知識點1 一元二次方程的定義及一般形式
1.(2022上海奉賢期中)下列方程中,一定是一元二次方程的是( )
A.ax2+1=0(a為常數(shù)) B.x2=2C.x+1x=0 D.x2+y=0
2.(2022獨家原創(chuàng))若a為常數(shù),下列方程中,一定是一元二次方程的是( )
A.(a2+1)x2+2x+1=0 B.(a+1)2x2+5x-1=0C.(a2-1)x2-2x+3=0 D.(a-1)2x2+3x=0
3.將下列方程化為二次項系數(shù)是“1”的一般形式后,一次項系數(shù)和常數(shù)項都是正整數(shù)的是( )
A.3x2+2x+6=0 B.(x+2)(x-3)=5C.12(x+4)2=6 D.-x2-4=0
4.(2022湖北武漢期中)關(guān)于x的方程x2a-1+x=5是一元二次方程,則a的值為 .
5.(2021四川成都新都月考)關(guān)于x的方程(m2-4)x2+(m-2)x-2=0,當m滿足 時,方程為一元二次方程,當m滿足 時,方程為一元一次方程.
6.把下列方程化為一元二次方程的一般形式,并寫出其中的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項.
(1)2x2=1-3x;(2)5x(x-2)=4x2-3x.
知識點2 一元二次方程的根
7.(2022福建南平期中)若x=1是關(guān)于x的一元二次方程x2-mx+3=0的一個解,則m的值是( )
A.6 B.5 C.4 D.3
8.(教材P4變式題)若x=1是方程x2-m2=0的一個根,則m的值為 .
9.已知m是一元二次方程2x2+3x-1=0的根,則式子4m2+6m+2 020的值為 .
10.(1)填表:
(2)觀察表格,哪些數(shù)是一元二次方程x2-4x=-3的根?
知識點3 根據(jù)實際問題列出一元二次方程
11.(2022重慶南川期中)元旦節(jié)時,為表示慶賀,某班同學都向全班其他同學各送一張賀卡,全班共送出1 980張賀卡,如果全班有x名同學,根據(jù)題意,列出方程為( )
A.x(x+1)=1 980 B.x(x-1)=1 980C.12x(x+1)=1 980 D.12x(x-1)=1 980
12.(2019山西中考)如圖,在一塊長12 m,寬8 m的矩形空地上,修建同樣寬的兩條互相垂直的道路(兩條道路各與矩形的一條邊平行),剩余部分栽種花草,且栽種花草的面積為77 m2,設(shè)道路的寬為x m,則根據(jù)題意,可列方程為 .
能力提升全練
13.(2021貴州黔東南中考,6,)若關(guān)于x的一元二次方程x2-ax+6=0的一個根是2,則a的值為( )
A.2 B.3 C.4 D.5
14.(2022河南南陽期中,5,)方程(m-1)x|m|+1-3x=7是關(guān)于x的一元二次方程,則有( )
A.m=1 B.m=-1 C.m=±1 D.m≠±1
15.(2021廣西桂林中考,12,)為執(zhí)行國家藥品降價政策,給人民群眾帶來實惠,某藥品經(jīng)過兩次降價,每盒零售價由16元降為9元,設(shè)平均每次降價的百分率是x,則根據(jù)題意,下列方程正確的是( )
A.16(1-x)2=9 B.9(1+x)2=16C.16(1-2x)=9 D.9(1+2x)=16
16.如圖,某學校計劃在一塊長12米,寬9米的矩形空地修建兩塊形狀、大小相同的矩形種植園,它們的面積之和為60平方米,兩塊種植園之間及周邊留有寬度相等的人行通道,若設(shè)人行通道的寬度為x米,則可以列出關(guān)于x的方程為( )
A.x2-17x-16=0 B.2x2+17x-16=0C.2x2-17x-16=0 D.2x2-17x+16=0
17.已知m是一元二次方程x2+x-6=0的一個根,則代數(shù)式m2+m的值等于 .
18.方程(3x+2)(2x-3)=5化為一般形式是 ;其中二次項系數(shù)是 .
19.已知關(guān)于x的一元二次方程(a+4)x2-2x+a2=16的常數(shù)項是0,則a= .
