題型1累加、累乘法
1．（2023·北京大興·三模）如圖的形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法·商功》中，后人稱為“三角垛”.“三角垛”的最上層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球，第四層有10個球，…，設(shè)各層球數(shù)構(gòu)成一個數(shù)列，，，，…，則（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【詳解】由題意可得，
時，，，，…，，
以上各式相加可得
，所以，
且，所以，
所以，，
則.
故選：B.
2．（2024·北京西城·一模）在數(shù)列中，.數(shù)列滿足.若是公差為1的等差數(shù)列，則的通項公式為 ，的最小值為 .
【答案】
【詳解】由題意，又等差數(shù)列的公差為1，所以；
故，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，
所以，顯然的最小值是或.
又，所以
，即的最小值是.
故答案為：，
3．（2024·西藏·模擬預(yù)測）已知數(shù)列對任意滿足，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【詳解】解：由，得，
所以，
所以，即①．
又因為②，
①②兩式相乘，得．
故選：A．
4．（2023·陜西咸陽·模擬預(yù)測）數(shù)列滿足，且（且），若的前項和為，則滿足的最小正整數(shù)的值為 .
【答案】
【詳解】因為（且），
所以，所以，，，，
所以，
即，又，所以，
所以，則，
所以
，
所以，
因為，所以，即，
因為，所以數(shù)列單調(diào)遞減，
又當(dāng)時，
又當(dāng)時，
所以，則最小正整數(shù)的值為.
故答案為：
5．（2024·25高三上·廣東深圳·階段練習(xí)）定義：在數(shù)列中，，其中為常數(shù)，則稱數(shù)列為“等比差”數(shù)列．已知“等比差”數(shù)列中，，，則（ ）
A．1763B．1935C．2125D．2303
【答案】B
【詳解】因為數(shù)列是“等比差”數(shù)列，所以，
因為，，所以，
所以有，，…，，
累和，得，
因此有，，…，，
累積，得，
所以.
故選：B.
題型2待定系數(shù)法
1．（2023·四川樂山·三模）已知數(shù)列滿足，，則 ．
【答案】
【詳解】由得，又，
所以，即是等比數(shù)列，
所以，即．
故答案為：．
2．（2024·四川·模擬預(yù)測）已知正項數(shù)列滿足，等差數(shù)列的前項和為，且．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)若，求數(shù)列的前項和．
【答案】(1)，
(2)
【詳解】（1）由，得．
由，可得，又，所以，
所以數(shù)列是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，得到，所以，
設(shè)等差數(shù)列的首項為，公差為，則，解得，
所以．
（2）由（1）可得，
所以
．
3．（2022·23高二下·河南周口·階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足:.
(1)證明:是等比數(shù)列;
(2)求數(shù)列的前項和.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【詳解】（1）由得,
,
又,
故是以為首項,為公比的等比數(shù)列.
（2）由（1）知,,
則,
故
.
4．（2024·25高三上·湖北·期中）已知是公差不為0的等差數(shù)列，，且，，成等比數(shù)列，數(shù)列滿足：，且.
(1)求和的通項公式；
(2)若為數(shù)列的前項和，求.
【答案】(1)，
(2)
【詳解】（1）設(shè)的公差為，因為，，成等比數(shù)列，
所以，即，
整理有：，解得（舍），
所以，；
因為，所以，
又，，
所以為首項為，公比為的等比數(shù)列，
所以，
（2）因為，
①，
②
兩式相減，得：
，
所以.
5．（2024·江西·二模）已知數(shù)列的首項為常數(shù)且，，若數(shù)列是遞增數(shù)列，則的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【詳解】因為，
所以，
由于，即，
可得數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，
則，因為數(shù)列是遞增數(shù)列，可得，
即對任意的正整數(shù)都成立．
當(dāng)為偶數(shù)時，恒成立，由于數(shù)列單調(diào)遞減，
可得，則；
當(dāng)為奇數(shù)時，恒成立，由于數(shù)列單調(diào)遞增，
可得，則；
綜上可得的取值范圍是．
故選：B ．
題型3同除法與取倒數(shù)法
1．（2025·山東濰坊·模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前n項和為，若，，則不正確的是（ ）
A．B．?dāng)?shù)列為等比數(shù)列
C．D．
【答案】A
【詳解】數(shù)列中，，，則，，
整理得，而，因此數(shù)列是首項、公比均為的等比數(shù)列，B正確；
，解得，
對于A，，A錯誤；
對于C，，則，C正確；
對于D，
，D正確.
