知識(shí)點(diǎn)01 兩條直線的相交、平行與重合
1.若直線l1：y=k1x+b1,l2：y=k2x+b2,則兩條直線的位置關(guān)系，可以用方程組y=k1k+b1y=k2k+b2的解的情況進(jìn)行判斷，得出結(jié)論： = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①l1與l2相交：k1≠k2; = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②l1與l2平行：k1=k2且b1≠b2; = 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③l1與l2重合：k1=k2且b1=b2
2.設(shè)直線l1：A1x+B1y+C1=0,l2：A2x+B2y+C2=0,則兩條直線的位置關(guān)系可以用法向量來(lái)處理.
因?yàn)関1=(A1,B1)是直線l1的一個(gè)法向量，v2=(A2,B2)是直線l2的一個(gè)法向量，則：
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①l1與l2相交（只有一個(gè)交點(diǎn)）的充要條件是v1與v2不共線，即A1B2≠A2B1
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②l1與l2平行或重合的充要條件是v1與v2共線，即A1B2=A2B1，其中l(wèi)1與l2重合的充要條件是，存在實(shí)數(shù)
A1=λA2，B1=λB2，C1=λC2。
直線Ax+By+C1=0與直線Ax+By+C2=0平行的充要條件是C1≠C2，重合的充要條件C1=C2
【即學(xué)即練1】（23-24高二上·新疆·期末）直線y=2x-1與y=ax+1平行，則a=（ ）
A．-1B．0C．1D．2
【答案】D
【分析】由兩直線平行得斜率相等且截距不等，即可得解.
【詳解】∵直線y=2x-1與y=ax+1平行，且y=2x-1的斜率為2，
∴它們?cè)趛軸上的截距不相等，且直線y=ax+1的斜率a也為2，
即a=2.
故選：D.
【即學(xué)即練2】（24-25高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）根據(jù)下列給定的條件，判斷直線l1與直線l2是否平行．
(1)l1經(jīng)過(guò)點(diǎn)A2,1，B-3,5，l2經(jīng)過(guò)點(diǎn)C3,-3，D8,-7；
(2)l1的傾斜角為60°，l2經(jīng)過(guò)點(diǎn)M3,23，N-2,-33．
【答案】(1)l1//l2
(2)l1//l2或l1與l2重合
【分析】（1）由k1=k2，且A，B，C，D，四點(diǎn)不共線，可判斷；
（2）由k1=k2，可判斷.
【詳解】（1）設(shè)兩直線l1，l2的斜率分別為k1，k2．
由題意知k1=5-1-3-2=-45，k2=-7+38-3=-45．
因?yàn)閗1=k2，又kAC=-3-13-2=-4，
所以k1≠kAC，所以A，B，C三點(diǎn)不共線，所以A，B，C，D四點(diǎn)不共線，
所以l1//l2．
（2）設(shè)兩直線l1，l2的斜率分別為k1，k2．
由題意知k1=tan60°=3，k2=-33-23-2-3=3．
所以k1=k2，所以l1//l2或l1與l2重合．
知識(shí)點(diǎn)02兩條直線的垂直
一般地，若已知平面直角坐標(biāo)系中的直線l1：y=k1x+b1,l2：y=k2x+b2,（k1，k2存在且不為0）可得l1⊥l2，則k1k2=-1.
設(shè)直線l1：A1x+B1y+C1=0,l2：A2x+B2y+C2=0,因?yàn)関1=(A1,B1)是l1直線的一個(gè)法向量，v2=(A2,B2)是l2直線的一個(gè)法向量，所以l1⊥l2，則v1⊥v2，則A1A2+B1B2=0.
【即學(xué)即練3】（23-24高二上·重慶長(zhǎng)壽·期末）已知兩條直線y=ax-2和3x-y+1=0互相垂直，則a＝ .
【答案】-13
【分析】由兩直線互相垂直斜率間的關(guān)系，求a的值.
【詳解】直線3x-y+1=0斜率為3，直線y=ax-2和3x-y+1=0互相垂直，
則直線y=ax-2的斜率a=-13.
故答案為：-13
【即學(xué)即練4】（24-25高二上·上?！ふn后作業(yè)）經(jīng)過(guò)直線l1：5x+2y-3=0和l2：3x-5y-8=0的交點(diǎn)，且與直線x+4y-7=0垂直的直線方程為 ．
【答案】4x-y-5=0
【分析】首先求兩條直線的交點(diǎn)，再利用垂直關(guān)系，利用待定系數(shù)法求直線方程.
【詳解】聯(lián)立5x+2y-3=03x-5y-8=0，得x=1y=-1，
設(shè)與直線x+4y-7=0垂直的直線方程為4x-y+c=0，
得4×1+1+c=0，得c=-5，
所以直線方程為4x-y-5=0.
故答案為：4x-y-5=0
難點(diǎn)：分類討論思想的運(yùn)用
示例1：（22-23高二上·四川雅安·階段練習(xí)）已知點(diǎn)A-4,0,B4,0,C2,2,D-2,2，直線y=ax+b(a>0)將四邊形ABCD分割為面積相等的兩部分，則b的取值范圍是 ．
【答案】4-10,1
【分析】分a≥12和01或b≤0時(shí)不符合題意，所以012,b=1時(shí)，設(shè)直線y=ax+1與梯形上、下底分別交于M、N，
因?yàn)槿切蜯CF與三角形NEF全等，
所以直線y=ax+1a>12將四邊形ABCD分割為面積相等的兩部分；

當(dāng)00，b>0，直線l1:(a-1)x+y-1=0，l2:x+2by+1=0，且l1⊥l2，
∴(a-1)×1+1×2b=0，即a+2b=1．
則2a+1b=2a+4ba+a+2bb=2+4ba+ab+2≥4+24ba?ab=4+4=8，當(dāng)且僅當(dāng)a=2b=12時(shí)，等號(hào)成立，
故2a+1b的最小值為8，
故選：B．
變式1．（23-24高二上·福建莆田·期中）若直線x+ay-2=0與直線a2x+y+1=0垂直.則a=（ ）
A．1B．-1C．0D．0或-1
【答案】D
【分析】利用兩條直線垂直的充要條件，列式計(jì)算即得.
