TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc5958" 【題型1 兩條直線的平行與垂直】 PAGEREF _Tc5958 \h 3
\l "_Tc20427" 【題型2 求與已知直線平行、垂直的直線方程】 PAGEREF _Tc20427 \h 4
\l "_Tc21533" 【題型3 兩直線的交點問題】 PAGEREF _Tc21533 \h 5
\l "_Tc21108" 【題型4 距離問題】 PAGEREF _Tc21108 \h 7
\l "_Tc14004" 【題型5 與距離有關的最值問題】 PAGEREF _Tc14004 \h 9
\l "_Tc10392" 【題型6 點（或直線）關于點對稱】 PAGEREF _Tc10392 \h 11
\l "_Tc435" 【題型7 點關于直線對稱】 PAGEREF _Tc435 \h 12
\l "_Tc2557" 【題型8 直線關于直線的對稱問題】 PAGEREF _Tc2557 \h 15
\l "_Tc5759" 【題型9 直線系方程】 PAGEREF _Tc5759 \h 17
1、兩條直線的位置關系
【知識點1 兩條直線的位置關系】
1．兩條直線的位置關系
2．平行的直線的設法
平行：與直線Ax+By+n=0平行的直線方程可設為Ax+By+m=0.
3．垂直的直線的設法
垂直：與直線Ax+By+n=0垂直的直線方程可設為Bx-Ay+m=0.
【知識點2 三種距離公式】
1．兩點間的距離公式
平面內兩點間的距離公式為.
特別地，原點O到任意一點P(x,y)的距離為|OP|=.
2．點到直線的距離公式
(1)定義：
點P到直線l的距離，就是從點P到直線l的垂線段PQ的長度，其中Q是垂足.實質上，點到直線的距離是直線上的點與直線外該點的連線的最短距離.
(2)公式：
已知一個定點，一條直線為l:Ax+By+C=0，則定點P到直線l的距離為d=.
3．兩條平行直線間的距離公式
(1)定義
兩條平行直線間的距離是指夾在兩條平行直線間的公垂線段的長.
(2)公式
設有兩條平行直線，，則它們之間的距離為d=.
【知識點3 點、線間的對稱關系】
1．六種常用對稱關系
(1)點(x,y)關于原點(0,0)的對稱點為(-x,-y).
(2)點(x,y)關于x軸的對稱點為(x,-y)，關于y軸的對稱點為(-x,y).
(3)點(x,y)關于直線y=x的對稱點為(y,x)，關于直線y=- x的對稱點為(-y,-x).
(4)點(x,y)關于直線x=a的對稱點為(2a-x,y)，關于直線y=b的對稱點為(x,2b-y).
(5)點(x,y)關于點(a,b)的對稱點為(2a-x,2b-y).
(6)點(x,y)關于直線x+y=k的對稱點為(k-y,k-x)，關于直線x-y=k的對稱點為(k+y,x-k).
【知識點4 直線系方程】
1．直線系方程
過直線與的交點的直線系方程為，但不包括直線.
【題型1 兩條直線的平行與垂直】
【例1】（2024·河南新鄉(xiāng)·三模）已知直線l1:2x+my?1=0，l2:m+1x+3y+1=0，則“m=2”是“l(fā)1//l2”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【解題思路】利用充分條件、必要條件的定義，結合兩直線平行判斷即得.
【解答過程】當m=2時，直線l1:2x+2y?1=0，l2:3x+3y+1=0，則l1//l2，
當l1//l2時，2m+1=m3≠?11，解得m=2，
所以“m=2”是“l(fā)1//l2”的充要條件.
故選：C.
【變式1-1】（2024·陜西西安·二模）已知點M(m,?1)，N(4,m)，且直線MN與直線2x?y+3=0垂直，則m=（ ）
A．?6B．73C．23D．9
【解題思路】借助垂直直線斜率的關系計算即可得.
【解答過程】由題意可得?1?mm?4?2=?1，解得m=?6.
故選：A.
【變式1-2】（2024·河南洛陽·模擬預測）“a=0”是“直線l1:x+2ay?2024=0與直線l2:(a?1)x+ay+2024=0平行”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【解題思路】求出直線平行的充要條件為a=32，結合充分條件、必要條件的定義即可得解.
