目錄
【真題自測】2
【考點突破】3
【考點一】數(shù)列求和3
【考點二】數(shù)列的綜合問題5
【專題精練】7
考情分析：
1.數(shù)列求和重點考查分組轉(zhuǎn)化、錯位相減、裂項相消三種求和方法.
2.數(shù)列的綜合問題，一般以等差數(shù)列、等比數(shù)列為背景，與函數(shù)、不等式相結(jié)合，考查最值、范圍以及證明不等式等.
3.主要以選擇題、填空題及解答題的形式出現(xiàn)，難度中等．
真題自測
一、解答題
1．（2024·全國·高考真題）記為數(shù)列an的前項和，已知．
(1)求an的通項公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列bn的前項和．
2．（2024·天津·高考真題）已知數(shù)列an是公比大于0的等比數(shù)列．其前項和為．若．
(1)求數(shù)列an前項和；
(2)設(shè)，．
（ⅰ）當(dāng)時，求證：；
（ⅱ）求．
3．（2024·廣東江蘇·高考真題）設(shè)m為正整數(shù)，數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，若從中刪去兩項和后剩余的項可被平均分為組，且每組的4個數(shù)都能構(gòu)成等差數(shù)列，則稱數(shù)列是可分數(shù)列．
(1)寫出所有的，，使數(shù)列是可分數(shù)列；
(2)當(dāng)時，證明：數(shù)列是可分數(shù)列；
(3)從中任取兩個數(shù)和，記數(shù)列是可分數(shù)列的概率為，證明：．
4．（2023·全國·高考真題）已知為等差數(shù)列，，記，分別為數(shù)列，的前n項和，，．
(1)求的通項公式；
(2)證明：當(dāng)時，．
5．（2023·全國·高考真題）設(shè)為數(shù)列的前n項和，已知．
(1)求的通項公式；
(2)求數(shù)列的前n項和．
6．（2022·全國·高考真題）記為數(shù)列的前n項和，已知是公差為的等差數(shù)列．
(1)求的通項公式；
(2)證明：．
7．（2022·天津·高考真題）設(shè)是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，且．
(1)求與的通項公式；
(2)設(shè)的前n項和為，求證：；
(3)求．
8．（2022·北京·高考真題）已知為有窮整數(shù)數(shù)列．給定正整數(shù)m，若對任意的，在Q中存在，使得，則稱Q為連續(xù)可表數(shù)列．
(1)判斷是否為連續(xù)可表數(shù)列？是否為連續(xù)可表數(shù)列？說明理由；
(2)若為連續(xù)可表數(shù)列，求證：k的最小值為4；
(3)若為連續(xù)可表數(shù)列，且，求證：．
考點突破
【考點一】數(shù)列求和
核心梳理：
1．裂項相消法就是把數(shù)列的每一項分解，使得相加后項與項之間能夠相互抵消，但在抵消的過程中，有的是相鄰項抵消，有的是間隔項抵消．常見的裂項方式有：eq \f(1,n?n＋k?)＝eq \f(1,k)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,n)－\f(1,n＋k)))；
eq \f(1,4n2－1)＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2n－1)－\f(1,2n＋1))).
2．錯位相減法求和，主要用于求{anbn}的前n項和，其中{an}，{bn}分別為等差數(shù)列和等比數(shù)列．
一、解答題
1．（2024·天津·二模）已知為等差數(shù)列，是公比為2的等比數(shù)列．，且．
(1)求數(shù)列和的通項公式；
(2)若
①當(dāng)為奇數(shù)，求；
②求．
2．（2024·河北邯鄲·二模）已知正項數(shù)列an的前項和為，，且．
(1)求an的通項公式；
(2)若，求數(shù)列bn的前項和．
3．（2024·重慶·一模）已知首項為正數(shù)的等差數(shù)列的公差為2，前項和為，滿足．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)令，求數(shù)列的前項和．
4．（23-24高三上·湖南長沙·階段練習(xí)）在數(shù)列中，且滿足（且）．
(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列；
(2)求數(shù)列的前項和．
5．（2024·浙江寧波·二模）已知等差數(shù)列的公差為2，記數(shù)列的前項和為且滿足.
(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；
(2)求數(shù)列的前項和.
