TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc22276" 【題型1 不等式性質(zhì)的應(yīng)用】 PAGEREF _Tc22276 \h 2
\l "_Tc17274" 【題型2 比較數(shù)（式）的大小】 PAGEREF _Tc17274 \h 3
\l "_Tc1419" 【題型3 證明不等式】 PAGEREF _Tc1419 \h 5
\l "_Tc26929" 【題型4 利用不等式的性質(zhì)求目標(biāo)式的取值范圍】 PAGEREF _Tc26929 \h 7
\l "_Tc16419" 【題型5 不等式的綜合問(wèn)題】 PAGEREF _Tc16419 \h 9
\l "_Tc30541" 【題型6 糖水不等式】 PAGEREF _Tc30541 \h 12
1、不等關(guān)系與不等式性質(zhì)
【知識(shí)點(diǎn)1 等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)】
1．等式的基本性質(zhì)
性質(zhì)1 如果a＝b，那么b＝a；
性質(zhì)2 如果a＝b，b＝c，那么a＝c；
性質(zhì)3 如果a＝b，那么a±c＝b±c；
性質(zhì)4 如果a＝b，那么ac＝bc；
性質(zhì)5 如果a＝b，c≠0，那么eq \f(a,c)＝eq \f(b,c).
2．不等式的性質(zhì)
(1)如果a>b，那么bb?bb，b>c，那么a>c.即a>b，b>c?a>c.
(3)如果a>b，那么a＋c>b＋c.
(4)如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，cd，那么a＋c>b＋d.
(6)如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd.
(7)如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n≥2)．
3．比較大小的基本方法
【方法技巧與總結(jié)】
1．應(yīng)用不等式的基本性質(zhì)，不能忽視其性質(zhì)成立的條件，特別提醒的是在解決有關(guān)不等式的判斷題時(shí)，有時(shí)可用特殊值驗(yàn)證法，以提高解題的效率.
2．比較數(shù)（式）的大小常用的方法有作差法、作商法.、直接應(yīng)用不等式的性質(zhì)、基本不等式、利用函數(shù)的單調(diào)性，需要靈活運(yùn)用方法求解.
【題型1 不等式性質(zhì)的應(yīng)用】
【例1】（2024·上海楊浦·二模）已知實(shí)數(shù)a，b，c，d滿足：a>b>0>c>d，則下列不等式一定正確的是（ ）
A．a(chǎn)+d>b+cB．a(chǎn)d>bcC．a(chǎn)+c>b+dD．a(chǎn)c>bd
【解題思路】舉例說(shuō)明判斷ABD；利用不等式的性質(zhì)推理判斷C.
【解答過(guò)程】對(duì)于ABD，取a=2,b=1,c=?2,d=?4，滿足a>b>0>c>d，
顯然a+d=?20>c>d，則a+c>b+d，C正確.
故選：C.
【變式1-1】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）“xx2+y2，則xyb時(shí)，a2>b2,a>b不一定成立，故A,C不符合題意；
因?yàn)閒x=x3是定義在R上單調(diào)遞增的奇函數(shù)，
所以當(dāng)實(shí)數(shù)a,b滿足a>b時(shí)，則a3>b3，故B符合題意；
因?yàn)閒x=x?1在?∞,0,0,+∞上單調(diào)遞減，
所以當(dāng)實(shí)數(shù)a,b滿足a>b時(shí)，a?1>b?1不一定成立，不符合題意.
故選：B.
【變式1-3】（2023·貴州遵義·模擬預(yù)測(cè)）已知a,b,x均為實(shí)數(shù)，下列不等式恒成立的是（ ）
A．若a0，但無(wú)法判定a?b與1的大小，所以B錯(cuò)誤；
當(dāng)c≤0時(shí)，ac≤bc，故D錯(cuò)誤；
因?yàn)閍?b>0，所以5a?b>50=1，故C正確.
故選：C.
【變式2-2】（2023·北京東城·一模）已知x0B．x+1x0D．csx+x>0
【解題思路】利用作差法可判斷A、B選項(xiàng)的正誤，利用正弦、余弦值的有界性可判斷C、D選項(xiàng)的正誤.綜合可得出結(jié)論.
【解答過(guò)程】∵x0，x+1x+2=x2+2x+1x=x+12x0，csx+xb>a>0，則（ ）
A．a(chǎn)bbc>acbbB．2lnbb?cbD．lgac>lgbc
【解題思路】利用不等式的基本性質(zhì)，并對(duì)選項(xiàng)化簡(jiǎn)，轉(zhuǎn)化，判斷對(duì)錯(cuò)即可.
【解答過(guò)程】解：選項(xiàng)A中，由于abbcacbb=ab?cbc?b=abb?c>1，所以abbc>acbb成立；故A正確；
選項(xiàng)B中，2lnb=lnb2，lna+lnc=lnac，b2與ac大小不能確定，故B錯(cuò)誤；
選項(xiàng)C中，由于a?ca?b?cb=a?b1+caba+b.
【解題思路】根據(jù)題意，化簡(jiǎn)得到a2b+b2a?a+b=(a?b)2(a+b)ab，結(jié)合不等式的性質(zhì)，即可得證.
【解答過(guò)程】證明：因?yàn)閍2b+b2a?a+b=a3+b3?a2b?ab2ab=a2(a?b)?b2(a?b)ab=(a?b)2(a+b)ab，
又因?yàn)閍>0,b>0，所以(a?b)2(a+b)ab≥0，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立，
所以a2b+b2a>a+b.
【變式3-1】（22-23高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）證明下列不等式：
(1)已知a>b，e>f，c>0，求證f?acb>0,cbc，∴?acf，即fb，
故選：D.
3．（2023·湖南岳陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知1

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