【解答過程】若l1//l2，則有1×a=2a(a?1)，所以a=0或a=32，
當a=0時，l1:x?2024=0,l2:?x+2024=0，故l1，l2重合；
當a=32時，l1:x+3y?2024=0,l2:12x+32y+2024=0，滿足條件，
所以“a=0”是“l(fā)1//l2”的既不充分也不必要條件，
故選：D．
【變式1-3】（2024·河南·三模）已知直線Ax+By+C=0與直線y=2x?3垂直，則（ ）
A．A=?2B≠0B．A=2B≠0
C．B=?2A≠0D．B=2A≠0
【解題思路】由直線垂直的充要條件即可列式得解.
【解答過程】直線y=2x?3的斜率為2，又兩直線互相垂直，所以直線Ax+By+C=0的斜率為?12，
即?AB=?12且A≠0，B≠0，所以B=2A≠0.
故選：D.
【題型2 求與已知直線平行、垂直的直線方程】
【例2】（2024·山東·二模）已知直線l與直線x?y=0平行，且在y軸上的截距是?2，則直線l的方程是（ ）．
A．x?y+2=0B．x?2y+4=0
C．x?y?2=0D．x+2y?4=0
【解題思路】依題意設直線l的方程為x?y+m=0，代入0,?2求出參數的值，即可得解.
【解答過程】因為直線l平行于直線x?y=0，所以直線l可設為x?y+m=0，
因為在y軸上的截距是?2，則過點0,?2，代入直線方程得0??2+m=0，
解得m=?2，所以直線l的方程是x?y?2=0.
故選：C.
【變式2-1】（2024·廣東珠?！つM預測）過點P?1,2且與直線x+2y+3=0垂直的直線方程是（ ）
A．x?2y+5=0B．x+2y?3=0
C．2x?y+4=0D．2x+y=0
【解題思路】求出所求直線的斜率，利用點斜式可得出所求直線的方程.
【解答過程】直線x+2y+3=0的斜率為?12，故所求直線的斜率為2，
所以，過點P?1,2且與直線x+2y+3=0垂直的直線方程是y?2=2x+1，
即2x?y+4=0.
故選：C.
【變式2-2】（2024·吉林·模擬預測）△ABC中，A3,2，B1,1，C2,3，則AB邊上的高所在的直線方程是（ ）
A．2x+y?7=0B．2x?y?1=0
C．x+2y?8=0D．x?2y+4=0
【解題思路】設AB邊上的高所在的直線為l，求出直線l的斜率，代入點斜式方程，整理即可得出答案.
【解答過程】設AB邊上的高所在的直線為l，
由已知可得，kAB=1?21?3=12，所以直線l的斜率kl=?2.
又l過C2,3，所以l的方程為y?3=?2x?2，
整理可得，2x+y?7=0.
故選：A.
【變式2-3】（23-24高二上·廣東江門·期末）過點?2，0與y=x平行的直線方程是（ ）
A．x?y?2=0B．x+y+2=0
C．x?y+2=0D．x+y?2=0
【解題思路】根據直線與y=x平行設出直線方程，根據過點?2，0即可求解.
【解答過程】設直線方程為y=x+b，因為直線過點?2，0，
所以b=2，所以直線方程為x?y+2=0.
故選C.
【題型3 兩直線的交點問題】
【例3】（2024·海南?？凇ざ＃┤糁本€y=?2x+4與直線y=kx的交點在直線y=x+2上，則實數k=（ ）
A．4B．2C．12D．14
【解題思路】求出直線y=?2x+4與直線y=x+2的交點，再代入求解作答.
【解答過程】解方程組y=?2x+4y=x+2，得直線y=?2x+4與直線y=x+2的交點(23,83)，
依題意，83=23k，解得k=4，
所以實數k=4.
故選：A.
【變式3-1】（23-24高二上·重慶長壽·期末）直線2x?y+6=0與直線x+y=3的交點坐標是（ ）
A．(3，0)B．(?1,4)C．(?3,6)D．(4,?1)
【解題思路】兩個方程的聯立，加減消元法計算即可.
【解答過程】2x?y+6=0……①
x+y=3……②
①+②得：3x=?3?x=?1……③
③代入②有：y=4……④
由③④得交點坐標為：?1,4.
故選：B.
【變式3-2】（23-24高二上·四川涼山·期末）經過兩條直線2x?3y+10=0和3x+4y?2=0的交點，且垂直于直線2x?y?1=0的直線方程為（ ）
A．x?2y?6=0B．x+2y?2=0
C．2x?y?3=0D．2x+y?2=0
【解題思路】首先求出兩條直線的交點坐標，再根據垂直求出斜率，點斜式寫方程即可.
【解答過程】由題知：2x?3y+10=03x+4y?2=0，解得：x=?2y=2，交點(?2,2).
直線2x?y?1=0的斜率為2，所求直線斜率為?12.
