1．（2021·南京市中華中學(xué)高三月考）已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(a，4)且，則實數(shù)a=( )
A．0B．1C．2D．4
【答案】C
【解析】因為隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，
所以曲線關(guān)于對稱，且，
由，可知.
故選：C.
2．（2021·山東廣饒一中高三月考）設(shè)隨機(jī)變量，已知，則（ ）
A．0.95B．0.05C．0.975D．0.425
【答案】A
【解析】.
故選：A.
3．（2021·全國高三專題練習(xí)（文））由12名志愿者組成的醫(yī)療隊中，有5名共產(chǎn)黨員，現(xiàn)從中任選6人參加抗洪搶險，用隨機(jī)變量X表示這6人中共產(chǎn)黨員的人數(shù)，則下列概率中等于 的是（ ）
A．P(X≤2)B．P(X＝2)C．P(X≤3)D．P(X＝3)
【答案】D
【解析】由題意可知，所列概率應(yīng)為事件“任選6人，選了3名共產(chǎn)黨員”的概率．
故答案為：D
4．（2021·江蘇省鎮(zhèn)江第一中學(xué)高三開學(xué)考試）設(shè)隨機(jī)變量，若二項式，則（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】D
【解析】由題意可知，，
又，所以①，
若選項A成立，則，解得，代入①驗證不成立，故選項A錯誤；若選項B成立，則解得，代入①驗證不成立，故選項B錯誤；
若選項C成立，則，解得，代入①驗證不成立，故選項C錯誤；
若選項D成立，則，解得，代入①驗證成立，故選項D正確；
故選：D．
5．（2021·樂清市知臨中學(xué)高三月考）已知袋中有4個紅球，3個黃球，2個綠球.現(xiàn)從中任取2個球，記取到的紅球的個數(shù)為，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】的所有可能取值：0,1,2.
;;
.
所以.
故選：D
6．（2021·浙江高三模擬預(yù)測）已知隨機(jī)變量滿足，且隨機(jī)變量的分布列如下：
則隨機(jī)變量的方差（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由分布列的性質(zhì)，得，
所以，
所以，
又，所以．
故選：B
二、多選題
7．（2021·廣東廣州·高三月考）投資甲，乙兩種股票，每股收益的分布列分別如表1和表2所示．
則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．投資股票甲的期望收益較小
B．投資股票乙的期望收益較小
C．投資股票甲比投資股票乙的風(fēng)險高
D．投資股票乙比投資股票甲的風(fēng)險高
【答案】BC
【解析】甲收益的期望，
方差，
乙收益的期望，
方差，
所以，，則投資股票乙的期望收益較小，投資股票甲比投資股票乙的風(fēng)險高.
故選：BC.
8．（2021·山東廣饒一中高三月考）下列說法正確的是（ ）
A．離散型隨機(jī)變量的各個可能值表示的事件是彼此互斥的
B．利用頻率分布直方圖計算的樣本數(shù)字特征是樣本數(shù)字特征的估計值
C．兩個相關(guān)變量的相關(guān)性越強(qiáng)，相關(guān)系數(shù)越接近于1
D．在回歸分析模型中，殘差平方和越小，說明模型的擬合效果越好
【答案】ABD
【解析】對于A中，離散型隨機(jī)變量的各個可能值表示的事件時彼此互斥的不會同時發(fā)生，所以A正確；
對于B中，利用頻率分布直方圖計算的一般數(shù)字特征是樣本數(shù)字特征的估計值，所以B正確；
對于C中，兩個相關(guān)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近與1，所以C錯誤；
對于D中，在回歸分析模型中，殘差平方和越小，說明模型的擬合效果越好，所以D正確.
故選：ABD.
