考點(diǎn)01：分布列均值和方差的性質(zhì)
1．某城市采用搖號買車的方式，有20萬人搖號，每個月?lián)u上的人退出搖號，沒有搖上的人繼續(xù)進(jìn)入下月?lián)u號，每個月都有人補(bǔ)充進(jìn)搖號隊(duì)伍，每個季度第一個月?lián)u上的概率為，第二個月為，第三個月為，則平均每個人搖上需要的時間為（ ）個月.
A．7B．8C．9D．10
2．有甲、乙兩個不透明的袋子，甲袋子里有1個白球，乙袋子里有5個白球和5個黑球，現(xiàn)從乙袋子里隨機(jī)取出個球放入甲袋子里，再從甲袋子里隨機(jī)取出一個球，記取到的白球的個數(shù)為，則當(dāng)變大時（ ）
A．變小B．先變小再變大
C．變大D．先變大再變小
3．克拉麗絲有一枚不對稱的硬幣.每次擲出后正面向上的概率為，她擲了次硬幣，最終有10次正面向上.但她沒有留意自己一共擲了多少次硬幣.設(shè)隨機(jī)變量表示每擲次硬幣中正面向上的次數(shù)，現(xiàn)以使最大的值估計(jì)的取值并計(jì)算.(若有多個使最大，則取其中的最小值).下列說法正確的是（ ）
A．B．
C．D．與10的大小無法確定
4．下列說法中，正確命題的個數(shù)為（ ）
① 已知隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，若，則.
②對具有線性相關(guān)關(guān)系的變量，，其線性回歸方程為，若樣本點(diǎn)的中心為，則實(shí)數(shù)的值是.
③以模型去擬合一組數(shù)據(jù)時，為了求出回歸方程，設(shè)，求得線性回歸方程為，則、的值分別是和.
④若樣本數(shù)據(jù)的方差為，則數(shù)據(jù):的方差為16
A．0個B．1個C．2個 D．3個
5．下列命題中，不正確的是（ ）
A．若隨機(jī)變量，則
B．若隨機(jī)變量，且，則
C．若x>0，，則的最小值為
D．兩個隨機(jī)變量的相關(guān)系數(shù)越大，兩個變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)
6．下列命題錯誤的是（ ）
A．兩個隨機(jī)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近于1
B．設(shè)，若，，則
C．線性回歸直線一定經(jīng)過樣本點(diǎn)的中心
D．一個袋子中有100個大小相同的球，其中有40個黃球、60個白球，從中不放回地隨機(jī)摸出20個球作為樣本，用隨機(jī)變量X表示樣本中黃球的個數(shù)，則X服從二項(xiàng)分布，且
7．若隨機(jī)變量的可能取值為，且（），則（ ）
A．B．C．D．
8．設(shè)，，是不全相等的實(shí)數(shù)，隨機(jī)變量取值為，，的概率都是，隨機(jī)變量取值為，，的概率也都是，則（ ）
A．，B．，
C．，D．，
9．某人在次射擊中擊中目標(biāo)的次數(shù)為，，其中，，擊中奇數(shù)次為事件，則（ ）
A．若，，則取最大值時
B．當(dāng)時，取得最小值
C．當(dāng)時，隨著的增大而增大
D．當(dāng)時，隨著的增大而減小
10．下列說法不正確的是（ ）
A．一組數(shù)據(jù)1，4，14，6，13，10，17，19的25％分位數(shù)為5
B．一組數(shù)據(jù)，3，2，5，7的中位數(shù)為3，則的取值范圍是
C．若隨機(jī)變量，則方差
D．若隨機(jī)變量，且，則
考點(diǎn)02：超幾何分布
11．一箱蘋果共有12個蘋果，其中有個是爛果，從這箱蘋果中隨機(jī)抽取3個．恰有2個爛果的概率為，則（ ）
A．3B．4C．5D．6
12．2024年“與輝同行”直播間開播，董宇輝領(lǐng)銜7位主播從“心”出發(fā)，其中男性5人，女性3人，現(xiàn)需排班晚8：00黃金檔，隨機(jī)抽取兩人，則男生人數(shù)的期望為（ ）
A．B．C．D．
