（1）求該同學(xué)第二天中午選擇米飯?zhí)撞偷母怕剩?
（2）記該同學(xué)第天選擇米飯?zhí)撞偷母怕蕿椋?br>（i）證明：為等比數(shù)列；
（ii）證明：當(dāng)時(shí)，．
【答案】（1）；（2）（i）證明見(jiàn)解析；（ii）證明見(jiàn)解析.
【解析】（1）設(shè)“第天選擇米飯?zhí)撞汀?，“第天選擇米飯?zhí)撞汀保?br>則“第天不選擇米飯?zhí)撞汀保?br>根據(jù)題意，，，．
由全概率公式，得．
（2）（i）設(shè)“第天選擇米飯?zhí)撞汀?，則，，
根據(jù)題意，．
由全概率公式，得．
因此．
因?yàn)椋?br>所以是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列．
（ii）由（i）可得．
當(dāng)為大于的奇數(shù)時(shí)，．
當(dāng)為正偶數(shù)時(shí)，．
因此當(dāng)時(shí)，．
2．（2021·江蘇昆山·周市高級(jí)中學(xué)）學(xué)校趣味運(yùn)動(dòng)會(huì)上設(shè)置了一項(xiàng)射擊比賽，比賽規(guī)則如下：選手先向靶射擊2次，每擊中靶中陰影部分一次記1分，未擊中記0分，2次射擊總得分為，若，直接結(jié)束比賽；若，再向靶射擊2次，2次都擊中靶中陰影部分記1分，只中1次記0分，2次都沒(méi)中記分，比賽結(jié)束；若，再向靶射擊2次，每擊中靶中陰影部分一次記1分，未擊中記0分，比賽結(jié)束（其中靶兩圓半徑比為1：2，靶陰影部分是大正方形的四邊中點(diǎn)連接而成的小正方形，靶陰影部分是大正三角形三邊中點(diǎn)連接而成的小正三角形）．若甲同學(xué)參加比賽，賽前甲同學(xué)不脫靶的概率為，為了讓參賽者適應(yīng)射擊環(huán)境，賽前有5次試射機(jī)會(huì)，經(jīng)過(guò)試射后甲每次射擊都不脫靶，擊中靶中任意位置可能性相等，各次射擊相互獨(dú)立．
（1）設(shè)甲在賽前5次試射中僅在第3次脫靶的概率為，當(dāng)取最大值時(shí)，求的值；
（2）求甲同學(xué)獲得的總分的分布列及數(shù)學(xué)期望．
【答案】（1）；（2）分布列見(jiàn)詳解，.
【解析】（1）由題意可得
所以
所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減
所以當(dāng)時(shí)取得最大值
（2）由圖可得，每次擊中靶陰影部分的概率為
每次擊中靶陰影部分的概率為
每次擊中靶陰影部分的概率為
的可能取值有
所以的分布列為
所以
3（2021·池州市第一中學(xué)高三模擬預(yù)測(cè)（理））某科技企業(yè)投資2億元生產(chǎn)一種供5G智能手機(jī)使用的芯片，該芯片因生產(chǎn)原因其性能存在著一定的差異，該企業(yè)為掌握芯片的性能情況，從所生產(chǎn)的芯片中隨機(jī)抽取了200片進(jìn)行了性能測(cè)試，得到其性能指標(biāo)值的頻數(shù)分布表如下所示(同一組數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)的區(qū)間中點(diǎn)值作代表).
利用樣本估計(jì)總體的思想，解決下列問(wèn)題：
（1）估計(jì)該科技企業(yè)所生產(chǎn)的芯片性能指標(biāo)值的平均數(shù)；
（2）每塊芯片的性能等級(jí)和純利潤(rùn)(單位：元/片，)如下表所示：
（i）從該科技企業(yè)所生產(chǎn)的芯片中隨機(jī)抽取3片芯片，試求至少有2片芯片為級(jí)或級(jí)芯片的概率；
（ii）若該科技企業(yè)該芯片的年產(chǎn)量為200萬(wàn)片，其中次品直接報(bào)廢處理，其他芯片全部能被手機(jī)廠商收購(gòu)，問(wèn)：該企業(yè)兩年之內(nèi)是否有可能收回總投資？試說(shuō)明理由.參考數(shù)據(jù)：.
【答案】（1）平均數(shù)為70.5分；（2）（i）；（ii）兩年之內(nèi)能收回總投資，理由見(jiàn)解析.
【解析】（1）由題意知，樣本平均數(shù)為.
所以可以估計(jì)該科技企業(yè)所生產(chǎn)的芯片性能指標(biāo)值的平均數(shù)為70.5分.
（2）（i）由題意知芯片為級(jí)或級(jí)芯片的概率，
則從該科技企業(yè)所生產(chǎn)的芯片中隨機(jī)抽取3片芯片，至少有2片芯片為級(jí)或級(jí)芯片的概率為.
（ii）由題意可知，該芯片的性能指標(biāo)值與對(duì)應(yīng)概率如下表所示：()
故每塊芯片的純利潤(rùn)，
記，則，
令，得，
故當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，
(元).