故選：A
2．（2024·25高二上·福建寧德·階段練習(xí)）已知數(shù)列的首項，且滿足，則的值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【詳解】因為，，易知，
所以，即，
又，所以，
故是以為首項，為公差的等差數(shù)列，
則，故，
所以.
故選：A.
3．（2024·江蘇南京·模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足，則數(shù)列的通項公式為 ．
【答案】
【詳解】數(shù)列中，，，顯然，
則有，即，而，
因此數(shù)列是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，
所以，即．
故答案為：
4．（2024·湖北黃岡·模擬預(yù)測）已知數(shù)列的首項，且滿足，若，則滿足條件的最大整數(shù)（ ）
A．8B．9C．10D．11
【答案】B
【詳解】，令，
則，又，
所以是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，
得，所以，
∴，
由，解得.
故選：B
5．（2024·云南·二模）記數(shù)列的前項和為，若，則 .
【答案】/0.5
【詳解】由，得，
則，
又，則，則，
，，
，
故答案為：.
題型4已知an與Sn關(guān)系求通項
1．（2023·北京·模擬預(yù)測）設(shè)數(shù)列的前項和，則 ；使得命題“，都有”為真命題的一個的值為 .
【答案】 3（答案不唯一，）
【詳解】數(shù)列的前項和，當(dāng)時，，
當(dāng)時，，顯然不滿足上式，
所以；
當(dāng)時，，不等式不成立，
當(dāng)時，，
不等式，而，解得，
因此對，不等式恒成立，
所以“，都有”為真命題的，取的一個值為3.
故答案為：；3
2．（2023·北京朝陽·二模）已知數(shù)列的前n項和是，則（ ）
A．9B．16C．31D．33
【答案】B
【詳解】設(shè)數(shù)列的前n項和為，則，
則.
故選:B.
3．（2023·北京豐臺·二模）已知數(shù)列的前項和為，若，則（ ）
A．B．5C．7D．8
【答案】B
【詳解】因為，所以.
故選：B
4．（2023·北京東城·一模）已知數(shù)列各項均為正數(shù)，，為其前n項和.若是公差為的等差數(shù)列，則 ， .
【答案】 /0.25
【詳解】由題意知，，由，得，，
又等差數(shù)列的公差為，
所以，
即，解得，
所以，解得，
當(dāng)時，，
得，
當(dāng)時，，與題意中的相符，
所以.
故答案為：；.
5．（2024·25高三上·重慶·階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項和為，且.
(1)若，求；
(2)若數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，求首項的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）因為，則，
可得，
若，則，
可知是以首項為2，公比為3的等比數(shù)列，
則，所以.
（2）因為，
當(dāng)時，則；
當(dāng)時，則，
兩式相減可得，則，
若數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，則，解得，
且，解得，
綜上所述：首項的取值范圍為.
題型5錯位相減法
1．（2024·25高三上·江蘇南京·階段練習(xí)）已知是等差數(shù)列，其項和為，是等比數(shù)列，且，，.
（1）求數(shù)列與的通項公式；
（2）設(shè)，，求數(shù)列的前項和.
【答案】（1），，．（2），
【解析】（1）利用數(shù)列的通項公式與前項和公式，得到首項和公比、公差的方程，求出數(shù)列的首項公比和公差，得到數(shù)列的通項；
（2）本小題是一個等差與等比的積形成的數(shù)列，可以利用錯位相減法求和．
【詳解】解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為．
由，得，，．
由條件，，得方程組解得
所以，，．
（2）由題意知，．
記．
則
，
，
所以，
即，．
【點睛】本題考查了等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式，前項和公式，以及錯位相減法求和，有一定的綜合性，計算量也較大，屬于中檔題．
2．（2023·北京·模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前n項和為，在數(shù)列中，，，．
(1)求數(shù)列，的通項公式；
(2)設(shè)，為數(shù)列的前n項和，求的最值．
【答案】(1)，
(2)最小值為，最大值為1
【詳解】（1）由已知得，當(dāng)時
.
