TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc22176" 【題型1 等比數(shù)列的基本量運算】 PAGEREF _Tc22176 \h 4
\l "_Tc25745" 【題型2 等比數(shù)列的性質及應用】 PAGEREF _Tc25745 \h 5
\l "_Tc5890" 【題型3 等比數(shù)列的判定與證明】 PAGEREF _Tc5890 \h 6
\l "_Tc22800" 【題型4 等比數(shù)列的通項公式】 PAGEREF _Tc22800 \h 9
\l "_Tc31802" 【題型5 等比數(shù)列中的單調性與最值問題】 PAGEREF _Tc31802 \h 10
\l "_Tc13935" 【題型6 等比數(shù)列前n項和的性質】 PAGEREF _Tc13935 \h 12
\l "_Tc15780" 【題型7 等比數(shù)列的簡單應用】 PAGEREF _Tc15780 \h 14
\l "_Tc25524" 【題型8 等比數(shù)列的奇偶項討論問題】 PAGEREF _Tc25524 \h 16
\l "_Tc26342" 【題型9 等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合應用】 PAGEREF _Tc26342 \h 19
\l "_Tc17372" 【題型10 等比數(shù)列中的不等式恒成立、有解問題】 PAGEREF _Tc17372 \h 23
\l "_Tc25930" 【題型11 與等比數(shù)列有關的新定義、新情景問題】 PAGEREF _Tc25930 \h 27
1、等比數(shù)列及其前n項和
【知識點1 等比數(shù)列及其前n項和】
1．等比數(shù)列的概念
2．等比中項
如果在a與b中間插入一個數(shù)G(G≠0)，使a,G,b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項.
若G是a與b的等比中項，則，所以=ab，即G=.
3．等比數(shù)列的通項公式
若等比數(shù)列{}的首項為，公比為q，則這個等比數(shù)列的通項公式是=(,q≠0).
4．等比數(shù)列的單調性
已知等比數(shù)列{}的首項為，公比為q，則
(1)當或時，等比數(shù)列{}為遞增數(shù)列；
(2)當或時，等比數(shù)列{}為遞減數(shù)列；
(3)當q=1時，等比數(shù)列{}為常數(shù)列(這個常數(shù)列中各項均不等于0)；
(4)當q0且c≠1)是公差為的等差數(shù)列.
6．等比數(shù)列的前n項和公式
若等比數(shù)列{}的首項為，公比為q，則等比數(shù)列{}的前n項和公式為
=.
7．等比數(shù)列前n項和的性質
已知等比數(shù)列{}的公比為q，前n項和為，則有如下性質：
(1).
(2)若(k)均不為0，則成等比數(shù)列，且公比為.
(3)若{}共有2n(n)項，則=q；
若{}共有(2n+1)(n)項，則=q.
【知識點2 等比數(shù)列的基本運算的解題策略】
1．等比數(shù)列基本量的運算的求解思路：
等比數(shù)列基本量的運算是等比數(shù)列中的一類基本問題，等比數(shù)列中有五個量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通過列方程（組）便可迎刃而解.
【知識點3 等比數(shù)列的判定方法】
1．證明數(shù)列是等比數(shù)列的主要方法：
(1)定義法：（常數(shù)）為等比數(shù)列；
(2)中項法：為等比數(shù)列；
(3)通項公式法：（k，q為常數(shù)）為等比數(shù)列；
證明一個數(shù)列為等比數(shù)列常用定義法與等比中項法，其他方法只用于選擇題、填空題中的判定；若證明某數(shù)列不是等比數(shù)列，則只要證明存在連續(xù)三項不成等比數(shù)列即可.
2．在利用遞推關系判定等比數(shù)列時，要注意對n=1的情形進行驗證.
【知識點4 等比數(shù)列及其前n項和的性質及應用】
1．等比數(shù)列的性質：
等比數(shù)列的性質可以分為三類：一是通項公式的變形；二是等比中項的變形；三是前n項和公式的變形.根據題目條件，認真分析，發(fā)現(xiàn)具體的變化特征即可找出解決問題的突破口.
2．等比數(shù)列的單調性與最值問題
涉及等比數(shù)列的單調性與最值的問題，一般要考慮公比與首項的符號對其的影響.
【知識點5 等比數(shù)列前n項和的函數(shù)特征】
1．Sn與q的關系
(1)當公比q≠1時，等比數(shù)列的前n項和公式是，它可以變形為,設，則上式可以寫成的形式，
由此可見，數(shù)列{Sn}的圖象是函數(shù)圖象上的一群孤立的點；
(2)當公比q=1時，等比數(shù)列的前n項和公式是，則數(shù)列{Sn}的圖象是函數(shù)圖象上的一群孤立的點.
2．Sn與an的關系
當公比q≠1時，等比數(shù)列的前n項和公式是，它可以變形為,設，則上式可以寫成的形式，則Sn是an的一次函數(shù).
【方法技巧與總結】
1．等比數(shù)列{}的通項公式可以寫成，這里c≠0，q≠0.