所求直線為：y?2=?12(x+2)，即x+2y?2=0.
故選：B.
【變式3-3】（23-24高二下·上海·期中）直線l1:7x+2y+1=0,l2:mx+y=0,l3:x+my?1=0，若三條直線無法構成三角形，則實數m可取值的個數為（ ）
A．3B．4C．5D．6
【解題思路】分l1//l2、l1//l3、l2//l3及三條直線相交于一點四種情況討論，分別求出所對應的m的值，即可得解.
【解答過程】①l1//l2時，則2m=7×1，解得m=72，經檢驗符合題意；
②l1//l3時，則7m=2×1，解得m=27，經檢驗符合題意；
③l2//l3時，則m2=1×1，解得m=±1，經檢驗符合題意；
④三條直線交于一點7x+2y+1=0mx+y=0x+my?1=0，解得m=2x=?13y=23或m=?4x=?115y=?415，
則實數m可取值的集合為72,27,?1,1,2,?4，即符合題意的實數m共6個.
故選：D.
【題型4 距離問題】
【例4】（2024·全國·模擬預測）平行直線l1:2x+y?5=0與l2:x?by+5=0之間的距離為（ ）
A．5B．25C．35D．55
【解題思路】先通過平行求出b，再利用平行線的距離公式求解.
【解答過程】因為l1∥l2，所以b≠0，21=1?b≠?55，
解得b=?12，所以l2:2x+y+10=0，
故兩平行直線間的距離d=10??54+1=35．
故選：C．
【變式4-1】（2024·海南海口·模擬預測）設A(0,18)，若函數y=ax2(a>0)圖象上任意一點P(x0,y0)滿足|PA|=y0+18，則a=（ ）
A．14B．12C．2D．4
【解題思路】根據題意結合兩點間距離公式分析運算.
【解答過程】因為點P(x0,y0)在函數y=ax2(a>0)圖象上，則y0=ax02≥0，即x02=y0a，
又因為|PA|=x0?02+y0?182=y0+18，則x02+y0?182=y0a+y0?182=y0+182，
整理得a?2y0=0，
由于a?2y0=0對y0恒成立，則a?2=0，解得a=2.
故選：C.
【變式4-2】（2024·河南信陽·模擬預測）已知方程?x2+2ax+22b=2在實數范圍內有解，則a2+b2的最小值為（ ）
A．12B．14C．22D．24
【解題思路】將方程中的a,b看成主元，x看成系數可得2xa+22b?(x2+2)=0，表示一條直線，直線上的點為(a,b)，根據a2+b2的幾何意義確定點(a,b)到點(0,0)的距離不小于(0,0)到直線的距離，結合點到直線的距離公式和二次函數的性質即可求解.
【解答過程】由題意知，將方程中的a,b看成主元，x看成系數，
則變成二元一次方程2xa+22b?(x2+2)=0，
該方程可以表示直角坐標系中的一條直線，直線上的點為(a,b)，
a2+b2的幾何意義是點(a,b)與(0,0)的距離，
所以直線上的點(a,b)到點(0,0)的距離不小于(0,0)到直線的距離，
(0,0)到直線2xa+22b?(x2+2)=0的距離為
d=2x?0+22?0?(x2+2)(2x)2+(22)2=x2+24x2+8=x2+22，
即a2+b2≥x2+22，所以a2+b2≥x2+24，
又y=x2+24=14x2+12，是開口向上的拋物線，
當x=0時，ymin=12，所以a2+b2≥12，
即a2+b2的最小值為12.
故選：A.
【變式4-3】（2024·江蘇南京·一模）已知實數a>0,b1，由OA⊥l得dmax=2，化簡即可求解.
【解答過程】
根據題意，設直線l：ax+by=0恒過原點，點A1,?3，
那么點A1,?3到直線l的距離為：d=a?3ba2+b2，
因為a>0,b0，
當直線l的斜率不存在時，d=a?3ba2+b2=1，所以d>1，
當OA⊥l時，dmax=OA=1+3=2，
所以10與l2：2x+ny?6=0之間的距離是25，
所以|2m+6|4+16=25,解得m=7
即直線l1：x?2y+7=0，l2：x?2y?3=0，
設直線l1關于直線l2對稱的直線方程為x?2y+c=0，
則|?3?7|5=|?3?c|5，解得c=?13，
故所求直線方程為x?2y?13=0，
故選：A.
