高中數(shù)學第二章　平面解析幾何2.2 直線及其方程2.2.3 兩條直線的位置關系第1課時學案及答案-學案下載-教習網(wǎng)

?2.2.3　兩條直線的位置關系
第1課時　兩條直線的相交、平行與重合
(教師獨具內容)
課程標準：1.能用解方程組的方法求兩條直線的交點坐標.2.能根據(jù)斜率判定兩條直線平行.3.理解并掌握利用直線(方程一般式)的法向量判斷兩條直線位置關系的推導過程．
學法指導：通過解方程組探求兩直線平行、相交、重合的條件，并用直線的法向量來加以處理，加深對兩條直線位置關系的理解．
教學重點：兩直線平行、相交、重合的條件．
教學難點：運用兩條直線位置關系的判定方法解決問題.

在平面直角坐標系中，怎樣判斷兩條直線平行呢？你能根據(jù)直線方程的特征來確定兩條直線是否平行嗎？
坐標平面內的兩條直線若互相平行，它們的直線方程有何關系？你能得出怎樣的結論？

知識點　　　　兩條直線的相交、平行與重合
(1)若直線l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，則兩條直線的位置關系，可以用方程組的解的情況進行判斷，得出結論：
l1與l2相交?k1≠k2；
l1與l2平行?k1＝k2且b1≠b2；
l1與l2重合?k1＝k2且b1＝b2.
(2)設直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，則兩條直線的位置關系可以用法向量來處理．
因為v1＝(A1，B1)是直線l1的一個法向量，v2＝(A2，B2)是直線l2的一個法向量，不難看出：
①l1與l2相交(即只有一個交點)的充要條件是v1與v2不共線，即A1B2≠A2B1；
②l1與l2平行或重合的充要條件是v1與v2共線，即A1B2＝A2B1，其中l(wèi)1與l2重合的充要條件是，存在實數(shù)λ(λ≠0)，使得
(3)直線Ax＋By＋C1＝0與直線Ax＋By＋C2＝0平行的充要條件是C1≠C2，重合的充要條件是C1＝C2.

1．對兩直線平行與斜率的關系要注意的幾點
(1)l1∥l2?k1＝k2成立的前提條件：①兩條直線的斜率都存在；②l1與l2不重合．
(2)當兩條直線不重合且斜率都不存在時，l1與l2的傾斜角都是90°，則l1∥l2.
(3)兩條不重合直線平行的判定的一般結論：l1∥l2?k1＝k2或l1，l2的斜率都不存在．
2．過兩直線交點的直線系方程
過直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0交點的直線方程為A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ為參數(shù)，不包含l2)．

1．判一判(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)若兩條直線平行，則這兩條直線斜率相等．(　　)
(2)若兩條不重合的直線的傾斜角相等，則這兩條直線必定平行．(　　)
(3)若兩條直線平行，則兩條直線的傾斜角一定相等．(　　)
答案　(1)×　(2)√　(3)√
2．做一做
(1)已知過A(－2，m)和B(m,4)的直線與斜率為－2的直線平行，則m的值是(　　)
A．－8 B．0
C．2 D．10
(2)直線(m2＋1)x＋3y－3m＝0和直線3x－2y＋m＝0的位置關系是(　　)
A．平行 B．重合
C．相交 D．不確定
(3)若過點P(1,4)和Q(a,2a＋2)的直線與直線2x－y－3＝0平行，則a的值為(　　)
A．a(chǎn)＝1 B．a(chǎn)≠1
C．a(chǎn)＝－1 D．a(chǎn)≠－1
(4)過點A(1,2)且平行于直線x－3y＋1＝0的直線方程為________.
答案　(1)A　(2)C　(3)B　(4)x－3y＋5＝0