9．（2021·湖南湘潭·高三一模）已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則（ ）
A．的數(shù)學(xué)期望為B．的方差為
C．D．
【答案】AC
【解析】由正態(tài)分布的定義及正態(tài)曲線的性質(zhì)，可知，
所以的數(shù)學(xué)期望為，方差為，，
所以A，C正確，B，D不正確．
故選：AC．
10．（2021·重慶市第十一中學(xué)校高三月考）給出下列說法，其中正確的有（ ）
A．若X是離散型隨機(jī)變量，則，
B．如果隨機(jī)變量X服從二項分布，則
C．在回歸分析中，相關(guān)指數(shù)為的模型比為的模型擬合的效果要好
D．對于獨立性檢驗，隨機(jī)變量的觀測值越小，判定“兩個分類變量有關(guān)系”犯錯誤的概率越大
【答案】BCD
【解析】對A，若X是離散型隨機(jī)變量，則，，故A錯誤；
對B，如果隨機(jī)變量X服從二項分布，則，故B正確；
對C，因為相關(guān)指數(shù)越靠近1擬合效果越好，故C正確；
對D，根據(jù)獨立性檢驗的意義可判斷D正確.
故選：BCD.
11．（2021·河北唐山·高三開學(xué)考試）下列結(jié)論正確的是（ ）
A．若隨機(jī)變量x服從兩點分布，，則
B．若隨機(jī)變量Y的方差，則
C．若隨機(jī)變量ζ服從二項分布，則
D．若隨機(jī)變量η服從正態(tài)分布，，則
【答案】AD
【解析】由條件可知，，，故A正確；
，故B錯誤；
若隨機(jī)變量ζ服從二項分布，則，故C錯誤；
根據(jù)對稱性可知，正態(tài)分布曲線關(guān)于對稱，所以，故D正確.
故選：AD
三、填空題
12．（2021·江蘇揚州·高三月考）若隨機(jī)變量，且，寫出一個符合條件的___________.
【答案】（答案不唯一）
【解析】因為隨機(jī)變量，所以，
所以一個符合條件的，
故答案為：（答案不唯一）
13．（2021·山東任城·濟(jì)寧一中）已知隨機(jī)變量，則______，______（用數(shù)字作答）．
【答案】
【解析】由題意，
故答案為：，
14．（2021·重慶市蜀都中學(xué)校高三月考）已知隨機(jī)變量的分布列如下表，表示的方差，則___________.
【答案】2
【解析】由分布列知：，解得：，
于是得，，
所以.
故答案為：2
15．（2021·河南高三月考（理））某專業(yè)資格考試包含甲、乙、丙個科目，假設(shè)小張甲科目合格的概率為，乙、丙科目合格的概率相等，且個科目是否合格相互獨立．設(shè)小張科中合格的科目數(shù)為，若，則______．
【答案】
【解析】乙、丙科目合格的概率相等，可設(shè)乙、丙科目合格的概率均為，
則，
解得，
故，
，
，
故分布列為：
期望，
故答案為：.
16．（2021·肥城市教學(xué)研究中心高三模擬預(yù)測）某校數(shù)學(xué)興趣小組，在研究隨機(jī)變量的概率分布時，發(fā)現(xiàn)離散型隨機(jī)變量的取值與其概率的函數(shù)關(guān)系為（為參數(shù)），則這個隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望___________.
【答案】
【解析】由離散型隨機(jī)變量分布列性質(zhì)：
，得，
所以，①
，②
由① +②得：
，
所以.
故答案為：5.
四、解答題
17．（2021·南京市中華中學(xué)高三月考）某普通高中為了解本校高三年級學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況，對期末考試數(shù)學(xué)成績進(jìn)行分析，從中抽取了n名學(xué)生的成績作為樣本進(jìn)行統(tǒng)計（該校全體學(xué)生的成績均在[60，150]），按下列分組[60，70），[70，80），[80，90），[90，100），[100，110），[110，120），[120，130），[130，140），[140，150]作出頻率分布直方圖.如圖，樣本中分?jǐn)?shù)在[70，90）內(nèi)的所有數(shù)據(jù)是：72，75，77，78，81，82，85，88，89.
根據(jù)往年錄取數(shù)據(jù)劃出預(yù)錄分?jǐn)?shù)線，分?jǐn)?shù)區(qū)間與可能被錄取院校層次如表.
（1）根據(jù)樣本估計總體的思想，以事件發(fā)生的頻率作為概率，若在該校高三年級學(xué)生中任取1人，求此人能被專科院校錄取的概率；
（2）在選取的樣本中，從可能錄取為自招和專科兩個層次的學(xué)生中隨機(jī)抽取3名學(xué)生進(jìn)行調(diào)研，用ξ表示所抽取的3名學(xué)生中為?？频娜藬?shù)，求隨機(jī)變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望.