【詳解】由直線x+ay-2=0與直線a2x+y+1=0垂直，得1×a2+a×1=0，
所以a=-1或a=0.
故選：D
變式2．（2024·河南·三模）已知直線Ax+By+C=0與直線y=2x-3垂直，則（ ）
A．A=-2B≠0B．A=2B≠0
C．B=-2A≠0D．B=2A≠0
【答案】D
【分析】由直線垂直的充要條件即可列式得解.
【詳解】直線y=2x-3的斜率為2，又兩直線互相垂直，所以直線Ax+By+C=0的斜率為-12，
即-AB=-12且A≠0，B≠0，所以B=2A≠0.
故選：D.
變式3．（多選）（23-24高二下·浙江·期中）已知直線l1:A1x+B1y+C1=0和直線l2:A2x+B2y+C2=0，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．若A2=0，則l2表示與x軸平行或重合的直線
B．直線l1可以表示任意一條直線
C．若A1B2-A2B1=0，則l1 ∥ l2
D．若A1A2+B1B2=0，則l1⊥l2
【答案】ABD
【分析】利用線線平行、線線垂直的性質(zhì)可直接判斷.
【詳解】對(duì)于A，當(dāng)A2=0時(shí)，l2斜率為0，與x軸平行或重合，故A正確；
對(duì)于B，當(dāng)B1=0時(shí)，l1斜率不存在，當(dāng)B1≠0時(shí)，l1斜率存在，能表示任意直線，故B正確；
對(duì)于C，若A1B2-A2B1=0，且A1C2-A2C1≠0或B1C2-B2C1≠0，則l1 ∥ l2，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，若B1B2≠0，則由A1A2+B1B2=0可得斜率之積為-1，故l1⊥l2，若B1=0B2=0，可得A2=0A1=0，此時(shí)滿足A1A2+B1B2=0，此時(shí)兩條直線一條斜率為0，一條斜率不存在，故l1⊥l2，故D正確.
故選：ABD.
變式4．（23-24高二下·上?！て谥校┤糁本€Ax+4y-2=0和直線2x-5y+C=0垂直，則A= ．
【答案】10
【分析】利用兩直線垂直斜率乘積為-1計(jì)算可得A=10.
【詳解】易知直線Ax+4y-2=0的斜率為-A4，
直線2x-5y+C=0的斜率為25,
由兩直線垂直可得-A4×25=-1，解得A=10.
故答案為：10
變式5．（24-25高二上·廣西·開學(xué)考試）已知直線l1:ax-a-4y+2=0，直線l2:2x+ay-1=0.
(1)若l1 // l2，求實(shí)數(shù)a的值；
(2)若l1⊥l2，求實(shí)數(shù)a的值.
【答案】(1)a=2
(2)a=6或a=0.
【分析】（1）根據(jù)兩條直線平行公式計(jì)算即可求參，再檢驗(yàn)是否重合；
（2）根據(jù)兩條直線垂直公式計(jì)算即可求參.
【詳解】（1）因?yàn)閘1 ∥ l2，所以a2+2a-4=0，
整理得a2+2a-8=a-2a+4=0,
解得a=2或a=-4.
當(dāng)a=-4時(shí)，l1:-4x+8y+2=0,l2:2x-4y-1=0,l1,l2重合；
當(dāng)a=2時(shí)，l1:2x+2y+2=0,l2:2x+2y-1=0，符合題意.
故a=2.
（2）因?yàn)閘1⊥l2，所以2a-aa-4=0,
解得a=6或a=0.
變式6．（23-24高二下·上?！て谥校┮阎c(diǎn)A1,0，B-1,2．
(1)設(shè)m∈R，若直線AB與直線x-my+1=0垂直，求m的值；
(2)求過(guò)點(diǎn)B且與直線2x-y+1=0夾角的余弦值為255的直線方程．
【答案】(1)m=1
(2)3x-4y-11=0或x=-1
【分析】（1）根據(jù)直線垂直即可求解；
（2）先對(duì)△ACD用正弦定理，得到β的正弦值，對(duì)△BDE用正弦定理，得到|BE|，設(shè)出交點(diǎn)求解二次方程即可求解.
【詳解】（1）直線AB的斜率為2-0-1-1=-1，因?yàn)橹本€AB與直線x-my+1=0垂直，
所以1m×(-1)=-1，所以m=1；
（2）
如圖點(diǎn)E為過(guò)點(diǎn)B且與直線2x-y+1=0夾角的余弦值為255的直線與直線y=2x+1的交點(diǎn)，
點(diǎn)C(-12,0)為直線y=2x+1與x軸的交點(diǎn)，點(diǎn)D(0,1)為直線AB與直線y=2x+1的交點(diǎn)，
點(diǎn)E'(-1,-1)為過(guò)點(diǎn)B作x軸的垂線交直線y=2x+1的交點(diǎn)，∠α=∠BED，∠β=∠BDE，
設(shè)夾角為α，因?yàn)閏sα=255，所以sinα=55，
因?yàn)閨AC|=32，|CD|=12+(-12)2=52，
所以在△ACD中，sinβ|AC|=sin45°|CD|，所以sinβ=3225，
因?yàn)閨BD|=12+12=2，所以在△BDE中，sinβ|BE|=sinα|BD|，
所以3225|BE|=552，所以|BE|=3，易知|BE'|=|BE|=3，
設(shè)交點(diǎn)E坐標(biāo)為(x,2x+1)，所以(x+1)2+(2x+1-2)2=32，
所以x=75或-1，所以交點(diǎn)坐標(biāo)為(75,195)或(-1,-1)，
所以直線方程為x-75y-195=-1-752-195或x-(-1)y-(-1)=-1-(-1)2-(-1)，
即3x-4y-11=0或x=-1.
