高中數(shù)學(xué)人教B版 (2019)選擇性必修第一冊(cè)2.5.2 橢圓的幾何性質(zhì)優(yōu)質(zhì)ppt課件-課件下載-教習(xí)網(wǎng)

2. 5.1 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程本節(jié)課選自《2019人教B版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)》第二章《平面解析幾何》，本節(jié)課主要學(xué)習(xí)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程從知識(shí)上講，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是解析法的進(jìn)一步運(yùn)用，同時(shí)它也是進(jìn)一步研究橢圓幾何性質(zhì)的基礎(chǔ)；從方法上講，它為我們研究雙曲線、拋物線這兩種圓錐曲線提供了基本模式和理論基礎(chǔ)；從教材編排上講，現(xiàn)行教材中把三種圓錐曲線獨(dú)編一章，更突出了橢圓的重要地位.因此本節(jié)課有承前啟后的作用，是本章和本節(jié)的重點(diǎn)內(nèi)容.是幾何的研究實(shí)現(xiàn)了代數(shù)化。數(shù)與形的有機(jī)結(jié)合，在本章中得到了充分體現(xiàn)。課程目標(biāo)學(xué)科素養(yǎng)A. 掌握橢圓的幾何性質(zhì),掌握a,b,c,e的幾何意義及a,b,c,e之間的相互關(guān)系.B.橢圓的幾何性質(zhì)的綜合運(yùn)用C.橢圓離心率的求解問(wèn)題. 1.數(shù)學(xué)抽象：橢圓的幾何性質(zhì)2.邏輯推理：利用橢圓的方程研究橢圓的幾何性 3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：橢圓離心率的求解問(wèn)題4.數(shù)學(xué)建模：求解橢圓離心率的基本思路 5.直觀想象：離心率的幾何意義重點(diǎn)：橢圓的幾何性質(zhì)難點(diǎn)：橢圓離心率的求解問(wèn)題.多媒體教學(xué)過(guò)程教學(xué)設(shè)計(jì)意圖核心素養(yǎng)目標(biāo)一、溫故知新焦點(diǎn)的位置焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上圖形標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)的位置焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上范圍-a≤x≤a且-b≤y≤b-b≤x≤b且-a≤y≤a頂點(diǎn)A1(-a,0),A2(a,0),B1(0,-b),B2(0,b)A1(0,-a),A2(0,a),B1(-b,0),B2(b,0)軸長(zhǎng) 長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a,短軸長(zhǎng)為2b焦點(diǎn) F1(-c,0),F2(c,0) F1(0,-c),F2(0,c)焦距 2c對(duì)稱性對(duì)稱軸:x軸、y軸,對(duì)稱中心:坐標(biāo)原點(diǎn)離心率2.離心率(1)定義：橢圓的焦距與長(zhǎng)軸長(zhǎng)的比稱為橢圓的．(2)性質(zhì)：離心率e的范圍是．當(dāng)e越接近于1時(shí)，橢圓；當(dāng)e越接近于時(shí)，橢圓就越接近于圓．;離心率;(0,1); 越扁;01．（2014·全國(guó)高考）已知橢圓C：的左右焦點(diǎn)為F1,F2離心率為，過(guò)F2的直線l交C與A,B兩點(diǎn)，若△AF1B的周長(zhǎng)為，則C的方程為( )A． B． C． D．【答案】A【解析】若△AF1B的周長(zhǎng)為4,由橢圓的定義可知,,,,，所以方程為，故選A.2．（2016·全國(guó)高考）直線l經(jīng)過(guò)橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)和一個(gè)焦點(diǎn)，若橢圓中心到l的距離為其短軸長(zhǎng)的，則該橢圓的離心率為 (　　)A． B． C． D．【答案】B【解析】不妨設(shè)直線，即橢圓中心到的距離，故選B.3．（2012·全國(guó)高考）設(shè)、是橢圓：的左、右焦點(diǎn)，為直線上一點(diǎn)，是底角為的等腰三角形，則的離心率為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】如下圖所示，是底角為的等腰三角形，則有,所以，所以又因?yàn)?/span>，所以，，所以二、典例解析例1、求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)橢圓過(guò)點(diǎn)(3,0)，離心率e＝；(2)在x軸上的一個(gè)焦點(diǎn)與短軸兩個(gè)端點(diǎn)的連線互相垂直，且焦距為8；(3)求經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(1,2)，且與橢圓＋＝1有相同離心率的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.[解]　(1)若焦點(diǎn)在x軸上，則a＝3，∵e＝＝，∴c＝，∴b2＝a2－c2＝9－6＝3.∴橢圓的方程為＋＝1.若焦點(diǎn)在y軸上，則b＝3，∵e＝＝＝＝，解得a2＝27.∴橢圓的方程為＋＝1.∴所求橢圓的方程為＋＝1或＋＝1.典(2)設(shè)橢圓方程為＋＝1(a＞b＞0)．如圖所示，△A1FA2為等腰直角三角形，OF為斜邊A1A2的中線(高)，且|OF|＝c，|A1A2|＝2b，∴c＝b＝4，∴a2＝b2＋c2＝32，故所求橢圓的方程為＋＝1.