【答案】（1）；（2）分布列答案見解析，數(shù)學(xué)期望：2.
【解析】（1）由題意知分?jǐn)?shù)在[70，80）的學(xué)生有4名，分?jǐn)?shù)在[80，90）的學(xué)生有5名，
由題圖可知，分?jǐn)?shù)在[70，80）的頻率為0.008×10=0.08，則n==50，
所以x==0.01，y==0.014，
樣本中可能被?？圃盒ｄ浫〉娜藬?shù)為50×（0.004+0.008）×10=6.
抽取的50人中，可能被?？圃盒ｄ浫〉念l率是，
所以從該校高三年級學(xué)生中任取1人可能被?？圃盒ｄ浫〉母怕?
（2）選取的樣本中可能被?？圃盒ｄ浫〉娜藬?shù)為6，
可能被自招院校錄取的人數(shù)為50×（0.012+0.008+0.004）×10=12，
隨機(jī)變量ξ的所有可能取值為0，1，2，3，
所以P（ξ=0）===；P（ξ=1）===；
P（ξ=3）===；P（ξ=4）===.
∴隨機(jī)變量ξ的分布列為
所以E（ξ）=0×+1×+2×+3×=2.
18．（2021·黑龍江大慶中學(xué)高三月考（理））近年來空氣質(zhì)量逐步惡化，霧霾天氣現(xiàn)象增多，大氣污染危害加重.大氣污染可引起心悸、呼吸困難等心肺疾病.為了解心肺疾病是否與性別有關(guān)，在市第一人民醫(yī)院隨機(jī)對入院50人進(jìn)行了問卷調(diào)查，得到如下的列聯(lián)表：
（1）是否有99.5%的把握認(rèn)為患心肺疾病與性別有關(guān)？說明你的理由；
（2）已知在患心肺疾病的10位女性中，有3位又患有胃病，現(xiàn)在從患心肺疾病的10位女性中，選出3位進(jìn)行其他方面的排查，其中患胃病的人數(shù)為，求的分布列、數(shù)學(xué)期望.
參考公式： ，其中.
下面的臨界值僅供參考：
【答案】（1）有把握，理由見解析；（2）分布列見解析，0.9.
【解析】（1）∵，即，
∴，又，
∴我們有99.5%的把握認(rèn)為是否患心肺疾病是與性別有關(guān)系的.
（2）現(xiàn)在從患心肺疾病的10位女性中選出3位，其中患胃病的人數(shù)，
∴，，
，，
所以的分布列為
則.
19．（2021·孟津縣第一高級中學(xué)高三月考（理））幼兒園給小朋友發(fā)放六一小禮包，總共有紅?黃?藍(lán)?綠4種顏色可以選擇（各色禮包的數(shù)量都超過小朋友的人數(shù)），假設(shè)每個小朋友只能獨立選擇其中的一種顏色，且每個小朋友選擇各色禮包的可能性均相等.
（1）若有4個小朋友，則恰有2人選擇藍(lán)色禮包的概率；
（2）若有5個小朋友，記其中選擇藍(lán)色禮包的人數(shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.
【答案】（1）；（2）分布列答案見解析，數(shù)學(xué)期望：.
【解析】（1）依題意，所求概率
（2）的所有可能值為0，1，2，3，4，5，則，
，
故的分布列為
的數(shù)學(xué)期望.
20．（2021·廣東高三月考）某市環(huán)保部門對該市市民進(jìn)行垃圾分類知識的網(wǎng)絡(luò)問卷調(diào)查，每位市民僅有一次參加機(jī)會通過隨機(jī)抽樣，得到參與問卷調(diào)查的100人的得分（滿分：100分）數(shù)據(jù)，統(tǒng)計結(jié)果如下表所示：
（1）若將問卷得分不低于70分的市民稱為“環(huán)保關(guān)注者”．請完成答題卡中的列聯(lián)表．根據(jù)列聯(lián)表的獨立性檢驗，能否在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為“環(huán)保關(guān)注者”與性別有關(guān)？
（2）若將問卷得分不低于80分的市民稱為“環(huán)保達(dá)人”，從我市所有“環(huán)保達(dá)人”中隨機(jī)抽取5人，這5人中男性的人數(shù)記為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．
附：
．
【答案】（1）不能；（2）見解析.