【題型9 直線系方程】
【例9】（23-24高二上·全國·課后作業(yè)）過兩直線l1:x?3y+4=0和l2:2x+y+5=0的交點和原點的直線方程為（ ）
A．3x-19y=0B．19x-3y=0
C．19x+3y=0D．3x+19y=0
【解題思路】設過兩直線交點的直線系方程為x?3y+4+λ(2x+y+5)=0，代入原點坐標，得4+5λ=0，求解即可.
【解答過程】設過兩直線交點的直線系方程為x?3y+4+λ(2x+y+5)=0，
代入原點坐標，得4+5λ=0，解得λ=?45，
故所求直線方程為x?3y+4?45(2x+y+5)=0，即3x+19y=0.
故選：D.
【變式9-1】（23-24高二上·重慶·階段練習）經過直線3x+2y+6=0和2x+5y?7=0的交點，且在兩坐標軸上的截距相等的直線方程為（ ）
A．x+y+1=0B．x?y+1=0
C．x+y+1=0或3x+4y=0D．x?y+1=0或x+y+1=0
【解題思路】設直線方程為3x+2y+6+λ(2x+5y?7)=0，求出其在兩坐標軸上的截距，令其相等，解方程即可求出結果.
【解答過程】解：設直線方程為3x+2y+6+λ(2x+5y?7)=0，
即(3+2λ)x+(2+5λ)y+6?7λ=0
令x=0，得y=7λ?62+5λ，
令y=0，得x=7λ?63+2λ.
由7λ?62+5λ=7λ?63+2λ，
得λ=13或λ=67.
所以直線方程為x+y+1=0或3x+4y=0.
故選：C.
【變式9-2】（23-24高二上·湖北武漢·階段練習）過兩直線2023x?2022y?1=0和2022x+2023y+1=0的交點且過原點的直線方程為 4045x+y=0 ．
【解題思路】根據直線相交設所求直線為2023x?2022y?1+λ(2022x+2023y+1)=0，結合直線過原點求參數，即可得方程.
【解答過程】令所求直線為2023x?2022y?1+λ(2022x+2023y+1)=0，
又直線過原點，則?1+λ=0?λ=1，
所以所求直線為4045x+y=0.
故答案為：4045x+y=0.
【變式9-3】（23-24高二上·安徽馬鞍山·期中）平面直角坐標系xOy中，過直線l1:7x?3y+1=0與l2:x+4y?3=0的交點，且在y軸上截距為1的直線l的方程為 9x+5y?5=0 ．（寫成一般式）
【解題思路】設交點系方程，結合直線過(0,1)求方程即可.
【解答過程】由題設，令直線l的方程為7x?3y+1+λ(x+4y?3)=0，且直線過(0,1)，
所以0?3+1+λ(0+4?3)=0?λ=2，故直線l的方程為9x+5y?5=0.
故答案為：9x+5y?5=0.
一、單選題
1．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預測）已知直線l1:ax+3y?6=0，直線l2:2x+a?1y?4=0，則“l(fā)1∥l2”是“a=3或a=?2”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【解題思路】根據直線平行滿足的系數關系列式求解a，結合充分條件、必要條件的概念判斷即可.
【解答過程】若直線l1:ax+3y?6=0和直線l2:2x+a?1y?4=0平行，
則a×a?1=2×3a×?4≠2×?6，解得a=?2，
所以“l(fā)1∥l2”是“a=3或a=?2”的充分不必要條件.
故選：A.
2．（2024·黑龍江吉林·二模）兩條平行直線l1：x+y+1=0，l2：x+y?1=0之間的距離是（ ）
A．1B．2C．22D．2
【解題思路】利用平行直線間的距離公式即可得解.
【解答過程】因為l1：x+y+1=0，l2：x+y?1=0，
所以它們之間的距離為d=1??11+1=2.
故選：B.
3．（2024·河南鄭州·模擬預測）已知直線l1:x+my+1=0與直線l2:x+(1?2m)y?3=0，則“m∈{1,?2}”是“l(fā)1⊥l2”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【解題思路】由l1⊥l2，計算得m=1或m=?12，即可判斷.
【解答過程】因為l1⊥l2，
所以1+m(1?2m)=0，
解得m=1或m=?12，
所以“m∈{1,?2}”是“l(fā)1⊥l2”的既不充分也不必要條件．
故選：D．
4．（2024·重慶·三模）當點P?1,0到直線l：3λ+1x+λ+1y?4λ+2=0的距離最大時，實數λ的值為（ ）
A．?1B．1C．?2D．2
【解題思路】先求得直線過的定點，再由點P與定點的連線與直線垂直求解.