變式7．（24-25高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知直線l1的斜率為1，若直線l2⊥l1，則直線l2的傾斜角為 ．
【答案】135°
【分析】根據(jù)垂直關(guān)系可得直線l2的斜率k=-1，進(jìn)而可得斜率.
【詳解】因?yàn)橹本€l1的斜率k1=1，且直線l2⊥l1，則直線l2的斜率k=-1，
所以直線l2的傾斜角為135°．
故答案為：135°.
【方法技巧與總結(jié)】
1.設(shè)直線l1：y=k1x+b1,l2：y=k2x+b2,則有
設(shè)直線l1：A1x+B1y+C1=0,l2：A2x+B2y+C2=0，l1⊥l2?A1A2+B1B2=0
【題型4：由平行關(guān)系求直線方程】
例4．（23-24高二下·四川南充·階段練習(xí)）與直線2x+3y+1=0平行且過(guò)點(diǎn)0,1的直線方程是（ ）
A．2x+3y-3=0
B．3x+2y-2=0
C．2x-3y+3=0
D．3x-2y+2=0
【答案】A
【分析】設(shè)所求直線方程為2x+3y+C=0，代入點(diǎn)的坐標(biāo)求得C，即可得出答案.
【詳解】設(shè)所求直線方程為2x+3y+C=0，
又過(guò)點(diǎn)0,1，則可得3+C=0，解得C=-3，
則所求直線方程為2x+3y-3=0
故選：A
變式1．（2024高二上·全國(guó)·專題練習(xí)）過(guò)點(diǎn)(5,0)且與x+2y-2=0平行的直線方程是（ ）
A．2x+y+5=0B．2x+y-5=0
C．x+2y-5=0D．x+2y+5=0
【答案】C
【分析】根據(jù)兩直線平行，可設(shè)所求直線方程為x+2y+c=0,(c≠-2)，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入，求得c，即可求得答案.
【詳解】由題意可設(shè)所求直線方程為x+2y+c=0,(c≠-2)，
因?yàn)?5,0)在該直線上，
所以5+2×0+c=0，得c=-5，
故該直線方程為x+2y-5=0，
故選：C
變式2．（23-24高二上·青海西寧·期末）經(jīng)過(guò)點(diǎn)A3,2，且與直線4x+y-2=0平行的直線方程是（ ）
A．4x-y-10=0B．x+4y-11=0
C．4x+y-14=0D．x-4y+5=0
【答案】C
【分析】由與已知直線平行設(shè)出所求直線的一般式方程為4x+y+c=0，代入已知點(diǎn)的坐標(biāo)待定系數(shù)c可得.
【詳解】與直線4x+y-2=0平行的直線的方程可設(shè)為4x+y+c=0c≠-2，
又經(jīng)過(guò)點(diǎn)A3,2，所以12+2+c=0，解得c=-14，
故所求直線方程為4x+y-14=0.
故選：C.
變式3．（20-21高二上·天津北辰·期末）過(guò)點(diǎn)0,1且與直線2x-y-1=0平行的直線方程是（ ）
A．2x-y+1=0B．2x-y-2=0
C．2x+y-1=0D．2x+y-2=0
【答案】A
【分析】根據(jù)互相平行直線方程的特點(diǎn)，結(jié)合代入法進(jìn)行求解即可.
【詳解】與直線2x-y-1=0平行的直線方程可設(shè)為2x-y+m=0m≠-1，
因?yàn)辄c(diǎn)0,1在直線2x-y+m=0上，
所以2×0-1+m=0?m=1，
即過(guò)點(diǎn)0,1且與直線2x-y-1=0平行的直線方程是2x-y+1=0，
故選：A
變式4．（23-24高二上·北京西城·期末）過(guò)點(diǎn)A2,-3且與直線x+y+3=0平行的直線方程為 .
【答案】x+y+1=0
【分析】根據(jù)平行得出斜率，利用過(guò)點(diǎn)A2,-3即可得出直線方程.
【詳解】由題意，
與直線x+y+3=0平行的直線的斜率為-1，
直線過(guò)點(diǎn)A2,-3，
∴過(guò)點(diǎn)A2,-3且與直線x+y+3=0平行的直線方程為：y--3=-1x-2，
即：x+y+1=0.
故答案為：x+y+1=0.
變式5．（23-24高二上·安徽蚌埠·期末）求過(guò)兩條直線y=2x+3與3x-y+2=0的交點(diǎn)，且分別滿足下列條件的直線方程.
(1)過(guò)點(diǎn)P2,3；
(2)平行于直線3x+y-1=0.
【答案】(1)2x+y-7=0
(2)3x+y-8=0
【分析】（1）求出兩條直線y=2x+3與3x-y+2=0的交點(diǎn)，利用兩點(diǎn)式方程整理計(jì)算即可;
（2）求出平行于3x+y-1=0的直線斜率，利用點(diǎn)斜式方程整理計(jì)算即可.
【詳解】（1）由2x-y+3=03x-y+2=0,解得x=1y=5,
即兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為1,5.
直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)1,5和2,3，由兩點(diǎn)式方程得，y-35-3=x-21-2，
化簡(jiǎn)得所求直線方程為2x+y-7=0.
（2）由3x+y-1=0可得直線的斜率為-3，
故平行于直線3x+y-1=0的直線的斜率為-3，
結(jié)合（1）問可得：兩條直線y=2x+3與3x-y+2=0的交點(diǎn)為1,5，
由點(diǎn)斜式方程得，y-5=-3x-1，
化簡(jiǎn)得所求直線方程為3x+y-8=0.
【方法技巧與總結(jié)】
當(dāng)所求直線與已知直線Ax＋By＋C＝0平行時(shí)，可設(shè)所求直線為Ax＋By＋λ＝0(λ為參數(shù)，且λ≠C)，再結(jié)合其他條件求出λ，即得所求直線方程．
【題型5：由垂直關(guān)系求直線方程】
例5．（23-24高二上·吉林延邊·期中）過(guò)兩條直線l1:x+2y-4=0，l2:2x-y-3=0的交點(diǎn)，且與直線x+3y+1=0垂直的直線的方程為（ ）
A．3x-y-5=0B．6x-2y-3=0
C．x-3y+3=0D．3x+y-7=0
【答案】A
【分析】先求出兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，再由與直線x+3y+1=0垂直可設(shè)所求直線為3x-y+m=0，將交點(diǎn)坐標(biāo)代入可求得結(jié)果.