【解析】（1）由題意填寫列聯(lián)表如下：
根據(jù)表中數(shù)據(jù)，計算得
所以在犯錯誤概率不超過0.05的前提下，
不能認(rèn)為“環(huán)保關(guān)注者”與性別有關(guān)；
（2）參與問卷的100人中，有50人為“環(huán)保達(dá)人”，
其中男性30人，占比為，
從全市的“環(huán)保達(dá)人”中抽取5人，這5人中男性的人數(shù)記為X，
則，


則的分布列為：
所以數(shù)學(xué)期望為.
21．（2021·重慶市清華中學(xué)校高三月考）國家發(fā)展改革委、住房城鄉(xiāng)建設(shè)部于年發(fā)布了《生活垃圾分類制度實施方案》，規(guī)定個城市在年底實施生活垃圾強(qiáng)制分類，垃圾回收、利用率要達(dá)以上.截至年底，這個重點城市生活垃圾分類的居民小區(qū)覆蓋率已經(jīng)接近.武漢市在實施垃圾分類之前，從本市人口數(shù)量在兩萬人左右的個社區(qū)中隨機(jī)抽取個社區(qū)，對這個社區(qū)某天產(chǎn)生的垃圾量（單位：噸）進(jìn)行了調(diào)查，得到如下頻數(shù)分布表，并將人口數(shù)量在兩萬人左右的社區(qū)垃圾數(shù)量超過噸/天的確定為“超標(biāo)”社區(qū)：
（1）通過頻數(shù)分布表估算出這個社區(qū)這一天垃圾量的平均值（精確到）；
（2）若該市人口數(shù)量在兩萬人左右的社區(qū)這一天的垃圾量大致服從正態(tài)分布，其中近似為（1）中的樣本平均值，近似為樣本方差，經(jīng)計算得.請利用正態(tài)分布知識估計這個社區(qū)中“超標(biāo)”社區(qū)的個數(shù).
（參考數(shù)據(jù)：；；）
【答案】（1）噸；（2）.
【解析】（1）由頻數(shù)分布表得：
，
所以這個社區(qū)這一天垃圾量的平均值為噸；
（2）由（1）知，，，則，
，
，所以這個社區(qū)中“超標(biāo)”社區(qū)的個數(shù)為.
22．（2021·貴州貴陽·（理））“微信運動”是手機(jī)APP推出的多款健康運動軟件中的一款，大學(xué)生的微信好友中有400位好友參與了“微信運動”．他隨機(jī)抽取了40位參與“微信運動”的微信好友（女20人，男20人）在某天的走路步數(shù)，經(jīng)統(tǒng)計，其中女性好友走路的步數(shù)情況可分為五個類別：、0~2000步，（說明：“0~2000”表示大于或等于0，小于2000，以下同理），、2000~5000步，、5000~8000步，、8000~10000步，、10000~12000步，且，，三種類別的人數(shù)比例為，將統(tǒng)計結(jié)果繪制如圖甲所示的柱形圖；男性好友走路的步數(shù)數(shù)據(jù)繪制如圖乙所示的頻率分布直方圖．
（1）若以大學(xué)生抽取的微信好友在該天行走步數(shù)的頻率分布，作為參與“微信運動”的所有微信好友每天走路步數(shù)的概率分布，試估計大學(xué)生的參與“微信運動”的400位微信好友中，每天走路步數(shù)在2000~8000的人數(shù)；
（2）若在大學(xué)生該天抽取的步數(shù)在8000~10000的微信好友中，按男女比例分層抽取6人進(jìn)行身體狀況調(diào)查，然后再從這6位微信好友中隨機(jī)抽取3人進(jìn)行采訪，記抽到的女生人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．
【答案】（1）260人；（2）分布列見解析，1.
