考點鞏固卷18 橢圓方程及其性質(zhì)(六大考點)-2025年高考數(shù)學一輪復習考點通關卷（新高考通用）-試卷下載-教習網(wǎng)

考點01：橢圓的定義（妙用）
結論1：橢圓第一定義
結論2：標準方程由定義即可得到橢圓標準方程
結論3：橢圓第二定義
1．已知復數(shù)滿足，則復數(shù)在復平面內(nèi)所對應的點的軌跡為（）
A．線段B．圓C．橢圓D．雙曲線
2．設O為坐標原點，，為橢圓C：的左，右兩個焦點，點R在C上，點是線段上靠近點的三等分點，若，則（）
A．B．C．D．
3．已知橢圓的左、右焦點分別為，，為橢圓上不與左右頂點重合的任意一點，，分別為ΔMF1F2的內(nèi)心和重心，則IG?F1F2=（）
A．0B．1C．D．3
4．已知橢圓的左?右焦點分別為，若經(jīng)過的弦滿足，則橢圓的離心率是（）
A．B．C．D．
5．已知橢圓的左、右焦點分別為，過點的射線分別與橢圓和圓相交于點，過點作，垂足為為坐標原點，則（）
A．B．C．2D．
6．已知，分別是橢圓：的左、右焦點，過的直線與交于點，與軸交于點，，，則的離心率為（）
A．B．C．D．
7．已知橢圓的左、右焦點分別為，過點和上頂點A的直線交于另外一點，若，且的面積為，則實數(shù)的值為（）
A．3B．C．3或7D．或7
8．已知橢圓的左、右焦點分別為，點在橢圓上，且滿足,延長線交橢圓于另一點，，則橢圓的方程為（）
A．B．C．D．
9．設，是橢圓（）的左、右焦點，過的直線與交于，兩點，若，，則的離心率為（）
A．B．C．D．
10．已知橢圓的左、右焦點分別為，，其右頂點為A，若橢圓上一點P，使得，，則橢圓的離心率為（）
A．B．C．D．
考點02：橢圓的焦點三角形問題
橢圓焦點為，，P為橢圓上的點，，則；
證明：設
推論及應用：（注意：r為內(nèi)切圓半徑）
①三角形（直角）等面積法：如上圖，當時，有；
，．
②任意角度的三角形等面積法：．
③最大面積、最大頂角考點：當點P位于橢圓的短軸頂點時，取最大值，根據(jù)等面積法，此時．
④直角頂點的處理技巧：當時，取得最大值，若，則，；同理可得，若，則，；若，則，．
⑤直角頂點個數(shù)考點，當時，有四個點P存在；當時，有兩個點P存在；當時，無點P存在。
注意：與的區(qū)別，不一定為頂點.
11．已知，分別是橢圓C：的左、右焦點，O為坐標原點，M，N為C上兩個動點，且，面積的最大值為，過O作直線MN的垂線，垂足為H，則（）
A．B．C．1D．
12．已知點分別是橢圓的左、右焦點，是上一點，的內(nèi)切圓的圓心為，則橢圓的標準方程是（）
A．B．C．D．
13．單位向量，向量滿足，若存在兩個均滿足此條件的向量，使得，設，在起點為原點時，終點分別為.則的最大值（）
A．B．C．4D．2
14．已知是橢圓的左、右焦點，點P在C上，且線段的中點在以為直徑的圓上，則三角形的面積為（）
A．1B．C．D．8
15．已知橢圓（）的兩焦點分別為、．若橢圓上有一點P，使，則的面積為（）
A．B．C．D．
16．已知橢圓的左、右焦點分別為，，點在橢圓上.若，則的面積為（）
A．2B．4C．8D．9
17．已知橢圓的兩個焦點為，，點，為上關于坐標原點對稱的兩點，，的面積記為，且，則的離心率的取值范圍為（）
A．B．
C．D．
18．已知橢圓的左?右焦點分別為，過的直線與交于兩點，若，則下列結論錯誤的是（）
A．B．的面積等于
C．的離心率等于D．直線的斜率為
19．已知橢圓的左，右焦點分別為，，點在橢圓上，為的內(nèi)心，記，的面積分別為，且滿足，則橢圓的離心率是（）
A．B．C．D．
20．已知分別是橢圓的左、右焦點，在上，在軸上，，以為直徑的圓過，且的面積為，則橢圓的標準方程為（）
A．B．
C．D．
考點03：橢圓的簡單幾何性質(zhì)
橢圓的簡單幾何性質(zhì)
離心率：橢圓焦距與長軸長之比：. （）
當越接近1時，越接近，橢圓越扁；
