專題6.1 數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法（舉一反三）（新高考專用）（含答案） 2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專練（新高考專用）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

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\l "_Tc11864" 【題型1 由an與Sn的關(guān)系求通項(xiàng)或項(xiàng)】 PAGEREF _Tc11864 \h 4
\l "_Tc13912" 【題型2 累加法求通項(xiàng)公式】 PAGEREF _Tc13912 \h 4
\l "_Tc4161" 【題型3 累乘法求通項(xiàng)公式】 PAGEREF _Tc4161 \h 5
\l "_Tc13689" 【題型4 構(gòu)造法求通項(xiàng)公式】 PAGEREF _Tc13689 \h 6
\l "_Tc21230" 【題型5 數(shù)列的周期性】 PAGEREF _Tc21230 \h 6
\l "_Tc8549" 【題型6 數(shù)列的單調(diào)性】 PAGEREF _Tc8549 \h 6
\l "_Tc5868" 【題型7 數(shù)列的最大（?。╉?xiàng)】 PAGEREF _Tc5868 \h 7
\l "_Tc21315" 【題型8 數(shù)列中的規(guī)律問題】 PAGEREF _Tc21315 \h 8
\l "_Tc18540" 【題型9 數(shù)列的恒成立問題】 PAGEREF _Tc18540 \h 9
1、數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法
【知識(shí)點(diǎn)1 數(shù)列的概念與基本知識(shí)】
1．?dāng)?shù)列的定義
一般地，把按照確定的順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列.數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)，數(shù)列的第一
個(gè)位置上的數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的第1項(xiàng)，常用符號(hào)表示，第二個(gè)位置上的數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的第2項(xiàng)，用表示第n個(gè)位置上的數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的第n項(xiàng)，用表示.其中第1項(xiàng)也叫做首項(xiàng).
2．?dāng)?shù)列的分類
3．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式
如果數(shù)列{}的第n項(xiàng)與它的序號(hào)n之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系可以用一個(gè)式子來表示，那么這個(gè)式子叫做這
個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.
4．?dāng)?shù)列的遞推公式
(1)遞推公式的概念
如果一個(gè)數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)或多項(xiàng)之間的關(guān)系可以用一個(gè)式子來表示，那么這個(gè)式子就叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式.
(2)對(duì)數(shù)列遞推公式的理解
①與“不一定所有數(shù)列都有通項(xiàng)公式”一樣，并不是所有的數(shù)列都有遞推公式.
②遞推公式是給出數(shù)列的一種方法.事實(shí)上，遞推公式和通項(xiàng)公式一樣，都是關(guān)于項(xiàng)的序號(hào)n的恒等式.
如果用符合要求的正整數(shù)依次去替換n，就可以求出數(shù)列的各項(xiàng).
③用遞推公式求出一個(gè)數(shù)列，必須給出：
基礎(chǔ)——數(shù)列{}的第1項(xiàng)(或前幾項(xiàng))；
遞推關(guān)系——數(shù)列{}的任意一項(xiàng)與它的前一項(xiàng) ()(或前幾項(xiàng))間的關(guān)系，并且這個(gè)關(guān)系可
以用等式來表示.
5．?dāng)?shù)列表示方法及其比較
6．?dāng)?shù)列的前n項(xiàng)和
數(shù)列{}從第1項(xiàng)起到第n項(xiàng)止的各項(xiàng)之和，稱為數(shù)列{}的前n項(xiàng)和，記作，即=+++.
如果數(shù)列{}的前n項(xiàng)和與它的序號(hào)n之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系可以用一個(gè)式子來表示，那么這個(gè)式子叫做
這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和公式.
=.
【知識(shí)點(diǎn)2 數(shù)列的通項(xiàng)公式的求解策略】
1．由an與Sn的關(guān)系求通項(xiàng)：
(1)已知Sn求an的常用方法是利用=轉(zhuǎn)化為關(guān)于an的關(guān)系式，再求通項(xiàng)公式.
(2) Sn與an關(guān)系問題的求解思路
方向1：利用an= Sn -Sn-1(n≥2)轉(zhuǎn)化為只含 Sn，Sn-1的關(guān)系式，再求解.