【解析】（1）所抽取的40人中，該天行走2000~8000步的人數(shù)：男12人，女14人，400位參與“微信運動”的微信好友中，
每天行走2000~8000步的人數(shù)約為人．
（2）該天抽取的步數(shù)在8000~10000的人數(shù)：男6人，女3人，共9人．
再按男女比例分層抽取6人，則應(yīng)抽取男生4人，女生2人，
的所有可能取值為0，1，2．
，，
∴的分布列為
故．
23．（2021·廣東高三月考）自2019年起，全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題新規(guī)則如下：聯(lián)賽分為一試?加試（即俗稱的“二試”）.一試考試時間為8：00—9：20，共80分鐘，包括8道填空題（每題8分）和3道解答題（分別為16分?20分?20分），滿分120分.二試考試時間為9：40—12：30，共170分鐘，包括4道解答題，涉及平面幾何?代數(shù)?數(shù)論?組合四個方面.前兩題每題40分，后兩題每題50分，滿分180分.已知某校有一數(shù)學(xué)競賽選手，在一試中，正確解答每道填空題的概率為0.8，正確解答每道解答題的概率均為0.6.在二試中，前兩題每題能夠正確解答的概率為0.6，后兩題每題能夠正確解答的概率為0.5.假設(shè)每道題答對得滿分，答錯得0分.
（1）記該同學(xué)在二試中的成績?yōu)?，求的分布列?br>（2）根據(jù)該選手所在省份歷年的競賽成績分布可知，若一試成績在100分（含100分）以上的選手，最終獲得省一等獎的可能性為0.9，試成績低于100分，最終獲得省一等獎的可能性為0.2.求該選手最終獲得省一等獎的可能性能否達(dá)到50%，并說明理由.（參考數(shù)據(jù)：，，，結(jié)果保留兩位小數(shù)）
【答案】（1）分布列答案見解析；（2）該選手最終獲得省一等獎的可能性達(dá)不到50%，理由見解析.
【解析】（1）依題意，的可能值為0，40，50，80，90，100，130，140，180.
所以，，
，，
，，
，，
.
故的分布列為
（2）由題意可知，一試分?jǐn)?shù)達(dá)到100分及以上，則后三題解答題只錯一題，前8題全對，
或者是前面的8題填空題只答錯一題或者兩題，解答題全部答對，亦或是全部答對.
一試題目全部答對的概率為，
后三題解答題只錯一題，前8題全對的概率為，
前面的8題填空題只答錯一題或者兩題，解答題全部答對的概率為
，
所以一試獲得100分及以上的概率為，
所以該同學(xué)獲得省一等獎的概率為，
所以該選手最終獲得省一等獎的可能性達(dá)不到50%.
24．（2021·海南昌茂花園學(xué)校高三月考）在傳染病學(xué)中，通常把從致病刺激物侵入機(jī)體或者對機(jī)體發(fā)生作用起，到機(jī)體出現(xiàn)反應(yīng)或開始呈現(xiàn)該疾病對應(yīng)的相關(guān)癥狀時為止的這一階段稱為潛伏期．一研究團(tuán)隊統(tǒng)計了某地區(qū)200名患者的相關(guān)信息，得到如下表格：
（1）求這200名患者的潛伏期的樣本平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）；
（2）該傳染病的潛伏期受諸多因素的影響，為研究潛伏期與患者年齡的關(guān)系，以潛伏期是否超過6天為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分層抽樣，從上述200名患者中抽取40人，得到如下列聯(lián)表．請將列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有95%的把握認(rèn)為潛伏期與患者年齡有關(guān)：
（3）以這200名患者的潛伏期超過6天的頻率，代替該地區(qū)1名患者潛伏期超過6天發(fā)生的概率，每名患者的潛伏期是否超過6天相互獨立．為了深入研究，該研究團(tuán)隊隨機(jī)調(diào)查了4名患者，其中潛伏期超過6天的人數(shù)最有可能（即概率最大）是多少？
附：
，其中．
【答案】（1）天；（2）列聯(lián)表見解析，沒有的把握認(rèn)為潛伏期與患者年齡有關(guān)；（3）最有可能是1人或2人．
【解析】（1）（天）.