4．（2021·山東煙臺(tái)·）如圖是一個(gè)質(zhì)地均勻的轉(zhuǎn)盤(pán)，一向上的指針固定在圓盤(pán)中心，盤(pán)面分為A，B，C三個(gè)區(qū)域每次轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán)時(shí)，指針最終都會(huì)隨機(jī)停留在A，B，C中的某一個(gè)區(qū)域現(xiàn)有一款游戲：每局交10元錢隨機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)上述轉(zhuǎn)盤(pán)3次；每次轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán)時(shí)，指針停留在區(qū)域A，B，C分別獲得積分10，5，0；三次轉(zhuǎn)動(dòng)后的總積分不超過(guò)5分時(shí)獲獎(jiǎng)金2元，超過(guò)25分時(shí)獲獎(jiǎng)金50元，其余情況獲獎(jiǎng)金5元.假設(shè)每次轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán)相互獨(dú)立，且指針停留在區(qū)域A，B的概率分別是p和.
（1）設(shè)某人在一局游戲中獲得總積分為5的概率為，求的最大值點(diǎn)；
（2）以（1）中確定的作為值，某人進(jìn)行了5局游戲，設(shè)“在一局游戲中獲得的總積分不低于5”的局?jǐn)?shù)為，求的數(shù)學(xué)期望；
（3）有人注意到：很多玩家進(jìn)行了大量局?jǐn)?shù)的該游戲，不但沒(méi)賺到錢，反而輸?shù)迷絹?lái)越多.請(qǐng)用概率統(tǒng)計(jì)的相關(guān)知識(shí)給予解釋.
【答案】（1）；（2）；（3）答案見(jiàn)解析.
【解析】（1）由題可知，
所以，令，得或(舍去)，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，故的最大值點(diǎn).
（2）由（1）知，所以每一局游戲中總積分不低于5的概率
，
由題意可知，所以.
（3）設(shè)每一局游戲中獲得的獎(jiǎng)金數(shù)為X，則X的所有可能取值為2，5，50；
，
，
，
所以
，
令，則，.
因?yàn)樵趩握{(diào)遞增，所以，在單調(diào)遞增，
.
所以，每局游戲獲得獎(jiǎng)金的期望遠(yuǎn)低于所交的錢數(shù)，玩得越多，輸?shù)迷蕉?
5．（2021·山東任城·濟(jì)寧一中）由于“新冠肺炎”對(duì)抵抗力差的人的感染率相對(duì)更高，特別是老年人群體，因此某社區(qū)在疫情控制后，及時(shí)給老年人免費(fèi)體檢，通過(guò)體檢發(fā)現(xiàn)“高血糖，高血脂，高血壓”，即“三高”老人較多.為此社區(qū)根據(jù)醫(yī)生的建議為每位老人提供了一份詳細(xì)的健康安排表，還特地建設(shè)了一個(gè)老年人活動(dòng)中心，老年人每天可以到該活動(dòng)中心去活動(dòng)，以增強(qiáng)體質(zhì)，通過(guò)統(tǒng)計(jì)每周到活動(dòng)中心去運(yùn)動(dòng)的老年人的活動(dòng)時(shí)間，得到了以下頻率分布直方圖.
（1）從到活動(dòng)中心參加活動(dòng)的老人中任意選取5人.
①若將頻率視為概率，求至少有3人每周活動(dòng)時(shí)間在[8，9)(單位：)的概率；
②若抽取的5人中每周活動(dòng)時(shí)間在[8，11](單位：)的人數(shù)為2人，從5人中選出3人進(jìn)行健康情況調(diào)查，記3人中每周活動(dòng)時(shí)間在[8，11](單位：h)的人數(shù)為ξ，求ξ的分布列和期望；
（2）將某人的每周活動(dòng)時(shí)間量與所有老人的每周平均活動(dòng)時(shí)間量比較，當(dāng)超出所有老人的每周平均活動(dòng)量不少于0.74時(shí)，則稱該老人為“活動(dòng)愛(ài)好者”，從參加活動(dòng)的老人中隨機(jī)抽取10人，且抽到k人為“活動(dòng)愛(ài)好者”的可能性最大，試求k的值.(每組數(shù)據(jù)以區(qū)間的中點(diǎn)值為代表)
【答案】（1）①；②分布列答案見(jiàn)解析，數(shù)學(xué)期望：；（2）2.
【解析】解：（1）由圖表的直方圖可知，
事件“到活動(dòng)中心參加活動(dòng)的老人任意選取1人，每周活動(dòng)時(shí)間在[8，9)內(nèi)”概率為p=，
記“至少有3人每周活動(dòng)時(shí)間在[8，9)(單位：h)”為事件A，
則；
隨機(jī)變量ξ所以可能的取值為0，1，2，
則，
ξ的分布列如下：
故；
（2）老人的周活動(dòng)時(shí)間的平均值為：
6.5×0.06+7.5×0.35+8.5×0.40+9.5×0.15+10.5×0.04=8.26(h)，
則老人中“活動(dòng)愛(ài)好者”的活動(dòng)時(shí)間為[9，11]，
參加活動(dòng)的老人中為“活動(dòng)愛(ài)好者”的概率為P=0.19，
若從參加活動(dòng)的老人中隨機(jī)抽取10人，且抽到X人為“活動(dòng)愛(ài)好者”，
則X~B(10，0.19)，
若k人的可能性最大，則，
由，
即
且，
解得：1.09≤k≤2.09，由于，故k=2.