題型一　兩條直線的相交、平行與重合
例1　已知兩直線l1：x＋my＋6＝0；l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，當m為何值時，直線l1與l2：
(1)相交？(2)平行？(3)重合？
[解]　因為直線l1：x＋my＋6＝0，
直線l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，
所以A1＝1，B1＝m，C1＝6，A2＝m－2，B2＝3，C2＝2m.
(1)若l1與l2相交，
則A1B2－A2B1≠0，即1×3－m(m－2)≠0，
即m2－2m－3≠0，即(m－3)(m＋1)≠0，
即m≠3，且m≠－1.
故當m≠3，且m≠－1時，直線l1與l2相交．
(2)若l1∥l2，則有
即即
即所以m＝－1.
故當m＝－1時，直線l1與l2平行．
(3)若l1與l2重合，
則有即
所以所以m＝3.
故當m＝3時，直線l1與l2重合．

兩直線斜率存在時位置關系的判斷方法
若兩直線斜率都存在，則把直線方程化成斜截式．根據(jù)直線的斜率和在y軸上的截距來判斷．
(1)若兩直線斜率不相等，則兩直線相交．
(2)若兩直線斜率相等，在y軸上的截距不等，則兩直線平行．
(3)若兩直線斜率和在y軸上的截距都相等，則兩直線重合．

[跟蹤訓練1]　若直線l1：x＋(1＋a)y＋a－2＝0與直線l2：ax＋2y＋8＝0平行，則實數(shù)a＝________.
答案　1
解析　當a＝－1時，l1的斜率不存在，l2的斜率為，顯然兩直線不平行．當a≠－1時，l1的斜率為－，l2的斜率為－，
∵l1∥l2，∴－＝－，解得a＝1或a＝－2.
當a＝－2時，l1與l2的方程都是x－y－4＝0，此時兩直線重合，∴a＝1.
題型二　利用平行關系求直線方程
例2　求經(jīng)過兩直線2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交點且與直線3x＋y－1＝0平行的直線方程．
[解]　解法一：由方程組
得即交點坐標為.
∵所求直線和直線3x＋y－1＝0平行，
∴所求直線的斜率k＝－3，
∴根據(jù)點斜式有y－＝－3，
即所求直線方程為15x＋5y＋16＝0.
解法二：由得
即交點坐標為.
設所求直線方程為3x＋y＋C＝0，由于直線過，因此3×－＋C＝0，解得C＝.
∴所求直線方程為3x＋y＋＝0，即15x＋5y＋16＝0.

平行直線的求法
(1)求與直線y＝kx＋b平行的直線的方程時，根據(jù)兩直線平行的條件可巧設為y＝kx＋m(m≠b)，然后通過待定系數(shù)法，求參數(shù)m的值．
(2)求與直線Ax＋By＋C＝0平行的直線方程時，可設直線方程為Ax＋By＋m＝0(m≠C)，代入已知條件求出m即可．
其中對于斜率為零及不存在的情形要單獨討論．

[跟蹤訓練2]　若直線l與直線2x＋3y＋5＝0平行，且在兩坐標軸上的截距之和為，求直線l的方程．
解　設直線l的方程為2x＋3y＋λ＝0(λ≠5)，
令x＝0，則在y軸上的截距為b＝－；
令y＝0，則在x軸上的截距為a＝－.
由a＋b＝－－＝，得λ＝－1，
所以直線l的方程為2x＋3y－1＝0.
題型三　過定點的直線系問題
例3　求證：不論m為什么實數(shù)，直線(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5都過定點．
[證明]　證法一：當m＝1時，直線方程為y＝－4；
當m＝時，直線方程為x＝9.這兩條直線的交點為(9，－4)．
又當x＝9，y＝－4時，9(m－1)＋(－4)(2m－1)＝m－5，即點(9，－4)在直線(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5上，故無論m取何值，直線(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5都過定點(9，－4)．
證法二：將已知方程以m為未知數(shù)整理，得m(x＋2y－1)－(x＋y－5)＝0.
由m取值的任意性，得解得
所以所給直線不論m取什么實數(shù)，都經(jīng)過定點(9，－4)．

解含有參數(shù)的直線恒過定點的問題
方法一：任給直線中的參數(shù)賦兩個不同的值，得到兩條不同的直線，然后驗證這兩條直線的交點就是題目中含參數(shù)直線所過的定點，從而問題得解．
方法二：含有一個參數(shù)的二元一次方程若能整理為A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，其中λ是參數(shù)，這就說明了它表示的直線必過定點，其定點可由方程組解得．若整理成y－y0＝k(x－x0)的形式，則表示的所有直線必過定點(x0，y0)．

