知識(shí)點(diǎn)01 直線與圓的位置關(guān)系
直線Ax＋By＋C＝0與圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置關(guān)系的判斷
【即學(xué)即練1】（22-23高二上·新疆喀什·期末）直線y=x+1與圓x2+y2=1的位置關(guān)系為（ ）
A．相切B．相交但直線過圓心
C．相交但直線不過圓心D．相離
【答案】C
【分析】利用圓心到直線的距離和半徑的大小關(guān)系即可判斷直線與圓的位置關(guān)系.
【詳解】圓x2+y2=1的圓心為0,0，半徑為1，
故圓心到直線y=x+1的距離為11+1=120上，則過A的圓的切線方程為 .
【答案】y=x+1
【分析】利用垂直直線的斜率關(guān)系和直線方程相關(guān)概念直接求解.
【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)A0,1在圓C:x-12+y2=r2r>0上，
所以過A的圓的切線方程和AC垂直，
因?yàn)锳0,1，C1,0，所以kAC=1-00-1=-1，所以切線方程斜率為-1-1=1，
所以切線方程為y=1×x-0+1，即y=x+1.
故答案為：y=x+1
【即學(xué)即練4】（23-24高三上·浙江·階段練習(xí)）過圓x2+y2=1上點(diǎn)P-22,22的切線方程為 ．
【答案】y=x+2
【分析】由圓的切線性質(zhì)求出切線斜率，利用點(diǎn)斜式方程即可得.
【詳解】由題知，kOP=-1，則切線斜率k=1，
所以切線方程為y-22=x--22，整理為y=x+2．
故答案為：y=x+2
知識(shí)點(diǎn)03 切線長
1.從圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)外一點(diǎn)M(x0，y0)引圓的兩條切線，切線長為 eq \r(x\\al(2,0)＋y\\al(2,0)＋Dx0＋Ey0＋F).
2.兩切點(diǎn)弦長：利用等面積法，切線長a與半徑r的積的2倍等于點(diǎn)M與圓心的距離d與兩切點(diǎn)弦長b的積，即b＝eq \f(2ar,d).
【即學(xué)即練5】（22-23高二上·重慶北碚·階段練習(xí)）過點(diǎn)A2,3作圓M:x2+y2=1的一條切線，切點(diǎn)為B，則AB=（ ）
A．3B．23C．7D．10
【答案】B
【分析】先求得圓M的圓心坐標(biāo)和半徑，再利用切線長定理即可求得AB的值.
【詳解】因?yàn)閳AM:x2+y2=1，
所以圓M的圓心為M(0,0)，半徑為r=1，
因?yàn)锳B與圓M相切，切點(diǎn)為B，
所以AB⊥BM，則AB2+r2=AM2，
因?yàn)锳M=22+32=13，
所以AB=AM2-r2=13-1=23.
故選：B.
【即學(xué)即練6】（24-25高二上·全國·課前預(yù)習(xí)）如圖，直線與圓相離，過直線上一點(diǎn)作圓的切線，切線長的最小值= ．
【答案】d2-r2
知識(shí)點(diǎn)04 圓的弦長
直線和圓相交，求被圓截得的弦長通常有兩種方法：
(1)幾何法：因?yàn)榘胂议Leq \f(L,2)、弦心距d、半徑r構(gòu)成直角三角形，所以由勾股定理得L ＝2eq \r(r2－d2).
(2)代數(shù)法：若直線y＝kx＋b與圓有兩交點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則有：|AB|＝eq \r(1＋k2)|x1－x2|＝eq \r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|.
【即學(xué)即練7】（2024·內(nèi)蒙古赤峰·一模）已知圓C:x-22+y2=4，直線l:y=-x+1被圓C截得的弦長為 .
【答案】14
【分析】根據(jù)直線和圓的位置關(guān)系，利用點(diǎn)到直線的距離公式和弦長公式求解.
【詳解】解：由題意可得，圓心為2,0，半徑r=2，
弦心距d=2+0-12=22，
故直線l被C截得的弦長為2r2-d2=14，
故答案為：14
【即學(xué)即練8】（22-23高二上·河北保定·期末）直線l:x-y+1=0與圓C:x2+y2-2x-3=0交于A,B兩點(diǎn)，則△AOB的面積為（ ）
A．3B．2C．22D．32
【答案】B
【分析】依題意，作出圖形，求出圓心坐標(biāo)和半徑，過圓心C(1,0)作CD⊥AB于D，分別計(jì)算|CD|和|AB|，即可求得△AOB的面積.
【詳解】
如圖，由圓C:x2+y2-2x-3=0配方得，(x-1)2+y2=4，知圓心為C(1,0),半徑為2，
過點(diǎn)C(1,0)作CD⊥AB于D，由C(1,0)到直線l:x-y+1=0的距離為|CD|=22=2,
則|AB|=2|AD|=222-(2)2=22,
故△AOB的面積為12|AB|?|CD|=12×22×2=2.
故選：B.
難點(diǎn)：最值問題
示例1：（24-25高二上·江蘇徐州·階段練習(xí)）已知曲線1-x=4-y2，則x2+y-42的最大值，最小值分別為（ ）
A．17＋2，17－2B．17＋2，5
C．37，17－2D．37，5
【答案】C
【分析】由題意可得曲線1-x=4-y2表示的圖形為以A(1,0)為圓心，2為半徑的半圓，x2+(y-4)2表示半圓上的動(dòng)點(diǎn)與點(diǎn)P(0,4)的距離，作出圖象，結(jié)合圖象求解即可．
【詳解】由1-x=4-y2，可知x≤1，-2≤y≤2，
且有(x-1)2+y2=4，表示的圖形為以A(1,0)為圓心，2為半徑的半圓，如圖所示：
B1,2,C1,-2