∴
當(dāng)時，，也滿足上式．所以
當(dāng)時，，∴
當(dāng)時，，符合上式
當(dāng)時，，所以，也符合上式，綜上，
∴，.
（2）由（1）可得：
∴
兩式相減：
∴
當(dāng)n為奇數(shù)時，不妨設(shè)，則
∴單調(diào)遞減，
當(dāng)n為偶數(shù)時，不妨設(shè)，則
∴單調(diào)遞增，
∴的最小值為，最大值為1.
3．（2023·廣東廣州·模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列的前項和為，且，．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)若，令，求數(shù)列的前項和．
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，
由，可得，可得①，
由可得，整理可得②，
聯(lián)立①②可得，，所以，.
（2）因為，則，
所以，，
，
上式下式得
，
因此，.
4．（2022高三·全國·專題練習(xí)）已知數(shù)列中，，.
(1)證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求的通項公式；
(2)數(shù)列滿足，設(shè)為數(shù)列的前n項和，求使恒成立的最小的整數(shù)k.
【答案】(1)證明見解析，；
(2)4.
【詳解】（1）在數(shù)列中，由，得，則，
所以數(shù)列是以3為公比，以為首項的等比數(shù)列，
則，解得，
所以的通項公式.
（2）由（1）知，
，
，
兩式相減得，
因此，由恒成立，得，
所以使恒成立的最小的整數(shù)k為4.
5．（2024·重慶·模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前項和為，且分別滿足：，.
(1)求通項公式；
(2)求數(shù)列的前項和.
【答案】(1)，；
(2)
【詳解】（1）令得，
當(dāng)時，由得：
，兩式相減得：
，
整理得，即，
所以是以為首項，2為公比的等比數(shù)列，
所以，得，
當(dāng)時，，
時，上式也成立，所以，
所以，即.
（2）記，其前項和為，
則，
，
兩式相減得
所以
題型6分組求和與并項求和法
1．（2024·北京通州·二模）已知數(shù)列為等比數(shù)列，，，則 ；數(shù)列的前4項和為 ．
【答案】 81 48
【詳解】等比數(shù)列中，由，得數(shù)列的公比，通項，
所以；
數(shù)列的前4項和為.
故答案為：81；48
2．（2024·北京順義·二模）已知各項均為正數(shù)的數(shù)列的前n項和為，，，，則（ ）
A．511B．61C．41D．9
【答案】B
【詳解】由可得，
即，所以，兩式相除可得；
即，
由可得，因此數(shù)列的奇數(shù)項是以為首項，公比為2的等比數(shù)列，
偶數(shù)項是以為首項，公比為2的等比數(shù)列，
所以
.
故選：B
3．（2023·北京·模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足，數(shù)列滿足，其中，則數(shù)列的前項和為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【詳解】因為，所以，，
，，，
所以，
所以，，，，
，
所以數(shù)列的前項和為.
故選：A.
4．（2025·海南·模擬預(yù)測）設(shè)數(shù)列的前項和為，已知.
(1)求的通項公式；
(2)求數(shù)列的前項和.
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）當(dāng)時，，得.
當(dāng)時，，所以.
所以是以4為首項，4為公比的等比數(shù)列，
故.
（2）由已知得，
所以
.
5．（2024·廣東深圳·一模）已知數(shù)列滿足，，若為數(shù)列的前項和，則（ ）
A．624B．625C．626D．650
【答案】C
【詳解】數(shù)列中，，，
當(dāng)，時，，即數(shù)列的奇數(shù)項構(gòu)成等差數(shù)列，
其首項為1，公差為2，則，
當(dāng)，時，，即數(shù)列的偶數(shù)項構(gòu)成等比數(shù)列，
其首項為1，公比為，則，
所以.
故選：C
題型7裂項相消法
1．（2023·北京·模擬預(yù)測）已知公差不為零的等差數(shù)列滿足：，且是與的等比中項.設(shè)數(shù)列滿足，則數(shù)列的前項和為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【詳解】根據(jù)題意可得，則，解得，所以，，
.