(3)法一：由題意知e2＝1－＝，所以＝，即a2＝2b2設(shè)所求橢圓的方程為＋＝1或＋＝1.將點(diǎn)M(1,2)代入橢圓方程得＋＝1或＋＝1解得b2＝或b2＝3.故所求橢圓方程為＋＝1或＋＝1.法二：設(shè)所求橢圓方程為＋＝k1(k1>0)或＋＝k2(k2>0)，將點(diǎn)M的坐標(biāo)代入可得＋＝k1或＋＝k2，解得k1＝，k2＝，故＋＝或＋＝，即所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1或＋＝1.利用橢圓的幾何性質(zhì)求標(biāo)準(zhǔn)方程的思路1．利用橢圓的幾何性質(zhì)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，通常采用待定系數(shù)法，其步驟是：(1)確定焦點(diǎn)位置；(2)設(shè)出相應(yīng)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(對(duì)于焦點(diǎn)位置不確定的橢圓可能有兩種標(biāo)準(zhǔn)方程)；(3)根據(jù)已知條件構(gòu)造關(guān)于參數(shù)的關(guān)系式，利用方程(組)求參數(shù)，列方程(組)時(shí)常用的關(guān)系式有b2＝a2－c2，e＝等2．在橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)中，軸長(zhǎng)、離心率不能確定橢圓的焦點(diǎn)位置，因此僅依據(jù)這些條件求所要確定的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可能有兩個(gè)．提醒：與橢圓＋＝1(a>b>0)有相同離心率的橢圓方程為＋＝k1(k1>0，焦點(diǎn)在x軸上)或＋＝k2(k2>0，焦點(diǎn)在y軸上)．跟蹤訓(xùn)練1．(1)若橢圓的對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，長(zhǎng)軸長(zhǎng)與短軸長(zhǎng)的和為18，一個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)是(3,0)，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(　　)A.＋＝1　　 B.＋＝1C.＋＝1 D.＋＝1B　[由題意，得解得因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在x軸上，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1.](2)已知橢圓的對(duì)稱軸是坐標(biāo)軸，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F是一個(gè)焦點(diǎn)，A是一個(gè)頂點(diǎn)，橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6，且cos∠OFA＝，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是________．答案：＋＝1或＋＝1　[因?yàn)闄E圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是6，cos∠OFA＝，所以點(diǎn)A不是長(zhǎng)軸的端點(diǎn)(是短軸的端點(diǎn))．所以|OF|＝c，|AF|＝a＝3，所以＝，所以c＝2，b2＝32－22＝5，所以橢圓的方程是＋＝1或＋＝1.]類型二求橢圓的離心率例2、（1）已知F是橢圓的左焦點(diǎn)，A，B分別是其在x軸正半軸和y軸正半軸上的頂點(diǎn)，P是橢圓上的一點(diǎn)，且PF⊥x軸，OP∥AB，怎樣求橢圓的離心率？解：如圖，設(shè)橢圓的方程為＋＝1(a＞b＞0)，P(－c，m)．∵OP∥AB，∴△PFO∽△BOA，∴＝， ①又P(－c，m)在橢圓上，∴＋＝1. ②將①代入②，得＝1，即e2＝，∴e＝.（2）．已知橢圓＋＝1(a＞b＞0)的左焦點(diǎn)為F1(－c,0)，A(－a,0)，B(0，b)是兩個(gè)頂點(diǎn)，如果F1到直線AB的距離為，求橢圓的離心率e.解：由A(－a,0)，B(0，b)，得直線AB的斜率為kAB＝，故AB所在的直線方程為y－b＝x，即bx－ay＋ab＝0.又F1(－c,0)，由點(diǎn)到直線的距離公式可得d＝＝，∴·(a－c)＝.又b2＝a2－c2，整理，得8c2－14ac＋5a2＝0，即8－14＋5＝0.∴8e2－14e＋5＝0，∴e＝或e＝(舍去)．綜上可知，橢圓的離心率e＝.例3、已知F1，F2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，過(guò)F1且與橢圓長(zhǎng)軸垂直的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，若△ABF2是正三角形，則該橢圓的離心率是________. [思路探究]　△ABF2為正三角形?∠AF2F1＝30°?把|AF1|，|AF2|用C表示．解：　不妨設(shè)橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，因?yàn)?/span>AB⊥F1F2，且△ABF2為正三角形，所以在Rt△AF1F2中，∠AF2F1＝30°，令|AF1|＝x，則|AF2|＝2x，所以|F1F2|＝＝x＝2c，再由橢圓的定義，可知|AF1|＋|AF2|＝2a＝3x，所以e＝＝＝.[答案]　求橢圓離心率及范圍的兩種方法(1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝求解．