1.掌握橢圓的幾何性質(zhì),掌握a,b,c,e的幾何意義及a,b,c,e之間的相互關(guān)系;2.能用橢圓的方程研究橢圓的幾何性質(zhì),并能準(zhǔn)確地畫出圖形;3.能用橢圓的知識解決簡單的實際問題.
基礎(chǔ)落實·必備知識全過關(guān)
重難探究·能力素養(yǎng)全提升
成果驗收·課堂達(dá)標(biāo)檢測
-a≤x≤a且-b≤y≤b
-b≤x≤b且-a≤y≤a
A1(-a,0),A2(a,0),B1(0,-b),B2(0,b)
A1(0,-a),A2(0,a),B1(-b,0),B2(b,0)
2.當(dāng)離心率e越趨近于1時,橢圓越扁;當(dāng)e越趨近于0時,橢圓越接近于圓.
過關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)橢圓 =1(a>b>0)的長軸長是a.(　　)(2)若橢圓的對稱軸為坐標(biāo)軸,長軸長與短軸長分別為10,8,則橢圓的方程為 =1.(　　)
3.[人教A版教材習(xí)題改編]焦點在x軸上,a=6,e= 的橢圓方程是　 .
探究點一　橢圓的幾何性質(zhì)
【例1】 [人教A版教材例題]求橢圓16x2+25y2=400的長軸和短軸的長、離心率、焦點和頂點的坐標(biāo).
點坐標(biāo)分別是F1(-3,0)和F2(3,0),四個頂點坐標(biāo)分別是A1(-5,0),A2(5,0),B1(0,-4)和B2(0,4).
規(guī)律方法　討論橢圓的幾何性質(zhì)時,一定要將方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程,并準(zhǔn)確判斷焦點位置,標(biāo)準(zhǔn)方程能將參數(shù)的幾何意義凸顯出來,另外要抓住橢圓中a2-b2=c2這一核心關(guān)系式.
變式訓(xùn)練1已知橢圓C1: =1,設(shè)橢圓C2與橢圓C1的長軸長、短軸長分別相等,且橢圓C2的焦點在y軸上.(1)求橢圓C1的半長軸長、半短軸長、焦點坐標(biāo)及離心率;(2)寫出橢圓C2的方程及其簡單幾何性質(zhì).
探究點二　由幾何性質(zhì)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
【例2】 求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
(2)在x軸上的一個焦點與短軸兩個端點的連線互相垂直,且焦距為6.
如圖所示,△A1FA2為一等腰直角三角形,OF為斜邊A1A2的中線(高),且|OF|=c,所以|A1A2|=2b=2c,所以c=b=3,所以a2=b2+c2=18,故所求橢圓的方
規(guī)律方法　此類問題應(yīng)由所給的幾何性質(zhì)充分找出a,b,c所滿足的關(guān)系式,進(jìn)而求出a,b.在求解時,需注意橢圓的焦點位置,其次要注意平面幾何知識的應(yīng)用,將數(shù)形結(jié)合思想更多地滲透進(jìn)去.
變式訓(xùn)練2[北師大版教材習(xí)題]求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:
探究點三　橢圓的離心率問題
【例3】 橢圓 =1(a>b>0)的兩焦點為F1,F2,以F1F2為邊作正三角形,若橢圓恰好平分正三角形的另兩條邊,則橢圓的離心率為　　　　　.?
解析 (方法一)如圖,∵△DF1F2為正三角形,N為DF2的中點,∴F1N⊥F2N.∵|NF2|=|OF2|=c,
(方法二)注意到焦點三角形NF1F2中,∠NF1F2=30°,∠NF2F1=60°,∠F1NF2=90°,則由離心率的焦點三角形公式,可得
變式探究若例3改為如下:橢圓 =1(a>b>0)的兩焦點F1,F2,以F1F2為斜邊作等腰直角三角形,三角形頂點恰好落在橢圓的頂點處,則橢圓的離心率為　　　　　.?
