知識點(diǎn)1 用因式分解法解一元二次方程
1.一元二次方程x(x-3)=0的根是( )
A.3 B.3和-3C.0和3 D.0和-3
2.下列方程中,不適合用因式分解法求解的是( )
A.(x-2)2-4x2=0 B.2x(x-2)=4xC.x2-5x+3=0 D.(2x+1)2=6x+3
3.已知(x+3)(x-2)+6=x2+x,則一元二次方程x2+x-6=0的根是( )
A.x1=3,x2=-2 B.x1=-3,x2=2C.x1=3,x2=2 D.x1=-3,x2=-2
4.(2022江蘇東臺月考)已知一個(gè)一元二次方程的兩根分別是3和-2,則這個(gè)一元二次方程可以是( )
A.x2-x+6=0 B.x2+5x-6=0C.x2-x-6=0 D.x2+x-6=0
5.已知方程(x+1)(x+a)=0有一個(gè)根是x=3,則a= .
6.用因式分解法解一元二次方程(3x-4)2-25=0時(shí),要轉(zhuǎn)化成兩個(gè)一元一次方程求解,其中的一個(gè)方程是3x-4+5=0,則另一個(gè)方程是 .
7.如圖是一個(gè)簡單的數(shù)值運(yùn)算程序,當(dāng)輸出的值為0時(shí),輸入的x的值為 .
輸入x→計(jì)算(x-3)(x+5)→輸出
8.解下列方程:
(1)x2-4x=0;(2)(x-2)2=3x-6.
知識點(diǎn)2 選擇合適的方法解一元二次方程
9.解方程7(8x+3)=(8x+3)2的最佳方法應(yīng)是 法,它的解是 .
10.解方程:
(1)x2=2x;(2)(3x-1)2=25;(3)(x-3)(x-1)=9.
能力提升全練
11.(6,)方程x2-x=56的根是( )
A.x1=7,x2=8 B.x1=7,x2=-8C.x1=-7,x2=8 D.x1=-7,x2=-8
12.()一元二次方程(x+2)(x-4)=x-4的解是( )
A.-2 B.-1C.-1和4 D.-2和4
13.()若菱形兩條對角線的長度是方程x2-6x+8=0的兩根,則該菱形的邊長為( )
A.5 B.4 C.25 D.5
14.()若實(shí)數(shù)x、y滿足(x2+y2-3)(x2+y2)-4=0,則x2+y2的值為( )
A.-1 B.-1或4 C.4 D.1或-4
15.()方程(x+3)2=x+3的解是 .
16.()解方程:
(1)2(x-3)2=x2-9;(2)x2-3x-14=0.
素養(yǎng)探究全練
17.[數(shù)學(xué)運(yùn)算]我們知道可以用公式x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)來分解因式解一元二次方程.如:x2+6x+8=0,因式分解,得(x+2)(x+4)=0.愛鉆研的小明同學(xué)發(fā)現(xiàn)二次項(xiàng)系數(shù)不是1的一元二次方程也可以借助此方法求解.如:3x2-7x+2=0,因式分解,得(x-2)(3x-1)=0,從而可以快速求出方程的解為x1=2,x2=13.利用此方法可求得方程4x2-8x-5=0的解為 .
18.[數(shù)學(xué)運(yùn)算]解答問題:
(1)x4-5x2+6=0;(2)x2+3x-x2+3x-2=0.
答案全解全析
基礎(chǔ)過關(guān)全練
1.C ∵x(x-3)=0,∴x=0或x-3=0,解得x1=0,x2=3.
2.C A項(xiàng),(x-2)2-4x2=0左邊可用平方差公式分解因式;B項(xiàng),2x(x-2)=4x可變形為2x(x-2)-4x=0,左邊可用提公因式法分解因式;C項(xiàng),x2-5x+3=0不能用因式分解法求解;D項(xiàng),原方程可變形為(2x+1)2-3(2x+1)=0,左邊可用提公因式法分解因式.
3.B 由題意知方程x2+x-6=0可化為(x+3)(x-2)=0,則x+3=0或x-2=0,
解得x1=-3,x2=2.故選B.
4.C ∵方程的兩根分別是3和-2,∴該方程可以是(x-3)(x+2)=0,即x2-x-6=0.
5.-3
解析 由(x+1)(x+a)=0,得x+1=0或x+a=0,∴x1=-1,x2=-a.∵方程(x+1)(x+a)=0有一個(gè)根是x=3,∴-a=3,∴a=-3.