6（2021·安徽大觀·安慶一中高三三模（理））安慶市某學(xué)校高三年級(jí)開(kāi)學(xué)之初增加晚自習(xí)，晚飯?jiān)谛Ｊ程镁筒腿藬?shù)增多，為了緩解就餐壓力，學(xué)校在原有一個(gè)餐廳的基礎(chǔ)上增加了一個(gè)餐廳，分別記做餐廳甲和餐廳乙，經(jīng)過(guò)一周左右統(tǒng)計(jì)調(diào)研分析：前一天選擇餐廳甲就餐第二天選擇餐廳甲就餐的概率是25%?選擇餐廳乙就餐的概率為75%，前一天選擇餐廳乙就餐第二天選擇餐廳乙就餐的概率是50%?選擇餐廳甲就餐的概率也為50%，如此往復(fù).假設(shè)學(xué)生第一天選擇餐廳甲就餐的概率是，擇餐廳乙就餐的概率是，記某同學(xué)第n天選擇甲餐廳就餐的概率為.
（1）記某班級(jí)的3位同學(xué)第二天選擇餐廳甲的人數(shù)為X，求X的分布列，并求E(X)；
（2）請(qǐng)寫(xiě)出與的遞推關(guān)系；
（3）求數(shù)列的通項(xiàng)公式并幫助學(xué)校解決以下問(wèn)題：為提高學(xué)生服務(wù)意識(shí)和團(tuán)隊(duì)合作精神，學(xué)校每天從20個(gè)班級(jí)中每班抽調(diào)一名學(xué)生志愿者為全體學(xué)生提供就餐服務(wù)工作，根據(jù)上述數(shù)據(jù)，如何合理分配到餐廳甲和餐廳乙志愿者人數(shù)？請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】（1）分布列答案見(jiàn)解析，；
（2）；
（3）分配到餐廳甲和餐廳乙志愿者人數(shù)8人和12人，理由見(jiàn)解析.
【解析】（1）某同學(xué)第二天選擇餐廳甲就餐的概率，
某同學(xué)第二天選擇餐廳乙就餐的概率，
位同學(xué)第二天選擇餐廳甲就餐的人數(shù)為，則.
，
的分布列為
故.
（2）依題意，，即.
（3）由（2）知，則
當(dāng)時(shí)，可得，
數(shù)列是首項(xiàng)為公比為的等比數(shù)列.
，即.
，
所以，分配到餐廳甲的志愿者人數(shù)為，分配到餐廳乙的志愿者人數(shù)為.
7．（2021·山東高三模擬預(yù)測(cè)）某商場(chǎng)擬在年末進(jìn)行促銷活動(dòng)，為吸引消費(fèi)者，特別推出“玩游戲，送禮券“的活動(dòng)，游戲規(guī)則如下：每輪游戲都拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子（形狀為正方體，六個(gè)面的點(diǎn)數(shù)分別為1，2，3，4，5，6），若向上點(diǎn)數(shù)不超2點(diǎn)，獲得1分，否則獲得2分，進(jìn)行若干輪游戲，若累計(jì)得分為19分，則游戲結(jié)束，可得到200元禮券，若累計(jì)得分為20分，則游戲結(jié)束，可得到紀(jì)念品一份，最多進(jìn)行20輪游戲．
（1）當(dāng)進(jìn)行完3輪游戲時(shí)，總分為X，求X的期望；
（2）若累計(jì)得分為i的概率為，（初始得分為0分，）．
①證明數(shù)列，（i＝1，2，…，19）是等比數(shù)列；
②求活動(dòng)參與者得到紀(jì)念品的概率．
【答案】（1）5；（2）①證明見(jiàn)解析；②．
【解析】（1）由題意可知每輪游戲獲得1分的概率為，獲得2分的概率為，設(shè)進(jìn)行完3輪游戲時(shí)，得1分的次數(shù)為，所以，，而，即隨機(jī)變量X可能取值為3，4，5，6，
，，
，．
∴X的分布列為：
E（X）＝＝5．
（2）①證明：n＝1，即累計(jì)得分為1分，是第1次擲骰子，向上點(diǎn)數(shù)不超過(guò)2點(diǎn)，，則，累計(jì)得分為i分的情況有兩種：
（Ⅰ）i＝（i﹣2）＋2，即累計(jì)得i﹣2分，又?jǐn)S骰子點(diǎn)數(shù)超過(guò)2點(diǎn)，其概率為，
（Ⅱ）累計(jì)得分為i﹣1分，又?jǐn)S骰子點(diǎn)數(shù)沒(méi)超過(guò)2點(diǎn)，得1分，其概率為，
∴，∴，（i＝2，3，???，19），∴數(shù)列，（i＝1，2，…，19）是首項(xiàng)為﹣，公比為﹣的等比數(shù)列．
②∵數(shù)列，（i＝1，2，…，19）是首項(xiàng)為﹣，公比為﹣的等比數(shù)列，
∴，
∴，，???，，
各式相加，得：，
∴，（i＝1，2，???，19），
∴活動(dòng)參與者得到紀(jì)念品的概率為：
．
8．（2021·重慶高三模擬預(yù)測(cè)）在某地暴發(fā)的新型病毒分為?兩種類型，為了解感染此種病毒的類型與年齡的關(guān)系，該地疾控中心隨機(jī)抽取了部分新型病毒感染者進(jìn)行調(diào)查.據(jù)統(tǒng)計(jì)，型病毒感染者人數(shù)是型病毒感染者人數(shù)的2倍，在型病毒感染者中60歲以上的人數(shù)是其他人數(shù)的5倍，在B型病毒感染者中60歲以上的人數(shù)是其他人數(shù)的一半.
