專題1.4 基本不等式及其應(yīng)用（舉一反三）（新高考專用）（含答案） 2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專練（新高考專用）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc22482" 【題型1 基本不等式及其應(yīng)用】 PAGEREF _Tc22482 \h 2
\l "_Tc32103" 【題型2 直接法求最值】 PAGEREF _Tc32103 \h 3
\l "_Tc30795" 【題型3 配湊法求最值】 PAGEREF _Tc30795 \h 4
\l "_Tc28330" 【題型4 常數(shù)代換法求最值】 PAGEREF _Tc28330 \h 4
\l "_Tc6299" 【題型5 消元法求最值】 PAGEREF _Tc6299 \h 4
\l "_Tc27912" 【題型6 齊次化求最值】 PAGEREF _Tc27912 \h 5
\l "_Tc19630" 【題型7 多次使用基本不等式求最值】 PAGEREF _Tc19630 \h 5
\l "_Tc23528" 【題型8 利用基本不等式解決實(shí)際問題】 PAGEREF _Tc23528 \h 5
\l "_Tc5355" 【題型9 與其他知識(shí)交匯的最值問題】 PAGEREF _Tc5355 \h 8
1、基本不等式及其應(yīng)用
【知識(shí)點(diǎn)1 基本不等式】
1. 兩個(gè)不等式
eq \f(a＋b,2)叫做正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)，eq \r(ab)叫做正數(shù)a，b的幾何平均數(shù)．
基本不等式表明：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)．
2．基本不等式與最值
已知x，y都是正數(shù)，
(1)如果積xy等于定值P，那么當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，和x＋y有最小值2eq \r(P)；
(2)如果和x＋y等于定值S，那么當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，積xy有最大值eq \f(1,4)S2.
溫馨提示：從上面可以看出，利用基本不等式求最值時(shí)，必須有：(1)x、y>0，(2)和(積)為定值，(3)存在取等號(hào)的條件．
3．常見的求最值模型
(1)模型一：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立；
(2)模型二：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成
立；
(3)模型三：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立；
(4)模型四：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)
等號(hào)成立.
4．利用基本不等式求最值的幾種方法
(1)直接法：條件和問題間存在基本不等式的關(guān)系，可直接利用基本不等式來求最值．
(2)配湊法：利用配湊法求最值，主要是配湊成“和為常數(shù)”或“積為常數(shù)”的形式.
(3)常數(shù)代換法：主要解決形如“已知x+y=t(t為常數(shù)),求的最值”的問題，先將轉(zhuǎn)化為，再用基本不等式求最值.
(4)消元法：當(dāng)所求最值的代數(shù)式中的變量比較多時(shí)，通?？紤]利用已知條件消去部分變量后，湊出“和為常數(shù)”或“積為常數(shù)”的形式，最后利用基本不等式求最值.
【題型1 基本不等式及其應(yīng)用】
【例1】（2023·安徽蚌埠·模擬預(yù)測(cè)）已知實(shí)數(shù)a,b,c滿足a0,b>0，則“a+b>2”是“a2+b2>2”的（）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【變式1-3】（2023·遼寧·二模）數(shù)學(xué)命題的證明方式有很多種．利用圖形證明就是一種方式．現(xiàn)有如圖所示圖形，在等腰直角三角形△ABC中，點(diǎn)O為斜邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)D為斜邊AB上異于頂點(diǎn)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)AD=a，BD=b，用該圖形能證明的不等式為（）．
A．a(chǎn)+b2≥aba>0,b>0B．2aba+b≤aba>0,b>0
C．a(chǎn)+b2≤a2+b22a>0,b>0D．a(chǎn)2+b2≥2aba>0,b>0
【題型2 直接法求最值】
【例2】（2023·湖南岳陽·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)fx=3?x?2x，則當(dāng)x0，則x?4+4x的最小值為（）
A．－2B．0C．1D．22
【變式2-2】（22-23高三下·江西·階段練習(xí)）3+1x21+4x2的最小值為（）
A．93B．7+42C．83D．7+43
【變式2-3】（23-24高二下·山東濰坊·階段練習(xí)）函數(shù)y=3?4x?x（x>0）的最大值為（）