20.若2n(n≠0)是關(guān)于x的方程x2-2mx+2n=0的根,則m-n的值為 .
答案全解全析
基礎(chǔ)過關(guān)全練
1.B 當a=0時,ax2+1=0不是一元二次方程;x2=2是一元二次方程;x+1x=0是分式方程,不是整式方程;x2+y=0中含兩個未知數(shù),不是一元二次方程.
2.A 二次項系數(shù)中,只有a2+1>0,(a+1)2,a2-1,(a-1)2都有可能等于0,故A一定是一元二次方程,B、C、D都不一定是一元二次方程.
3.C 方程3x2+2x+6=0化為x2+23x+2=0,不符合題意;方程(x+2)(x-3)=5化為x2-x-11=0,不符合題意;方程12(x+4)2=6化為x2+8x+4=0,符合題意;方程-x2-4=0化為x2+4=0,不符合題意.故選C.
4.1.5
解析 由題意得2a-1=2,解得a=1.5.
5.m≠±2;m=-2
解析 若關(guān)于x的方程(m2-4)x2+(m-2)x-2=0為一元二次方程,則m2-4≠0,解得m≠±2,即當m≠±2時,方程為一元二次方程.若關(guān)于x的方程(m2-4)x2+(m-2)x-2=0是一元一次方程,則m2-4=0,且m-2≠0,解得m=-2,即當m=-2時,方程為一元一次方程.
6.解析 (1)方程2x2=1-3x化成一般形式為2x2+3x-1=0,二次項系數(shù)為2,一次項系數(shù)為3,常數(shù)項為-1.
(2)方程5x(x-2)=4x2-3x化成一般形式為x2-7x=0,二次項系數(shù)為1,一次項系數(shù)為-7,常數(shù)項為0.
7.C 把x=1代入x2-mx+3=0,得1-m+3=0,解得m=4.
8.±1
解析 把x=1代入方程,得12-m2=0,解得m=±1.
9.2 022
解析 把x=m代入2x2+3x-1=0,得2m2+3m-1=0,則2m2+3m=1.所以4m2+6m+2 020=2(2m2+3m)+2 020=2+2 020=2 022.
10.解析 (1)填表如下:
(2)觀察表格可知,當x=1或x=3時,x2-4x=-3,所以1和3是方程x2-4x=-3的根.
11.B ∵全班有x名同學,∴每名同學要送出賀卡(x-1)張,∴互送賀卡共x(x-1)張,則有x(x-1)=1 980.
12.(12-x)(8-x)=77
解析 若將兩條道路向矩形相應(yīng)兩邊平移,則栽種花草的空地為矩形,長為(12-x)m,寬為(8-x)m,則面積為(12-x)(8-x)m2,由題意,得(12-x)(8-x)=77.
能力提升全練
13.D ∵關(guān)于x的一元二次方程x2-ax+6=0的一個根是2,∴22-2a+6=0,解得a=5.故選D.
14.B 由題意得|m|+1=2且m-1≠0,解得m=-1.
15.A 原來藥品每盒零售價為16元,平均每次降價的百分率是x,則第一次降價后每盒零售價為16(1-x)元,第二次降價后每盒零售價為16(1-x)2元,可列方程為16(1-x)2=9.
16.D 人行通道的寬度為x米,由題意,得(12-3x)(9-2x)=60,化簡整理得2x2-17x+16=0.
17.6
解析 將x=m代入方程x2+x-6=0,得m2+m-6=0,即m2+m=6.
18.6x2-5x-11=0;6
解析 去括號得6x2-9x+4x-6=5,移項得6x2-9x+4x-6-5=0,合并同類項得6x2-5x-11=0,故一般形式為6x2-5x-11=0,二次項系數(shù)為6.
19.4
解析 原方程整理為(a+4)x2-2x+a2-16=0,
∵常數(shù)項是0,
∴a2-16=0,解得a=4或a=-4,
又∵a+4≠0,
∴a≠-4,
∴a=4.
20.12
解析 ∵2n是方程x2-2mx+2n=0的根,
∴4n2-4mn+2n=0,又n≠0,
∴4n-4m+2=0,∴m-n=12.x
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
x2-4x
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
x2-4x
21
12
5
0
-3
-4
-3
0

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