（1）若根據(jù)卡方檢驗(yàn)，有超過(guò)99.5%的把握認(rèn)為“感染新型病毒的類型與年齡有關(guān)”，則抽取的型病毒感染者至少有多少人？
（2）醫(yī)療機(jī)構(gòu)研發(fā)了針對(duì)這種新型病毒的兩種治療藥物甲和乙，經(jīng)過(guò)實(shí)驗(yàn)室試驗(yàn)知乙種藥物治療新型病毒有效的概率是甲種藥物的2倍.某地欲引進(jìn)甲?乙兩種藥物對(duì)患者進(jìn)行治療，按規(guī)定，需要對(duì)兩種藥物進(jìn)行臨床試驗(yàn).甲種藥物共進(jìn)行兩輪試驗(yàn)，每輪試驗(yàn)中若連續(xù)2次有效或試驗(yàn)3次時(shí)，本輪試驗(yàn)結(jié)束；乙種藥物先進(jìn)行3次試驗(yàn)，若至少2次有效，則試驗(yàn)結(jié)束，否則再進(jìn)行3次試驗(yàn)后方可結(jié)束.假定兩種藥物每次試驗(yàn)是否有效均互相獨(dú)立，且兩種藥物的每次試驗(yàn)費(fèi)用相同.請(qǐng)結(jié)合以上針對(duì)兩種藥物的臨床試驗(yàn)方案，估計(jì)哪種藥物的試驗(yàn)費(fèi)用較低？
附：(其中)
【答案】（1）12；（2）甲種藥物試驗(yàn)平均花費(fèi)較低.
【解析】（1）設(shè)感染型患者為人，則感染型患者為人，
60歲以上的患者人數(shù)分別，
由題意必有，
而，
所以，又因?yàn)闉檎麛?shù)，
故抽取的型病毒感染者至少有12人；
（2）設(shè)甲種藥物治療有效的概率為，每次試驗(yàn)花費(fèi)為，
則乙種藥物治療有效的概率為故，
設(shè)甲種藥物試驗(yàn)總花費(fèi)為，的可能取值為，
，
，
，
故，
設(shè)乙種藥物試驗(yàn)總花費(fèi)為，的可能取值為，
，
，
所以，
由
所以，
所以，
所以甲種藥物試驗(yàn)平均花費(fèi)較低.
9（2021·四川高三月考（理））某地盛產(chǎn)橙子，但橙子的品質(zhì)與當(dāng)?shù)氐臍庀笙嚓P(guān)指數(shù)有關(guān)，氣象相關(guān)指數(shù)入越高，橙子品質(zhì)越高，售價(jià)同時(shí)也會(huì)越高．某合作社統(tǒng)計(jì)了近10年的當(dāng)?shù)氐臍庀笙嚓P(guān)指數(shù)，得到了如下頻率分布直方圖．
（1）求的值；
（2）從近10年中任意抽取3年研究氣象指數(shù)對(duì)橙子品質(zhì)的影響，求這3年的氣象相關(guān)指數(shù)在之間的個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)期望；
（3）根據(jù)往年數(shù)據(jù)，該合作社的利潤(rùn)（單位：千元，利潤(rùn)=收入－投入）與每畝地的投入（單位：千元）和氣象相關(guān)指數(shù)的關(guān)系如下：，，氣象相關(guān)指數(shù)取何值時(shí)，能使對(duì)于任意的時(shí)該合作社都不虧損．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【解析】解：（1）由頻率分布直方圖的性質(zhì)可得：，得．
（2）由題意可知的取值可以是0，1，2，3．
，，
，，
所以的分布列為
則．
（3）要使對(duì)任意（千元）時(shí)，該合作社不虧損，
即有，變形得在上恒成立，
而，
設(shè)，，令解得，
所以函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，，
因?yàn)?，所以有，解得?br>即當(dāng)時(shí)，該合作社都不虧損．
10．（2021·安徽省泗縣第一中學(xué)高三模擬預(yù)測(cè)（理））某班級(jí)組織一場(chǎng)游戲活動(dòng)，盒子中有紅、藍(lán)兩種小球（除了顏色不同，形狀、大小、質(zhì)地均相同），其中紅、藍(lán)小球數(shù)量之比為2:1，每個(gè)小球被摸到的可能性相同.
（1）現(xiàn)在進(jìn)行有放回的摸球活動(dòng)，求在5次摸球中有3次都摸到紅球的概率；
（2）游戲規(guī)定：如果摸到紅球，則放回盒子，繼續(xù)進(jìn)行下一次摸球；如果摸到籃球，則游戲結(jié)束，規(guī)定摸球次數(shù)不超過(guò)次.若游戲結(jié)束時(shí)，隨機(jī)變量表示摸到紅球數(shù)量，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.
【答案】（1）；（2）分布列見(jiàn)解析，.
【解析】（1）依題意，隨機(jī)地摸球，摸到紅球的概率為，用表示“隨機(jī)地摸球，摸到紅球的個(gè)數(shù)”，則服從二項(xiàng)分布，即，∴其中摸到三個(gè)紅球的概率.
（2）的可能取值為：0，1，2，…，.
，，…，，.
所以的分布列為
的數(shù)學(xué)期望為：①，
②，
①-②得，
.