（2）根據(jù)題意，補(bǔ)充完整的列聯(lián)表如下：
則：，
經(jīng)查表，得，所以沒有的把握認(rèn)為潛伏期與患者年齡有關(guān)；
（3）由題意可知，該地區(qū)每名患者潛伏期超過6天發(fā)生的概率為，
設(shè)調(diào)查的4名患者中潛伏期超過6天的人數(shù)為，由于該地區(qū)人數(shù)較多，則近似服從二項分布，即，，，1，2，3，4，
所以，
，
，
，
.
所以這4名患者中潛伏期超過6天的人數(shù)最有可能是1人或2人．
25．（2021·北京）為了提高學(xué)生的身體素質(zhì)，某校高一、高二兩個年級共336名學(xué)生同時參與了“我運動，我健康，我快樂”的跳繩、踢毽等系列體育健身活動.為了了解學(xué)生的運動狀況，采用分層抽樣的方法從高一、高二兩個年級的學(xué)生中分別抽取7名和5名學(xué)生進(jìn)行測試.下表是高二年級的5名學(xué)生的測試數(shù)據(jù)（單位：個/分鐘）：
（1）求高一、高二兩個年級各有多少人？
（2）設(shè)某學(xué)生跳繩個/分鐘，踢毽個/分鐘.當(dāng)，且時，稱該學(xué)生為“運動達(dá)人”.
①從高二年級的學(xué)生中任選一人，試估計該學(xué)生為“運動達(dá)人”的概率；
②從高二年級抽出的上述5名學(xué)生中，隨機(jī)抽取3人，求抽取的3名學(xué)生中為“運動達(dá)人”的人數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望.
【答案】（1）高一年級有人，高二年級有人；（2）①；②分布列見解析，.
【解析】（1）設(shè)高一年級有人，高二年級有人.
采用分層抽樣，有.
所以高一年級有人，高二年級有人.
（2）①從上表可知，從高二抽取的5名學(xué)生中，編號為1，2，5的學(xué)生是“運動達(dá)人”.
故從高二年級的學(xué)生中任選一人，該學(xué)生為“運動達(dá)人”的概率估計為.
②的所有可能取值為.
，，.
所以的分布列為
故的期望.
26．（2021·九龍坡·重慶市育才中學(xué)高三月考）今年九月，九龍坡區(qū)創(chuàng)建全國文明城區(qū)活動正式啟動，中央文明辦對九龍坡轄區(qū)內(nèi)的市民進(jìn)行了創(chuàng)建文明城區(qū)相關(guān)知識（文明城區(qū)宣傳、建黨100周年、社會主義核心價值觀、紅色基因教育等）網(wǎng)絡(luò)問卷調(diào)查，每一位市民只有一次答題機(jī)會，通過隨機(jī)抽樣，得到參加問卷調(diào)查的1000人的得分（滿分：100分）數(shù)據(jù)，繪制成如下的頻率分布直方圖
（1）求的值；
（2）由頻率分布表直方圖可以認(rèn)為，此次問卷調(diào)查的得分近似服從正態(tài)分布，近似為1000人得分的平均值(同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作為代表)，請利用正態(tài)分布的知識求；
（3）在（2）的條件下，文明辦為此次參加問卷調(diào)查的市民制定如下的獎勵方案：
①得分不低于的可以獲贈2次隨機(jī)話費，得分低于的可以獲贈1次隨機(jī)話費；
②每次贈送的隨機(jī)話費和對應(yīng)的概率為：
記(單位：元)為該市民參加問卷調(diào)查獲贈的話費，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
附：.若，則① ②③
【答案】（1）；（2）；（3）分布列見解析，.
【解析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖的性質(zhì)，可得：
，解得.
（2）根據(jù)頻率分布直方圖的平均數(shù)的計算公式，可得：
，
所以得分近似服從正態(tài)分布，
根據(jù)正態(tài)分布曲線的對稱性，可得
.
（3）由題意，隨機(jī)變量的所有可能取值為20，40，60，80(元)，
可得，

所以隨機(jī)變量的分布列為
所以數(shù)學(xué)期望為：.
