重難點(diǎn)05 數(shù)列求和（含不等式恒（能）成立問題）（7題型高分技法限時提升練）-2025年高考數(shù)學(xué) 熱點(diǎn) 重點(diǎn) 難點(diǎn) 專練（天津?qū)Ｓ茫?試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

題型1錯位相減法
1．（2024·天津河西·模擬預(yù)測）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)在與之間插入個數(shù)，使這個數(shù)組成一個公差為的等差數(shù)列．
（?。┣髷?shù)列的通項(xiàng)公式及；
（ⅱ）在數(shù)列中是否存在3項(xiàng)（其中m，k，p成等差數(shù)列）成等比數(shù)列？若存在，求出這樣的3項(xiàng)；若不存在，請說明理由．
2．（2024·天津·模擬預(yù)測）數(shù)列是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為，數(shù)列是等比數(shù)列，，，，，．
(1)求數(shù)列、的通項(xiàng)公式；
(2)的前n項(xiàng)和，求證：．
3．（2024·天津·二模）已知為等差數(shù)列，是公比為2的等比數(shù)列．，且．
(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；
(2)若
①當(dāng)為奇數(shù)，求；
②求．
4．（2023·天津河北·一模）設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，，若，且、、成等差數(shù)列.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，，其中表示不超過的最大整數(shù)，求數(shù)列的前項(xiàng)的和；
(3)設(shè)，，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
5．（21-22高二上·天津北辰·階段練習(xí)）已知正項(xiàng)等比數(shù)列滿足，，數(shù)列滿足.
(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；
(2)令求數(shù)列的前n項(xiàng)和.
(3)設(shè)的前n項(xiàng)和為，求
題型2裂項(xiàng)相消法（等差型）
1．（2024·天津?yàn)I海新·三模）已知數(shù)列，，已知對于任意，都有，數(shù)列是等差數(shù)列，，且，，成等比數(shù)列．
(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；
(2)記．
（?。┣螅唬áⅲ┣螅?br>2．（2024·天津南開·模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，.數(shù)列為等比數(shù)列，且，.
(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；
(2)求.
(3)求證：.
3．（2024·天津河北·二模）設(shè)數(shù)列為等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，數(shù)列為等比數(shù)列.已知，，.
（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和；
（3）若，，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
4．（2024·天津河西·一模）設(shè)是等比數(shù)列，公比不為1．已知，且，，成等差數(shù)列．
（Ⅰ）求的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求；
（Ⅲ）設(shè)，為數(shù)列的前項(xiàng)和，求不超過的最大整數(shù)．
5．（24-25高二上·天津薊州·階段練習(xí)）已知等差數(shù)列中，，且前項(xiàng)和為.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式與數(shù)列的前項(xiàng)之和 .
(2)若，若數(shù)列的前項(xiàng)和滿足恒成立，求負(fù)整數(shù)的最大值.
題型3 裂項(xiàng)相消法（指數(shù)型）
1．（23-24高三上·天津東麗·期中）設(shè)是等差數(shù)列，是等比數(shù)列．已知，，，
(1)求和的通項(xiàng)公式以及
(2)設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：；
(3)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和
2．（2024·河南·模擬預(yù)測）已知正項(xiàng)等比數(shù)列{an}，滿足a2a4=1，a5是12a1與5a3的等差中項(xiàng).
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn.
3．（2024·天津河?xùn)|·二模）已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若，求數(shù)列及數(shù)列的前n項(xiàng)和．
(3)設(shè)，求的前2n項(xiàng)和．
4．（2024·天津?qū)氎妗つM預(yù)測）已知等差數(shù)列滿足其中為的前項(xiàng)和，遞增的等比數(shù)列滿足：，且，，成等差數(shù)列．
（1）求數(shù)列、的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)的前項(xiàng)和為，求
（3）設(shè)，的前n項(xiàng)和為，若恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值．
5．（23-24高三下·四川·階段練習(xí)）已知數(shù)列是等差數(shù)列，是遞增的等比數(shù)列，且，，，．
（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；
（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
題型4裂項(xiàng)相消法（通項(xiàng)裂項(xiàng)為“”型）
1．（2024·天津和平·二模）已知為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，，．
(1)若為數(shù)列的前n項(xiàng)和，求；
(2)等差數(shù)列滿足，數(shù)列滿足．
（i）求數(shù)列與數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（ii）求．
2．（2024·天津和平·一模）已知數(shù)列為首項(xiàng)的等比數(shù)列，且成等差數(shù)列；數(shù)列為首項(xiàng)的單調(diào)遞增的等差數(shù)列，數(shù)列的前項(xiàng)和為，且成等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)求；
(3)數(shù)列滿足，記和分別為和的前項(xiàng)和，證明：.