【解答過程】直線l：3λ+1x+λ+1y?4λ+2=0，
整理得λ3x+y?4+x+y?2=0，
由3x+y?4=0x+y?2=0，可得x=1y=1，
故直線恒過點A1,1，
點P?1,0到A1,1的距離dmax=(?1?1)2+(0?1)2=5，
故kPA=1?01+1=12；
直線l：3λ+1x+λ+1y?4λ+2=0的斜率k=?3λ+1λ+1，
故?3λ+1λ+1?12=?1，解得λ=1.
故選：B.
5．（2024·重慶沙坪壩·模擬預測）設直線 l:x+y?1=0， 一束光線從原點 O 出發(fā)沿射線 y=kxx≥0 向直線 l 射出， 經 l 反射后與 x 軸交于點 M， 再次經 x 軸反射后與 y 軸交于點 N. 若 MN=136， 則 k 的值為（ ）
A．32B．23
C．12D．13
【解題思路】根據光學的性質，根據對稱性可先求O關于直線l的對稱點A，后求直線AP，可得M、N兩點坐標，進而由MN=136可得k.
【解答過程】
如圖，設點O關于直線l的對稱點為Ax1,y1，
則x12+y12?1=0y1x1×?1=?1得x1=1y1=1，即A1,1，
由題意知y=kxx≥0與直線l不平行，故k≠?1，
由y=kxx+y?1=0，得x=1k+1y=kk+1，即P1k+1,kk+1，
故直線AP的斜率為kAP=kk+1?11k+1?1=1k，
直線AP的直線方程為：y?1=1kx?1，
令y=0得x=1?k，故M1?k,0，
令x=0得y=1?1k，故由對稱性可得N0,1k?1，
由MN=136得(1?k)2+1k?12=1336，即k+1k2?2k+1k=1336，
解得k+1k=136，得k=23或k=32，
若k=32，則第二次反射后光線不會與y軸相交，故不符合條件．
故k=23，
故選：B.
6．（23-24高二上·重慶黔江·階段練習）已知點A2,3,B4,1,直線x?2y+4=0與y軸相交于點C,則△ABC中AB邊上的高CE所在直線的方程是（ ）
A．x+y?2=0B．x+y+2=0
C．x?y+2=0D．x?y?2=0
【解題思路】令x=0,得點C坐標,再根據CE⊥AB和斜率公式,得直線CE的斜率,結合點斜式求解即可.
【解答過程】∵直線x?2y+4=0與y軸相交于點C,令x=0,得y=2,∴C0,2.
由題知CE⊥AB,且直線AB的斜率kAB=3?12?4=?1,∴kCE×kAB=?1,得kCE=1,
易知點C在直線CE上,根據點斜式得y?2=x,即x?y+2=0.
故選：C.
7．（2024·陜西西安·一模）唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，詩中隱含著一個有趣的數學問題——“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標系中，設軍營所在的位置為A?3,0，若將軍從山腳下的點B?1,1處出發(fā)，河岸線所在直線方程為x+y=1，則“將軍飲馬”的最短總路程為（ ）
A．5B．3C．13D．5
【解題思路】根據兩點間線段最短，結合中點坐標公式、互相垂直直線斜率的性質進行求解即可.
【解答過程】設點B?1,1關于直線x+y=1對稱的點為Cx,y，
則有?1+x2+1+y2=11?y?1?x??1=?1?x=0y=2?C0,2，
所以“將軍飲馬”的最短總路程為AC=32+22=13，
故選：C.
8．（2024·貴州畢節(jié)·模擬預測）直線l1:x+1+ay=1?aa∈R，直線l2:y=?12x，給出下列命題：
①?a∈R，使得l1//l2； ②?a∈R，使得l1⊥l2；
③?a∈R，l1與l2都相交； ④?a∈R，使得原點到l1的距離為2.
其中正確的是（ ）
A．①②B．②③C．②④D．①④
【解題思路】利用兩直線平行可得出關于a的等式與不等式，解之可判斷①；利用兩直線垂直可求得實數a的值，可判斷②；取a=1可判斷③；利用點到直線的距離公式可判斷④.
【解答過程】對于①，若l1//l2，則?1a+1=?121?a≠0，該方程組無解，①錯；
對于②，若l1⊥l2，則?11+a??12=?1，解得a=?32，②對；
對于③，當a=1時，直線l1的方程為x+2y=0，即y=?12x，此時，l1、l2重合，③錯；
對于④，直線l1的方程為x+a+1y+a?1=0，
若?a∈R，使得原點到l1的距離為2，則a?11+a+12=2，整理可得3a2?10a+7=0，
Δ=100?4×3×7>0，方程3a2?10a+7=0有解，④對.