故選：A.
2．（2023·北京西城·三模）已知是數(shù)列的前項和，且對任意的正整數(shù)，都滿足：，若，則 ， ．
【答案】
【詳解】由和可得：
即；
由可得：，
累加得，
所以.
故答案為：，
3．（2021·北京·模擬預(yù)測）在①，②，③這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，若問題中的存在，求的最小值；若不存在，說明理由.
設(shè)數(shù)列為等差數(shù)列，是數(shù)列的前項和，且___________，.記，為數(shù)列的前項和，是否存在實數(shù)，使得對任意的都有
注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.
【答案】選①：的最小值為；選②和③：的最小值為
【詳解】由，可知數(shù)列是等比數(shù)列，且公比，
又，則，所以，所以，
若選①：，，
因為數(shù)列為等差數(shù)列，設(shè)公差為，則，即，
所以，
故，
因為，所以，即的最小值為.
若選②：則，
因為數(shù)列為等差數(shù)列，設(shè)公差為，又，即，
所以，
所以，
易知，所以，即的最小值為.
若選③：則，
因為數(shù)列為等差數(shù)列，設(shè)公差為，則
所以，
故，
所以，
易知，所以，即的最小值為.
4．（2025·貴州安順·模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足，則數(shù)列的前項和為 ．
【答案】
【詳解】因為，則，
所以數(shù)列的前項和為，
故答案為：.
5．（2025·廣東·一模）已知等差數(shù)列滿足，是關(guān)于的方程的兩個根.
(1)求；
(2)求數(shù)列的前項和.
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）根據(jù)題意，由韋達(dá)定理可得，
因為數(shù)列是等差數(shù)列，設(shè)公差為，
所以，即，
則，解得，
.
（2）由（1），則，
，
，
.
題型8數(shù)列的公共項問題
1．（2023·廣東廣州·一模）將數(shù)列與數(shù)列的公共項從小到大排列得到新數(shù)列，則 .
【答案】
【詳解】數(shù)列：，數(shù)列：，
則為：，則，
所以，
故，
故答案為：
2．（2024·河南信陽·模擬預(yù)測）已知數(shù)列通項公式為，將數(shù)列的公共項從小到大排列得到數(shù)列，設(shè)數(shù)列的前項和為，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【詳解】因為數(shù)列是以1為首項，以2為公差的等差數(shù)列，
數(shù)列是以1首項，以3為公差的等差數(shù)列，
所以這兩個數(shù)列的公共項所構(gòu)成的新數(shù)列是以1為首項，以6為公差的等差數(shù)列，
即
所以的前項和.
故選：D.
3．（2024·上海·三模）已知兩個等差數(shù)列2，6，10，…，202和2，8，14，…，200，將這兩個等差數(shù)列的公共項按從小到大的順序組成一個新數(shù)列，則這個新數(shù)列的各項之和為 ．
【答案】
【詳解】等差數(shù)列2，6，10，…，202中，公差；等差數(shù)列2，8，14，…，200中，公差，和的最小公倍數(shù)為，
所以新數(shù)列的公差，首項，所以，
令，解得，故新數(shù)列共有項，
所以新數(shù)列的各項之和為，
故答案為：
4．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前n項積為，數(shù)列滿足，（，）．
(1)求數(shù)列，的通項公式；
(2)將數(shù)列，中的公共項從小到大排列構(gòu)成新數(shù)列，求數(shù)列的通項公式．
【答案】(1)，
(2)
【詳解】（1），，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，即，
而，滿足上式，
所以數(shù)列的通項公式為；
若數(shù)列滿足，（，），
則，
從而數(shù)列的通項公式為；
（2）令，解得，這表明，
從而只能，
所以，
所以數(shù)列的通項公式為.