當越接近0時，越接近0，橢圓越接近圓；
當且僅當時，圖形為圓，方程為
1、與橢圓共焦點的橢圓方程可設為：
2、有相同離心率：（，焦點在軸上）或（，焦點在軸上）
3、橢圓的圖象中線段的幾何特征（如下圖）：
（1）；
（2），，；
（3）,，；
21．橢圓的長軸長與焦距之差等于（）
A．B．C．D．
22．已知點在圓上運動，點為橢圓的右焦點與上頂點，則最小值為（）
A．B．C．D．
23．若橢圓的離心率為，則該橢圓的焦距為（）
A．B．C．或D．或
24．設點分別為橢圓的左、右焦點，點是橢圓上任意一點，若使得成立的點恰好有4個，則實數(shù)的值可以是（）
A．0B．2C．4D．6
25．已知橢圓的左、右焦點分別為，離心率為，點在橢圓上，且，的面積為，則橢圓的焦距為（）
A．B．C．6D．12
26．已知橢圓：的左、右兩個頂點為，，點，，是的四等分點，分別過這三點作斜率為的一組平行線，交橢圓于，，…，，則直線，，…，，這6條直線的斜率乘積為（）
A．B．C．8D．64
27．已知橢圓的左、右焦點分別為，點是橢圓上一點，若的內(nèi)心為，連接并延長交軸于點，且，則橢圓的短軸長為（）
A．2B．C．D．
28．已知橢圓的左頂點為A，左焦點為為該橢圓上一點且在第一象限，若射線上存在一點，使得，線段的垂直平分線與射線交于點，則（）
A．1B．2C．D．
29．設橢圓的離心率是橢圓的離心率的倍，則的長軸長為（）
A．1B．C．2D．
30．已知橢圓的離心率，上頂點的坐標為，右頂點為A,P為上橫坐標為1的點，直線與軸交于點為坐標原點，則（）
A．1B．C．D．
考點04：求橢圓離心率及取值范圍
1、離心率是圓錐曲線的核心概念，求離心率的值或取值范圍即尋求間的等量關系和不等關系并結合求解．該類問題往往是數(shù)學知識的交匯點，數(shù)學思想和方法的綜合點，往往有兩種題型，即顯示約束條件和隱藏約束條件．兩種解題方向，即以形為主的解題方向，注意結合平面幾何知識求解；以數(shù)為主的解題方向，要注意方程和不等式的聯(lián)系．
2、與橢圓焦點三角形有關的問題有意考查橢圓的定義、正弦定理或余弦定理、三角形邊的關系、面積公式、基本不等式等，其中包含關于的等量關系和不等關系，借此可確定離心率的值或取值范圍．
31．設分別為橢圓的左，右焦點，為橢圓上一點，直線與以為圓心、為半徑的圓切于點為坐標原點，且，則橢圓的離心率為（）
A．B．C．D．
32．點是橢圓上的點，以為圓心的圓與軸相切于橢圓的焦點，圓與軸相交于兩點，若是銳角三角形，則橢圓離心率的取值范圍是（）
A．B．
C．D．
33．已知橢圓的左、右焦點分別為，，過的直線l與橢圓相交于A、B兩點，與y軸相交于點C．連接，．若O為坐標原點，，，則橢圓的離心率為（）
A．B．C．D．
34．已知橢圓C：（）的左、右焦點分別為，，P為C上一點，滿足，以C的短軸為直徑作圓O，截直線的弦長為，則C的離心率為（）
A．B．C．D．
35．已知是橢圓的左、右焦點，若上存在不同的兩點，使得，則的離心率的取值范圍為（）
A．B．C．D．
36．已知焦點在軸上的橢圓的離心率為，焦距為，則該橢圓的方程為（）
A．B．
C．D．
37．已知橢圓的左焦點為，直線與C分別交于兩點（A在x軸上方），與y軸交于點為坐標原點．若，則C的離心率為（）
A．B．C．D．
38．已知橢圓的左、右焦點分別為，點A，B在上，直線傾斜角為，且，則的離心率為（）
A．B．C．D．
39．已知為橢圓上一點，分別為其左、右焦點，為坐標原點，，且，則的離心率為（）
A．B．C．D．
40．已知橢圓的左、右焦點分別為，直線與橢圓交于兩點，直線與橢圓交于另一點，若直線與的斜率之積為，則橢圓的離心率為（）
A．B．C．D．
考點05：橢圓的中點弦問題
中點弦問題：若直線與橢圓交于兩點，為中點，則用點差法處理
結論1：
證明：設

41．若橢圓的中心在原點，焦點在軸，一個焦點為，直線與橢圓相交所得弦的中點坐標為，則這個橢圓的方程為 .