故選：C.
二、多選題
9．（23-24高二上·甘肅白銀·期末）已知直線l1:x+2y?2=0，直線l2:k?1x+ky+3=0，則（ ）
A．直線l2可以與x軸平行B．直線l2可以與y軸平行
C．當l1 ∥ l2時，k=2D．當l1⊥l2時，k=?13
【解題思路】根據直線平行和垂直對選項進行分析，從而確定正確答案.
【解答過程】當k=0時，直線l2:x=3，此時直線l2與y軸平行，B項正確；
若k=1，則直線l2:y+3=0，此時直線l2與x軸平行，A項正確；
若l1 ∥ l2，則k?2k?1=0，解得k=2，
經驗證可知此時兩直線不重合，C項正確；
若l1⊥l2，則k?1+2k=0，解得k=13，D項錯誤.
故選：ABC.
10．（23-24高三上·江蘇·階段練習）已知直線l經過點2,3，且點A?3,2，B5,?4到直線l的距離相等，則直線l的方程可能為（ ）
A．4x?y?5=0B．4x+y?11=0
C．3x+4y?18=0D．3x?4y+6=0
【解題思路】當直線l的斜率不存在時不滿足題意，當直線l的斜率存在時，設出直線方程，利用距離相等列方程求解即可.
【解答過程】當直線l的斜率不存在時，顯然不滿足題意.
當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為y?3=kx?2，即kx?y+3?2k=0.
由已知得?3k?2+3?2kk2+1=5k+4+3?2kk2+1，
所以k=4或k=?34，
所以直線l的方程為4x?y?5=0或3x+4y?18=0.
故選：AC.
11．（2024·云南昆明·模擬預測）唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”隱藏著一個有趣的數學問題——“將軍飲馬”，即某將軍觀望完烽火臺之后從山腳的某處出發(fā)，先去河邊飲馬，再返回軍營，怎樣走能使總路程最短?在平面直角坐標系中有兩條河流m，n，其方程分別為2x?y=0，y=0，將軍的出發(fā)點是點A3,1，軍營所在位置為B6,3，則下列說法錯誤的是（ ）
A．若將軍先去河流m飲馬，再返回軍營，則將軍在河邊飲馬的地點的坐標為(1,2)
B．將軍先去河流n飲馬，再返回軍營的最短路程是5
C．將軍先去河流m飲馬，再去河流n飲馬，最后返回軍營的最短路程是85
D．將軍先去河流n飲馬，再去河流m飲馬，最后返回軍營的最短路程是213
【解題思路】確定A(3,1)關于直線m,n對稱點A1,A2，確定B(6,3)關于直線m,n對稱點B2,B1，利用兩點之間距離最小來判斷.
【解答過程】對于A，如圖①所示，設點A(3,1)關于直線2x?y=0的對稱點為A1(x1,y1)，
由y1?1x1?3×2=?1,2×3+x12?1+y12=0解得A1(?1,3)，
所以將軍在河邊飲馬的地點的坐標為C(32,3)，故A錯誤；
對于B，如圖②所示，因為點A3,1關于直線y=0的對稱點為A23,?1，
將軍先去河流n飲馬，再返回軍營的最短路程是BA2=(6?3)2+(3+1)2=5，故B錯誤；
對于C，如圖③所示，因為點B6,3關于直線y=0的對稱點分別為，B1(6,?3)；
點A(3,1)關于直線2x?y=0的對稱點為A1(?1,3)，
所以將軍先去河流m飲馬，再去河流n飲馬，最后返回軍營的最短路程A1B1=85，故C正確；
對于D，如圖④所示，設點B6,3關于直線2x?y=0的對稱點分別為B2(x2,y2)，
由y2?3x2?6×2=?1,2×6+x22?3+y22=0解得B2(?65,335)；點A(3,1)關于直線y=0的對稱點為A2(3,?1)，
將軍先去河流n飲馬，再去河流m飲馬，最后返回軍營的最短路程是A2B2=18855，故D錯誤.
故選：ABD.


三、填空題
12．（2024·山東·二模）過直線x+y+1=0和3x?y?3=0的交點，傾斜角為45°的直線方程為 y=x?2 .
【解題思路】聯立直線求解交點，即可根據點斜式求解直線方程.
【解答過程】聯立x+y+1=0與3x?y?3=0可得x=12,y=?32，
故交點為12,?32，傾斜角為45°，所以斜率為1，
故直線方程為y+32=x?12，即y=x?2，
故答案為：y=x?2.