3．（2024·天津武清·二模）已知是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，且．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)記的前n項(xiàng)和為，證明：；
(3)記，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
4．（2024·天津·三模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為Sn，，設(shè).
（1）證明：是等比數(shù)列；
（2）設(shè)，求的前項(xiàng)和，若對于任意恒成立，求的取值范圍.
5．（23-24高一下·四川成都）已知數(shù)列滿足.
（1）設(shè)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和；
（3）記，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
題型5 分組求和法
1．（24-25高二上·天津南開·期末）已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，滿足，數(shù)列是等差數(shù)列，且，.
(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；
(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.
2．（24-25高二上·天津?yàn)I海新·階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為且滿足；等差數(shù)列滿足，且成等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列與的通項(xiàng)公式；
(2)記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求.
3．（24-25高二上·天津東麗·階段練習(xí)）已知數(shù)列，，，為數(shù)列的前項(xiàng)和，且.
(1)令.
（i）求證: 數(shù)列為等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（ii）求數(shù)列的前項(xiàng)和；
(2)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和，對，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
4．（23-24高二上·天津?qū)幒印て谀┮阎獢?shù)列是等差數(shù)列，滿足，，數(shù)列是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，且，，成等差數(shù)列.
(1)求，的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
5．（2024高二上·天津南開·專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足.
(1)證明是等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；
(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.
題型6 數(shù)列求和（奇偶項(xiàng)討論求和）
1．（2024·天津紅橋·一模）已知數(shù)列{}的前n項(xiàng)和滿足：．
(1)求數(shù)列{}的前3項(xiàng)；
(2)求證：數(shù)列是等比數(shù)列；
(3)求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
2．（2024·河南·模擬預(yù)測）已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，前項(xiàng)和為，若．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：；
(3)設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求滿足的最小正整數(shù)的值．
3．（24-25高三上·天津南開·期末）已知等差數(shù)列和等比數(shù)列滿足.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若數(shù)列滿足，且.設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，集合，求A（用列舉法表示）；
(3)求.
4．（23-24高三上·天津南開·階段練習(xí)）已知數(shù)列，，即當(dāng)時，，記．
(1)求的值；
(2)求當(dāng)，試用、的代數(shù)式表示；
(3)對于，定義集合是的整數(shù)倍，，且，求集合中元素的個數(shù)．
5．（2024·天津·一模）已知數(shù)列滿足，其前8項(xiàng)的和為64；數(shù)列是公比大于0的等比數(shù)列，，．
(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；
(2)記，，求數(shù)列的前項(xiàng)和；
(3)記，求．
題型7數(shù)列不等式
1．（2024·天津·二模）設(shè)是等差數(shù)列，其前項(xiàng)和，是等比數(shù)列，且，，.
(1)求與的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和；
(3)若對于任意的不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
2．（2024·江蘇蘇州·模擬預(yù)測）點(diǎn)列，就是將點(diǎn)的坐標(biāo)按照一定關(guān)系進(jìn)行排列．過曲線上的點(diǎn)作曲線的切線與曲線交于，過點(diǎn)作曲線的切線與曲線交于點(diǎn)，依此類推，可得到點(diǎn)列：，，，…，，…，已知．
(1)求數(shù)列、的通項(xiàng)公式；
(2)記點(diǎn)到直線（即直線）的距離為，
（I）求證：；
（II）求證：，若值與（I）相同，則求此時的最小值．
3．（2023·天津和平·二模）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，數(shù)列滿足：，．
(1)證明：是等比數(shù)列；
(2)證明：；
(3)設(shè)數(shù)列滿足：．證明：．
4．（2023·天津和平·三模）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)在與之間插入個數(shù)，使這個數(shù)組成一個等差數(shù)列，記插入的這個數(shù)之和為，若不等式對一切恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(3)記，求證：.
5．（23-24高三上·上海浦東新·期中）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足：.
(1)求證：數(shù)列為等差數(shù)列；
(2)若，數(shù)列滿足，記為的前項(xiàng)和，求證：；
(3)在（2）的前提下，記，數(shù)列的前項(xiàng)和為，若不等式對一切恒成立，求的取值范圍.