【詳解】由x+2y-4=02x-y-3=0，得x=2y=1，
設(shè)與直線x+3y+1=0垂直的直線的方程為3x-y+m=0，則
3×2-1+m=0，得m=-5，
所以所求直線方程為3x-y-5=0.
故選：A
變式1．（多選）（23-24高二上·四川成都·期末）已知△ABC的頂點(diǎn)A5,1，邊AB上的中線CM所在直線方程為2x-y-5=0，邊AC上的高BH所在直線方程為x-2y-5=0，則下列說(shuō)法正確的有（ ）
A．過(guò)點(diǎn)A且平行于CM的直線的方程為2x-y-9=0
B．直線AC的方程為2x+y-11=0
C．點(diǎn)C的坐標(biāo)為4,3
D．邊AC的垂直平分線的方程為x-2y-1=0
【答案】ABC
【分析】設(shè)過(guò)點(diǎn)A且平行于CM的直線的方程為2x-y+C=0，再將點(diǎn)A代入即可判斷A；先求出AC的斜率，再根據(jù)點(diǎn)斜式即可判斷B；聯(lián)立直線AC,CM的方程即可判斷C；求出邊AC的中點(diǎn)坐標(biāo)及所求直線的斜率，再根據(jù)點(diǎn)斜式即可判斷D.
【詳解】對(duì)于A，設(shè)過(guò)點(diǎn)A且平行于CM的直線的方程為2x-y+C=0，
則2×5-1+C=0，解得C=-9，
所以過(guò)點(diǎn)A且平行于CM的直線的方程為2x-y-9=0，故A正確；
對(duì)于B，由題意知，kBH=12，
∵AC⊥BH，∴kAC=-2，
所以直線AC的方程為y-1=-2x-5，即2x+y-11=0，故B正確；
對(duì)于C，聯(lián)立2x+y-11=02x-y-5=0，解得x=4y=3，
所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為4,3，故C正確；
對(duì)于D，邊AC的中點(diǎn)坐標(biāo)為92,2，kAC=-2，
所以邊AC的垂直平分線的斜率為12，
所以邊AC的垂直平分線的方程為y-2=12x-92，即2x-4y-1=0，故D錯(cuò)誤.
故選：ABC.
變式2．（24-25高二上·江蘇徐州·開學(xué)考試）直線l過(guò)點(diǎn)(-2,2)且與直線x+2y=0垂直，則直線l與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為
【答案】9
【分析】根據(jù)直線垂直求出直線l的方程，再求出直線l與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，進(jìn)而可得與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積.
【詳解】直線l過(guò)點(diǎn)(-2,2)且與直線x+2y=0垂直，直線x+2y=0的斜率為-12，得直線l的斜率為2，
故直線l的方程為y-2=2x+2，即y=2x+6，
當(dāng)x=0時(shí)，y=6，當(dāng)y=0時(shí)，x=-3，
所以直線l與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為12×6×3=9.
故答案為：9
變式3．（23-24高二下·河北張家口·開學(xué)考試）過(guò)直線x-2y+1=0與3x-y-2=0的交點(diǎn)，且垂直于直線x-y+1=0的直線方程是 ．
【答案】x+y-2=0
【分析】首先利用二元一次方程組求出交點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)一步利用直線垂直的充要條件求出直線的方程．
【詳解】過(guò)直線x-2y+1=0與3x-y-2=0的交點(diǎn)，
故x-2y+1=03x-y-2=0，解得x=1y=1，故交點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1)；
故過(guò)點(diǎn)(1,1)且與直線x-y+1=0垂直的直線方程為y-1=-(x-1)，整理得x+y-2=0．
故答案為：x+y-2=0．
變式4．（23-24高二上·北京·期中）經(jīng)過(guò)點(diǎn)M1,2且與直線2x-y+8=0垂直的直線方程為 .
【答案】x+2y-5=0
【分析】由題可設(shè)直線方程為x+2y+c=0，代入已知點(diǎn)坐標(biāo)即得.
【詳解】由題可設(shè)所求直線方程為x+2y+c=0，
代入點(diǎn)M1,2，可得1+4+c=0，即c=-5，
所以經(jīng)過(guò)點(diǎn)M1,2且與直線2x-y+8=0垂直的直線方程為x+2y-5=0.
故答案為：x+2y-5=0.
變式5．（23-24高二上·四川成都·期中）已知△ABC的兩頂點(diǎn)坐標(biāo)為A1,-1，C3,0，B1(0,1)是邊AB的中點(diǎn)，AD是BC邊上的高．
(1)求BC所在直線的方程；
(2)求高AD所在直線的方程.
【答案】(1)3x+4y-9=0；
(2)4x-3y-7=0.
【分析】（1）由條件結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式求B的坐標(biāo)，利用點(diǎn)斜式求直線BC方程，再化為一般式即可；
（2）根據(jù)垂直直線的斜率關(guān)系求直線AD的斜率，利用點(diǎn)斜式求直線AD方程，再化為一般式即可.
【詳解】（1）因?yàn)锽1(0,1)是邊AB的中點(diǎn)，所以B-1,3，
所以直線BC的斜率kBC=-34，
所以BC所在直線的方程為：y=-34x-3，即3x+4y-9=0，
（2）因?yàn)锽1(0,1)是邊AB的中點(diǎn)，所以B-1,3，
因?yàn)锳D是BC邊上的高，
所以kBC?kAD=-1，所以3-0-1-3?kAD=-1，
所以kAD=43，
因此高AD所在直線的方程為：y+1=43(x-1)，即4x-3y-7=0.