6．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前項和為，且．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)若存在，使得成立，求實數(shù)的取值范圍．
7．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知是各項均為正數(shù)的數(shù)列的前項和，．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)若，求數(shù)列的前項和．
8．（23-24高三上·安徽合肥·期末）同余定理是數(shù)論中的重要內(nèi)容．同余的定義為：設(shè)a，，且．若則稱a與b關(guān)于模m同余，記作（mdm）（“|”為整除符號）．
(1)解同余方程（md3）；
(2)設(shè)（1）中方程的所有正根構(gòu)成數(shù)列，其中．
①若（），數(shù)列的前n項和為，求；
②若（），求數(shù)列的前n項和．
規(guī)律方法：
(1)分組轉(zhuǎn)化法求和的關(guān)鍵是將數(shù)列通項轉(zhuǎn)化為若干個可求和的數(shù)列通項的和或差．
(2)裂項相消法的基本思路是將通項拆分，可以產(chǎn)生相互抵消的項．
(3)用錯位相減法求和時，應(yīng)注意：①等比數(shù)列的公比為負數(shù)的情形；②在寫出“Sn”和“qSn”的表達式時應(yīng)特別注意將兩式“錯項對齊”，以便準(zhǔn)確寫出“Sn－qSn”的表達式．
【考點二】數(shù)列的綜合問題
核心梳理：
數(shù)列與函數(shù)、不等式，以及數(shù)列新定義的綜合問題，是高考命題的一個方向，考查邏輯推理、數(shù)學(xué)運算、數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng)．解決此類問題，一是把數(shù)列看成特殊的函數(shù)，利用函數(shù)的圖象、性質(zhì)求解；二是將新數(shù)列問題轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列，利用特殊數(shù)列的概念、公式、性質(zhì)，結(jié)合不等式的相關(guān)知識求解．
一、解答題
1．（2024·遼寧遼陽·一模）已知數(shù)列滿足.
(1)求的通項公式；
(2)設(shè)，證明：.
2．（2024·廣東廣州·二模）已知數(shù)列中，.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)令，記為的前項和，證明：時，.
3．（2024·浙江·模擬預(yù)測）已知實數(shù)，定義數(shù)列如下：如果，，則．
(1)求和（用表示）；
(2)令，證明：；
(3)若，證明：對于任意正整數(shù)，存在正整數(shù)，使得．
4．（2024·甘肅定西·一模）在個數(shù)碼構(gòu)成的一個排列中，若一個較大的數(shù)碼排在一個較小的數(shù)碼的前面，則稱它們構(gòu)成逆序（例如，則與構(gòu)成逆序），這個排列的所有逆序的總個數(shù)稱為這個排列的逆序數(shù)，記為，例如，，
(1)計算；
(2)設(shè)數(shù)列滿足，求的通項公式；
(3)設(shè)排列滿足，求，
5．（2024·河南·三模）已知數(shù)列的前項和為，若存在常數(shù)，使得對任意都成立，則稱數(shù)列具有性質(zhì)．
(1)若數(shù)列為等差數(shù)列，且，求證：數(shù)列具有性質(zhì)；
(2)設(shè)數(shù)列的各項均為正數(shù)，且具有性質(zhì)．
①若數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，且，求的值；
②求的最小值．
6．（2024·廣東深圳·二模）無窮數(shù)列，，…，，…的定義如下：如果n是偶數(shù)，就對n盡可能多次地除以2，直到得出一個奇數(shù)，這個奇數(shù)就是﹔如果n是奇數(shù)，就對盡可能多次地除以2，直到得出一個奇數(shù)，這個奇數(shù)就是．
(1)寫出這個數(shù)列的前7項；
(2)如果且，求m，n的值；
(3)記，，求一個正整數(shù)n，滿足．
規(guī)律方法：
數(shù)列的“新定義問題”，主要是指定義新概念、新公式、新定理、新法則、新運算等，關(guān)鍵是將新數(shù)列轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列，或者找到新數(shù)列的遞推關(guān)系，主要考查的還是數(shù)列的基礎(chǔ)知識．
專題精練
一、單選題
1．（23-24高二下·山西晉城·階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，，則（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高二上·江蘇·期末）設(shè)數(shù)列的前項和為 ，，，，則數(shù)列的前項和為 （ ）
A．B．C．D．
3．（23-24高三下·江蘇南京·開學(xué)考試）在數(shù)列中，已知，，則的前11項的和為（ ）
A．2045B．2046C．4093D．4094
4．（2024·四川南充·模擬預(yù)測）如圖所示的一系列正方形圖案稱為“謝爾賓斯基地毯”，在4個大正方形中，著色的小正方形的個數(shù)依次構(gòu)成一個數(shù)列an的前4項. 記，則下列結(jié)論正確的為（ ）
A．B．
C．D．與的大小關(guān)系不能確定