11．（2021·沙坪壩·重慶一中高三模擬預(yù)測(cè)）某5G傳輸設(shè)備由奇數(shù)根相同的光導(dǎo)纖維并聯(lián)組成，每根光導(dǎo)纖維能正常傳輸信號(hào)的概率均為，且每根光導(dǎo)纖維能否正常傳輸信號(hào)相互獨(dú)立．已知該設(shè)備中有超過(guò)一半的光導(dǎo)纖維能正常傳輸信號(hào)，這個(gè)5G傳輸設(shè)備才可以正常工作．記根光導(dǎo)纖維組成的這種5G傳輸設(shè)備可以正常工作的概率為．
（1）用p表示；
（2）當(dāng)時(shí)，證明：；
（3）為提高這個(gè)5G傳輸設(shè)備正常工作的概率，在這個(gè)傳輸設(shè)備上再并聯(lián)兩根相同規(guī)格的光導(dǎo)纖維，且新增光導(dǎo)纖維后的5G傳輸設(shè)備有超過(guò)一半的光導(dǎo)纖維能正常傳輸信號(hào)才可以正常工作．確定的取值范圍，使新增兩根光導(dǎo)纖維可以提高這個(gè)5G傳輸設(shè)備正常工作的概率．
【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析；（3）.
【解析】由題意知：要使5G傳輸設(shè)備可以正常工作，則至少有根光導(dǎo)纖維能正常傳輸信號(hào)，
∴，
（1）由上知：；
（2）當(dāng)時(shí)，有，而，
∴，故，得證；
（3）由題意，，
新增兩根光導(dǎo)纖維后，兩根都能正常工作、一根正常工作、兩根都不能正常工作，對(duì)應(yīng)該設(shè)備能正常工作的概率分別為，
∴，，，
∴，
∴使新增兩根光導(dǎo)纖維可以提高這個(gè)5G傳輸設(shè)備正常工作的概率，則，
∴，故時(shí)新增兩根光導(dǎo)纖維可以提高這個(gè)5G傳輸設(shè)備正常工作的概率．
12．（2021·山東煙臺(tái)二中高三三模）為紀(jì)念中國(guó)共產(chǎn)黨成立100周年，加深青少年對(duì)黨的歷史、黨的知識(shí)、黨的理論和路線方針的認(rèn)識(shí)，激發(fā)愛(ài)黨愛(ài)國(guó)熱情，堅(jiān)定走新時(shí)代中國(guó)特色社會(huì)主義道路的信心，某校舉辦了黨史知識(shí)競(jìng)賽．競(jìng)賽規(guī)則是：兩人一組，每一輪競(jìng)賽中，小組兩人分別答3道題，若答對(duì)題目不少于5道題，則獲得一個(gè)積分．已知甲乙兩名同學(xué)一組，甲同學(xué)和乙同學(xué)對(duì)每道題答對(duì)的概率分別是和，且每道題答對(duì)與否互不影響．
（1）若，，求甲乙同學(xué)這一組在一輪競(jìng)賽中獲得一個(gè)積分的概率；
（2）若，且每輪比賽互不影響，若甲乙同學(xué)這一組想至少獲得5個(gè)積分，那么理論上至少要進(jìn)行多少輪競(jìng)賽？
【答案】（1）；（2）15
【解析】（1）假設(shè)甲和乙答對(duì)的題目個(gè)數(shù)分別為和，
故所求概率
，
所以甲乙同學(xué)這一組在一輪競(jìng)賽中獲得一個(gè)積分的概率為；
（2）由（1）得
，
整理得，
因?yàn)榍?，所以?br>所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即，
令，則，
所以，則，
當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，，
甲乙兩同學(xué)在輪比賽中獲得的積分?jǐn)?shù)滿足，
所以由，即解得，
因?yàn)闉檎麛?shù)，所以至少為15，
所以若甲乙同學(xué)這一組想至少獲得5個(gè)積分，那么理論上至少要進(jìn)行15輪競(jìng)賽.
13．（2021·江蘇南通·高三模擬預(yù)測(cè)）在醫(yī)學(xué)上，為了加快對(duì)流行性病毒的檢測(cè)速度，常采用“混檢”的方法：隨機(jī)的將若干人的核酸樣本混在一起進(jìn)行檢測(cè)，若檢測(cè)結(jié)果呈陰性，則認(rèn)定該組每份樣本均為陰性，無(wú)需再檢測(cè)；若檢測(cè)結(jié)果呈陽(yáng)性，則還需對(duì)該組的每份樣本逐個(gè)重新檢測(cè)，以確定每份樣本是否為陽(yáng)性.設(shè)某流行性病毒的感染率為.
（1）若，混檢時(shí)每組10人，求每組檢測(cè)次數(shù)的期望值；
（2）混檢分組的方法有兩種：每組10人或30人.試問(wèn)這兩種分組方法的優(yōu)越性與的值是否有關(guān)？
(參考數(shù)據(jù)：，)
【答案】（1）1.489次；（2）分組方法的優(yōu)越性與的值有關(guān).
【解析】（1）設(shè)每組檢測(cè)的次數(shù)為，
則的可能取值為1，11.
，
.
所以的分布列為
所以.
所以每組檢測(cè)次數(shù)的期望值是1.489次.
（2）當(dāng)每組的人數(shù)為10人時(shí)，設(shè)每組檢測(cè)的次數(shù)為.