方向2：利用Sn -Sn-1= an(n≥2)轉(zhuǎn)化為只含an，an-1的關(guān)系式，再求解.
2．由數(shù)列的遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式：
(1)累加法：形如an+1=an+f(n)的遞推關(guān)系式利用累加法求和，特別注意能消去多少項(xiàng)，保留多少項(xiàng).
(2)累乘法：形如an+1=an·f(n)的遞推關(guān)系式可化為的形式，可用累乘法，也可用代入求出通項(xiàng).
(3)構(gòu)造法：
①形如an+1=pan+q的遞推關(guān)系式可以化為(an+1+x)=p(an+x)的形式，構(gòu)成新的等比數(shù)列，求出通項(xiàng)公式，求變量x是關(guān)鍵.
②形如(A,B,C為常數(shù))的數(shù)列，可通過兩邊同時(shí)取倒數(shù)的方法構(gòu)造新數(shù)列求解.
【知識(shí)點(diǎn)3 數(shù)列的性質(zhì)有關(guān)問題的解題策略】
1．?dāng)?shù)列周期性問題的解題策略：
解決數(shù)列周期性問題，根據(jù)給出的關(guān)系式求出數(shù)列的若干項(xiàng)，通過觀察歸納出數(shù)列的周期，進(jìn)而求出有關(guān)項(xiàng)的值或前n項(xiàng)和.
2．求數(shù)列最大項(xiàng)與最小項(xiàng)的常用方法
(1)函數(shù)法：利用相關(guān)的函數(shù)求最值.若借助通項(xiàng)的表達(dá)式觀察出單調(diào)性，直接確定最大 (小)項(xiàng)，否則，利用作差法.
(2)利用確定最大項(xiàng)，利用確定最小項(xiàng).
【方法技巧與總結(jié)】
1．若數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為，通項(xiàng)公式為，則=.
2．在數(shù)列{}中，若最大，則；若最小，則.
【題型1 由an與Sn的關(guān)系求通項(xiàng)或項(xiàng)】
【例1】（2024·四川·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若Sn=2n?1?12，則數(shù)列an的通項(xiàng)公式為（）
A．a(chǎn)n=12,n=1,2n,n≥2B．a(chǎn)n=2n?1
C．a(chǎn)n=(?2)n?2D．a(chǎn)n=2n?2
【變式1-1】（2024·陜西·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列an滿足k=1nak2k?1=n+1，則a2024=（）
A．2024B．2023C．4047D．4048
【變式1-2】（2024·四川·三模）已知數(shù)列an滿足2a1+22a2+23a3+???+2nan=n?2n，則an的通項(xiàng)公式為（）
A．a(chǎn)n=1,n=1n+1,n≥2B．a(chǎn)n=n+12
C．a(chǎn)n=nD．a(chǎn)n=1,n=1n?1,n≥2
【變式1-3】（2024·江蘇·一模）已知正項(xiàng)數(shù)列an滿足1a1a2+1a2a3+?+1anan+1=n2n+1n∈N*，若a5?2a6=7，則a1=（）
A．13B．1C．32D．2
【題型2 累加法求通項(xiàng)公式】
【例2】（23-24高二·全國(guó)·單元測(cè)試）已知數(shù)列an滿足a1=3，an+1=an+1nn+1，則an=（）
A．4+1nB．4?1nC．2+1nD．2?1n
【變式2-1】（2024·四川綿陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知正項(xiàng)數(shù)列 an中，a1=2，an+1+2nan+1?an?2n=0，則an=（）
A．n2?n+2B．2，n=1，2n2，n≥2
C．2n2D．2，n=1，2n2?n，n≥2
【變式2-2】（2024·陜西咸陽(yáng)·三模）在數(shù)列an中，a1=1，an+1=an+2n?1，則a7=（）
A．43B．46C．37D．36
【變式2-3】（2023·山西·模擬預(yù)測(cè)）南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法·商功》中出現(xiàn)了如圖所示的形狀，后人稱為“三角垛”．“三角垛”的最上層（即第一層）有1個(gè)球，第二層有3個(gè)球，第三層有6個(gè)球，第四層有10個(gè)球，…，設(shè)“三角垛”從第一層到第n層的各層球的個(gè)數(shù)構(gòu)成一個(gè)數(shù)列an，則（）
A．a(chǎn)6=16B．a(chǎn)10=66
C．2an+1=an+an+2D．a(chǎn)2023?a2022=2023
【題型3 累乘法求通項(xiàng)公式】
【例3】（2024高三下·全國(guó)·專題練習(xí)）在數(shù)列an中，a1=13，前n項(xiàng)和Sn=n2n?1an，則數(shù)列an的通項(xiàng)公式為（）