27．（2021·全國高三模擬預(yù)測（理））據(jù)了解，現(xiàn)在快節(jié)奏的工作?不健康的生活方式，使人們患上“三高（高血壓?高血脂?高血糖）”的幾率不斷升高，患病人群也日漸趨向年輕化.為提高轄區(qū)居民個人健康管理意識，了解“三高”相關(guān)知識，某社區(qū)邀請市專家協(xié)會主任醫(yī)師舉辦“三高”專題健康知識講座，為轄區(qū)居民解答健康疑問.講座結(jié)束后，對參加市民舉行網(wǎng)絡(luò)問卷調(diào)查.每一位市民僅有一次參加機(jī)會，通過隨機(jī)抽樣，得到參加問卷調(diào)查的人的得分（滿分：分）數(shù)據(jù)，統(tǒng)計結(jié)果如下表所示：
（1）求這人得分的及格率（分及以上為及格）.
（2）求這人得分的平均值（同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作為代表）.
（3）社區(qū)為此次參加問卷調(diào)查的市民制定如下獎勵方案：
①得分及格的可以獲贈次隨機(jī)話費，得分不及格的可以獲贈次隨機(jī)話費；
②每次贈送的隨機(jī)話費和對應(yīng)的概率如下表：
將這人得分的及格率作為參加問卷調(diào)查及格的概率，記（單位：元）為某市民參加問卷調(diào)查獲贈的話費，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.
【答案】（1）、這人得分的及格率為.
（2）、求這人得分的平均值為分
（3）、的分布列如下：
的數(shù)學(xué)期望為
【解析】（1）、這人得分的及格率為：.
（2）、求這人得分的平均值為：求這人得分的平均值為：分
（3）、根據(jù)題意，獲贈的話費的可能值為：，，，
得元的情況為得分不及格，;
得元的情況有一次獲得元，或者2次機(jī)會都是元，;
得元的情況為兩次機(jī)會，一次獲得元一次獲得元，;
得元的情況為兩次機(jī)會，兩次都獲得元，;
的分布列如下：
的數(shù)學(xué)期望為
28．（2021·全國高三專題練習(xí)）近年來，手機(jī)行業(yè)的競爭已經(jīng)進(jìn)入白熱化階段，各大品牌手機(jī)除了靠不斷提高手機(jī)的性能和質(zhì)量來提升品牌競爭力，在廣告投放方面的花費也是逐年攀升，用“燒錢”來形容毫不為過小明對某品牌手機(jī)近5年的廣告費投入(單位：億美元)進(jìn)行了統(tǒng)計，具體數(shù)據(jù)見下表．
并隨機(jī)調(diào)查了300名市民對該品牌手機(jī)的喜愛情況，得到的部分?jǐn)?shù)據(jù)見下表
（1）求廣告費投入與年份代號之間的線性回歸方程；
（2）是否有的把握認(rèn)為市民的年齡與對該品牌手機(jī)的喜愛度具有相關(guān)性？
（3）若以這300名市民的年齡與對該品牌手機(jī)的喜愛度的情況估計整體情況，則從這300名市民中隨機(jī)選取3人，記選到喜歡該品牌手機(jī)且50歲以上的市民人數(shù)為．求的分布列及數(shù)學(xué)期望．
附：①回歸直線中，，；
②，其中．
【答案】（1）；（2）有的把握認(rèn)為市民的年齡與對該品牌手機(jī)的喜愛度具有相關(guān)性；（3）分布列答案見解析，數(shù)學(xué)期望：．
【解析】（1）依題意知，
，
所以，
，
于是，
所以，
故廣告費投入與年份代號之間的線性回歸方程為；
（2）補(bǔ)充完整的列聯(lián)表如下：
所以，
故有的把握認(rèn)為市民的年齡與對該品牌手機(jī)的喜愛度具有相關(guān)性；
（3）依題意知隨機(jī)變量的可能取值為0，1，2，3．
從這300名市民中隨機(jī)抽取1人，是喜歡該品牌手機(jī)且50歲以上的市民的概率為，
所以，，
，，
故的分布列如下：
因為，所以．
29．（2021·重慶市第十一中學(xué)校高三月考）“練好射擊本領(lǐng)，報效國家”，某警校大一新生進(jìn)行射擊打靶訓(xùn)練，甲、乙在相同的條件下輪流射擊，每輪中甲，乙各射擊一次，射中者得1分，未射中者得0分已知甲、乙每次射中的概率分別為，且各次射擊互不影響.