13．某商場推出一種抽獎活動：盒子中裝有有獎券和無獎券共10張券，客戶從中任意抽取2張，若至少抽中1張有獎券，則該客戶中獎，否則不中獎.客戶甲每天都參加1次抽獎活動，一個月（30天）下來，發(fā)現(xiàn)自己共中獎11次，根據(jù)這個結(jié)果，估計(jì)盒子中的有獎券有（ ）
A．1張B．2張C．3張D．4張
14．袋中有6個大小相同的黑球，編號為，還有4個同樣大小的白球，編號為，現(xiàn)從中任取4個球，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
①取出的最大號碼服從超幾何分布；
②取出的黑球個數(shù)服從超幾何分布；
③取出2個白球的概率為；
④若取出一個黑球記2分，取出一個白球記1分，則總得分最大的概率為
A．①②B．②④C．③④D．①③④
15．下列說法正確的為（ ）
A．某高中為了解在校學(xué)生對參加某項(xiàng)社會實(shí)踐活動的意向，擬采用分層抽樣的方法從該校三個年級的學(xué)生中抽取一個容量為60的樣本．已知該校高一、高二、高三年級學(xué)生數(shù)之比為5:4:3，則應(yīng)從高三年級中抽取14名學(xué)生
B．10件產(chǎn)品中有8件正品，2件次品，若從這10件產(chǎn)品中任取2件，則恰好取到1件次品的概率為
C．若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，，則
D．設(shè)某校男生體重（單位：kg）與身高（單位：cm）具有線性相關(guān)關(guān)系，根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)，用最小二乘法建立的回歸方程為，若該校某男生的身高為170cm，則可斷定其體重為62.5kg
16．在一次“概率”相關(guān)的研究性活動中，老師在每個箱子中裝了4個小球，其中3個是白球，1個是黑球，用兩種方法讓同學(xué)們來摸球.方法一：在20箱中各任意摸出一個小球；方法二：在10箱中各任意摸出兩個小球.將方法一、二至少能摸出一個黑球的概率分別記為和，則（ ）
A．B．
C．D．以上三種情況都有可能
17．2021年1月18日，國家統(tǒng)計(jì)局公布我國2020年GDP總量首次突破100萬億元，這是我國經(jīng)濟(jì)里程碑式的新飛躍.尤其第三產(chǎn)業(yè)增長幅度較大，現(xiàn)抽取6個企業(yè)，調(diào)查其第三產(chǎn)業(yè)產(chǎn)值增長量分別為0.4，0.6，1.2，1.2，1.8，2.0(單位：十萬元)，若增長量超過1.5(十萬元)可評為優(yōu)秀企業(yè)，現(xiàn)從6個企業(yè)中隨機(jī)抽取兩個，則恰好有一個優(yōu)秀企業(yè)的概率為（ ）
A．B．C．D．
18．《易系辭上》有“河出圖，洛出書”之說，河圖、洛書是中華文化，陰陽術(shù)數(shù)之源，其中河圖排列結(jié)構(gòu)是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中.如圖，白圈為陽數(shù)，黑點(diǎn)為陰數(shù).若從這個數(shù)中任取個數(shù)，則這個數(shù)中至少有個陽數(shù)的概率為（ ）
A．B．C．D．
19．紋樣是中國傳統(tǒng)文化的重要組成部分，它既代表著中華民族的悠久歷史、社會的發(fā)展進(jìn)步，也是世界文化藝術(shù)寶庫中的巨大財(cái)富．小楠從小就對紋樣藝術(shù)有濃厚的興趣．收集了如下9枚紋樣徽章，其中4枚鳳紋徽章，5枚龍紋徽章．小楠從9枚徽章中任取3枚，則其中至少有一枚鳳紋徽章的概率為（ ）．
A．B．C．D．
20．一個班級共有30名學(xué)生，其中有10名女生，現(xiàn)從中任選三人代表班級參加學(xué)校開展的某項(xiàng)活動，假設(shè)選出的3名代表中的女生人數(shù)為變量X，男生的人數(shù)為變量Y，則等于