5．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知，，數(shù)列和的公共項由小到大排列組成數(shù)列，則不正確的是（ ）
A．
B．為等比數(shù)列
C．?dāng)?shù)列的前項和
D．、、不是任一等差數(shù)列的三項
【答案】A
【詳解】設(shè)的第n項與的第m項相等，即，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，故A錯；
令，即，
，不是中的項，即不是的項，
，是中的項，即不是的項，
所以，則，即為等比數(shù)列，故B對；
由，
得，
兩式相減得，
所以，且，所以單調(diào)遞增，所以，故C對；
設(shè)、、是等差數(shù)列的第i、j、p項，的首項為，公差為d，
，
因為是有理數(shù)，是無理數(shù)
所以原假設(shè)不成立，即、、不是任一等差數(shù)列的三項
故選：A
1．（2022·23高三上·黑龍江大慶·開學(xué)考試）設(shè)為數(shù)列的前n項和．若，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【詳解】為數(shù)列的前n項和，且，
當(dāng)時，，，，，則，
當(dāng)時，有，，，則，
所以“”是“”的充分不必要條件.
故選：A
2．（2022·北京順義·二模）設(shè)等比數(shù)列的前項和為，公比為.若， 則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】因為，故可得，
又?jǐn)?shù)列是等比數(shù)列，公比為，則，即，解得或；
若，則；
若，則不滿足題意，舍去.
故.
故選：C.
3．（2021·北京海淀·模擬預(yù)測）已知數(shù)列若，，則該數(shù)列的前六項和為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【詳解】因為
可得
又因為,,所以
所以數(shù)列的前六項和為.
故選:
4．（2024·北京·三模）已知數(shù)列的前n項和為且，給出下列四個結(jié)論：①長度分別為的三條線段可以構(gòu)成一個直角三角形：②；③；④.其中所有正確結(jié)論的序號是 .
【答案】②
【詳解】對于①：，則，
則，即，
假設(shè)長度分別為的三條線段可以構(gòu)成一個直角三角形，
則為斜邊，所以，
所以，所以或，與矛盾，故①錯誤；
對于②：，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍柍闪ⅲ?br>所以，所以，
所以，②正確；
對于③：由已知，此時，所以不成立，③錯誤；
對于④：由已知，此時，所以不成立，④錯誤.
故答案為：②.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：對于數(shù)列命題正誤的判斷，我們可以通過求出部分項，然后觀察是否成立，從而達(dá)到排除的目的.
5．（2024·北京懷柔·模擬預(yù)測）設(shè)首項是1的數(shù)列的前n項和為，且，則 ；若，則正整數(shù)m的最大值是 .
【答案】 8 11
【詳解】
，，
當(dāng)為偶數(shù)時，
，
，又，
故，故；
當(dāng)為奇數(shù)時，
，
，又，
故，故；
當(dāng)為偶數(shù)時，
由于
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
當(dāng)為奇數(shù)時，，
當(dāng)時，，
故正整數(shù)的最大值是11，
故答案為：8，11．
6．（2023·北京·模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前n項和，則數(shù)列的通項公式為 ．
【答案】
【詳解】，取得到，
當(dāng)時，，
，
當(dāng)時，不滿足
所以.
故答案為：.
7．（2023·北京西城·一模）已知數(shù)列的通項公式為，的通項公式為．記數(shù)列的前項和為，則 ；的最小值為 ．
【答案】
【詳解】由題可知，
所以，
，
令，則，
當(dāng)時，，即，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明
當(dāng)時，成立，假設(shè)時，成立，
當(dāng)時，，即時也成立，
所以時，，即，
所以時，，時，，
由當(dāng)時，有最小值，最小值為.
故答案為：；.
8．（2023·北京·模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前n項和為，且對任意正整數(shù)，都有．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)設(shè)，數(shù)列的前項和為，求的最大值．
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）解：當(dāng)時，，所以，
當(dāng)時，由可得，
上述兩個等式作差可得，則，
所以是以為首項，為公比的等比數(shù)列，
所以．
（2）解：，所以，，
所以，數(shù)列為等差數(shù)列，
所以，
所以當(dāng)或時，取得最大值．
9．（2022·北京豐臺·二模）已知數(shù)列的前n項和為，在條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)設(shè)數(shù)列的前n項和為．若對任意，不等式恒成立，求m的最小值．
條件①：且；
條件②：；
條件③：．
注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．
【答案】(1)
(2)2
【詳解】（1）選條件①：因為，且，即
所以數(shù)列是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列
所以.
