TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc1473" 【題型1 等差數(shù)列的基本量運(yùn)算】 PAGEREF _Tc1473 \h 3
\l "_Tc9884" 【題型2 等差數(shù)列的判定與證明】 PAGEREF _Tc9884 \h 5
\l "_Tc14852" 【題型3 等差數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用】 PAGEREF _Tc14852 \h 7
\l "_Tc28240" 【題型4 等差數(shù)列的通項(xiàng)公式】 PAGEREF _Tc28240 \h 9
\l "_Tc21649" 【題型5 等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)】 PAGEREF _Tc21649 \h 11
\l "_Tc27729" 【題型6 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的最值】 PAGEREF _Tc27729 \h 12
\l "_Tc2489" 【題型7 等差數(shù)列的簡單應(yīng)用】 PAGEREF _Tc2489 \h 14
\l "_Tc30462" 【題型8 等差數(shù)列的奇偶項(xiàng)討論問題】 PAGEREF _Tc30462 \h 16
\l "_Tc17509" 【題型9 含絕對(duì)值的等差數(shù)列問題】 PAGEREF _Tc17509 \h 20
\l "_Tc11132" 【題型10 等差數(shù)列中的恒成立問題】 PAGEREF _Tc11132 \h 23
\l "_Tc7044" 【題型11 與等差數(shù)列有關(guān)的新定義、新情景問題】 PAGEREF _Tc7044 \h 26
1、等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和
【知識(shí)點(diǎn)1 等差數(shù)列的概念】
1．等差數(shù)列的概念
一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫
做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，常用字母d表示.
2．等差中項(xiàng)
由三個(gè)數(shù)a,A,b組成的等差數(shù)列可以看成是最簡單的等差數(shù)列，這時(shí)A叫做a與b的等差中項(xiàng)，則有
2A=a+b.反之，若2A=a+b，則a,A,b三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列.
3．等差數(shù)列的通項(xiàng)公式
等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為=+(n-1)d，其中為首項(xiàng)，d為公差.
4．等差數(shù)列的單調(diào)性
由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和一次函數(shù)的關(guān)系可知等差數(shù)列的單調(diào)性受公差d影響.
①當(dāng)d>0時(shí)，數(shù)列為遞增數(shù)列，如圖①所示；
②當(dāng)d0， d0時(shí)，{}是遞增數(shù)列；當(dāng)d0.若數(shù)列an2?4n也是等差數(shù)列，則d=（ ）
A．1B．2C．3D．4
【解題思路】依題意可得an=dn+1?d，即可表示出an2?4n，根據(jù)數(shù)列為等差數(shù)列得到?(1?d)2?4nn+1=0，解得即可.
【解答過程】依題意an=dn+1?d d>0，則an2?4n=d2n+2d(1?d)+(1?d)2?4n，
則an+12?4n+1?an2?4n=d2+(1?d)2?4n+1?(1?d)2?4n=d2?(1?d)2?4nn+1，
又an2?4n是等差數(shù)列，所以?(1?d)2?4nn+1=0，解得d=3或d=?1（舍去）.
故選：C.
【變式1-2】（2024·內(nèi)蒙古包頭·三模）設(shè)Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若S5=4a1，a1>0，若n>1時(shí)，Sn=an，則n等于（ ）
A．11B．12C．20D．22
【解題思路】根據(jù)S5=4a1，求出首項(xiàng)與公差的關(guān)系，再根據(jù)Sn=an結(jié)合等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得解.
【解答過程】設(shè)公差為d，
由S5=4a1，得5a1+10d=4a1，所以a1=?10d，
由a1>0，得d0，S7=S9，則使得前n項(xiàng)的和最大的n值為（ ）
A．7B．8C．9D．10
【解題思路】根據(jù)條件，可得數(shù)列an為遞減數(shù)列，且a8>0，a90，由S7=S9，可得a8+a9=0，
∴a8>0，a90，S6=S12，則Sn取最小值時(shí)n的值為9
【解題思路】對(duì)于AB，利用等差數(shù)列求和公式求出Sn，然后利用二次函數(shù)性質(zhì)求解即可判斷；對(duì)于C，根據(jù)等差數(shù)列和的性質(zhì)，結(jié)合等差數(shù)列通項(xiàng)性質(zhì)求和即可判斷；對(duì)于D，利用S6=S12求得d=?217a10，S6=S12，則S12?S6=a12+a11+a10+a9+a8+a7=0，
又a12+a7=a11+a8=a10+a9=0，所以a10+a9=0，所以d=?217a1a2>?>a9>0>a10>a11>?，
所以Sn取最大值時(shí)n的值為9，錯(cuò)誤.
故選：D.
【變式6-2】（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）記等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，公差為d，已知a4=?2,S9=0，則Sn取最小值時(shí)，n=（ ）
A．1B．4C．5D．4或5
【解題思路】由題意可得數(shù)列an的通項(xiàng)公式，找出數(shù)列an中的非正數(shù)項(xiàng)即可得.
【解答過程】由題意可知a1+3d=?29a1+36d=0，解得a1=?8d=2，
所以an=?8+2n?1=2n?10，
令an≤0，則2n?10≤0，解得n≤5，
所以Sn取最小值時(shí)n=4或n=5．
故選：D．
【變式6-3】（2024·遼寧·二模）設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，點(diǎn)(n,Sn)(n∈N?)在函數(shù)f(x)=Ax2+Bx+C(A,B,C∈R)的圖象上，則（ ）
A．C0=1B．若A=0，則?n0∈N?，使Sn最大
C．若A>0，則?n0∈N?，使Sn最大D．若A0時(shí)，可判定B錯(cuò)誤；由A>0，得到d>0，可判定C錯(cuò)誤；由A0，則d>0，Sn有最小值，無最大值，所以C錯(cuò)誤；
對(duì)于D中，若A0，即f2>f1；
當(dāng)n≥2時(shí)，?n2?n+4≤?2，則f(n+1)?fnm，將Sn?Smn?m>1恒成立轉(zhuǎn)化為Sn?n>Sm?m，即證明Sn?n單調(diào)遞增，設(shè)fn=Sn?n，計(jì)算fn+1?fn>0恒成立，轉(zhuǎn)化為最值問題求解即可.
