)兩直線的位置關(guān)系求解參數(shù)問題例3 已知直線l1：3x-6y+1＝0，l2：x-my+2＝0，l3：nx+y+3＝0，若l1∥l2，且l1⊥l3，則m-n的值為（　?。〢.4B.-4C.2D.0
（1）當(dāng)m為何值時，直線l1：2x+（m+1）y+4＝0與直線l2：mx+3y-2＝0平行？（2）當(dāng)a為何值時，直線l1：（a+2）x+（1-a）y-1＝0與直線l2：（a-1）x+（2a+3）y+2＝0垂直？
題組四　直線系方程的應(yīng)用 過兩條相交直線交點的直線系方程的應(yīng)用例4 （1）斜率為-2且過兩條直線3x-y+4＝0和x+y-4＝0的交點的直線的方程為　　　　.（2）過直線2x-y+4＝0與直線x+y+5＝0的交點，且與直線x-2y＝0垂直的直線的方程是　　　　.
（2）（方法一）直線2x-y+4＝0與直線x+y+5＝0的交點的坐標(biāo)為（-3，-2），所求直線的斜率為k＝-2，所以所求的直線方程為y+2＝-2（x+3），即2x+y+8＝0.（方法二）設(shè)所求的直線方程為2x-y+4+λ（x+y+5）＝0，整理得（2+λ）x+（λ-1）y+4+5λ＝0，因為所求直線與直線x-2y＝0垂直，所以滿足2+λ-2（λ-1）＝0，所以λ＝4，故所求直線的方程為2x+y+8＝0.（方法三）因為所求直線與直線x-2y＝0垂直，故設(shè)所求直線方程為-2x-y+c＝0，又直線2x-y+4＝0與直線x+y+5＝0的交點的坐標(biāo)為（-3，-2），將其代入直線方程-2x-y+c＝0可得c＝-8，故所求直線方程為2x+y+8＝0.答案：（1）2x+y-4＝0?。?）2x+y+8＝0
［2020·河南南陽高一聯(lián)考］求經(jīng)過直線l1：x+3y-3＝0和l2：x-y+1＝0的交點，且平行于直線2x+y-3＝0的直線l的方程.
平行直線系和垂直直線系方程的應(yīng)用例5 求滿足下列條件的直線的方程.（1）與直線3x+4y+8＝0平行且過點（3，-2）的直線l的方程為　　　?。唬?）經(jīng)過點A（2，1），且與直線2x+y-10＝0垂直的直線l的方程為　　　　.
【規(guī)律方法】根據(jù)直線的位置關(guān)系求直線方程的方法（1）根據(jù)兩直線平行或垂直，可先確定出待求直線的斜率，再根據(jù)待求直線上點的坐標(biāo)或其他條件求解直線方程.（2）根據(jù)平行直線系方程或垂直直線系方程，設(shè)出待求直線的方程，利用待定系數(shù)法求解.
若a+b+c＝0，且a，b不同時為0，求證：直線ax+by+c＝0必過一個定點.
題組五　對稱問題直線關(guān)于點對稱例6 直線y＝2x+1關(guān)于點（1，1）對稱的直線l的方程是　　　　.
［2020·河北五校聯(lián)考］直線ax+y+3a-1＝0恒過定點M，則直線2x+3y-6＝0關(guān)于M點對稱的直線方程為（　　）A.2x+3y-12＝0B.2x-3y-12＝0C.2x-3y+12＝0D.2x+3y+12＝0
點關(guān)于直線對稱例7 已知不同的兩點P（a，b）與Q（b+1，a-1）關(guān)于直線l對稱，則直線l的方程為（　?。〢.y＝x-2 B.y＝x+2C.y＝x-1 D.y＝x+3
［2020·河北高二期中］已知線段AB的中垂線方程為x-y-1＝0且A（-1，1），則B點坐標(biāo)為（　　）A.（2，-2）B.（-2，2）C.（-2，-2）D.（2，2）
直線關(guān)于直線對稱例8 求直線l1：x-y-2＝0關(guān)于直線l：3x-y+3＝0對稱的直線l2的方程.
【規(guī)律方法】直線l1與l2關(guān)于直線l對稱，它們滿足的幾何性質(zhì)如下：（1）若l1與l2相交，則直線l是l1，l2夾角的平分線所在的直線；（2）若l1與l2平行，則直線l在l1，l2之間且到l1，l2的距離相等；（3）若點A在l1上，則點A關(guān)于直線l的對稱點B一定在l2上，此時AB⊥l，且線段AB的中點M在l上（即l是線段AB的垂直平分線）.
設(shè)入射光線沿直線y＝2x+1射向直線y＝x，則被y＝x反射后，反射光線所在的直線方程是（　　）A.x+2y+3＝0B.x-2y+1＝0 C.3x+2y-1＝0D.x-2y-1＝0
對稱問題的應(yīng)用例9 在直線l：x-y-1＝0上求兩點P，Q，使得：（1）點P到A（4，1）與B（0，4）的距離之差最大.（2）點Q到A（4，1）與C（3，0）的距離之和最小.
【規(guī)律方法】求直線上一點到兩定點的距離之差的最大值的方法當(dāng)兩點A，B在直線l的兩側(cè)時，可以在直線l上找到一點P，使得||PA|-|PB||最大.如圖，作點B關(guān)于直線l的對稱點B′，連接AB′并延長，交l于點P，連接PB，則點P就是所求點.若在直線l上取不同于點P的點P′，連接P′A，P′B，P′B′，則|P′B|＝|P′B′|.在△AP′B′中，||P′A|-|P′B′||

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高中數(shù)學(xué)人教B版 (2019)選擇性必修 第一冊電子課本

2.2.3 兩條直線的位置關(guān)系

版本： 人教B版 (2019)

年級： 選擇性必修 第一冊

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