選條件②：當(dāng)時，
當(dāng)時，
因為當(dāng)時，上式也成立，
所以.
選條件③：因為，得
當(dāng)時，，得
當(dāng)時，
整理得
所以數(shù)列是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列
所以.
（2）由（1）知，，記
因為，
所以是以1為首項，為公比的等比數(shù)列
所以
所以m的最小值為2.
10．（2023·24高三上·廣東佛山·階段練習(xí)）在等差數(shù)列中，，其前項和為，等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，，公比為q，且.
(1)求與；
(2)證明：.
【答案】(1)，
(2)證明見解析
【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公差為d，因為，所以，解得或（舍），
故，.
（2）因為，所以.故，
因為，所以，所以，所以，即.
11．（2022·北京海淀·模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列滿足，.
（1）求的通項公式；
（2）設(shè)等比數(shù)列滿足，，問：與數(shù)列的第幾項相等？
（3）在（2）的條件下，設(shè)，數(shù)列的前n項和為，求的最大值.
【答案】（1）；（2）第63項；（3）.
【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，
則，又，得，解得，
所以；
（2）設(shè)等比數(shù)列的公比為q，
則，，所以，，
所以，令，解得.
故是數(shù)列的第63項；
（3）由（2）可知，則，
所以
，
令，則，
由于，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增；
當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，
且，，
所以當(dāng)時，有最大值且最大值為.
12．（2025·廣東惠州·模擬預(yù)測）記為等差數(shù)列的前項和，，.
(1)求的通項公式；
(2)若，求數(shù)列的前項和，并比較與的大小.
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）因為為等差數(shù)列，設(shè)公差為，
因為，，所以，
解得，故.
（2）因為，
所以
，
則對，，
又，故.
13．（2025·江蘇泰州·模擬預(yù)測）設(shè)等差數(shù)列的公差，且，記為數(shù)列的前項和.
(1)若成等比數(shù)列，且的等差中項為，求數(shù)列的通項公式；
(2)若且，比較的大小.
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）由已知得，即，化簡得，
，，
又，即，所以，故；
（2）易知等差數(shù)列的首項，不妨設(shè)，
，，
又，所以，，，
，
，.
14．（2025·江西·一模）已知數(shù)列滿足.
(1)若為遞增數(shù)列，求的取值范圍；
(2)當(dāng)時，證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的前項之積.
【答案】(1)；
(2)證明見解析，.
【詳解】（1）由題設(shè)，即，恒成立，
而在上單調(diào)遞減，則，
所以；
（2）由題設(shè)，則，又，
所以是首項為，公比為2的等比數(shù)列，故，
所以，則，
所以
.
15．（2024·黑龍江大慶·模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列的公差，且成等比數(shù)列，
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和；
(3)設(shè)，求數(shù)列的前項和.
【答案】(1)
(2)
(3)
【詳解】（1）∵成等比數(shù)列，∴，
∵數(shù)列為等差數(shù)列，，
∴，解得或（舍），
∴，
∴.
（2）由（1）得，
∴.
（3）由題意得，，
∴，
，
得，
∴，
∴.
三年考情分析
2025考向預(yù)測
2022年，第15題，考察an與Sn關(guān)系求通項
2023年，第14題，考察分組求和法
2025年北京高考數(shù)學(xué)在數(shù)列求通項及求和的題目仍然會位于試卷的前半部分，分值可能保持在4分或5分
累加法：適用于，求
具體過程：兩邊分別相加得
累乘法：適用于，求
具體過程： ，兩邊分別相乘得
①形如且，化為的形式，令,即得為等比數(shù)列,從而求得數(shù)列的通項公式.
①形如且化為的形式，令,即得為等比數(shù)列,從而求得數(shù)列的通項公式.
①形如整式，兩邊同時除以
②形如且，兩邊同除,得,令,得,轉(zhuǎn)化為利用累加法求（若為常數(shù),則為等差數(shù)列）
③形如,則有.
所以是以為首項,為公差的等差數(shù)列,即.(當(dāng)分母出現(xiàn)加減時,我們很難將它進(jìn)行化簡運算,所以往往取倒數(shù)再運算才能找到突破點).