A．12n?12n+1B．3n?22n+1C．2?n+42n+1D．2?n+32n
【變式3-1】（23-24高二下·河南南陽(yáng)·階段練習(xí)）已知數(shù)列an的項(xiàng)滿足an+1=nn+2an，而a1=1，則an＝（）
A．2n+12B．2nn+1C．12n?1D．12n?1
【變式3-2】（23-24高二下·廣東佛山·期中）已知Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，a1=1，Sn=n+23an，則{an}的通項(xiàng)公式為（）
A．a(chǎn)n=2n?1B．a(chǎn)n=n(n+1)2
C．a(chǎn)n=3nD．a(chǎn)n=2n?1
【變式3-3】（23-24高二上·重慶九龍坡·期末）已知a1=2，an=nan+1?an，則數(shù)列an的通項(xiàng)公式是an=（）
A．nB．n+1C．2nD．n+1nn
【題型4 構(gòu)造法求通項(xiàng)公式】
【例4】（23-24高二上·河北衡水·期中）在數(shù)列an中，a1=2，an+1an?1+2=an?1+1n≥2，則an=（）
A．?3n?53n?2B．3n2?nC．2n?1+1D．2nn
【變式4-1】（2024·廣東茂名·一模）已知Tn為正項(xiàng)數(shù)列an的前n項(xiàng)的乘積，且a1=2,Tn2=ann+1，則a5=（）
A．16B．32C．64D．128
【變式4-2】（23-24高一下·上海·期末）數(shù)列an滿足a1=2,an+1=3an+2n+1，則數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an= .
【變式4-3】（23-24高三下·四川·期末）若數(shù)列an(n∈N?)的前n項(xiàng)和為Sn，a1=1，2Sn=(n+1)an，則數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an= ．
【題型5 數(shù)列的周期性】
【例5】（2024·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）數(shù)列an中，a1=4，a2=3，an+1=anan?1n∈N*,n≥2，則a1000的值為（）
A．14B．34C．3D．43
【變式5-1】（2024·山東濟(jì)寧·三模）已知數(shù)列an中，a1=2，a2=1，an+1=an?an?1n≥2，n∈N?，則a2024=（）
A．?2B．?1C．1D．2
【變式5-2】（2024·四川宜賓·二模）在數(shù)列an中，已知a1=2,a2=1，且滿足an+2+an=an+1，則數(shù)列an的前2024項(xiàng)的和為（）
A．3B．2C．1D．0
【變式5-3】（2024·甘肅平?jīng)觥つM預(yù)測(cè)）已知數(shù)列an，若an+1=an+an+2 n∈N?，則稱數(shù)列an為“凸數(shù)列”．已知數(shù)列bn為“凸數(shù)列”，且b1=1，b2=?2，則bn的前2 024項(xiàng)的和為（）
A．0B．1C．－5D．－1
【題型6 數(shù)列的單調(diào)性】
【例6】（2024·北京西城·三模）對(duì)于無窮數(shù)列{an}，定義dn=an+1?an（n=1,2,3,?），則“{an}為遞增數(shù)列”是“{dn}為遞增數(shù)列”的（）
A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【變式6-1】（2024·江西·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列an滿足an=n?aa∈R，則“a≤1”是an是遞增數(shù)列的（）
A．必要不充分條件B．充分不必要條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【變式6-2】（2024·江西·二模）已知數(shù)列an的首項(xiàng)a1為常數(shù)且a1≠23，an+1+2an=4nn∈N*，若數(shù)列an是遞增數(shù)列，則a1的取值范圍為（）
A．?23,23B．?23,23∪23,43
C．0,23D．0,23∪23,43
【變式6-3】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列an滿足a1=t,an+1?2an=?n+1，若an是遞減數(shù)列，則實(shí)數(shù)t的取值范圍為（）
A．?1,1B．?∞,0C．?1,1D．1,+∞
【題型7 數(shù)列的最大（小）項(xiàng)】
【例7】（23-24高三上·重慶·階段練習(xí)）數(shù)列an、bn滿足：a1=8，an?an?1=8nn∈N?,n≥2，bn=an+1910n，則數(shù)列bn的最大項(xiàng)是（）
A．第7項(xiàng)B．第9項(xiàng)