若已知a，b或b，c可借助于a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝求解．(2)方程法：若a，c的值不可求，則可根據(jù)條件建立a，b，c的關(guān)系式，借助于a2＝b2＋c2，轉(zhuǎn)化為關(guān)于a，c的齊次方程或不等式，再將方程或不等式兩邊同除以a的最高次冪，得到關(guān)于e的方程或不等式，即可求得e的值或范圍．跟蹤訓(xùn)練2．(1)橢圓＋＝1(a>b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)為F，該橢圓上有一點(diǎn)A，滿足△OAF是等邊三角形(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則橢圓的離心率是(　　)A.－1　　B．2－　　C.－1　　D．2－(2)橢圓＋＝1(a>b>0)的兩焦點(diǎn)為F1，F2，以F1F2為邊作正三角形，若橢圓恰好平分正三角形的另兩條邊，則橢圓的離心率為________．(1)A　(2)－1　[(1)如圖，設(shè)F(c,0)，由△OAF是等邊三角形，得A，因?yàn)辄c(diǎn)A在橢圓上，所以有＋＝1　①，在橢圓中有a2＝b2＋c2　②，聯(lián)立①②，得c2＝(4－2)a2，即c＝(－1)a，則其離心率e＝＝－1.(2)法一　如圖，∵△DF1F2為正三角形，N為DF2的中點(diǎn)，∴F1N⊥F2N，∵|NF2|＝c，∴|NF1|＝＝＝c，由橢圓的定義可知|NF1|＋|NF2|＝2a，∴c＋c＝2a，∴e＝＝＝－1.法二　注意到焦點(diǎn)三角形NF1F2中，∠NF1F2＝30°，∠NF2F1＝60°，∠F1NF2＝90°，則由離心率的三角形式，可得e＝＝＝＝－1.] 通過(guò)知識(shí)回顧，和高考真題的解析，幫助學(xué)生歸納題型，形成基本解題思路。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象，直觀想象的核心素養(yǎng)。通過(guò)典例解析，歸納基本題型，幫助學(xué)生形成基本解題思路，進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想方法。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算，數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。通過(guò)典型例題，掌握求解橢圓離心率的基本方法，提升學(xué)生數(shù)學(xué)建模，數(shù)形結(jié)合，及方程思想，發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。三、達(dá)標(biāo)檢測(cè).1．已知橢圓＋＝1(a＞b＞0)與橢圓＋＝1有相同的長(zhǎng)軸，橢圓＋＝1(a＞b＞0)的短軸長(zhǎng)與＋＝1的短軸長(zhǎng)相等，則(　　) A．a2＝15，b2＝16 B．a2＝9，b2＝25C．a2＝25，b2＝9或a2＝9，b2＝25 D．a2＝25，b2＝9【答案】D　[由題意得，橢圓＋＝1的焦點(diǎn)在x軸上，且a2＝25，b2＝9.]2．（2018·全國(guó)高考）已知橢圓：的一個(gè)焦點(diǎn)為，則的離心率為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】根據(jù)題意，可知，因?yàn)?/span>，所以，即，所以橢圓的離心率為，故選C.3．（2019·全國(guó)高考）已知橢圓C的焦點(diǎn)為，過(guò)F2的直線與C交于A，B兩點(diǎn).若，，則C的方程為A． B．C． D．【答案】B【解析】法一：如圖，由已知可設(shè)，則，由橢圓的定義有．在中，由余弦定理推論得．在中，由余弦定理得，解得．所求橢圓方程為，故選B．法二：由已知可設(shè)，則，由橢圓的定義有．在和中，由余弦定理得，又互補(bǔ)，，兩式消去，得，解得所求橢圓方程為，故選B．4．（2017·全國(guó)高考）已知橢圓C：的左、右頂點(diǎn)分別為A1，A2，且以線段A1A2為直徑的圓與直線相切，則C的離心率為( )A． B． C． D．【答案】A【解析】以線段為直徑的圓的圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為，圓的方程為，直線與圓相切，所以圓心到直線的距離等于半徑，即，整理可得，即即，從而，則橢圓的離心率，故選A.5．過(guò)點(diǎn)作斜率為的直線與橢圓：相交于，若是線段的中點(diǎn)，則橢圓的離心率為．【答案】【解析】設(shè)A，B，則①，②，∵M是線段AB的中點(diǎn)，∴，∵直線AB的方程是，∴，∵過(guò)點(diǎn)M（1，1）作斜率為的直線與橢圓C：（a＞b＞0）相交于A，B兩點(diǎn)，M是線段AB的中點(diǎn)，∴①②兩式相減可得，即．通過(guò)練習(xí)鞏固本節(jié)所學(xué)知識(shí)，通過(guò)學(xué)生解決問(wèn)題，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。四、小結(jié)1.根據(jù)幾何條件求出曲線方程，利用曲線的方程研究它的性質(zhì)．2.橢圓離心率的求解問(wèn)題.五、課時(shí)練通過(guò)總結(jié)，讓學(xué)生進(jìn)一步鞏固本節(jié)所學(xué)內(nèi)容，提高概括能力。本節(jié)在學(xué)生初步掌握了橢圓及其幾何性質(zhì)的基礎(chǔ)上，對(duì)橢圓中的基本問(wèn)題，求橢圓的方程及離心率問(wèn)題，進(jìn)行歸納總結(jié)，提升學(xué)生分析和解決問(wèn)題的能力。

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