規(guī)律方法　求橢圓離心率的值或取值范圍的常用方法(1)直接法:若已知a,c,可直接利用e= 求解.若已知a,b(或b,c),可借助于a2=b2+c2求出c(或a),再代入公式e= 求解.(2)幾何法:若借助數(shù)形結(jié)合,可挖掘涉及幾何圖形的性質(zhì),再借助a2=b2+c2,找到a與c的關(guān)系或求出a與c,代入e= 即可得到.(3)方程法:若a,c的值不可求,則可根據(jù)條件建立關(guān)于a,b,c的關(guān)系式,借助于a2=b2+c2,轉(zhuǎn)化為關(guān)于a,c的齊次方程(或不等式),再將方程(或不等式)兩邊同除以a的最高次冪,得到關(guān)于e的方程(或不等式),即可求得e的值(或取值范圍).
變式訓(xùn)練3(1)已知點A,B分別是橢圓C: =1(a>b>0)的右、上頂點,過橢圓C上一點P向x軸作垂線,垂足恰好為左焦點F1,且AB∥OP,則橢圓C的離心率為(　　)
一點,△F2PF1是底角為30°的等腰三角形,則E的離心率為　　　　　.?
解析 由題意,知∠F2F1P=∠F2PF1=30°,
探究點四　橢圓幾何性質(zhì)的實際應(yīng)用
【例4】 [北師大版教材例題]酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心將一顆人造衛(wèi)星送入到距地球表面近地點(離地面最近的點)高度約200 km,遠(yuǎn)地點(離地面最遠(yuǎn)的點)高度約350 km的橢圓軌道(將地球看作一個球,其半徑約為6 371 km),求橢圓軌道的標(biāo)準(zhǔn)方程.(注:地心(地球的中心)位于橢圓軌道的一個焦點,且近地點、遠(yuǎn)地點與地心共線)
解 如圖,設(shè)地心為橢圓軌道右焦點F2,近地點、遠(yuǎn)地點分別為A2,A1,以直線A1A2為x軸,線段A1A2的垂直平分線為y軸,建立平面直角坐標(biāo)系,則F2,A1,A2三點都在x軸上,|F2A2|=a-c=200+6 371,|A1F2|=a+c=350+6 371,所以a=6 646,c=75,從而b2=a2-c2=6 6462-752=44 163 691.
規(guī)律方法　將太空中的軌跡與學(xué)過的橢圓建立關(guān)系.利用橢圓的幾何性質(zhì)來解決航空航天問題,考查了學(xué)生運用所學(xué)知識解決實際問題的能力.
變式訓(xùn)練4某段時間某飛船在太空中運行的軌道是一個橢圓,地心為橢圓的一個焦點,如右圖所示.假設(shè)航天員到地球表面的最近距離為d1,最遠(yuǎn)距離為d2,地球的半徑為R,我們想象存在一個鏡像地球,其中心在該飛船運行軌道的另外一個焦點上,從上面發(fā)射某種神秘信號,需要飛行中的航天員中轉(zhuǎn)后地球上的人才能接收到,則傳送神秘信號的最短距離為(　　)A.d1+d2+RB.d2-d1+2RC.d2+d1-2RD.d1+d2
1.已知點(3,2)在橢圓 =1(a>0,b>0)上,則(　　)A.點(-3,-2)不在橢圓上B.點(3,-2)不在橢圓上C.點(-3,2)在橢圓上D.無法判斷點(-3,-2),(3,-2),(-3,2)是否在橢圓上
解析 由橢圓以坐標(biāo)軸為對稱軸,以原點為對稱中心可知,點(-3,2)在橢圓上,故選C.
3.若橢圓的兩個焦點與短軸的一個端點構(gòu)成一個正三角形,則該橢圓的離心率為(　　)
解析不妨設(shè)橢圓的左、右焦點分別為F1,F2,B為橢圓的上頂點.依題意可知,△BF1F2是正三角形.∵在Rt△OBF2中,|OF2|=c,|BF2|=a,∠OF2B=60°,
4.已知橢圓 =1的左、右焦點分別為F1,F2,上、下頂點分別為B1,B2,則四邊形B1F1B2F2的面積為　　　　　.?

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高中數(shù)學(xué)人教B版 (2019)選擇性必修 第一冊電子課本

2.5.2 橢圓的幾何性質(zhì)

版本： 人教B版 (2019)

年級： 選擇性必修 第一冊

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