又因?yàn)閤2+(y-4)2表示半圓上的動(dòng)點(diǎn)與點(diǎn)P(0,4)的距離，
又因?yàn)閨PA|=12+42=17，
所以x2+(y-4)2的最小值為|PA|-2=17-2，
當(dāng)動(dòng)點(diǎn)與圖中C(1,-2)點(diǎn)重合時(shí)，x2+(y-4)2取最大值|PC|=(1-0)2+(4+2)2=37，
故選：C．
【題型1：直線與圓有關(guān)的位置關(guān)系】
例1．（24-25高三上·四川成都·開學(xué)考試）在同一平面直角坐標(biāo)系中，直線mx-y+1=0m∈R與圓x2+y2=2的位置不可能為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由圓的位置和直線所過定點(diǎn)，判斷直線與圓的位置關(guān)系.
【詳解】圓x2+y2=2的圓心坐標(biāo)為0,0，半徑為2，
直線mx-y+1=0m∈R過圓內(nèi)定點(diǎn)0,1，斜率可正可負(fù)可為0，
ABD選項(xiàng)都有可能，C選項(xiàng)不可能.
故選：C.
變式1．（23-24高二下·云南曲靖·期末）已知圓C:(x-2)2+y2=16，直線l:mx+y-3m-1=0，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．直線l恒過定點(diǎn)2,1B．直線l與圓C相切
C．直線l與圓C相交D．直線l與圓C相離
【答案】C
【分析】求出圓C的圓心和半徑，直線l所過的定點(diǎn)，再由該定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系判斷直線與圓的位置即可.
【詳解】圓C:(x-2)2+y2=16的圓心C(2,0)，半徑r=4，
直線l:m(x-3)+y-1=0恒過定點(diǎn)(3,1)， 顯然(3-2)2+12=21=r，
故直線l與圓C相離．
故選：C．
變式4．（2007高二·全國·競(jìng)賽）直線y=33x繞原點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)30°后，所得直線與圓x-22+y2=3的位置關(guān)系為（ ）
A．直線過圓心B．直線與圓相交，但不過圓心
C．直線與圓相切D．直線與圓沒有公共點(diǎn)
【答案】C
【分析】先求出直線y=33x繞原點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)30°后的直線方程，再由點(diǎn)到直線的距離公式求出則圓心2,0到直線的距離，與半徑比較，即可得出答案.
【詳解】直線y=33x的傾斜角為30°，
直線y=33x繞原點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)30°后直線的傾斜角為60°，
旋轉(zhuǎn)后的直線方程為y=3x，
則圓心2,0到直線的距離d=233+1 =3=r，
∴直線與圓相切.
故選：C.
變式5.（10-11高二上·湖南益陽·階段練習(xí)）如果直線ax+by-1=0與圓x2+y2=1有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則點(diǎn)Pa,b與圓的位置關(guān)系為（ ）
A．P在圓外B．P在圓上
C．P在圓內(nèi)D．P與圓的位置不確定
【答案】A
【分析】根據(jù)直線ax+by-1=0與圓x2+y2=1有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，知道它們相交.借助d1,進(jìn)而得到點(diǎn)Pa,b與圓的位置關(guān)系.
【詳解】直線ax+by-1=0與圓x2+y2=1有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則它們相交.
根據(jù)d=1a2+b21，即a2+b2>1.則點(diǎn)Pa,b與圓的位置關(guān)系為P在圓外.
故選：A.
變式6.(多選)（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知直線l:mx+ny-r2=0與圓C:x2+y2=r2，點(diǎn)Pm,n，則下列命題中是假命題的是（ ）.
A．若點(diǎn)P在圓C外，則直線l與圓C相離B．若點(diǎn)P在圓C內(nèi)，則直線l與圓C相交
C．若點(diǎn)P在圓C上，則直線l與圓C相切D．若點(diǎn)P在直線l上，則直線l與圓C相切
【答案】AB
【分析】根據(jù)直線和圓相切、相交、相離的等價(jià)條件進(jìn)行求解即可.
【詳解】對(duì)于A，因?yàn)辄c(diǎn)Pm,n在圓C外，所以m2+n2>r2，
則圓心C0,0到直線l的距離為d=0×m+0×n-r2m2+n2=r2m2+n2

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2.3.3 直線與圓的位置關(guān)系

版本： 人教B版 (2019)

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