則的可能取值為1，11.
，.
所以的分布列為
所以.
當(dāng)每組的人數(shù)為30人時(shí)，設(shè)每組檢測(cè)的次數(shù)為.
則的可能取值為1，31.
；.
所以的分布列為
所以.
所以
.
解法一：設(shè)，，
則，
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增.
所以當(dāng)時(shí)，有最小值為；
當(dāng)或1時(shí)，有最大值為，
所以存在，，滿足，，
且，，使得.
當(dāng)時(shí)，，即，
此時(shí)，每組30人更優(yōu)越；
當(dāng)時(shí)，，即
此時(shí)，每組10人更優(yōu)越.
所以，分組方法的優(yōu)越性與的值有關(guān).
解法二：當(dāng)時(shí)，
，
即；
當(dāng)時(shí)，
，
即.
所以，分組方法的優(yōu)越性與的值有關(guān).
14．（2021·全國(guó)高三專題練習(xí)）早在南宋時(shí)期，我國(guó)數(shù)學(xué)家楊輝在1261年所著《詳解九章算術(shù)》一書(shū)里，就記載著下表：
這個(gè)表稱楊輝三角，它比歐洲發(fā)現(xiàn)此表的法國(guó)數(shù)學(xué)家帕斯卡至少要早五百年，由此可見(jiàn)，我國(guó)古代數(shù)學(xué)的成就是非常值得我們自豪的．
通過(guò)觀察楊輝三角數(shù)表你能發(fā)現(xiàn)它有哪些基本規(guī)律？它反映了組合數(shù)的哪些基本性質(zhì)？
【答案】答案見(jiàn)解析
【解析】楊輝三角用組合數(shù)形式數(shù)表為

由觀察楊輝三角知這張數(shù)表有如下基本性質(zhì)（n，，，）：
（1）橫行中與首末兩端等距離的兩個(gè)數(shù)相等，即；
（2）除1以外的任何一個(gè)數(shù)都等于它肩上的兩個(gè)數(shù)之和，即；
（3）任何一橫行所有數(shù)之和等于2的行數(shù)的乘方，即；
以上三個(gè)性質(zhì)就是組合數(shù)的性質(zhì)一、性質(zhì)二和二項(xiàng)式系數(shù)總和公式．
（4）同一行上的奇、偶數(shù)位上各數(shù)之和分別相等，即
（5）n階楊輝三角共有個(gè)數(shù)．
（6）n階楊輝三角所有數(shù)之和為：．
（7）楊輝三角第1、3、7、15，…行，即第行（k是正整數(shù)）各個(gè)數(shù)字都是奇數(shù)，即（，1，2，…，，）是奇數(shù)．
（8）楊輝三角中斜線指示數(shù)字和組成一個(gè)數(shù)列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…．
此數(shù)列：，，且（）．
15．（2021·渝中·重慶巴蜀中學(xué)高三月考）已知某機(jī)床的控制芯片由個(gè)相同的單元組成，每個(gè)單元正常工作的概率為，且每個(gè)單元正常工作與否相互獨(dú)立.
（1）若，求至少有3個(gè)單元正常工作的概率；
（2）若，并且個(gè)單元里有一半及其以上的正常工作，這個(gè)芯片就能控制機(jī)床，其概率記為.
①求的值；
②若，求的值.
【答案】（1）；（2）①；②.
【解析】（1）設(shè)至少有3個(gè)單元正常工作的概率為，則.
（2）①時(shí)，至少有4個(gè)單元正常工作芯片就能控制機(jī)床，
所以，由，
而，所以.
②若，
則，
頁(yè)
所以，符合題意.
若，則，
而對(duì)立事件，
且，則，
所以，
故：.
16．（2021·山東濟(jì)南·）某企業(yè)對(duì)生產(chǎn)設(shè)備進(jìn)行優(yōu)化升級(jí)，升級(jí)后的設(shè)備控制系統(tǒng)由個(gè)相同的元件組成，每個(gè)元件正常工作的概率均為，各元件之間相互獨(dú)立．當(dāng)控制系統(tǒng)有不少于個(gè)元件正常工作時(shí)，設(shè)備正常運(yùn)行，否則設(shè)備停止運(yùn)行，記設(shè)備正常運(yùn)行的概率為（例如：表示控制系統(tǒng)由3個(gè)元件組成時(shí)設(shè)備正常運(yùn)行的概率；表示控制系統(tǒng)由5個(gè)元件組成時(shí)設(shè)備正常運(yùn)行的概率）．
（1）若每個(gè)元件正常工作的概率．
（i）當(dāng)時(shí)，求控制系統(tǒng)中正常工作的元件個(gè)數(shù)的分布列和期望；
（ii）計(jì)算．
（2）已知設(shè)備升級(jí)前，單位時(shí)間的產(chǎn)量為件，每件產(chǎn)品的利潤(rùn)為1元，設(shè)備升級(jí)后，在正常運(yùn)行狀態(tài)下，單位時(shí)間的產(chǎn)量是原來(lái)的4倍，且出現(xiàn)了髙端產(chǎn)品，每件產(chǎn)品成為高端產(chǎn)品的概率為，每件髙端產(chǎn)品的利潤(rùn)是2元．請(qǐng)用表示出設(shè)備升級(jí)后單位時(shí)間內(nèi)的利潤(rùn)（單位：元），在確?？刂葡到y(tǒng)中元件總數(shù)為奇數(shù)的前提下，分析該設(shè)備能否通過(guò)增加控制系統(tǒng)中元件的個(gè)數(shù)來(lái)提高利潤(rùn)．
【答案】（1）（i）分布列見(jiàn)解析，數(shù)學(xué)期望為2；（ii）；（2）；分類討論，答案見(jiàn)解析．