2．等比數(shù)列{}的前n項和Sn可以寫成(A≠0，q≠1,0).
3．設數(shù)列{}是等比數(shù)列，Sn是其前n項和.
(1).
(2)若，則成等比數(shù)列.
(3)若數(shù)列{}的項數(shù)為2n，則；若項數(shù)為2n+1，則.
【題型1 等比數(shù)列的基本量運算】
【例1】（2024·安徽滁州·三模）已知an是單調遞增的等比數(shù)列，a4+a5=24,a3a6=128，則公比q的值是（ ）
A．2B．?2C．3D．?3
【解題思路】利用等比數(shù)列的性質求出a4a5，再解方程組求出a4,a5，即可得解.
【解答過程】因為an是等比數(shù)列，
所以a4a5=a3a6=128，
則a4+a5=24a4a5=128，解得a4=8a5=16或a4=16a5=8，
又因為an是單調遞增的等比數(shù)列，
所以a4=8a5=16，
所以公比q=a5a4=2.
故選：A.
【變式1-1】（2024·廣東廣州·三模）等比數(shù)列an滿足a1+a3=10，a2+a4=5，則a5=（ ）
A．14B．12C．1D．2
【解題思路】由已知結合等比數(shù)列的性質及通項公式可求公比q及首項，進而可求.
【解答過程】依題意有a1+a1q2=10,a1q+a1q3=5=a1+a1q2q,∴q=12,a1=8，
∴a5=a1q4=8?116=12.
故選：B.
【變式1-2】（2024·廣東·模擬預測）已知正項等比數(shù)列an的前n項和為Sn，若S4S2=5，則數(shù)列an的公比為（ ）
A．12B．22C．2D．2
【解題思路】利用等比數(shù)列的求和公式，結合正項等比數(shù)列求出最后的結果.
【解答過程】設數(shù)列an的公比為q，顯然q≠1，則S4S2=1?q41?q2=1+q2=5，解得q=2或q=?2（舍去）.
故選C.
【變式1-3】（2024·安徽合肥·模擬預測）已知等比數(shù)列an的前n項和為Sn，且S3=14,a3=2，則a4=（ ）
A．1B．23或-1C．?23D．?23或1
【解題思路】根據等比數(shù)列基本量的計算即可求解公比，進而可求解.
【解答過程】依題意，a1≠0，因為S3=14, a3=2=a1q2，
∴a1+a2=12=a1(1+q),故6q2?q?1=0，
故q=12或q=?13,
當q=12時，a4=a3q=1；
當q=?13, a4=a3q=?23；
∴a4=?23或1.
故選：D.
【題型2 等比數(shù)列的性質及應用】
【例2】（2024·寧夏石嘴山·三模）已知數(shù)列an是等比數(shù)列，且a2a3a4=64,則lg2a3的值為（ ）
A．1B．2C．3D．4
【解題思路】利用等比數(shù)列的性質求出a3，再代入求解即可.
【解答過程】因為{an}為等比數(shù)列，所以a2a4=a32，
因此a2a3a4=a33=64，即a3=4，
所以lg2a3=lg24=2，
故選：B.
【變式2-1】（2024·海南·模擬預測）已知等比數(shù)列an的公比為3,a2+a4=12，則a5?a1=（ ）
A．20B．24C．28D．32
【解題思路】根據題意結合等比數(shù)列性質運算求解.
【解答過程】由題意可知a1+a3=a2+a43=4,a3+a5=3a2+a4=36，
所以a5?a1=a3+a5?a1+a3=36?4=32.
故選：D.
【變式2-2】（2024·河南駐馬店·二模）設等比數(shù)列an的前n項之積為Sn，若S3=1，S9=512，則a11=（ ）
A．2B．4C．8D．16
【解題思路】根據題意結合等比數(shù)列的性質可得a2=1，a5=2，進而可得q3=2，運算求解即可.
【解答過程】因為S3=1，S9=512，所以a1a2a3=a23=1，a1a2a3?a9=a59=512，
解得a2=1，a5=2，
則q3=a5a2=2，故a11=a2q9=23=8．
故選：C.
【變式2-3】（2024·四川巴中·模擬預測）在等比數(shù)列an中，a1+a3=2，a5+a7=18，則a3+a5=（ ）
A．3B．6C．9D．18
【解題思路】已知條件作商可求得q2，然后根據等比數(shù)列性質可得.
【解答過程】因為a1+a3=2，a5+a7=18，
所以a5+a7a1+a3=a1q4+a3q4a1+a3=q4=9，解得q2=3，
則a3+a5=a1+a3q2=6．
故選：B.
【題型3 等比數(shù)列的判定與證明】
【例3】（2024·浙江·三模）已知數(shù)列an滿足a1=2，則“an為等比數(shù)列”是“am?an=am+n（?m，n∈N*）”的（ ）
A．充分條件但不是必要條件B．必要條件但不是充分條件
C．充要條件D．既不是充分條件也不是必要條件
【解題思路】根據等比數(shù)列的定義、通項公式及充分條件、必要條件的定義判斷即可.