A．?1B．1C．?5D．5
【題型3 配湊法求最值】
【例3】（2023·山西忻州·模擬預(yù)測(cè)）已知a>2，則2a+8a?2的最小值是（）
A．6B．8C．10D．12
【變式3-1】（2024·遼寧·一模）已知m>2n>0，則 mm?2n+mn的最小值為（）
A．3+22B．3?22C．2+32D．32?2
【變式3-2】（2023·河南信陽·模擬預(yù)測(cè)）若?50，則a+2b+4a+2b+1的最小值為（）
A．6B．5C．4D．3
【題型4 常數(shù)代換法求最值】
【例4】（2024·江蘇南通·二模）設(shè)x>0，y>0，1x+2y=2，則x+1y的最小值為（）
A．32B．22C．32+2D．3
【變式4-1】（2024·黑龍江哈爾濱·二模）已知正實(shí)數(shù)x，y滿足1x+2y=1，則2xy?3x的最小值為（）
A．8B．9C．10D．11
【變式4-2】（2024·廣東湛江·一模）已知ab>0，a2+ab+2b2=1，則a2+2b2的最小值為（）
A．8?227B．223C．34D．7?228
【變式4-3】（2023·廣東廣州·模擬預(yù)測(cè)）已知正實(shí)數(shù)x，y滿足2x+y=xy，則2xy?2x?y的最小值為（）
A．2B．4C．8D．9
【題型5 消元法求最值】
【例5】（2024·陜西西安·三模）已知x>0,y>0，xy+2x?y=10，則x+y的最小值為．
【變式5-1】（2023·上海嘉定·一模）已知實(shí)數(shù)a、b滿足ab=?6，則a2+b2的最小值為．
【變式5-2】（2024·天津河?xùn)|·一模）若a>0,b>0,ab=2，則a+4b+2b3b2+1的最小值為．
【變式5-3】（2024·四川德陽·模擬預(yù)測(cè)）已知正實(shí)數(shù)x，y，z滿足x2+xy+yz+xz+x+z=6，則3x+2y+z的最小值是 .
【題型6 齊次化求最值】
【例6】（23-24高一上·湖南婁底·期末）已知x>0，則x2?x+4x的最小值為（）
A．5B．3C．?5D．?5或3
【變式6-1】（23-24高一上·遼寧大連·期末）已知x，y為正實(shí)數(shù)，且x+y=1，則x+6y+3xy的最小值為（）
A．24B．25C．6+42D．62?3
【變式6-2】（23-24高二上·安徽六安·階段練習(xí)）設(shè)a+b=1,b>0，則1|a|+9|a|b的最小值是（）
A．7B．6C．5D．4
【變式6-3】（23-24高三上·浙江紹興·期末）已知x為正實(shí)數(shù)，y為非負(fù)實(shí)數(shù)，且x+2y=2，則x2+1x+2y2y+1的最小值為（）
A．34B．94C．32D．92
【題型7 多次使用基本不等式求最值】
【例7】（2023·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知正實(shí)數(shù)a，b，滿足a+b≥92a+2b，則a+b的最小值為（）
A．5B．52C．52D．522
【變式7-1】（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知a為非零實(shí)數(shù)，b，c均為正實(shí)數(shù)，則a2b+a2c4a4+b2+c2的最大值為（）
A．12B．24C．22D．34
【變式7-2】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知a>0，b>0，c>1，a+2b=2，則1a+2bc+2c?1的最小值為（）
A．92B．2C．6D．212
【變式7-3】（23-24高三下·浙江·開學(xué)考試）已知a、b、c、d均為正實(shí)數(shù)，且1a+2b=c2+d2=2，則a+bcd的最小值為（）
A．3B．22
C．3+22D．3+222
【題型8 利用基本不等式解決實(shí)際問題】
【例8】（23-24高二下·北京房山·期中）某公園為了美化游園環(huán)境，計(jì)劃修建一個(gè)如圖所示的總面積為750m2的矩形花園.圖中陰影部分是寬度為1m的小路，中間A，B，C三個(gè)矩形區(qū)域?qū)⒎N植牡丹、郁金香、月季（其中B，C區(qū)域的形狀、大小完全相同）.設(shè)矩形花園的一條邊長(zhǎng)為xm，鮮花種植的總面積為Sm2.
(1)用含有x的代數(shù)式表示a；
(2)當(dāng)x的值為多少時(shí)，才能使鮮花種植的總面積最大？
【變式8-1】（23-24高一上·遼寧朝陽·期末）冷鏈物流是指以冷凍工藝為基礎(chǔ)、制冷技術(shù)為手段，使冷鏈物品從生產(chǎn)、流通、銷售到消費(fèi)者的各個(gè)環(huán)節(jié)始終處于規(guī)定的溫度環(huán)境下，以減少冷鏈物品損耗的物流活動(dòng).隨著人民食品安全意識(shí)的提高及線上消費(fèi)需求的增加，冷鏈物流市場(chǎng)規(guī)模也在穩(wěn)步擴(kuò)大.某冷鏈物流企業(yè)準(zhǔn)備擴(kuò)大規(guī)模，決定在2024年初及2025年初兩次共投資4百萬元，經(jīng)預(yù)測(cè)，每年初投資的x百萬元在第m（1≤m≤8，且m∈N*）年產(chǎn)生的利潤(rùn)（單位：百萬元）Gm=mx,m∈N*,1≤m≤44?16?mx2,m∈N*,5≤m≤8，記這4百萬元投資從2024年開始的第n年產(chǎn)生的利潤(rùn)之和為fnx.