A．B．
C．D．
考點(diǎn)03：二項(xiàng)分布及二項(xiàng)分布的概率最大問題
21．在概率論中，全概率公式指的是：設(shè)為樣本空間，若事件兩兩互斥，，則對任意的事件，有．若甲盒中有2個白球、2個紅球、1個黑球，乙盒中有個白球、3個紅球、2個黑球，現(xiàn)從甲盒中隨機(jī)取出一個球放入乙盒，再從乙盒中隨機(jī)取出一個球，若從甲盒中取出的球和從乙盒中取出的球顏色相同的概率大于等于，則的最大值為 ．
22．近年來，我國外賣業(yè)發(fā)展迅猛，外賣小哥穿梭在城市的大街小巷成為一道亮麗的風(fēng)景線．某外賣小哥每天來往于4個外賣店（外賣店的編號分別為），約定：每天他首先從1號外賣店取單，叫做第1次取單，之后，他等可能的前往其余3個外賣店中的任何一個店取單叫做第2次取單，依此類推．假設(shè)從第2次取單開始，他每次都是從上次取單的店之外的3個外賣店取單，設(shè)事件第次取單恰好是從1號店取單是事件發(fā)生的概率，顯然，則
23．馬爾科夫鏈?zhǔn)歉怕式y(tǒng)計(jì)中的一個重要模型，也是機(jī)器學(xué)習(xí)和人工智能的基石，為狀態(tài)空間中經(jīng)過從一個狀態(tài)到另一個狀態(tài)的轉(zhuǎn)換的隨機(jī)過程，該過程要求具備“無記憶”的性質(zhì)：下一狀態(tài)的概率分布只能由當(dāng)前狀態(tài)決定，在時間序列中它前面的事件均與之無關(guān).甲口袋中各裝有1個黑球和2個白球，乙口袋中裝有2個黑球和1個白球，現(xiàn)從甲、乙兩口袋中各任取一個球交換放入另一口袋，重復(fù)進(jìn)行n（）次這樣的操作，記口袋甲中黑球的個數(shù)為，恰有1個黑球的概率為，則的值是 ；的數(shù)學(xué)期望是 .
24．甲、乙、丙三個人去做相互傳球訓(xùn)練，訓(xùn)練規(guī)則是確定一人第一次將球傳出，每次傳球時，傳球者都等可能地將球傳給另外兩個人中的任何一人，每次必須將球傳出．如果第一次由甲將球傳出，設(shè)次傳球后球在甲手中的概率為，則 ； ．
25．如圖是一塊高爾頓板的示意圖，在一塊木板上釘著若干排相互平行但相互錯開的圓柱形小木釘，小木釘之間留有適當(dāng)?shù)目障蹲鳛橥ǖ?，前面擋有一塊玻璃．將小球從頂端放入，小球下落的過程中，每次碰到小木釘后都等可能地向左或向右落下，后落入底部的格子中．記格子從左到右的編號分別為，用表示小球最后落入格子的號碼，若，則 .
26．為銘記歷史、緬懷先烈，增強(qiáng)愛國主義情懷，某學(xué)校開展共青團(tuán)知識競賽活動．在最后一輪晉級比賽中，甲、乙、丙三名同學(xué)回答一道有關(guān)團(tuán)史的問題，每個人回答正確與否互不影響．已知甲回答正確的概率為，甲、丙兩人都回答正確的概率是，乙、丙兩人都回答正確的概率是．若規(guī)定三名同學(xué)都回答這個問題，則甲、乙、丙三名同學(xué)中至少有1人回答正確的概率為 ；若規(guī)定三名同學(xué)搶答這個問題，已知甲、乙、丙搶到答題機(jī)會的概率分別為，，，則這個問題回答正確的概率為 ．
27．已知一道解答題有兩小問，每小問5分，共10分.現(xiàn)每十個人中有六人能夠做出第一問，但在第一問做不出的情況下，第二問做出的概率為0.1；第一問做出的情況下，第二問做不出的概率為0.6.用頻率估計(jì)概率，則此題得滿分的概率是 ；得0分的概率是 .
28．甲和乙兩個箱子中各裝有5個大小相同的小球，其中甲箱中有3個紅球、2個白球，乙箱中有4個紅球、1個白球，從甲箱中隨機(jī)抽出2個球，在已知至少抽到一個紅球的條件下，則2個球都是紅球的概率為 ；擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，如果點(diǎn)數(shù)小于等于4，從甲箱子中隨機(jī)抽出1個球；如果點(diǎn)數(shù)大于等于5，從乙箱子中隨機(jī)抽出1個球，若抽到的是紅球，則它是來自乙箱的概率是 .
