知識(shí)點(diǎn)1 用直接開平方法解一元二次方程
1.(2022河北唐山期中)老師出示問題:“解方程x2-16=0”,四位同學(xué)給出了以下答案:小琪:x=4;子航:x1=x2=4;一帆:x1=x2=-4;萱萱:x=±4.其中答案正確的是( )
A.小琪 B.子航 C.一帆 D.萱萱
2.(2022天津紅橋期中)一元二次方程(x+1)2=2可以轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程,其中一個(gè)一元一次方程為x+1=2,則另一個(gè)一元一次方程為( )
A.x-1=2 B.x+1=2C.x+1=-2 D.x+1=-2
3.(2022廣東深圳期中)一元二次方程(x-1)2=4的解是( )
A.x1=3,x2=-1 B.x=3C.x=1 D.x1=3,x2=0
4.(2021河北唐山樂亭期中)若關(guān)于x的方程(x-1)2=m+1有解,則m的取值范圍是( )
A.m≤-1 B.m≥-1C.m為任意實(shí)數(shù) D.m>0
5.若關(guān)于x的一元二次方程ax2=b(ab>0)的兩個(gè)根分別是m+1與2m-4,則ab= .
6.解方程:
(1)4x2-25=0;(2)(4x+1)2-169=0;(3)x2-6x+9=8;(4)4(2x-1)2-25(x+1)2=0.
知識(shí)點(diǎn)2 用配方法解一元二次方程
7.(2021海南中考)用配方法解方程x2-6x+5=0,配方后所得的方程是( )
A.(x+3)2=-4 B.(x-3)2=-4C.(x+3)2=4 D.(x-3)2=4
8.小馬用配方法解關(guān)于x的一元二次方程4x2-bx+c=0時(shí),先移項(xiàng)得到4x2-bx=-c,然后系數(shù)化為1時(shí),方程右邊忘記除以4,得到(x-2)2=7,則正確的變形為( )
A.(x+2)2=194 B.(x-2)2=34C.(x-2)2=194 D.(x-2)2=16
9.(2022獨(dú)家原創(chuàng))若關(guān)于x的一元二次方程x2-px+m=a可以通過配方寫成(x-n)2=a-2的形式,那么m,n之間的關(guān)系是( )
A.m=n+2 B.m=n-2C.m=n2+2 D.m=n2-2
10.(2022獨(dú)家原創(chuàng))將一元二次方程x2-8x+13=0化成(x-m)2=n的形式,則(m-n)2 022= .
11.用配方法解下列方程.
(1)x2-2x-2=0;(2)14x2-6x+3=0;(3)2x2-1=4x.
能力提升全練
12.(2021浙江麗水中考,6,)用配方法解方程x2+4x+1=0時(shí),配方結(jié)果正確的是( )
A.(x-2)2=5 B.(x-2)2=3C.(x+2)2=5 D.(x+2)2=3
13.(2022河南洛陽月考,8,)將方程x2-4x-1=0轉(zhuǎn)化成(x+m)2=n的形式,則m+n的值是( )
A.-1 B.3 C.5 D.7
14.若方程4x2-(m-2)x+1=0的左邊可以寫成一個(gè)完全平方式,則m的值為( )
A.-2 B.-2或6C.-2或-6 D.2或-6
15.(2022河北邯鄲永年期中,5,)在解方程2x2+4x+1=0時(shí),小思與小博對(duì)方程進(jìn)行如下配方:
對(duì)于兩人的做法,說法正確的是( )
A.兩人都正確 B.小思正確,小博不正確C.小思不正確,小博正確 D.兩人都不正確
16.已知關(guān)于x的方程x2+4x+n=0可以配方成(x+m)2=3,則(m-n)2= .
17.若方程2x2+8x-32=0能配方成(x+p)2+q=0的形式,則直線y=px+q不經(jīng)過的象限是 .
素養(yǎng)探究全練
18.一元二次方程x2+6x+n=0可配方(x+m)2=5,則以m,n為兩邊長(zhǎng)的等腰三角形的周長(zhǎng)為 .
19.[數(shù)學(xué)建模](2021江蘇南京期中)觀察下列式子:
x2+4x+2=(x2+4x+4)-2=(x+2)2-2,
∵(x+2)2≥0,∴x2+4x+2=(x+2)2-2≥-2,
原式有最小值,是-2;
-x2+2x-3=-(x2-2x+1)-2=-(x-1)2-2,
∵-(x-1)2≤0,∴-x2+2x-3=-(x-1)2-2≤-2,原式有最大值,是-2.
完成下列問題:
(1)求代數(shù)式2x2-4x+1的最小值;
(2)解決實(shí)際問題:在緊靠圍墻的空地上,利用圍墻,用一段長(zhǎng)為100米的木柵欄圍成一個(gè)長(zhǎng)方形花圃(如圖),設(shè)花圃中垂直于圍墻的一邊的長(zhǎng)度為x米,完成下列任務(wù).
①用含x的式子表示花圃的面積;
②請(qǐng)說明當(dāng)x取何值時(shí),花圃的面積最大,花圃的最大面積是多少平方米?
答案全解全析
基礎(chǔ)過關(guān)全練
1.D ∵x2-16=0,∴x2=16,∴x1=4,x2=-4.