C．第11項(xiàng)D．第12項(xiàng)
【變式7-1】（23-24高三上·安徽合肥·期末）若數(shù)列an的前n項(xiàng)積bn=1?27n，則an的最大值與最小值之和為（）
A．?13B．57C．2D．73
【變式7-2】（2024·安徽·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列an是遞增數(shù)列，且an∈N?，數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若S10=67，則a5的最大值為（）
A．5B．6C．7D．8
【變式7-3】（23-24高二上·上海楊浦·期中）已知數(shù)列an=(n+1)(?1011)n，下列說法正確的是（）
A．a(chǎn)n有最大項(xiàng)，但沒有最小項(xiàng)
B．a(chǎn)n沒有最大項(xiàng)，但有最小項(xiàng)
C．a(chǎn)n既有最大項(xiàng)，又有最小項(xiàng)
D．a(chǎn)n既沒有最大項(xiàng)，也沒有最小項(xiàng)
【題型8 數(shù)列中的規(guī)律問題】
【例8】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）公元前6世紀(jì)，希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派研究數(shù)的概念時(shí)，常常把數(shù)描繪成沙灘上的小石子，用它們進(jìn)行各式各樣的排列和分類，叫作“形數(shù)”．用3顆石子可以擺成一個(gè)正三角形，同樣用6顆石子或者10顆石子可以擺成更大的三角形．畢達(dá)哥拉斯學(xué)派把1，3,6,10等叫作“三角數(shù)”或“三角形數(shù)”．同時(shí)他們還擺出了正方形數(shù)、五邊形數(shù)、六邊形數(shù)和其他多邊形數(shù)．如圖所示即擺出的六邊形數(shù)，那么第20個(gè)六邊形數(shù)為（）
A．778B．779C．780D．781
【變式8-1】（2023·海南·模擬預(yù)測(cè)）“大衍數(shù)列”來源于《乾坤譜》中對(duì)易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論，主要用于解釋中國(guó)傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理，是中華傳統(tǒng)文化中的一大瑰寶.已知“大衍數(shù)列”的前10項(xiàng)分別為0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,?，據(jù)此可以推測(cè)，該數(shù)列的第15項(xiàng)與第60項(xiàng)的和為（）
A．1012B．1016C．1912D．1916
【變式8-2】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）據(jù)中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《周髀算經(jīng)》記截：“勾股各自乘，并而開方除之（得弦）．”意即“勾”a、“股”b與“弦”c之間的關(guān)系為a2+b2=c2（其中a≤b）．當(dāng)a,b,c∈N?時(shí)，有如下勾股弦數(shù)組序列：(3,4,5),(5,12,13),(7,24,25)，(9,40,41),?，則在這個(gè)序列中，第10個(gè)勾股弦數(shù)組中的“弦”等于（）
A．145B．181C．221D．265
【變式8-3】（2024·四川·模擬預(yù)測(cè)）分形幾何學(xué)是美籍法國(guó)數(shù)學(xué)家伯努瓦?曼德爾布羅特在20世紀(jì)70年代創(chuàng)立的一門新學(xué)科，它的創(chuàng)立為解決傳統(tǒng)科學(xué)領(lǐng)域的眾多難題提供了全新的思路．下圖展示了如何按照?qǐng)D①的分形規(guī)律生長(zhǎng)成一個(gè)圖②的樹形圖，則在圖②中第5行的黑心圈的個(gè)數(shù)是（）
A．12B．13C．40D．121
【題型9 數(shù)列的恒成立問題】
【例9】（23-24高三上·湖北襄陽(yáng)·期末）數(shù)列an中，a1=a(a>0),2n?1an+1=2n+2?1an+2n2n+2?1n∈N*，若an≤4n+1?1恒成立，則實(shí)數(shù)a的最大值為（）
A．3B．6C．12D．15
【變式9-1】（23-24高三上·浙江·階段練習(xí)）定義maxa,b=a,a≥bb,aan對(duì)n∈N?恒成立，則a1的取值范圍為．
【變式9-3】（23-24高二上·湖南衡陽(yáng)·期末）已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=2n?1.若對(duì)于任意n∈N?，不等式2nan(4?λ)>an?12恒成立，則實(shí)數(shù) λ 的取值范圍為 .