29．某單位為了提高員工身體素質(zhì)，開展雙人投籃比寒，現(xiàn)甲?乙兩人為一組參加比賽，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若投中，則此人繼續(xù)投籃，若未投中，則換為對方投籃，無論之前投籃的情況如何，甲每次投籃的命中率均為，乙每次投籃的命中率均為.由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲?乙的概率各為.第2次投籃的人是甲的概率為 ；已知在第2次投籃的人是乙的情況下，第1次投籃的人是甲的概率為 .
30．學(xué)習(xí)小組為了研究手機(jī)對學(xué)生學(xué)習(xí)的影響，對本學(xué)校學(xué)生手機(jī)使用情況統(tǒng)計(jì)分析有以下結(jié)果：若學(xué)生前一天沒有玩手機(jī)，則接下來一天也不玩手機(jī)的概率為0.7，若學(xué)生前一天玩手機(jī)，接下來一天也玩手機(jī)的概率為0.8. 已知一個學(xué)生第一天沒玩手機(jī)，根據(jù)這個統(tǒng)計(jì)結(jié)果計(jì)算，那么他第二天玩手機(jī)的概率為 ，第三天不玩手機(jī)的概率為 .
考點(diǎn)04：正態(tài)分布?？碱}型
31．若隨機(jī)變量，且，則 ．
32．正態(tài)分布在區(qū)間和上取值的概率為，，則二者的大小關(guān)系為 ．
33．某生產(chǎn)線正常生產(chǎn)下生產(chǎn)的產(chǎn)品的一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)近似服從正態(tài)分布，若，則實(shí)數(shù)的值為 .
34．李明記錄了自己50次坐公交車所花的時間為（單位：分鐘），經(jīng)數(shù)據(jù)分析發(fā)現(xiàn)服從正態(tài)分布，平均時間為36分鐘，方差為36，則 .
35．某次數(shù)學(xué)練習(xí)中，學(xué)生成績X服從正態(tài)分布,若，則從參加這次考試的學(xué)生中任意選取3名學(xué)生，至少有2名學(xué)生的成績高于125的概率是 ．
36．隨機(jī)變量的概率分布密度函數(shù)，其圖象如圖所示，設(shè)，則圖中陰影部分的面積為 ．
37．某市統(tǒng)計(jì)高中生身體素質(zhì)狀況，規(guī)定身體素質(zhì)指標(biāo)值在內(nèi)就認(rèn)為身體素質(zhì)合格，在[60，84]內(nèi)就認(rèn)為身體素質(zhì)良好，在內(nèi)就認(rèn)為身體素質(zhì)優(yōu)秀，現(xiàn)從全市隨機(jī)抽取100名高中生的身體素質(zhì)指標(biāo)值，經(jīng)計(jì)算．若該市高中生的身體素質(zhì)指標(biāo)值服從正態(tài)分布，則估計(jì)該市高中生身體素質(zhì)良好的概率為 ．（用百分?jǐn)?shù)作答，精確到）
參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，．
38．已知某種零件的尺寸（單位：mm）在內(nèi)的為合格品．某企業(yè)生產(chǎn)的該種零件的尺寸X服從正態(tài)分布，且，則估計(jì)該企業(yè)生產(chǎn)的2000個零件中合格品的個數(shù)為 ．