變式6．（23-24高二上·四川成都·階段練習(xí)）已知直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)-2,2，求分別滿足下列條件直線l的方程：
(1)垂直于直線3x-2y+4=0；
(2)平行于直線4x-3y-7=0.
【答案】(1)2x+3y-2=0
(2)4x-3y+14=0
【分析】（1）首先根據(jù)兩直線垂直求斜率，再代入點(diǎn)斜式直線方程，即可求解；
（2）首先根據(jù)兩直線平行求斜率，再代入點(diǎn)斜式直線方程，即可求解.
【詳解】（1）因?yàn)榇怪庇谥本€3x﹣2y+4＝0，所以所求直線斜率為k=-23，
所求直線方程為y-2=-23x+2，即2x+3y-2=0.
（2）因?yàn)槠叫杏谥本€4x﹣3y﹣7＝0,所以斜率k=43.所求直線方程為y-2=43x+2，即4x-3y+14=0.
變式7．（23-24高二下·全國(guó)·課后作業(yè)）已知點(diǎn)A3,3和直線l： y=34x-52，求：
(1)過(guò)點(diǎn)A且與直線l平行的直線的點(diǎn)斜式方程；
(2)過(guò)點(diǎn)A且與直線l垂直的直線的點(diǎn)斜式方程.
【答案】(1)y-3=34x-3
(2)y-3=-43x-3
【分析】（1）可知直線l的斜率k=34，根據(jù)平行關(guān)系結(jié)合點(diǎn)斜式方程運(yùn)算求解；
（2）根據(jù)垂直關(guān)系結(jié)合點(diǎn)斜式方程運(yùn)算求解.
【詳解】（1）因?yàn)橹本€l：y＝34x-52，則直線l的斜率k=34，
可知與直線l平行的直線的斜率k1=34，
過(guò)點(diǎn)A3,3且與直線l平行的直線方程為y-3=34x-3.
（2）由（1）可知：與直線l平行的直線的斜率k2=-43，
過(guò)點(diǎn)A3,3且與直線l垂直的直線方程為y-3=-43x-3.
變式8．（23-24高二上·甘肅白銀·期中）已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(-3,0)，B(2,1)，C(-2,3)，求：
(1)BC邊所在直線的方程；
(2)BC邊的垂直平分線所在直線的方程．
【答案】(1)x+2y-4=0
(2)2x-y+2=0
【分析】（1）利用斜率公式求出直線BC的斜率，代入點(diǎn)斜式即可得解；
（2）利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出BC的中點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用相互垂直的直線斜率關(guān)系求出斜率，代入點(diǎn)斜式即可求解.
【詳解】（1）因?yàn)锽(2,1)，C(-2,3)，
所以BC邊所在直線的斜率為3-1-2-2=-12，且B(2,1)，
所以BC邊所在直線的方程為y-1=-12x-2，即x+2y-4=0.
（2）因?yàn)锽(2,1)，C(-2,3)，所以BC的中點(diǎn)為0,2，
又直線BC的斜率為-12，所以BC邊的垂直平分線所在直線的斜率為2，
所以BC邊的垂直平分線所在直線的方程為y-2=2x-0，即2x-y+2=0.
變式9．（23-24高二上·廣東珠?！て谀┮阎鰽BC的三個(gè)頂點(diǎn)是A4,0，B6,7，C0,4．
(1)求BC邊上的中線的直線方程；
(2)求BC邊上的高的直線方程
(3)求AC邊的垂直平分線
【答案】(1)11x+2y-44=0
(2)2x+y-8=0
(3)x-y=0
【分析】（1）求出BC中點(diǎn)，則可得到中線的直線方程；
（2）根據(jù)直線垂直得到高的斜率，則得到BC邊上的高的直線方程；
（3）求出AC的中點(diǎn)，再根據(jù)斜率垂直則得到斜率，即可得到直線方程.
【詳解】（1）B6,7，C0,4，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得BC中點(diǎn)為3,112，
又A4,0，由直線方程的兩點(diǎn)式得BC邊上的中線的直線方程為y-0112-0=x-43-4，
整理得：11x+2y-44=0.
（2）B6,7，C0,4，則kBC=7-46-0=12，所以BC邊上的高的直線的斜率為-2，
又A4,0，則BC邊上的高的直線方程為y-0=-2（x-4），
整理得：2x+y-8=0．
（3）因?yàn)锳4,0，C0,4，則其中點(diǎn)坐標(biāo)為2,2，
而kAC=4-00-4=-1，則AC邊的垂直平分線的斜率為1，其方程為：y-2=x-2，
即x-y=0.
【方法技巧與總結(jié)】
當(dāng)所求直線與已知直線Ax＋By＋C＝0垂直時(shí)，可設(shè)所求直線為Bx－Ay＋λ＝0(λ為參數(shù))，再結(jié)合其他條件求出λ，即得所求直線方程．
一、單選題
1．（24-25高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知直線l：a-1x+b+2y+c=0，若l//y軸，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．a(chǎn)≠1，b≠2，c≠0B．a(chǎn)≠1，b=-2，c≠0
C．a(chǎn)=1，b≠-2，c≠0D．a(chǎn)=1，b≠-2，c≠0
【答案】B
【分析】利用直線l與y軸平行但不重合的性質(zhì)直接求解即可．
【詳解】∵直線l：a-1x+b+2y+c=0平行于y軸，
∴a-1≠0b+2=0c≠0，解得a≠1，b=-2，c≠0．
故選：B.
2．（24-25高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）過(guò)點(diǎn)A2,5和點(diǎn)B-4,5的直線與直線y=3的位置關(guān)系是（ ）
A．相交但不垂直B．平行C．重合D．垂直
【答案】B
【分析】根據(jù)斜率公式求得AB的斜率，得出直線AB的方程，進(jìn)而得出兩直線的位置關(guān)系.
【詳解】由題意，由點(diǎn)A(2,5)和點(diǎn)B(-4,5)，可得kAB=5-5-4-2=0，所以AB的方程為y=5，又由直線y=3的斜率為0，且兩直線不重合，所以兩直線平行.