(1)比較f42與f52的大??；
(2)求兩次投資在2027年產(chǎn)生的利潤(rùn)之和的最大值.
【變式8-2】（23-24高一上·河南開封·期末）如圖，一份印刷品的排版（陰影部分）為矩形，面積為 32，它的左、右兩邊都留有寬為2的空白，上、下兩邊都留有寬為 1的空白.記紙張的面積為 S，排版矩形的長(zhǎng)和寬分別為x，y.
(1)用x，y 表示 S;
(2)如何選擇紙張的尺寸，才能使紙張的面積最小? 并求最小面積.
【變式8-3】（23-24高一上·四川成都·期末）如圖所示，一條筆直的河流l（忽略河的寬度）兩側(cè)各有一個(gè)社區(qū)A,B（忽略社區(qū)的大小），A社區(qū)距離l上最近的點(diǎn)A0的距離是2km,B社區(qū)距離l上最近的點(diǎn)B0的距離是1km，且A0B0=4km.點(diǎn)P是線段A0B0上一點(diǎn)，設(shè)A0P=akm.
現(xiàn)規(guī)劃了如下三項(xiàng)工程：
工程1：在點(diǎn)P處修建一座造價(jià)0.1億元的人行觀光天橋；
工程2：將直角三角形AA0P地塊全部修建為面積至少1km2的文化主題公園，且每平方千米造價(jià)為1+92a2億元；
工程3：將直角三角形BB0P地塊全部修建為面積至少0.25km2的濕地公園，且每平方千米造價(jià)為1億元.
記這三項(xiàng)工程的總造價(jià)為W億元.
(1)求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
(2)問點(diǎn)P在何處時(shí)，W最小，并求出該最小值.
【題型9 與其他知識(shí)交匯的最值問題】
【例9】（23-24高三上·江蘇南通·階段練習(xí)）已知ΔABC內(nèi)接于單位圓，且1+tanA1+tanB=2，
（1）求角C
（2）求△ABC面積的最大值．
【變式9-1】（23-24高三上·山東青島·期末）《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著,它在幾何學(xué)中的研究比西方早1000多年,在《九章算術(shù)》中,將底面為直角三角形,且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱稱為塹堵(qian du);陽馬指底面為矩形,一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐,鱉膈(bie na)指四個(gè)面均為直角三角形的四面體.如圖在塹堵ABC?A1B1C1中,AB⊥AC.
(1)求證:四棱錐B?A1ACC1為陽馬;
(2)若C1C=BC=2,當(dāng)鱉膈C1?ABC體積最大時(shí),求銳二面角C?A1B?C1的余弦值.
【變式9-2】（2024·廣東珠?！ひ荒＃┮阎狝、B、C是ΔABC的內(nèi)角，a、b、c分別是其對(duì)邊長(zhǎng)，向量m=a+b,c，n=sinB?sinA,sinC?sinB，且m⊥n.
（1）求角A的大??；
（2）若a=2，求ΔABC面積的最大值.
【變式9-3】（2024·黑龍江大慶·一模）已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)，過點(diǎn)1,32且離心率為12，A,B是橢圓上縱坐標(biāo)不為零的兩點(diǎn)，若AF→=λFB→λ∈R且AF→≠FB→，其中F為橢圓的左焦點(diǎn)．
（1）求橢圓的方程；
（2）求線段AB的垂直平分線在y軸上的截距的取值范圍．
一、單選題
1．（2023·全國(guó)·三模）已知a>0，b>0，且a+b=1，則下列不等式不正確的是（）
A．a(chǎn)b≤14B．a(chǎn)2+b2≥12
C．1a+1b+1>2D．a(chǎn)+b≤1
2．（2024·甘肅定西·一模）x2+7x2+7的最小值為（）
A．27B．37C．47D．57
3．（2024·遼寧葫蘆島·一模）已知a>0，b>0，a+b=2，則（）
A．00，xy=1，則12x+12y+8x+y的最小值為4
C．若x≠0且x≠?1，則yxb>0，小明幫員工李華比較上述三種方案得到如下結(jié)論，其中正確的有（）
A．方案甲和方案乙工資漲得一樣多B．采用方案乙工資漲得比方案丙多
C．采用方案乙工資漲得比方案甲多D．采用方案丙工資漲得比方案甲多
11．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知a>0，b>0且1a+4b=2，則下列說法正確的是（）
A．a(chǎn)b有最小值4B．a(chǎn)+b有最小值92
C．2ab+a有最小值25D．16a2+b2的最小值為42
三、填空題
12．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知x>1，y>0，且x+2y=2，則1x?1+y的最小值是．
13．（2024·上海奉賢·二模）某商品的成本C與產(chǎn)量q之間滿足關(guān)系式C=Cq，定義平均成本C=Cq，其中C=C(q)q，假設(shè)Cq=14q2+100，當(dāng)產(chǎn)量等于時(shí)，平均成本最少.