用消的3個步驟：①先利用求出;②用替換中的得到一個新的關(guān)系，利用便可求出當(dāng)時的表達(dá)式;③注意檢驗時的表達(dá)式是否可以與的表達(dá)式合并.
如果一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應(yīng)項之積構(gòu)成的，這個數(shù)列的前項和可用錯位相減法求解．
錯位相減法求和時，應(yīng)注意：①在寫出“”與“”的表達(dá)式時應(yīng)特別注意將兩式“錯項對齊”，以便于下一步準(zhǔn)確地寫出“”的表達(dá)式．
①適用于的形式,其中數(shù)列是等差數(shù)列或等比數(shù)列
②適用于的形式；
③一個數(shù)列的前項和，可兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項求和，形如類型，可采用兩項合并求解.
把數(shù)列的通項拆成兩項之差，在求和時中間的一些項可以相互抵消，從而求得其和．
常見的裂項公式：
（1）；（2）；
（3）；（4）；
（5）；（6）
公共項是兩個數(shù)列中的相同項，所以我們可以選取數(shù)列中的項增加“較快”的數(shù)列作為參照，假設(shè)該數(shù)列的第n項是兩個數(shù)列的公共項，然后逐一遞推驗證該數(shù)列的 n+1項、第n+2項、…，是否是兩個數(shù)列的公共項，進(jìn)一步從中找到規(guī)律

相關(guān)試卷

熱點12 空間中的平行與垂直（8題型 高分技法 限時提升練）-2025年高考數(shù)學(xué) 熱點 重點 難點 專練（北京專用）：

這是一份熱點12 空間中的平行與垂直（8題型 高分技法 限時提升練）-2025年高考數(shù)學(xué) 熱點 重點 難點 專練（北京專用），共22頁。

熱點10 等差、等比數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用（9題型 高分技法 限時提升練）-2025年高考數(shù)學(xué) 熱點 重點 難點 專練（北京專用）：

這是一份熱點10 等差、等比數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用（9題型 高分技法 限時提升練）-2025年高考數(shù)學(xué) 熱點 重點 難點 專練（北京專用），共22頁。

重難點05 數(shù)列求和（含不等式恒（能）成立問題）（7題型 高分技法 限時提升練）-2025年高考數(shù)學(xué) 熱點 重點 難點 專練（天津?qū)Ｓ茫?/a>

這是一份重難點05 數(shù)列求和（含不等式恒（能）成立問題）（7題型 高分技法 限時提升練）-2025年高考數(shù)學(xué) 熱點 重點 難點 專練（天津?qū)Ｓ茫?頁。試卷主要包含了已知等比數(shù)列的前項和為，且，已知函數(shù)，.，已知遞增數(shù)列的前n項和為，且，等內(nèi)容，歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

熱點15 概率與統(tǒng)計（9題型 高分技法 限時提升練）-2025年高考數(shù)學(xué) 熱點 重點 難點 專練（天津?qū)Ｓ茫?> </div> <p class=熱點15 概率與統(tǒng)計（9題型 高分技法 限時提升練）-2025年高考數(shù)學(xué) 熱點 重點 難點 專練（天津?qū)Ｓ茫?/p>
熱點11 橢圓及其應(yīng)用（8題型 高分技法 限時提升練）-2025年高考數(shù)學(xué) 熱點 重點 難點 專練（天津?qū)Ｓ茫?> </div> <p class=熱點11 橢圓及其應(yīng)用（8題型 高分技法 限時提升練）-2025年高考數(shù)學(xué) 熱點 重點 難點 專練（天津?qū)Ｓ茫?/p>
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
  • 1.電子資料成功下載后不支持退換，如發(fā)現(xiàn)資料有內(nèi)容錯誤問題請聯(lián)系客服，如若屬實，我們會補償您的損失
  • 2.壓縮包下載后請先用軟件解壓，再使用對應(yīng)軟件打開；軟件版本較低時請及時更新
  • 3.資料下載成功后可在60天以內(nèi)免費重復(fù)下載
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
高考專區(qū)
  • 精品推薦
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機號注冊
手機號碼

手機號格式錯誤

手機驗證碼 獲取驗證碼

手機驗證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部