13．（2024·陜西商洛·模擬預測）已知直線l1:?2x+a?2y+3=0與直線l2:bx?y?1=0,a>0,b>0，若l1⊥l2，則aba+2b的最大值為 14 .
【解題思路】根據直線垂直的條件得2=a+2b，根據基本不等式得ab≤12，從而可得結果.
【解答過程】因為l1⊥l2??2b?a?2=0，
即2=a+2b≥22ab?ab≤12，當且僅當a=1,b=12時取等號，
∴aba+2b=ab2≤14，即aba+2b的最大值為14.
故答案為：14.
14．（2024·四川成都·模擬預測）已知直線l經過點P(0,1)，且被兩條平行直線l1:3x+y+1=0和l2:3x+y+5=0截得的線段長為22，則直線l的方程為 (2+3)x?y+1=0或(2?3)x+y?1=0 ．
【解題思路】直線l分斜率存在和不存在兩種情況討論；當斜率不存在時直線l是y軸，求交點坐標即可；當直線l的斜率存在時，設定直線l的方程并與直線l1,l2的方程聯立求交點，滿足弦長即可.
【解答過程】若直線l的斜率不存在，則直線l的方程為：x＝0，
此時與l1,l2的交點分別為(0,?1)和(0,?5)，
截得的線段的長為：?5?(?1)=4≠22，不符合題意．
若直線l的斜率存在，則設直線l的方程為：y=kx+1，
解方程組y=kx+13x+y+1=0，得點A(?2k+3,?k+3k+3)，
解方程組y=kx+13x+y+5=0，得點B(?6k+3,?5k+3k+3).
由AB=22，得?2k+3??6k+32+?k+3k+3??5k+3k+32=8，
即k2?23k?1=0，解得：k=3±2，
則直線l的方程為：(2+3)x?y+1=0或(2?3)x+y?1=0.
故答案是：(2+3)x?y+1=0或(2?3)x+y?1=0.
四、解答題
15．（23-24高二下·四川雅安·開學考試）已知直線l1:2x+a?1y+1=0，直線l2:a+4x+3y+3=0．
(1)若l1//l2，求實數a的值；
(2)若l1⊥l2，求實數a的值．
【解題思路】（1）依題意可得3×2?a?1a+4=0，求出參數的值，再代入檢驗；
（2）根據兩直線垂直的充要條件得到方程，解得即可.
【解答過程】（1）因為l1//l2，所以3×2?a?1a+4=0，
整理得a2+3a?10=0，即a?2a+5=0，
解得a=2或a=?5．
當a=2時，l1:2x+y+1=0,l2:6x+3y+3=0，此時l1與l2重合，不符合題意；
當a=?5時，l1:2x?6y+1=0,l2:?x+3y+3=0，符合題意．
故a=?5．
（2）因為l1⊥l2，所以2a+4+3a?1=0，
解得a=?1．
16．（2024·陜西西安·二模）解答下列問題.
(1)已知直線l1:ax?3y+4b=0與直線l2:2x+by?2a=0相交，交點坐標為(1,2)，求a,b的值；
(2)已知直線l過點P(2,3)，且點M(3,1)到直線l的距離為1，求直線l的方程.
【解題思路】（1）利用直線的交點坐標同時在兩直線上解方程組即可得到結果；
（2）分直線的斜率存在與否，不存在時，直接驗證即可；存在時利用點斜式設出直線方程，再由點到直線的距離解出斜率，得到直線方程即可.
【解答過程】（1）由題意得a×1?3×2+4b=02×1+2b?2a=0，即a+4b=6a?b=1解得a=2,b=1.
∴ a=2,b=1；
（2）顯然直線l：x=2滿足條件. 此時，直線l的斜率不存在.
當直線l的斜率存在時，設l:y?3=k(x?2)，即l:kx?y?2k+3=0.
∵點M(3,1)到直線l的距離為1，
∴ 3k?1?2k+3k2+?12=1，即k+2k2+1=1，得k=?34，
得直線l: 3x+4y?18=0
綜上所述，直線l的方程為l: x=2和3x+4y?18=0.
17．（23-24高二上·浙江金華·期中）已知兩直線l1:3x?y?1=0,l2:x+2y?5=0.
(1)求過兩直線的交點，且垂直于直線3x+4y?5=0的直線方程；
(2)已知兩點A?1,1,B0,2，動點P在直線l1運動，求PA+PB的最小值.
【解題思路】（1）聯立方程，求出交點，再由垂直關系得出斜率，進而寫出直線方程；
（2）由對稱性得出點B0,2關于直線l1對稱的點為Cx,y，進而結合圖像得出最值.