【解析】（1）（i）因?yàn)?，所以控制系統(tǒng)中正常工作的元件個(gè)數(shù)的可能取值為0，1，2，3；
因?yàn)槊總€(gè)元件的工作相互獨(dú)立，且正常工作的概率均為，
所以，
所以，
，
，
所以控制系統(tǒng)中正常工作的元件個(gè)數(shù)的分布列為
控制系統(tǒng)中正常工作的元件個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)期望為；
（ii）由題意知：
；
（2）升級(jí)改造后單位時(shí)間內(nèi)產(chǎn)量的分布列為
所以升級(jí)改造后單位時(shí)間內(nèi)產(chǎn)量的期望為；
所以
設(shè)備升級(jí)后單位時(shí)間內(nèi)的利潤(rùn)為
，即；
因?yàn)榭刂葡到y(tǒng)中元件總數(shù)為奇數(shù)，若增加2個(gè)元件，則第一類：原系統(tǒng)中至少有個(gè)元件正常工作，其概率為；
第二類：原系統(tǒng)中恰好有個(gè)元件正常工作，新增2個(gè)元件中至少有1個(gè)正常工作，其概率為
；
第三類：原系統(tǒng)中有個(gè)元件正常工作，新增2個(gè)元件全部正常工作，其概率為
；
所以
，
即，
所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
即增加元件個(gè)數(shù)設(shè)備正常工作的概率變大，
當(dāng)時(shí)，，
即增加元件個(gè)數(shù)設(shè)備正常工作的概率沒(méi)有變大，
又因?yàn)椋?br>所以當(dāng)時(shí)，設(shè)備可以通過(guò)增加控制系統(tǒng)中元件的個(gè)數(shù)來(lái)提高利潤(rùn)；
當(dāng)時(shí)，設(shè)備不可以通過(guò)增加控制系統(tǒng)中元件的個(gè)數(shù)來(lái)提高利潤(rùn)．
17．（2021·遼寧大連·高三一模）一款游戲規(guī)則如下：擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，若出現(xiàn)正面向前跳2步，若出現(xiàn)反面向前跳1步．
（1）若甲乙二人同時(shí)參與游戲，每人各擲硬幣2次，
①求甲向前跳的步數(shù)大于乙向前跳的步數(shù)的概率；
②記甲乙二人向前跳的步數(shù)和為，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望．
（2）若某人擲硬幣若干次，向前跳的步數(shù)為的概率記為，求的最大值．
【答案】（1）①；②答案見(jiàn)解析；（2）.
【解析】（1）①設(shè)甲向前跳的步數(shù)為，乙向前跳的步數(shù)為，
則，
，
，
所以，
所以甲向前跳的步數(shù)大于乙向前跳的步數(shù)的概率.
②由①知所有可能取值為4，5，6，7，8，
所以，，，，，
隨機(jī)變量的分布列為
.
（2）由題意得，當(dāng)時(shí)，，
，
所以，
，，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，；
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，，
時(shí)，，所以，
且數(shù)列為遞減數(shù)列，所以的最大值為.
18．（2021·湖北蔡甸·漢陽(yáng)一中高三模擬預(yù)測(cè)）2020年12月16日至18日，中央經(jīng)濟(jì)工作會(huì)議在北京召開(kāi)，會(huì)議確定，2021年要抓好八個(gè)重點(diǎn)任務(wù)，其中第五點(diǎn)就是：保障糧食安全，關(guān)鍵在于落實(shí)藏糧于地?藏糧于技戰(zhàn)略.要加強(qiáng)種質(zhì)資源保護(hù)和利用，加強(qiáng)種子庫(kù)建設(shè).要尊重科學(xué)?嚴(yán)格監(jiān)管，有序推進(jìn)生物育種產(chǎn)業(yè)化應(yīng)用.某“種子銀行”對(duì)某種珍稀名貴植物種子采取“活態(tài)保存”方法進(jìn)行保存，即對(duì)種子實(shí)行定期更換和種植.通過(guò)以往的相關(guān)數(shù)據(jù)表明，該植物種子的出芽率為，每顆種子是否發(fā)芽相互獨(dú)立.現(xiàn)任取該植物種子顆進(jìn)行種植，若種子的出芽數(shù)超過(guò)半數(shù)，則可認(rèn)為種植成功().
（1）當(dāng)，時(shí)，求種植成功的概率及的數(shù)學(xué)期望；
（2）現(xiàn)擬加種兩顆該植物種子，試分析能否提高種植成功率？
【答案】（1）概率為，；（2）答案見(jiàn)解析.
【解析】（1）由題意可知，服從二項(xiàng)分布，
故，
故種植成功的概率為，
；
（2）設(shè)種植顆種子時(shí)，種植成功的概率為，
擬加種兩顆該植物種子時(shí)，種植成功的概率為，
當(dāng)種植顆種子時(shí)，考慮前顆種子出芽數(shù)，
為了種植成功，前顆種子中至少要有顆種子出芽，
①前顆種子中恰有顆出芽，它的概率為，
此時(shí)后兩顆種子必須都要出芽，
所以這種情況下種植成功的概率為；
②前顆種子恰有顆出芽，它的概率為，
此時(shí)后兩顆種子至少有一顆出芽即可，
所以這種情況下種植成功的概率為；
③前顆種子至少有顆出芽，
它的概率為，此時(shí)種植一定成功.