14．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）記maxx1,x2,x3表示x1,x2,x3這3個(gè)數(shù)中最大的數(shù)．已知a,b,c都是正實(shí)數(shù)，M=maxa,1a+2bc,cb，則M的最小值為．
四、解答題
15．（2023·甘肅張掖·模擬預(yù)測(cè)）已知正實(shí)數(shù)x，y滿足等式1x+3y=2．
(1)求xy的最小值；
(2)求3x+y的最小值．
16．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知x,y,z∈0,+∞，且x+y+z=1．
(1)求證：yx+zy+xz>1+z?z；
(2)求x2+y2+z2+5xy+4yz+4xz的最大值．
17．（2023·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)fx=x+a+x?b．
(1)當(dāng)a=2,b=3時(shí)，求不等式fx≥6的解集；
(2)設(shè)a>0,b>1，若fx的最小值為2，求1a+1b?1的最小值．
18．（23-24高一上·貴州銅仁·期末）2020 年初至今，新冠肺炎疫情襲擊全球，對(duì)人民生命安全和生產(chǎn)生活造成嚴(yán)重影響. 在黨和政府強(qiáng)有力的抗疫領(lǐng)導(dǎo)下，我國(guó)控制住疫情后，一方面防止境外疫情輸入，另一方面逐步復(fù)工復(fù)產(chǎn)，減輕經(jīng)濟(jì)下降對(duì)企業(yè)和民眾帶來的損失. 為降低疫情影響，某廠家擬在2022年舉行某產(chǎn)品的促銷活動(dòng)，經(jīng)調(diào)查測(cè)算，該產(chǎn)品的年銷售量(即該廠的年產(chǎn)量) x萬件與年促銷費(fèi)用m萬元(m≥0)滿足 x= 4?2m+1. 已知生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定成本為 8萬元，生產(chǎn)成本為16萬元 / 萬件，廠家將產(chǎn)品的銷售價(jià)格定為8+16xx萬元 / 萬件 (產(chǎn)品年平均成本)的1.5倍.
(1)將2022年該產(chǎn)品的利潤(rùn)y萬元表示為年促銷費(fèi)用m萬元的函數(shù)；
(2)該廠家2022年的促銷費(fèi)用投入多少萬元時(shí)，廠家的利潤(rùn)最大？
19．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知x，y，z∈0,+∞．
(1)若x+y=1，證明：4x+4y≤48；
(2)若x+y+z=1，證明yx+zy+xz>1+z?z．
考點(diǎn)要求
真題統(tǒng)計(jì)
考情分析
(1)了解基本不等式的推導(dǎo)過程
(2)會(huì)用基本不等式解決最值問題
(3)理解基本不等式在實(shí)際問題中的應(yīng)用
2020年天津卷：第14題，5分
2021年乙卷：第8題，5分
2022年I卷：第12題，5分
2023年新高考I卷：第22題，12分
基本不等式及其應(yīng)用是每年高考的必考內(nèi)容，從近幾年的高考情況來看，對(duì)基本不等式的考查比較穩(wěn)定，考查內(nèi)容、頻率、題型難度均變化不大，應(yīng)適當(dāng)關(guān)注利用基本不等式大小判斷、求最值和求取值范圍的問題；同時(shí)要注意基本不等式在立體幾何、平面解析幾何等內(nèi)容中的運(yùn)用.
不等式
內(nèi)容
等號(hào)成立條件
重要不等式
a2+b2≥2ab(a,b∈R)
當(dāng)且僅當(dāng)“a=b”時(shí)取“=”
基本不等式
eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)(a>0,b>0)
當(dāng)且僅當(dāng)“a=b”時(shí)取“=”

相關(guān)試卷

相關(guān)試卷更多

相關(guān)試卷

相關(guān)試卷 更多

相關(guān)試卷更多