故選：B．
3．（24-25高二上·上?！るS堂練習(xí)）已知Px0,y0是直線l：Ax+By+C=0外一點(diǎn)，則方程Ax+By+C+Ax0+By0+C=0與l的傾斜角（ ）
A．相等B．互余C．互補(bǔ)D．不相等
【答案】A
【分析】根據(jù)直線一般式判斷兩直線位置關(guān)系，即可判斷.
【詳解】由直線方程Ax+By+C+Ax0+By0+C=0，即Ax+By+Ax0+By0+2C=0，
又l：Ax+By+C=0，
又Px0,y0在直線Ax+By+C=0外，所以Ax0+By0+C≠0，
則AA=BB≠Ax0+By0+2CC，
所以直線與l平行，
即兩直線傾斜角相等，
故選：A.
4．（23-24高二下·上海楊浦·期末）“m=-1”是“直線l1:x+my-2=0與直線l2:(m-2)x+3my+2m=0互相垂直”的（ ）．
A．充分非必要條件B．必要非充分條件C．充要條件D．既非充分也非必要條件
【答案】A
【分析】由兩直線互相垂直可得1×(m-2)+m×3m=0，求解可得結(jié)論.
【詳解】由直線l1:x+my-2=0與直線l2:(m-2)x+3my+2m=0互相垂直，
可得1×(m-2)+m×3m=0，解得m=-1或m=23，
所以“m=-1”是“直線l1與直線l2互相垂直”的充分不必要條件.
故選：A.
5．（23-24高二下·江西·開學(xué)考試）過(guò)點(diǎn)1,-3且與直線x-2y+1=0平行的直線方程是（ ）
A．x-2y-7=0B．x+2y+5=0
C．2x+y+1=0D．2x-y-5=0
【答案】A
【分析】根據(jù)直線Ax+By+C1=0與Ax+By+C2=0（C1≠C2）平行，先設(shè)出所求直線方程，代入已知點(diǎn)的坐標(biāo)，可求待定系數(shù).
【詳解】設(shè)與直線x-2y+1=0平行的直線方程是x-2y+λ=0(λ≠1)，
代入點(diǎn)1,-3，得1+6+λ=0，解得λ=-7，
所以所求的直線方程是x-2y-7=0．
故選:A
6．（23-24高二上·福建廈門·期末）已知直線l1的傾斜角為π3，直線l2過(guò)點(diǎn)(-1,3)，若l1//l2，則l2在y軸上的截距為（ ）
A．-23B．-2C．2D．23
【答案】D
【分析】求出直線l2的斜率，點(diǎn)斜式得到直線方程，求出答案.
【詳解】由題意得直線l2的斜率為tanπ3=3，故直線l2的方程為y-3=3x+1，
即y=3x+23，令x=0得y=23，
故l2在y軸上的截距為23.
故選：D
7．（23-24高二上·湖南益陽(yáng)·期末）已知直線x+2y-3=0和2x+my+2=0互相平行，則m的值是（ ）
A．-4B．-1C．1D．4
【答案】D
【分析】根據(jù)題意得到平行時(shí)的方程，解出即可.
【詳解】由題意得-m+2×2=0，解得m=4，
此時(shí)后者直線方程為x+2y+1=0，滿足題意.
故選：D.
8．（23-24高二上·浙江金華·期末）過(guò)點(diǎn)P-1,2且與直線x+2y+3=0垂直的直線方程是（ ）
A．x-2y+5=0B．x+2y-3=0C．2x-y+4=0D．2x-y=0
【答案】C
【分析】由題意設(shè)直線方程為：2x-y+m=0，將點(diǎn)P-1,2代入求解.
【詳解】解：由題意設(shè)直線方程為：2x-y+m=0，
因?yàn)樵撝本€過(guò)點(diǎn)P-1,2，
所以2×-1-2+m=0，
解得m=4，
所以直線方程為：2x-y+4=0，
故選：C
二、多選題
9．（22-23高二上·安徽馬鞍山·期末）若三條直線l1:2x-y+1=0,l2:x+y-1=0,l3:2x+ay+a-2=0可以圍成一個(gè)三角形，則實(shí)數(shù)a的值可以為（ ）
A．-1B．0C．1D．3
【答案】BD
【分析】由題意可得三條直線兩兩都不平行且不同時(shí)過(guò)同一個(gè)點(diǎn)，寫出限定條件即可得結(jié)果.
【詳解】根據(jù)題意可知三條直線兩兩都不平行，且不同時(shí)過(guò)同一個(gè)點(diǎn)；
當(dāng)l1,l3平行時(shí)可得a=-1，此時(shí)不合題意，因此a≠-1；
聯(lián)立l1,l2，即2x-y+1=0x+y-1=0，解得交點(diǎn)坐標(biāo)為0,1，
因此0,1不在l3:2x+ay+a-2=0上，即可得a+a-2≠0，可得a≠1；
所以若三條直線圍成一個(gè)三角形，只需a≠-1且a≠1即可.
故選：BD
10．（19-20高二·全國(guó)·課后作業(yè)）設(shè)平面內(nèi)四點(diǎn)P-4,2，Q6,-4，R12,6，S2,12，則下面四個(gè)結(jié)論正確的是（ ）
A．PQ∥SRB．PQ⊥PSC．PS∥QSD．PR⊥QS
【答案】ABD
【分析】求相應(yīng)直線的斜率，結(jié)合平行、垂直關(guān)系逐項(xiàng)分析判斷.
【詳解】由題意可得：kPQ=-4-26+4=-35，kSR=12-62-12=-35，kPS=12-22+4=53，kQS=12+42-6=-4，kPR=6-212+4=14，
因?yàn)閗PQ=kSR≠kPS，可知PQ∥SR，故A正確；
因?yàn)閗PQ?kPS=-1，可知PQ⊥PS，故B正確；
因?yàn)閗PS≠kQS，可知PS與QS不平行，故C錯(cuò)誤；
因?yàn)閗PR?kQS=-1，可知PR⊥QS，故D正確；
故選：ABD.