5．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知是等比數(shù)列的前n項和，，，若關(guān)于n的不等式對任意的恒成立，則實數(shù)t的最大值為（ ）
A．12B．16C．24D．36
6．（2023·湖北武漢·三模）將按照某種順序排成一列得到數(shù)列，對任意，如果，那么稱數(shù)對構(gòu)成數(shù)列的一個逆序?qū)?若，則恰有2個逆序?qū)Φ臄?shù)列的個數(shù)為（ ）
A．4B．5C．6D．7
7．（2024·江蘇徐州·一模）已知數(shù)列的前n項和為，且，．若，則正整數(shù)k的最小值為（ ）
A．11B．12C．13D．14
8．（2024·云南·模擬預(yù)測）當(dāng)前，全球新一輪科技革命和產(chǎn)業(yè)變革蓬勃發(fā)展，汽車與能源?交通?信息通信等領(lǐng)域有關(guān)技術(shù)加速融合，電動化?網(wǎng)聯(lián)化?智能化成為汽車產(chǎn)業(yè)的發(fā)展潮流和趨勢.某車企為轉(zhuǎn)型升級，從2024年起大力發(fā)展新能源汽車，2024年全年預(yù)計生產(chǎn)新能源汽車10萬輛，每輛車的利潤為2萬元.假設(shè)后續(xù)的幾年中，經(jīng)過車企關(guān)鍵核心技術(shù)的不斷突破和受眾購買力的提升，每年新能源汽車的產(chǎn)量都比前一年增加（假設(shè)每年生產(chǎn)的新能源汽車都能銷售出去），每輛車的利潤都比前一年增加2000元，則至2030年年底，該汽車集團銷售新能源汽車的總利潤約為（ ）參考數(shù)據(jù)：，結(jié)果精確到0.1）
A．320.5億元B．353.8億元C．363.2億元D．283.8億元
二、多選題
9．（2024·全國·模擬預(yù)測）對函數(shù)給出如下新定義：若在區(qū)間上為定值（其中表示不超過的最大整數(shù)，如），則稱為的一個“整元”，將區(qū)間上從左到右所有“整元”的和稱為在上的“整積分”，下列說法正確的是（ ）
A．在區(qū)間上的“整積分”為
B．在區(qū)間上的“整積分”為4950
C．在區(qū)間上的“整積分”為
D．在區(qū)間上的“整積分”為
10．（2024·山東濟寧·三模）已知數(shù)列的前項和為，且滿足，數(shù)列的前項和為，且滿足，則下列說法中正確的是（ ）
A．B．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列
C．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列D．若，則
11．（23-24高三下·江西·開學(xué)考試）已知數(shù)列的前項和為，且，數(shù)列與數(shù)列的前項和分別為，則（ ）
A．B．
C．D．
三、填空題
12．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足，，，數(shù)列，滿足，則數(shù)列的前2024項的和為 ．
13．（2024·浙江·模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前項和為，且，數(shù)列的前項和為，且，則滿足的正整數(shù)的最小值為 .
14．（2024·江蘇南通·模擬預(yù)測）定義：x表示不大于的最大整數(shù)，表示不小于的最小整數(shù)，如，.設(shè)函數(shù)在定義域上的值域為，記中元素的個數(shù)為，則 ，
四、解答題
15．（23-24高二上·江蘇南京·期末）已知數(shù)列的前n項和為，且滿足．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)已知，求數(shù)列的前n項和為．
16．（2024·寧夏·一模）已知公差不為零的等差數(shù)列的前n項和為，，且，，成等比數(shù)列．
(1)求的通項公式；
(2)若，證明：．
17．（2024·山東菏澤·一模）已知數(shù)列的前項和為，且．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)若，，求證：．
18．（23-24高三下·湖北武漢·階段練習(xí)）已知常數(shù)，在成功的概率為的伯努利試驗中，記為首次成功時所需的試驗次數(shù)，的取值為所有正整數(shù)，此時稱離散型隨機變量的概率分布為幾何分布.
(1)對于正整數(shù)，求，并根據(jù)，求；
(2)對于幾何分布的拓展問題，在成功的概率為的伯努利試驗中，記首次出現(xiàn)連續(xù)兩次成功時所需的試驗次數(shù)的期望為，現(xiàn)提供一種求的方式：先進行第一次試驗，若第一次試驗失敗，因為出現(xiàn)試驗失敗對出現(xiàn)連續(xù)兩次成功毫無幫助，可以認為后續(xù)期望仍是，即總的試驗次數(shù)為；若第一次試驗成功，則進行第二次試驗，當(dāng)?shù)诙卧囼灣晒r，試驗停止，此時試驗次數(shù)為2，若第二次試驗失敗，相當(dāng)于重新試驗，此時總的試驗次數(shù)為.
（i）求；
（ii）記首次出現(xiàn)連續(xù)次成功時所需的試驗次數(shù)的期望為，求.
19．（2023·北京東城·一模）已知數(shù)表中的項互不相同，且滿足下列條件：
①；
②.
則稱這樣的數(shù)表具有性質(zhì).
(1)若數(shù)表具有性質(zhì)，且，寫出所有滿足條件的數(shù)表，并求出的值；
(2)對于具有性質(zhì)的數(shù)表，當(dāng)取最大值時，求證：存在正整數(shù)，使得；
(3)對于具有性質(zhì)的數(shù)表，當(dāng)n為偶數(shù)時，求的最大值.

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