39．某企業(yè)生產(chǎn)一種零部件，其質(zhì)量指標(biāo)介于的為優(yōu)品.技術(shù)改造前，該企業(yè)生產(chǎn)的該種零部件質(zhì)量指標(biāo)服從正態(tài)分布；技術(shù)改造后，該企業(yè)生產(chǎn)的同種零部件質(zhì)量指標(biāo)服從正態(tài)分布.那么，該企業(yè)生產(chǎn)的這種零部件技術(shù)改造后的優(yōu)品率與技術(shù)改造前的優(yōu)品率之差為 .（若，則，，）
40．小明所在的公司上午9：00上班，小明上班通常選擇自駕、公交或地鐵這三種方式.若小明選擇自駕，則從家里到達(dá)公司所用的時間(單位：分鐘)服從正態(tài)分布若小明選擇地鐵，則從家里到達(dá)公司所用的時間(單位：分鐘)服從正態(tài)分布；若小明選擇公交，則從家里到達(dá)公司所用的時間(單位：分鐘)服從正態(tài)分布.若小明上午8：12從家里出發(fā)，則選擇 上班遲到的可能性最小.(填“自駕”“公交”或“地鐵”)
參考數(shù)據(jù)：若則，，
考點(diǎn)05：獨(dú)立事件的乘法公式
41．目前不少網(wǎng)絡(luò)媒體都引入了虛擬主播，某視頻平臺引入虛擬主播，在第1天的直播中有超過100萬次的觀看．
(1)已知小李第1天觀看了虛擬主播的直播，若小李前一天觀看了虛擬主播的直播，則當(dāng)天觀看虛擬主播的直播的概率為，若前一天沒有觀看虛擬主播的直播，則當(dāng)天觀看虛擬主播的直播的概率為，求小李第2天與第3天至少有一天觀看虛擬主播的直播的概率；
(2)若未來10天內(nèi)虛擬主播的直播每天有超過100萬次觀看的概率均為，記這10天中每天有超過100萬次觀看的天數(shù)為．
①判斷為何值時，最大；
②記，求．
42．甲、乙兩名圍棋學(xué)員進(jìn)行圍棋比賽，規(guī)定每局比賽勝者得1分，負(fù)者得0分，平局雙方均得0分，比賽一直進(jìn)行到一方比另一方多兩分為止，多得兩分的一方贏得比賽．已知每局比賽中，甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，兩人平局的概率為，且每局比賽結(jié)果相互獨(dú)立．
(1)若，求進(jìn)行4局比賽后甲學(xué)員贏得比賽的概率；
(2)當(dāng)時，
（i）若比賽最多進(jìn)行5局，求比賽結(jié)束時比賽局?jǐn)?shù)的分布列及期望的最大值；
（ii）若比賽不限制局?jǐn)?shù)，求“甲學(xué)員贏得比賽”的概率（用表示）．
43．某箱中有個除顏色之外均相同的球，已知.箱中1個球?yàn)榘浊?，其余為黑?現(xiàn)在該箱中進(jìn)行一取球?qū)嶒?yàn):每次從箱中等可能地取出一個球，若取出白球或取球次后結(jié)束實(shí)驗(yàn)，否則進(jìn)行相應(yīng)操作進(jìn)行下一次取球.設(shè)實(shí)驗(yàn)結(jié)束時的取球次數(shù)為.
(1)若取出黑球后放回箱中，求的數(shù)學(xué)期望;
(2)若取出黑球后替換為白球放回箱中，求的最大值，并證明:.
44．希望中學(xué)高三（8）班擬舉辦為期兩天的氣排球比賽，晏老師從體育室拿了4個排球放入球車中提供使用，4個排球中有2個新球與2個舊球，比賽當(dāng)天從球車中隨機(jī)取出2個球進(jìn)行比賽，賽完后新球變成舊球放回球車.設(shè)第1天與第2天賽完后球車中舊球數(shù)量分別為和.
(1)求的分布列與數(shù)學(xué)期望.
(2)求與.