【解答過程】若an為等比數(shù)列，則an=2qn?1，
所以am?an=2qm?1×2qn?1=4qm+n?2，am+n=2qm+n?1，
當q≠2時am?an≠am+n，故充分性不成立；
若am?an=am+n（?m，n∈N*），不妨令m=1，則a1?an=a1+n，又a1=2，
所以2an=an+1，即an+1an=2，所以an為公比為2的等比數(shù)列，故必要性成立；
故“an為等比數(shù)列”是“am?an=am+n（?m，n∈N*）”的必要不充分條件.
故選：B.
【變式3-1】（2024·陜西西安·模擬預測）等差數(shù)列an的前項n和為Sn，且an∈N?，數(shù)列bn為等比數(shù)列，則下列說法錯誤的選項是（ ）
A．數(shù)列2an一定是等比數(shù)列B．數(shù)列ban一定是等比數(shù)列
C．數(shù)列Snn一定是等差數(shù)列D．數(shù)列bn+bn+1一定是等比數(shù)列
【解題思路】利用等差、等比數(shù)列的定義判斷A、B、C，特殊值判斷D，即可得結果.
【解答過程】因為數(shù)列an是等差數(shù)列，設其通項公式為an=a1+(n?1)d，
所以2an+12an=2an+1?an=2d是定值，所以數(shù)列2an一定是等比數(shù)列，A選項正確;
因為數(shù)列bn為等比數(shù)列，設其通項公式為bn=b1qn?1，
所以ban=b1qan?1,ban+1ban=b1qan+1?1b1qan?1=qan+1?an=qd是定值，
所以數(shù)列ban一定是等比數(shù)列，B選項正確;
因為Sn=n2a1+(n?1)d2，所以Snn=2a1+(n?1)d2=a1+(n?1)?d2，
所以數(shù)列Snn一定是等差數(shù)列，C選項正確;
當bn=(?1)n時，bn+bn+1=0，則{bn+bn+1}不是等比數(shù)列，D選項錯誤，
故選：D.
【變式3-2】（2024·寧夏銀川·二模）已知數(shù)列{an}滿足a1=1，a2=4，3an+2+an=4an+1，則下列是等比數(shù)列的是（ ）
A．{an+3}B．{an?3}C．an+1+anD．an+1?an
【解題思路】由數(shù)列的遞推式，計算前四項，由等比數(shù)列的性質可判斷ABC；由數(shù)列的遞推式推得an+2?an+1=13(an+1?an)，可判斷D．
【解答過程】由a1=1，a2=4，3an+2+an=4an+1，
可得3a3+a1=4a2，即3a3+1=16，解得a3=5，
又3a4+a2=4a3，即3a4+4=20，解得a4=163，
由a1+3=4，a2+3=7，a3+3=8，72≠4×8，故A錯誤；
由a1?3=?2，a2?3=1，a3?3=2，12≠?2×2，故B錯誤；
由a2+a1=5，a3+a2=9，a4+a3=313，92≠5×313，故C錯誤；
由3an+2+an=4an+1，可得3(an+2?an+1)=an+1?an，
即為an+2?an+1=13(an+1?an)，又a2?a1=3，可得{an+1?an}是首項為3，公比為13的等比數(shù)列，故D正確．
故選：D.
【變式3-3】（2024·安徽合肥·模擬預測）已知“正項數(shù)列an滿足an+1?an=4n”，則“a2=2a1”是“數(shù)列an為等比數(shù)列”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分又不必要條件
【解題思路】由an+1?an=4n可得正項數(shù)列an隔項成等比數(shù)列，再由a2=2a1結合充分條件和必要條件的定義求解即可.
【解答過程】因為an+1?an=4n，所以an+2?an+1=4n+1，
兩式相除可得：an+2?an+1an+1?an=4n+14n=4，
所以an+2an=4，
所以當n=2k，則a2k+2a2k=4，所以a2k是以a2為首項，4為公比的等比數(shù)列，
所以a2k=a2?4k?1=a2?22k?1=a2?22k?2，
所以當n=2k?1，則a2k+1a2k?1=4，所以a2k?1是以a1為首項，4為公比的等比數(shù)列，
所以a2k?1=a1?4k?1=a1?22k?2，
當a2=2a1，則a2k=2a1?22k?2=a1?22k?1，a2k?1=a1?22k?1?1，
所以數(shù)列an為公比為2的等比數(shù)列，
所以“a2=2a1”能推出“數(shù)列an為等比數(shù)列”，
若數(shù)列an為等比數(shù)列，則公比為2，故a2=2a1，
所以“數(shù)列an為等比數(shù)列”能推出“a2=2a1”.
故“a2=2a1”是“數(shù)列an為等比數(shù)列”的充要條件.
故選：C.
【題型4 等比數(shù)列的通項公式】
【例4】（2024·全國·一模）等比數(shù)列an中，a1=1，a5=?8a2，a5

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