11．（22-23高二上·安徽·階段練習(xí)）已知△PMN的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為P(1,3),M(-1,-3),N(4,0)，則（ ）
A．△PMN為直角三角形
B．過(guò)點(diǎn)P斜率范圍是-33,3的直線與線段MN有公共點(diǎn)
C．x+3y=0是△PMN的一條中位線所在直線方程
D．x-3y+2=0是△PMN的一條高線所在直線的方程
【答案】AC
【分析】求直線PM,PN的斜率，根據(jù)斜率關(guān)系判斷PM與PN的位置關(guān)系，由此判斷△PMN的形狀，結(jié)合圖像及兩點(diǎn)斜率公式判斷B，求△PMN的中位線方程，判斷C，求△PMN的高的方程判斷D.
【詳解】由已知kPM=-3-3-1-1=3,kPN=0-34-1=-33，所以kPMkPN=-1，故△PMN為直角三角形，A正確；如圖可得過(guò)點(diǎn)P與線段MN有公共點(diǎn)的直線斜率范圍是-∞,-33∪[3,+∞)，B錯(cuò)誤；P,M的中點(diǎn)為0,0，P,N的中點(diǎn)為52，32，M,N的中點(diǎn)為32,-32，過(guò)點(diǎn)0,0，32,-32的直線方程為x+3y=0，所以x+3y=0為△PMN的一條中位線，故C正確；直線直線x-3y+2=0的斜率為33，又kPM=3,kPN=-33，kMN=35，所以直線x-3y+2=0與△PMN的三條邊都不垂直，所以直線x-3y+2=0不是x-3y+2=0的高，故D錯(cuò)誤，
故選：AC.
三、填空題
12．（23-24高二上·內(nèi)蒙古赤峰·期末）過(guò)點(diǎn)M(2,-3)且與直線x+2y-9=0垂直的直線方程是 .
【答案】2x-y-7=0
【分析】由垂直關(guān)系確定斜率，應(yīng)用點(diǎn)斜式寫出直線方程.
【詳解】由題設(shè)，與直線x+2y-9=0垂直的直線的斜率為2，
所以所求直線方程為y+3=2(x-2)，即2x-y-7=0.
故答案為：2x-y-7=0
13．（23-24高二上·江蘇淮安·期末）直線l過(guò)點(diǎn)-2,2且與直線x+2y=0平行，則直線l與x，y軸圍成的三角形面積為 .
【答案】1
【分析】根據(jù)直線平行求出直線l的方程，再求出直線l與x，y軸的交點(diǎn)，進(jìn)而可得與x，y軸圍成的三角形面積.
【詳解】直線x+2y=0的斜率為-12，
故直線l的方程為y=-12x+2+2，即x+2y-2=0，
當(dāng)x=0時(shí)，y=1，當(dāng)y=0時(shí)，x=2，
所以直線l與x，y軸圍成的三角形面積為12×1×2=1.
故答案為：1
14．（23-24高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知直線l1的傾斜角為30°，直線l1//l2，則直線l2的斜率為 ．
【答案】33
【分析】根據(jù)題意，由兩直線平行，斜率相等，即可得到結(jié)果.
【詳解】因?yàn)橹本€l1的傾斜角為30°，所以kl1=tan30°=33，
又l1//l2，所以kl2=kl1=33.
故答案為：33
四、解答題
15．（23-24高二下·全國(guó)·課堂例題）判斷下列各組直線的位置關(guān)系，如果相交，求出交點(diǎn)坐標(biāo)：
(1)l1:y=2x+3，l2:2x-y+5=0；
(2)l1:y=2x+1，l2:x-2y=0；
(3)l1:x=3，l2:x=10；
(4)l1:y=2x+1，l2:2x-y+1=0．
【答案】(1)l1//l2
(2)相交，交點(diǎn)為(-23,-13)
(3)l1//l2
(4)重合
【分析】根據(jù)兩直線的斜率關(guān)系，以及截距，即可結(jié)合兩直線的位置關(guān)系求解.
【詳解】（1）設(shè)兩直線l1，l2的斜率分別為k1，k2，在y軸上的截距分別為b1，b2．
因?yàn)閗1=k2=2，b1=3，b2=5，b1≠b2，所以l1//l2．
（2）因?yàn)閗1=2，k2=12，k1≠k2，所以l1與l2相交．
y=2x+1x-2y=0，解得x=-23y=-13，所以交點(diǎn)為(-23,-13).
（3）由兩直線的方程可知，l1//y軸，l2//y軸，且兩直線在x軸上的截距不相等，所以l1//l2．
（4）l2:y=2x+1，因?yàn)閗1=k2=2，b1=b2=1，所以l1與l2重合．
16．（23-24高二上·山東·期中）已知直線l過(guò)點(diǎn)(1,2)．
(1)若l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求l的方程；
(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若l與x軸正半軸交于點(diǎn)A,l與y軸正半軸交于點(diǎn)B，求△OAB面積的最小值．
【答案】(1)2x-y=0或x+y-3=0
(2)4
【分析】（1）因?yàn)閘在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，所以按截距是否為0，分類求解；
（2）設(shè)直線斜率為k，求解與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，將△OAB面積表示為函數(shù)f(k)，利用基本不等式求最值即可.
【詳解】（1）①當(dāng)直線過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，直線l過(guò)點(diǎn)(1,2)．
所以l方程為y=2x，即2x-y=0；
②當(dāng)直線不過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，，設(shè)l方程為xa+ya=1，
由直線l過(guò)點(diǎn)(1,2)，將1,2代入方程得1a+2a=1，解得a=3，
所以直線l的方程為x3+y3=1，即x+y-3=0；
綜上：l的方程為2x-y=0或x+y-3=0.
（2）由題意知l斜率k存在且小于0，設(shè)l方程為y-2=k(x-1)，
令x=0，解得y=2-k；令y=0，解得x=1-2k；
因?yàn)閗0，-2k>0，
所以△OAB面積S=122-k1-2k=124+-k+-4k
≥124+2-k-4k=4，
當(dāng)且僅當(dāng)-k=-4k即k=-2時(shí)取等號(hào)，
所以△OAB面積的最小值為4.