一、單選題
1．（2024·山東濟(jì)南·三模）若數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=n(n+1)，則a6等于（）
A．10B．11C．12D．13
2．（2024·遼寧·二模）大衍數(shù)列，來源于《乾坤譜》中對(duì)易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論，主要用于解釋中國(guó)傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理，數(shù)列中的每一項(xiàng)，都代表太極衍生過程中，曾經(jīng)經(jīng)歷過的兩儀數(shù)量總和，是中國(guó)傳統(tǒng)文化中隱藏著的世界數(shù)學(xué)史上第一道數(shù)列題.大衍數(shù)列的前10項(xiàng)依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，則此數(shù)列的第30項(xiàng)為（）
A．366B．422C．450D．600
3．（2024·天津南開·二模）設(shè)數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=n2+bn，若數(shù)列an是單調(diào)遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)b的取值范圍為（）
A．?3,+∞B．?2,+∞C．?2,+∞D(zhuǎn)．?3,+∞
4．（2024·西藏·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列an對(duì)任意k∈N*滿足ak?ak+1=2k，則a1?a2024=（）
A．21012B．21013C．22024D．22025
5．（2024·重慶九龍坡·三模）正整數(shù)1,2,3,?,n的倒數(shù)的和1+12+13+?+1n已經(jīng)被研究了幾百年，但是迄今為止仍然沒有得到它的求和公式，只是得到了它的近似公式，當(dāng)n很大時(shí)，1+12+13+?+1n≈lnn+γ.其中γ稱為歐拉-馬歇羅尼常數(shù)，γ≈0.577215664901?，至今為止都不確定γ是有理數(shù)還是無理數(shù).設(shè)[x]表示不超過x的最大整數(shù)，用上式計(jì)算1+12+13+?+12024的值為（）
（參考數(shù)據(jù)：ln2≈0.69，ln3≈1.10，ln10≈2.30）
A．10B．9C．8D．7
6．（23-24高二下·上海閔行·階段練習(xí)）數(shù)列an前n項(xiàng)和為Sn，且an=33n?13，則關(guān)于an及Sn敘述正確的是（）
A．a(chǎn)n， Sn都有最小值B．a(chǎn)n， Sn都有最大值
C．a(chǎn)n， Sn都無最小值D．a(chǎn)n， Sn都無最大值
7．（2024·湖北襄陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)fx=3x?13x+1，數(shù)列an滿足a1=a2=1，an+3=ann∈N?，fa2+fa3+a4=0，則i=12024ai=（）
A．1B．2C．3D．4
8．（2024·四川綿陽(yáng)·二模）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn=3n?23n，則下列說法正確的是（）
A．a(chǎn)nSn+1C．2an+Sn=1D．01an+12
C．a(chǎn)n+1≤n+1n+3anD．a(chǎn)22>192
10．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測(cè)）數(shù)列{an}(n∈N?)的前n項(xiàng)和為Sn，若a1=1， an+1=2an,n為奇數(shù)1an,n為偶數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）
A．a(chǎn)3=2B．S10=12
C．{Sn}為遞增數(shù)列D．{a2n?1}為周期數(shù)列
11．（2024·遼寧沈陽(yáng)·二模）已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=?1n?1n?c2+1n=1,2,3,?，則下列說法正確的有（）
A．若c≤1，則數(shù)列an單調(diào)遞減
B．若對(duì)任意n∈N*，都有an≥a1，則c≤1
C．若c∈N*，則對(duì)任意i,j∈N*，都有ai+aj≠0
D．若an的最大項(xiàng)與最小項(xiàng)之和為正數(shù)，則2k?12

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