45．小李參加一種紅包接龍游戲：他在紅包里塞了元，然后發(fā)給朋友，如果猜中，將獲得紅包里的所有金額；如果未猜中，將當(dāng)前的紅包轉(zhuǎn)發(fā)給朋友，如果猜中，、平分紅包里的金額；如果未猜中，將當(dāng)前的紅包轉(zhuǎn)發(fā)給朋友，如果猜中，、和平分紅包里的金額；如果未猜中，紅包里的錢將退回小李的賬戶，設(shè)、、猜中的概率分別為，，，且、、是否猜中互不影響．
(1)求恰好獲得元的概率；
(2)設(shè)獲得的金額為元，求的分布列及的數(shù)學(xué)期望．
46．小林有五張卡片，他等概率的在每張卡片上寫下1，2，3，4，5中的某個數(shù)字．
(1)求五張卡片上的數(shù)字都不相同的概率；
(2)證明：這五張卡片上最大的數(shù)字最可能是5．
47．甲、乙兩人進(jìn)行足球射門訓(xùn)練，設(shè)有I、II兩個射門區(qū)，約定如下：每人隨機(jī)選擇I區(qū)內(nèi)射門或II區(qū)內(nèi)射門，在I區(qū)內(nèi)射門，進(jìn)球得1分，不進(jìn)球得0分；在II區(qū)內(nèi)射門，進(jìn)球得3分，不進(jìn)球得0分.已知甲每次在I區(qū)內(nèi)射門進(jìn)球的概率均為，每次在II區(qū)內(nèi)射門進(jìn)球的概率均為；乙每次在I區(qū)內(nèi)射門進(jìn)球的概率均為，每次在II區(qū)內(nèi)射門進(jìn)球的概率均為，且甲、乙兩人射門進(jìn)球與否互不影響（甲、乙各完成一次射門為一次射門訓(xùn)練）.
(1)在一次射門訓(xùn)練中，求甲、乙都得0分的概率；
(2)若3次射門訓(xùn)練中，表示甲、乙得分相等的射門訓(xùn)練次數(shù)，求隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望.
48．陽春三月，油菜花進(jìn)入最佳觀賞期，長沙縣江背鎮(zhèn)、望城光明村彭家老屋、瀏陽達(dá)滸油菜花田、岳麓區(qū)含泰社區(qū)油菜花田都免費(fèi)向市民、游客開放，長沙某三所高級中學(xué)A，B，C組織學(xué)生去這四個景區(qū)春游，已知A，B兩所學(xué)校去每個景區(qū)春游的可能性都相同，C學(xué)校去岳麓區(qū)含泰社區(qū)春游的可能性為，去其它三個景區(qū)春游的可能性相同.
(1)求望城光明村彭家老屋迎來三所學(xué)校春游的概率；
(2)長沙縣江背鎮(zhèn)迎來學(xué)校所數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望.
49．某校甲、乙兩個數(shù)學(xué)興趣班要進(jìn)行擴(kuò)招，經(jīng)過數(shù)學(xué)興趣班的海報(bào)宣傳，共有4名數(shù)學(xué)愛好者a，b，c，d報(bào)名參加（字母編號的排列是按照報(bào)名的先后順序而定）．現(xiàn)通過一個小游戲進(jìn)行分班，規(guī)則如下：在一個不透明的箱子中放有紅球和黑球各2個，紅球和黑球除顏色不同之外，其余大小、形狀完全相同，按報(bào)名先后順序，先由第一名數(shù)學(xué)愛好者從箱子中不放回地摸出1個小球，再另取完全相同的紅球和黑球各1個放入箱子中；接著由下一名數(shù)學(xué)愛好者從箱子中不放回地摸出1個小球后，再放入完全相同的紅球和黑球各1個，如此重復(fù)，直至4名數(shù)學(xué)愛好者均摸球完畢．?dāng)?shù)學(xué)愛好者若摸出紅球，則被分至甲班，否則被分至乙班．
(1)求a，b，c三名數(shù)學(xué)愛好者均被分至同一個興趣班的概率；
(2)記甲、乙兩個興趣班最終擴(kuò)招的人數(shù)分別為e，f，記，求．
50．學(xué)校團(tuán)委和工會聯(lián)合組織教職員工進(jìn)行益智健身活動比賽.經(jīng)多輪比賽后，由教師甲?乙作為代表進(jìn)行決賽.決賽共設(shè)三個項(xiàng)目，每個項(xiàng)目勝者得10分，負(fù)者得-5分，沒有平局.三個項(xiàng)目比賽結(jié)束后，總得分高的獲得冠軍.已知教師甲在三個項(xiàng)目中獲勝的概率分別為，各項(xiàng)目的比賽結(jié)果相互獨(dú)立.甲?乙獲得冠軍的概率分別記為.
(1)求甲教師總得分為0分的概率；
(2)判斷甲?乙獲得冠軍的實(shí)力是否有明顯差別（若，則認(rèn)為甲?乙獲得冠軍的實(shí)力有明顯差別，否則認(rèn)為沒有明顯差別.）.

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