17．（23-24高二上·河北張家口·階段練習(xí)）菱形ABCD的頂點(diǎn)A?C的坐標(biāo)分別為A-1,-1?C9,-13,BC邊所在直線過(guò)點(diǎn)P4,-3.
(1)求AD邊所在直線的方程；
(2)求對(duì)角線BD所在直線的方程.
【答案】(1)2x+y+3=0
(2)5x-6y-62=0
【分析】（1）先根據(jù)菱形的性質(zhì)得BC ∥ AD；再根據(jù)相互平行直線斜率相等及斜率公式計(jì)算kAD；最后利用點(diǎn)斜式方程即可解答.
（2）先求出線段AC的中點(diǎn)坐標(biāo)及kAC；再根據(jù)菱形性質(zhì)、相互垂直直線斜率之間關(guān)系及點(diǎn)斜式方程即可解答.
【詳解】（1）
由菱形的性質(zhì)可知:BC ∥ AD.
∵ BC邊所在直線過(guò)點(diǎn)P4,-3，點(diǎn)C坐標(biāo)為9,-13，
∴則kAD=kBC=kCP=-3+134-9=-2.
又∵點(diǎn)A坐標(biāo)為-1,-1，
∴ AD邊所在直線的方程為y+1=-2x+1，即2x+y+3=0.
所以AD邊所在直線的方程為2x+y+3=0.
（2）∵ A-1,-1?C9,-13，
∴線段AC的中點(diǎn)為E4,-7，且kAC=-13+19+1=-65.
由菱形的幾何性質(zhì)可知：BD⊥AC且E為BD的中點(diǎn).
則kBD=-1kAC=56.
所以對(duì)角線BD所在直線的方程為y+7=56x-4，
即5x-6y-62=0.
所以對(duì)角線BD所在直線的方程為：5x-6y-62=0.
18．（23-24高二上·福建廈門·期中）如圖，已知平行四邊形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為A-1,4，B-2,-1，C2,3.

(1)求平行四邊形ABCD的頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
(2)在△ACD中，求CD邊上的高線所在直線方程.
【答案】(1)D3,8
(2)x+5y-19=0
【分析】（1）先求出線段AC中點(diǎn)M坐標(biāo)，再利用平行四邊形的性質(zhì)得M為線段BD中點(diǎn)，從而利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式列方程組求解即可；
（2）通過(guò)直線垂直求出高線的斜率，代入點(diǎn)斜式直線公式求解即可.
【詳解】（1）設(shè)線段AC中點(diǎn)為M，則M點(diǎn)坐標(biāo)為12,72，
設(shè)點(diǎn)D坐標(biāo)為x,y，由平行四邊形性質(zhì)得M為線段BD中點(diǎn)，有-2+x2=12-1+y2=72，
解得x=3y=8，所以D3,8；

（2）因?yàn)橹本€CD的斜率為k=8-33-2=5，
所以CD邊上的高線所在直線的斜率為-15，
又A-1,4，故CD邊上的高線所在直線的方程為y-4=-15(x+1)，
即為x+5y-19=0.
19．（22-23高二上·浙江溫州·期中）已知直線l： kx-y+2-k=0（k∈R）交x軸正半軸于A，交y軸正半軸于B．
(1)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求△AOB的面積最小時(shí)直線l的方程；
(2)設(shè)點(diǎn)P是直線l經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)，求PA·PB的值最小時(shí)直線l的方程．
【答案】(1)2x+y-4=0
(2)x+y-3=0．
【分析】（1）求出點(diǎn)A,B的坐標(biāo)，表示△AOB的面積，結(jié)合基本不等式求其最小值，可得k的值，由此確定直線l的方程；
（2）由直線方程求出定點(diǎn)P的坐標(biāo)，結(jié)合數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算求PA·PB，利用基本不等式求其最小值，由此確定直線l的方程.
【詳解】（1）作圖可知k0,-2k>0，由基本不等式可得-k2-2k≥2(-k2)(-2k)=2，當(dāng)且僅當(dāng)k=-2時(shí)取等號(hào)，
所以S△AOB=2-k2-2k≥2+2=4，當(dāng)且僅當(dāng)k=-2時(shí)取等號(hào)，
所以△AOB面積最小時(shí)，直線l的方程為2x+y-4=0．
（2）因?yàn)橹本€l的方程可化為kx-1+2-y=0，
所以直線l經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)P1,2，
所以PA=-2k,-2,PB=-1,-k
所以PA?PB=-2k,-2?-1,-k=2k+2k=PA?PBcsπ=-PA?PB，
又-2k>0,-2k>0，
所以PA?PB=-2k-2k≥2(-2k)(-2k)=4，當(dāng)且僅當(dāng)k=-1時(shí)等號(hào)成立，
所以PA?PB的值最小時(shí)，直線l的方程為x+y-3=0．
課程標(biāo)準(zhǔn)
學(xué)習(xí)目標(biāo)
1.能根據(jù)兩條直線的斜率判定這兩條直線平行或垂直
2.能用解方程組的方法求兩條相交直線的交點(diǎn)坐標(biāo):
3.掌握兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式，會(huì)求兩條平行直線間的距離
1.掌握兩條直線平行的條件:
2.能應(yīng)用兩條直線平行的條件解題.
對(duì)應(yīng)關(guān)系
l1與l2的斜率都存在，分別為，k1，k2則l1⊥l2?k1k2=-1
l1與l2中的一條斜率不存在，另一條斜率為0，則l1與l2的位置關(guān)系是l1⊥l2
圖示

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高中數(shù)學(xué)人教B版 (2019)選擇性必修 第一冊(cè)電子課本

2.2.3 兩條直線的位置關(guān)系

版本： 人教B版 (2019)

年級(jí)： 選擇性必修 第一冊(cè)

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