6.3x-4-5=0
解析 方程(3x-4)2-25=0因式分解,得[(3x-4)+5]·[(3x-4)-5]=0,即(3x-4+5)(3x-4-5)=0,于是有3x-4+5=0或3x-4-5=0,∴另一個(gè)方程是3x-4-5=0.
7.3或-5
解析 由題意得(x-3)(x+5)=0,于是有x-3=0或x+5=0,解得x=3或x=-5.
8.解析 (1)因式分解,得x(x-4)=0,
∴x=0或x-4=0,解得x1=0,x2=4.
(2)移項(xiàng),得(x-2)2-3x+6=0,整理得(x-2)2-3(x-2)=0,因式分解,得(x-2)(x-2-3)=0,于是有x-2=0或x-5=0,∴x1=2,x2=5.
9.因式分解;x1=-38,x2=12
解析 由于方程兩邊都有(8x+3)這樣的整體,所以最佳方法是因式分解法.移項(xiàng)得7(8x+3)-(8x+3)2=0,因式分解得(8x+3)(7-8x-3)=0,即4(8x+3)(1-2x)=0,∴8x+3=0或1-2x=0,∴x1=-38,x2=12.
10.解析 (1)移項(xiàng),得x2-2x=0,因式分解,得x(x-2)=0,于是有x=0或x-2=0,∴x1=0,x2=2.
(2)(3x-1)2=25,開方,得3x-1=±5,
即3x-1=5或3x-1=-5,∴x1=2,x2=-43.
(3)整理,得x2-4x+3=9,配方,得x2-4x+4=10,
即(x-2)2=10,開方,得x-2=±10,
∴x1=2+10,x2=2-10.
能力提升全練
11.C ∵x2-x=56,∴x2-x-56=0,則(x-8)(x+7)=0,∴x-8=0或x+7=0,解得x1=8,x2=-7.
12.C 移項(xiàng),得(x+2)(x-4)-(x-4)=0,因式分解,得(x-4)(x+1)=0,∴x-4=0或x+1=0,解得x1=4,x2=-1.
13.A 解方程x2-6x+8=0得x1=4,x2=2,由題意畫圖,如圖,四邊形ABCD是菱形,AC=4,BD=2,則∠AOD=90°,AO=OC=2,BO=DO=1,由勾股定理得AD=22+12=5.故選A.
14.C 設(shè)z=x2+y2,原方程可變?yōu)閦2-3z-4=0,整理得(z-4)(z+1)=0,∴z-4=0或z+1=0,∴z1=4,z2=-1.∵x2+y2≥0,∴x2+y2=4.
15.x1=-3,x2=-2
解析 移項(xiàng)得(x+3)2-(x+3)=0,因式分解得(x+3)·(x+2)=0,∴x+3=0或x+2=0,解得x1=-3,x2=-2.
16.解析 (1)整理,得2(x-3)2-(x+3)(x-3)=0,
因式分解,得(x-3)(x-9)=0,
于是有x-3=0或x-9=0,∴x1=3,x2=9.
(2)∵a=1,b=-3,c=-14,
∴Δ=(-3)2-4×1×-14=4>0,
則x=-b±b2-4ac2a=3±22,∴x1=3+22,x2=3-22.
素養(yǎng)探究全練
17.x1=52,x2=-12
解析 4x2-8x-5=0可化為(2x-5)(2x+1)=0,
∴2x-5=0或2x+1=0,∴x1=52,x2=-12.
解析 (1)設(shè)x2=t,則原方程可變形為t2-5t+6=0,∴(t-2)(t-3)=0,∴t=2或t=3.當(dāng)x2=2時(shí),x1=2,x2=-2;當(dāng)x2=3時(shí),x3=3,x4=-3.
∴原方程的解為x1=2,x2=-2,x3=3,x4=-3.
設(shè)x2+3x=y(y≥0),則x2+3x=y2,所以原方程可化為y2-y-2=0,
∴(y-2)(y+1)=0,∴y=2或y=-1(舍去).當(dāng)y=2時(shí),x2+3x=2.兩邊平方,得x2+3x=4.∴x2+3x-4=0.∴(x+4)(x-1)=0.∴x1=-4,x2=1.經(jīng)檢驗(yàn),x1=-4,x2=1是原方程的解,∴原方程的解為x1=-4,x2=1.

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21.2.3 因式分解法

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