【解答過程】（1）因?yàn)閍n+Sn是以2為公差的等差數(shù)列，且a1+S1=2a1，
所以an+Sn=2a1+2n?1①．
所以an+1+Sn+1=2a1+2n②，
由②-①，得2an+1?an=2．所以an+1?2=12an?2．
因?yàn)閍1≠2，即a1?2≠0，
所以an?2是以a1?2為首項(xiàng)，12為公比的等比數(shù)列；
（2）由（1）得當(dāng)a1≠2時(shí)，an=a1?2?12n?1+2，
當(dāng)a1=2時(shí)，適合上式，所以an=a1?2?12n?1+2．
因?yàn)閷?duì)任意n,m∈N*,m≠n，都有Sn?Smn?m>1成立，
不妨設(shè)n>m，則Sn?Sm>n?m，所以Sn?n>Sm?m．所以Sn?n單調(diào)遞增．
設(shè)fn=Sn?n，
則fn+1?fn=Sn+1?n+1?Sn?n=an+1?1=a1?2?12n+1，
所以a1?2?12n+1>0,n∈N*，即a1>2?2n．
因?yàn)??2n單調(diào)遞減，所以2?2nmax=2?2=0．所以a1>0．
綜上所述，a1的取值范圍是0,+∞．
【變式10-2】（23-24高三上·山東棗莊·期末）已知Sn為各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,a1∈(0,2),an2+3an+2=6Sn.
(1)求{an}的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)bn=1anan+1，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn,若對(duì)?n∈N?,t≤4Tn恒成立，求實(shí)數(shù)t的最大值.
【解題思路】（1）先求得a1的值，然后利用an與Sn的關(guān)系推出數(shù)列{an}為等差數(shù)列，由此求得{an}的通項(xiàng)公式；
（2）首先結(jié)合（1）求bn的表達(dá)式，然后用裂項(xiàng)法求得Tn，再根據(jù)數(shù)列{Tn}的單調(diào)性求得t的最大值．
【解答過程】（1）當(dāng)n=1時(shí)，由題設(shè)得a12+3a1+2=6a1，即a12?3a1+2=0，又a1∈(0,2)，解得a1=1.
由an2+3an+2=6Sn知：an+12+3an+1+2=6Sn+1.
兩式相減得：an+12?an2+3(an+1?an)=6an+1，即(an+1+an)(an+1?an?3)=0.
由于an>0，可得an+1?an?3=0，即an+1?an=3，
所以{an}是首項(xiàng)為1，公差為3的等差數(shù)列，
所以an=1+3(n?1)=3n?2.
（2）由an=3n?2得：bn=1anan+1=1(3n?2)(3n+1)=13(13n?2?13n+1),
Tn=b1+b2+...+bn =13[(1?14)+(14?17)+...+(13n?2?13n+1)]=n3n+1.
因?yàn)門n+1?Tn=n+13(n+1)+1?n3n+1=1(3n+1)(3n+4)>0，
所以Tn+1>Tn，則數(shù)列{Tn}是遞增數(shù)列，
所以t≤4Tn?t4≤Tn?t4≤T1=14?t≤1，故實(shí)數(shù)t的最大值是1.
【變式10-3】（23-24高二下·吉林長春·階段練習(xí)）設(shè)正項(xiàng)數(shù)列an的前n項(xiàng)之和bn=a1+a2+?+an，數(shù)列bn的前n項(xiàng)之積cn=b1b2?bn，且bn+cn=1.
(1)求證：1cn為等差數(shù)列，并分別求an?bn的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)數(shù)列an?bn+1的前n項(xiàng)和為Sn，不等式Sn>1λ+λ?136對(duì)任意正整數(shù)n恒成立，求正實(shí)數(shù)λ的取值范圍.
【解題思路】（1）利用已知關(guān)系可得bn=cncn?1，代入bn+cn=1，化簡可證1cn為等差數(shù)列，從而求得an，bn的通項(xiàng)公式；
（2）由（1）得an?bn+1=1nn+2，利用裂項(xiàng)相消可得Sn=34?121n+1+1n+2，利用數(shù)列的單調(diào)性求出Sn≥S1=13，解不等式即可求出正實(shí)數(shù)λ的取值范圍.
【解答過程】（1）由題意知：當(dāng)n≥2時(shí)，bn=cncn?1，代入bn+cn=1得cncn?1+cn=1，
所以1cn?1cn?1=1.
由b1=c1b1+c1=1，得b1=c1=12，
所以1cn是以2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，
所以1cn=n+1，cn=1n+1，bn=1?cn=nn+1，
當(dāng)n≥2時(shí)，an=bn?bn?1=nn+1?n?1n=1nn+1，
當(dāng)n=1時(shí)，a1=b1=12也符合上式，所以an=1nn+1.
（2）由（1）得an?bn+1=1nn+1?n+1n+2=1nn+2，
所以Sn=11×3+12×4+13×5+?+1n?1n+1+1nn+2
=121?13+12?14+13?15+?+1n?1?1n+1+1n?1n+2
=34?121n+1+1n+2.
顯然Sn單調(diào)遞增，所以Sn≥S1=13.
由題意得1λ+λ?136

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