（1）經(jīng)過1輪射擊打靶，記甲、乙兩人的得分之和為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（2）經(jīng)過3輪射擊打靶后，求甲的累計得分高于乙的累計得分的概率.
【答案】（1）分布列見解析，；（2）.
【解析】（1）的可能取值為0，1，2，
由題意可知，
，
，
所以X的分布列為：
.
（2）經(jīng)過3輪射擊后甲的累計得分高于乙的累計得分有三種情況：
一是甲累計得3分，此時乙的累計得分低于3分，
二是甲累計得2分，此時乙的累計得分低于2分，
三是甲累計得1分，此時乙累計得0分，
所以
30．（2021·全國高三課時練習(xí)）為發(fā)展業(yè)務(wù)，某調(diào)研組準(zhǔn)備從國內(nèi)個人口超過1000萬的超大城市和8個人口低于100萬的小城市中隨機(jī)抽取若干個城市，對其使用，兩個公司開發(fā)的掃碼支付軟件的情況進(jìn)行統(tǒng)計，若一次抽取2個城市，全是小城市的概率為.
（1）求的值；
（2）若一次抽取4個城市，
①假設(shè)抽取的小城市的個數(shù)為，求的分布列和期望；
②假設(shè)抽取的4個城市是同一類城市，求全為超大城市的概率.
【答案】（1）；（2）①分布列見解析，期望為；②.
【解析】（1）共個城市，抽取2個城市的方法種數(shù)是，其中全是小城市的情況種數(shù)為，
故全是小城市的概率是，
即，得.
（2）①由題意，知的可能取值為0，1，2，3，4.
；；；；.
故的分布列為
.
②若4個城市全是超大城市，共有種情況；
若4個城市全是小城市，共有種情況，
故全為超大城市的概率為.0
1
2
表1 股票甲收益的分布列
表2 股票乙收益的分布列
收益X/元
-1
0
2
收益Y/元
0
1
2
概率
0.1
0.3
0.6
概率
0.3
0.4
0.3
0
1
2
分?jǐn)?shù)
[60，80）
[80，120）
[120，150）
可能被錄取院校層次
?？?br>本科
自招
ξ
0
1
2
3
P
男
女
合計
患心肺疾病
20
10
30
不患心肺疾病
5
15
20
合計
25
25
50
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
0
1
2
3
0
1
2
3
4
5
組別
男
2
3
5
15
18
12
女
0
5
10
10
7
13
0.10
0.05
0.010
0.005
0.001
k
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
非“環(huán)保關(guān)注者”
是“環(huán)保關(guān)注者”
總計
男
10
45
55
女
15
30
45
合計
25
75
100
0
1
2
3
4
5
垃圾量
頻數(shù)
0
1
2
0
40
50
80
90
100
130
140
180
0.04
0.12
0.08
0.09
0.24
0.04
0.18
0.12
0.09
潛伏期（單位：天）
人數(shù)
17
41
62
50
26
3
1
潛伏期天
潛伏期天
總計
50歲以上（含50）
7
20
50歲以下
11
總計
40
0.05
0.025
0.010
3.841
5.024
6.635
潛伏期天
潛伏期天
總計
50歲以上（含50歲）
13
7
20
50歲以下
11
9
20
總計
24
16
40
贈送的隨機(jī)話費(單位：元)
20
40
概率
20
40
60
80
組別
頻數(shù)
贈送的隨機(jī)話費（單位：元）
概率
年份代號
1
2
3
4
5
廣告費投入
5.8
6.6
7.2
8.8
9.6
喜歡
不喜歡
50歲以下市民
50
50歲以上市民
60
40
喜歡
不喜歡
50歲以下市民
150
50
200
50歲以上市民
60
40
100
總計
210
90
300
0
1
2
3
X
0
1
2
P

0
1
2
3
4

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