（建議用時：60分鐘）
一、單選題
1．（2023·天津和平·三模）已知數(shù)列滿足，，是數(shù)列的前項(xiàng)和，則（）
A．B．C．D．
2．（2024·天津北辰·模擬預(yù)測）設(shè)數(shù)列滿足，則數(shù)列的前5項(xiàng)和為（）
A．B．C．D．
二、填空題
3．（2022·天津河西·模擬預(yù)測）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，公比，，，數(shù)列滿足且，.
（1）則；；
（2）將和中的所有項(xiàng)按從小到大的順序排列組成新數(shù)列，則數(shù)列的前50項(xiàng)和；
（3）設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為：，，則 .
三、解答題
4．（2021·天津南開·二模）設(shè)是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，公比大于0，已知，．
(1)求和的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和．記，求；
(3)求．
5．（2023·天津?yàn)I海新·三模）設(shè)是等差數(shù)列，是各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列. 且，
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)記為的前項(xiàng)和，求證：；
(3)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
6．（2024·天津河西·二模）已知數(shù)列的首項(xiàng)，且滿足，的前項(xiàng)和為.
(1)證明數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)當(dāng)時，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(3)在數(shù)列中，，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式及.
7．（2024·天津南開·二模）已知函數(shù)，.
(1)求曲線在處的切線方程；
(2)證明：對，恒成立（為的導(dǎo)數(shù)）；
(3)設(shè)，證明：（）.
8．（2023·天津和平·三模）等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，（且），．
(1)求的通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和；
(2)記，當(dāng)，時，試比較與的大小；
(3)若，正項(xiàng)等比數(shù)列中，首項(xiàng)，數(shù)列是公比為4的等比數(shù)列，且，求的通項(xiàng)公式與．
9．（2024·天津河西·三模）已知遞增數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)．
（?。┣髷?shù)列的通項(xiàng)公式；
（ⅱ）求．
10．（2024·天津武清·模擬預(yù)測）已知數(shù)列是正項(xiàng)等比數(shù)列，是等差數(shù)列，且，
(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式;
(2)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
(3)表示不超過的最大整數(shù)，表示數(shù)列的前項(xiàng)和，集合共有4個元素，求范圍;
11．（23-24高二下·江蘇連云港·期中）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足：，.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和；
(3)設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為，問:是否存在正整數(shù)，使得成等差數(shù)列？若存在，求出和的值；若不存在，請說明理由.
12．（2024·天津·二模）已知是等差數(shù)列，，，數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，（）．
(1)求和的通項(xiàng)公式；
(2)求；
(3)設(shè)數(shù)列滿足（），證明：．
三年考情分析
2025年考向預(yù)測
2022年，第18題，考察數(shù)列分組求和，錯位相減法求和
2023年，第19題，考察等比數(shù)列求和
2024年，第19題，考察裂項(xiàng)相消法求和
數(shù)列求和是天津高考數(shù)學(xué)的必考內(nèi)容，一般利用等差（比）數(shù)列的通項(xiàng)來構(gòu)建考查裂項(xiàng)求和，錯位相減法求和，解答題中等差數(shù)列、等比數(shù)列通項(xiàng)的考查往往是第1問，數(shù)列求和則是第2問。
錯位相減法求和：如果一個數(shù)列的各項(xiàng)是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，那么這個數(shù)列的前項(xiàng)和即可用此法來求.倍錯位相減法：若數(shù)列的通項(xiàng)公式，其中、中一個是等差數(shù)列，另一個是等比數(shù)列，求和時一般可在已知和式的兩邊都乘以組成這個數(shù)列的等比數(shù)列的公比，然后再將所得新和式與原和式相減，轉(zhuǎn)化為同倍數(shù)的等比數(shù)列求和．這種方法叫倍錯位相減法．
溫馨提示：1.兩個特殊數(shù)列等差與等比的乘積或商的組合.
= 1 \* GB3 ①
特別注意
②
如：（尤其要注意不能丟前邊的）
①
如：
如：①
②
本類模型典型標(biāo)志在通項(xiàng)中含有乘以一個分式.
1如果一個數(shù)列可寫成的形式，而數(shù)列，是等差數(shù)列或等比數(shù)列或可轉(zhuǎn)化為能夠求和的數(shù)列，那么可用分組求和法.
2如果一個數(shù)列可寫成的形式，在求和時可以使用分組求和法.
類型一：
通項(xiàng)公式分奇、偶項(xiàng)有不同表達(dá)式；例如：
角度1：求的前項(xiàng)和
角度2：求的前項(xiàng)和
類型二：
通項(xiàng)含有的類型；例如：

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