[跟蹤訓練3]　已知直線l：5ax－5y－a＋3＝0.
(1)求證：不論a為何值，直線l總經(jīng)過第一象限；
(2)為使直線l不經(jīng)過第二象限，求a的取值范圍．
解　(1)證法一：將直線l的方程整理為y－＝a，
∴l(xiāng)的斜率為a，且過定點A.
而點A在第一象限，故不論a為何值，l恒過第一象限．
證法二：直線l的方程可化為(5x－1)a－(5y－3)＝0.
∵上式對任意的a總成立，
必有即
即l過定點A.以下同證法一．
(2)直線OA的斜率為k＝＝3.
要使l不經(jīng)過第二象限，需使直線l斜率大于等于3即可，即a≥3.

1．平行于直線4x＋3y－3＝0，且不過第一象限的直線的方程是(　　)
A．3x＋4y＋7＝0 B．4x＋3y＋7＝0
C．4x＋3y－42＝0 D．3x＋4y－42＝0
答案　B
解析　平行于直線4x＋3y－3＝0的直線具有形式4x＋3y＋c＝0，故排除A，D.但選項C中直線的截距為正，直線過第一象限，不符合條件，故應選B.
2．設集合A＝，B＝{(x，y)|4x＋ay－16＝0，x，y∈R}，若A∩B＝?，則a的值為(　　)
A．4 B．－2
C．4或－2 D．－4或2
答案　C
解析　由A∩B＝?，可得直線4x＋ay－16＝0過點(1,3)或與y－3＝2(x－1)平行，則有4×1＋a×3－16＝0或－＝2.∴a＝4或a＝－2.
3．(多選)平面上三條直線x－2y＋2＝0，x－2＝0，x＋ky＝0，如果這三條直線將平面劃分成六個部分，則k可能的取值為(　　)
A．0 B．－2
C．－1 D．1
答案　ABC
解析　設l1：x－2y＋2＝0，l2：x－2＝0，l3：x＋ky＝0，如圖，l1與l2交于點A(2,2)，顯然l3恒過坐標原點，當l3∥l2時，符合題意，此時k＝0；當l3∥l1時，符合題意，此時k＝－2；當l3過點A(2,2)時，符合題意，此時k＝－1.當k≠0，－2，－1時，三條直線將平面分成7個部分．綜上可知，k可能的取值為0，－2，－1.故選ABC．

4．已知直線l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0與直線l2：mx＋3y－2＝0平行，則m的值為________.
答案?。?或2
解析　解法一：A1＝2，B1＝m＋1，C1＝4，A2＝m，B2＝3，C2＝－2，
若A2＝m＝0時，此時直線l1：2x＋y＋4＝0，l2：3y－2＝0，顯然l1不平行于l2，故m≠0.
∵l1∥l2，∴＝≠，即＝≠.
由＝，得m2＋m－6＝0，即m＝2或m＝－3，滿足上式．
∴m＝2或m＝－3.
解法二：當m＋1＝0時，直線l1的斜率k1不存在，直線l2的斜率k2＝－，顯然不滿足l1∥l2這一條件．
當m＋1≠0時，直線l1的方程化為y＝－x－，直線l2的方程化為y＝－x＋，
∵l1∥l2，∴－＝－，且－≠，
解得m＝－3或m＝2，且m≠－7.
∴m＝－3或m＝2.
5．求過點P(2，－1)且與直線3x－2y－6＝0平行的直線方程．
解　解法一：由直線3x－2y－6＝0得k1＝，∵已知直線與所求直線平行，∴所求直線的斜率k＝，由點斜式得所求直線的方程為y＋1＝(x－2)，即3x－2y－8＝0.
解法二：設所求直線的方程為3x－2y＋D＝0，由點P(2，－1)在直線上得，3×2－2×(－1)＋D＝0，
∴D＝－8，故所求直線的方程為3x－2y－8＝0.

A級：“四基”鞏固訓練
一、選擇題
1．直線ax＋y－4＝0與直線x－y－2＝0的交點位于第一象限內，則實數(shù)a的取值范圍是(　　)
A．－1

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