【解答過程】（1）解：聯立3x?y?1=0x+2y?5=0，解得x=1,y=2，
因為所求直線垂直于直線3x+4y?5=0，所以所求直線的斜率為43；
故所求直線方程為y=43x?1+2，即4x?3y+2=0
（2）設點B0,2關于直線l1對稱的點為Cx,y，
y?2x=?13x2×3?y+22=1，解得x=95,y=75
則PA+PB=PA+PC≥AC=95+12+75?12=22，
故PA+PB的最小值為22.
18．（24-25高二上·上海·隨堂練習）如圖，已知A6,63，B0,0，C12,0，直線l：k+3x?y?2k=0．
(1)求直線l經過的定點坐標；
(2)若P2,23，李老師站在點P用激光筆照出一束光線，依次由BC（反射點為K）、AC（反射點為I）反射后，光斑落在P點，求入射光線PK的直線方程．
【解題思路】（1）分離參數，列方程可得直線過定點；
（2）分別求點P關于直線BC與AC的對稱點P1與P2，進而可得kP1P2，再根據對稱性可得kPK，即可得直線方程.
【解答過程】（1）由直線l：k+3x?y?2k=0，即kx?2+3x?y=0，
令x?2=03x?y=0，解得x=2y=23，
故直線l恒過定點2,23；
（2）設P關于BC的對稱點P1，則P12,?23，
P關于AC的對稱點P2m,n，
由直線AC的方程為y?063?0=x?126?12，即y=?3x?12，
所以n?23m?2??3=?1n+232=?3m+22?12，解得m=14n=63，
所以P214,63，
由題意得P1、K、I、P2四點共線，kP1P2=233，
由對稱性得kPK=?233，
所以入射光線PK的直線方程為y?23=?233x?2，
即2x+3y?10=0．
19．（23-24高二下·上?！るA段練習）已知△ABC的三個頂點的坐標分別是點A(5,1)、B(4,3)與C(0,?1)，直線m:(k+2)x+(k?1)y+k?1=0 (k∈R).
(1)求邊AC所在直線l1的傾斜角和邊AC上的高所在直線l2的方程;
(2)記d為點A到直線m的距離，試問:d是否存在最大值?若存在，求出d的最大值:若不存在，說明理由;
【解題思路】（1）求出直線AC的斜率，根據k=tanα即可求出傾斜角，由直線點斜式方程即可求出直線l2的方程；
（2）根據直線m:(k+2)x+(k?1)y+k?1=0 (k∈R)只含一個參數，可以將其方程以參數進行整理，然后運用恒等式，求出定直線及交點，點A(5,1)到直線m的距離為d，則d≤AC，再探究是否存在最大值.
【解答過程】（1）因為A(5,1)、C(0,?1)，所以kl1=1?(?1)5?0=25，
所以直線l1的傾斜角為arctan25，
因為l1⊥l2，所以kl2=?52，
所以直線l2的方程為：y?3=?52(x?4)，化簡得：5x+2y?26=0.
（2）將直線m變形可得：kx+y+1+2x?y?1=0，
對于k取任何實數時，此方程恒成立，則
x+y+1=02x?y?1=0得x=0y=?1，
即直線m恒過兩直線x+y+1=0及2x?y?1=0的交點C(0,?1)，
由圖象可知，對于任何一條過點C的直線，點A到它的距離不超過AC=29，即d≤29．

又因為過點C(0,?1)且垂直于AC的直線方程是5x+2y+2=0，
但無論k=3時，直線表示為5x+2y+2=0，
此時距離最大d=29．所以，d存在最大值．考點要求
真題統計
考情分析
(1)能根據斜率判定兩條直線平行或垂直
(2)能用解方程組的方法求兩條直線的交點坐標
(3)掌握平面上兩點間的距離公式、點到直線的距離公式，會求兩條平行直線間的距離
2022年上海卷：第7題，5分
2024年北京卷：第3題，4分
從近幾年的高考情況來看，高考對兩條直線的位置關系、距離公式的考查比較穩(wěn)定，多以選擇題、填空題的形式考查，難度不大；復習時應加強對距離公式、對稱關系的掌握，靈活求解.
斜截式
一般式
方程
l1:y=k1x+b1
l2 :y=k2x+b2
相交
k1≠k2
（當時，記為）
垂直
k1·k2=-1
（當時，記為）
平行
k1=k2且b1≠b2
或
（當時，記為）
重合
k1=k2且b1=b2
A1=λA2,B1=λB2,C1=λC2 (λ≠0)
（當時，記為）

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