2.C ∵(x+1)2=2,∴x+1=±2,∴x+1=2或x+1=-2,所以另一個(gè)一元一次方程為x+1=-2.
3.A 兩邊開平方,得x-1=±2,解得x1=3,x2=-1.
4.B 由題意得m+1≥0,∴m≥-1.故選B.
5.14
解析 由題意知兩個(gè)根互為相反數(shù),
∴m+1+2m-4=0,∴m=1,
∴m+1=2,
∴x2=ba=(m+1)2=4,∴ab=14.
6.解析 (1)∵4x2-25=0,
∴4x2=25,∴x2=254,
∴x1=52,x2=-52.
(2)∵(4x+1)2-169=0,∴(4x+1)2=169,兩邊直接開平方,得4x+1=±43,解得x1=112,x2=-712.
(3)原方程可化為(x-3)2=8,
∴x-3=±22,∴x=3±22,
∴x1=3+22,x2=3-22.
(4)移項(xiàng),得4(2x-1)2=25(x+1)2,
整理,得[2(2x-1)]2=[5(x+1)]2,
直接開平方,得2(2x-1)=±5(x+1),
即2(2x-1)=5(x+1)或2(2x-1)=-5(x+1),
解得x1=-7,x2=-13.
7.D 移項(xiàng),得x2-6x=-5,配方,得x2-6x+9=-5+9,即(x-3)2=4.
8.C 將方程(x-2)2=7展開得x2-4x+4=7,即x2-4x=3.∵系數(shù)化為1時(shí),方程右邊忘記除以4,∴正確的變形為x2-4x=34,配方得x2-4x+4=34+4,即(x-2)2=194.故選C.
9.C 方程x2-px+m=a移項(xiàng),得x2-px=a-m,配方,得x2-px+-p22=a-m+-p22,即x-p22= a-m+-p22,∴n=p2,a-m+-p22= a-2,∴m=-p22+2,即m=n2+2.
10.1
解析 移項(xiàng),得x2-8x=-13,配方,得x2-8x+16=-13+16,即(x-4)2=3,∴m=4,n=3,∴(m-n)2 022=(4-3)2 022=1.
11.解析 (1)移項(xiàng)得x2-2x=2,配方得(x-1)2=3,所以x-1=±3,所以x1=3+1,x2=-3+1.
(2)二次項(xiàng)系數(shù)化為1,得x2-24x+12=0.移項(xiàng),得x2-24x=-12.配方,得x2-24x+144=132,即(x-12)2=132.∴x-12=±233.
∴x1=233+12,x2=-233+12.
(3)二次項(xiàng)系數(shù)化為1,得x2-12=2x.移項(xiàng),得x2-2x=12.配方,得x2-2x+1=12+1,即(x-1)2=32.∴x-1=±62.∴x1=62+1,x2=-62+1.
能力提升全練
12.D 方程x2+4x+1=0,移項(xiàng)得x2+4x=-1,配方得x2+4x+4=-1+4,即(x+2)2=3.
13.B 移項(xiàng),得x2-4x=1,配方,得x2-4x+4=1+4,即(x-2)2=5,∴m=-2,n=5,∴m+n=-2+5=3.
14.B 根據(jù)題意知,-(m-2)=±2×2×1,∴m-2=±4,即m-2=-4或m-2=4,∴m=-2或m=6.
15.A 小思的做法:2x2+4x=-1,移項(xiàng)正確,x2+2x=-12,二次項(xiàng)系數(shù)化為1,變形正確,x2+2x+1=-12+1,方程的兩邊都加1,正確,(x+1)2=12,變形正確.故小思的做法正確.小博的做法:2x2+4x=-1,移項(xiàng)正確,4x2+8x=-2,方程的兩邊都乘2,變形正確,4x2+8x+4=-2+4,方程的兩邊都加4,變形正確,(2x+2)2=2,變形正確.故小博的做法正確.故兩人的做法都正確.故選A.
16.1
解析 由(x+m)2=3,得x2+2mx+m2-3=0,∴2m=4,m2-3=n,∴m=2,n=1,∴(m-n)2=1.
17.第二象限
解析 方程可整理為x2+4x=16,配方,得x2+4x+4=20,即(x+2)2=20,整理,得(x+2)2-20=0,∴p=2,q=-20,∴直線的解析式為y=2x-20,此直線經(jīng)過第一、三、四象限,不經(jīng)過第二象限.
素養(yǎng)探究全練
18.10或11
解析 方程x2+6x+n=0配方,得(x+3)2=9-n,∴m=3,9-n=5,即n=4.當(dāng)3為等腰三角形的腰長(zhǎng)時(shí),三邊長(zhǎng)分別為3,3,4,則周長(zhǎng)為3+3+4=10;當(dāng)4為等腰三角形的腰長(zhǎng)時(shí),三邊長(zhǎng)分別為3,4,4,則周長(zhǎng)為3+4+4=11.
19.解析 (1)2x2-4x+1=2(x2-2x+1-1)+1=2(x-1)2-1,∵(x-1)2≥0,∴2x2-4x+1=2(x-1)2-1≥-1,原式有最小值,是-1.
(2)①花圃的面積:x(100-2x)=(-2x2+100x)平方米.
②-2x2+100x=-2(x-25)2+1 250,
由題意得x>0,100-2x>0,則0

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21.2.1 配方法

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