所以，
故，
，
因?yàn)椋?br>所以，
所以當(dāng)時(shí)，，種植成功率會(huì)降低；
當(dāng)時(shí)，，種植成功率不變；
當(dāng)時(shí)，，種植成功率會(huì)提高.
19（2021·江蘇泰州·高三模擬預(yù)測(cè)）現(xiàn)有一批疫苗試劑，擬進(jìn)入動(dòng)物試驗(yàn)階段，將1000只動(dòng)物平均分成100組，任選一組進(jìn)行試驗(yàn)．第一輪注射，對(duì)該組的每只動(dòng)物都注射一次，若檢驗(yàn)出該組中有9只或10只動(dòng)物產(chǎn)生抗體，說(shuō)明疫苗有效，試驗(yàn)終止；否則對(duì)沒(méi)有產(chǎn)生抗體的動(dòng)物進(jìn)行第二輪注射，再次檢驗(yàn)．如果被二次注射的動(dòng)物都產(chǎn)生抗體，說(shuō)明疫苗有效，否則需要改進(jìn)疫苗．設(shè)每只動(dòng)物是否產(chǎn)生抗體相互獨(dú)立，兩次注射疫苗互不影響，且產(chǎn)生抗體的概率均為．
（1）求該組試驗(yàn)只需第一輪注射的概率（用含的多項(xiàng)式表示）；
（2）記該組動(dòng)物需要注射次數(shù)的數(shù)學(xué)期望為，求證：．
【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析．
【解析】（1）平均每組人，
設(shè)第一輪注射有Y只動(dòng)物產(chǎn)生抗體，則，
所以，
所以該組試驗(yàn)只需第一輪注射的概率為．
（2）由（1）得，
，
所以
，
設(shè)，則，
又，
所以
，因?yàn)?，所以?br>又
，因?yàn)椋裕?br>所以．
20．（2021·全國(guó)高考真題）一種微生物群體可以經(jīng)過(guò)自身繁殖不斷生存下來(lái)，設(shè)一個(gè)這種微生物為第0代，經(jīng)過(guò)一次繁殖后為第1代，再經(jīng)過(guò)一次繁殖后為第2代……，該微生物每代繁殖的個(gè)數(shù)是相互獨(dú)立的且有相同的分布列，設(shè)X表示1個(gè)微生物個(gè)體繁殖下一代的個(gè)數(shù)，．
（1）已知，求；
（2）設(shè)p表示該種微生物經(jīng)過(guò)多代繁殖后臨近滅絕的概率，p是關(guān)于x的方程：的一個(gè)最小正實(shí)根，求證：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；
（3）根據(jù)你的理解說(shuō)明（2）問(wèn)結(jié)論的實(shí)際含義．
【答案】（1）1；（2）見(jiàn)解析；（3）見(jiàn)解析.
【解析】（1）.
（2）設(shè)，
因?yàn)?，故?br>若，則，故.
，
因?yàn)?，?br>故有兩個(gè)不同零點(diǎn)，且，
且時(shí)，；時(shí)，；
故在，上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，
若，因?yàn)樵跒樵龊瘮?shù)且，
而當(dāng)時(shí)，因?yàn)樵谏蠟闇p函數(shù)，故，
故為的一個(gè)最小正實(shí)根，
若，因?yàn)榍以谏蠟闇p函數(shù)，故1為的一個(gè)最小正實(shí)根，
綜上，若，則.
若，則，故.
此時(shí)，，
故有兩個(gè)不同零點(diǎn)，且，
且時(shí)，；時(shí)，；
故在，上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，
而，故，
又，故在存在一個(gè)零點(diǎn)，且.
所以為的一個(gè)最小正實(shí)根，此時(shí)，
故當(dāng)時(shí)，.
（3）意義：每一個(gè)該種微生物繁殖后代的平均數(shù)不超過(guò)1，則若干代必然滅絕，若繁殖后代的平均數(shù)超過(guò)1，則若干代后被滅絕的概率小于1. 0
1
2
3
4
性能指標(biāo)值/分
頻數(shù)
20
30
40
60
30
20
性能指標(biāo)值
等級(jí)
次品
級(jí)
級(jí)
級(jí)
純利潤(rùn)
性能指標(biāo)值
純利潤(rùn)
概率
0.1
0.35
0.45
0.1
ξ
0
1
2
P
0
1
2
3
X
3
4
5
6
P
()
0.10
0.05
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
0
1
2
3
0
1
2
…
…
1
11
0.9511
0.0489
1
11
1
11
0
1
2
3
產(chǎn)量
0
設(shè)備運(yùn)行概率
產(chǎn)品類型
高端產(chǎn)品
一般產(chǎn)品
產(chǎn)量（單位：件）
利潤(rùn)（單位：元）
2
1
4
5
6
7
8

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新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)提升訓(xùn)練8.6 分布列與其他知識(shí)綜合運(yùn)用（精練）（含解析）

新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)提升訓(xùn)練8.6 分布列與其他知識(shí)綜合運(yùn)用（精練）（含解析）
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