42．已知F是橢圓C：（）的左焦點，是橢圓C過F的弦，的垂直平分線交x軸于點P.若，且P為的中點，則橢圓C的離心率為 .
43．已知正方形的四個頂點均在橢圓上，的兩個焦點分別是的中點，則的離心率是 .
44．已知橢圓E：的左、右焦點分別為，，過的直線交E于A，B兩點，是線段BF1的中點，且，則E的方程為．
45．已知，分別為橢圓：的兩個焦點，右頂點為，為的中點，且，直線與交于，兩點，且的周長為28，則橢圓的短軸長為 .
46．已知圓在橢圓的內(nèi)部，為上的一個動點，過作的一條切線，交于另一點，切點為，若當為的中點時，直線的傾斜角恰好為，則該橢圓的離心率 .
47．已知橢圓，平行于軸的直線與交于點，平行于軸的直線與交于點，直線與直線在第一象限交于點，且，，，，若過點的直線與交于點，且點為的中點，則的方程為．
48．已知O為坐標原點，點F為橢圓的右焦點，點A，B在C上，AB的中點為F，，則C的離心率為．
49．設О為坐標原點，A為橢圓C：上一個動點，過點A作橢圓C內(nèi)部的圓E：的一條切線，切點為D，與橢圓C的另一個交點為B，D為AB的中點，若OD的斜率與DE的斜率之積為2，則C的離心率為 .
50．已知橢圓的右焦點為是的中點，若橢圓上到點的距離最小的點有且僅有一個，則橢圓的離心率的取值范圍為 .
考點06：橢圓中過原點的向量積問題
橢圓與直線相交于兩點，O為坐標原點，求
解：設
將代入得：
將（1）（2）代入（3）得：
注意：橢圓與直線相交于兩點，為坐標原點，且，或（以AB線段為直徑的圓過坐標原點O），設原點到直線的距離為，則。
由于
故：
51．已知橢圓的焦點分別是，，點在橢圓上，且
(1)求橢圓的標準方程；
(2)若直線與橢圓交于，兩點，且，求實數(shù)的值和的面積.
52．已知橢圓為其左焦點，在橢圓C上.
(1)求橢圓C的方程.
(2)若A，B是橢圓C上不同的兩點，O為坐標原點，若，是否存在某定圓始終與直線相切？若存在，求出該定圓的方程；若不存在，請說明理由.
53．已知O為坐標原點，橢圓的離心率為，且經(jīng)過點．
(1)求橢圓C的方程；
(2)直線l與橢圓C交于A，B兩點，直線的斜率為，直線的斜率為，且，求的取值范圍．
54．已知P為橢圓短軸上的一個頂點，，為的左、右焦點，且的面積為，橢圓的焦距為2．
(1)求橢圓的方程；
(2)設直線l為圓的切線，且l與相交于A，B兩點，求的取值范圍（O為坐標原點）．
55．已知橢圓的短軸長為2，離心率為．
（1）求橢圓的方程；
（2）直線與橢圓交于，兩點，若（為坐標原點），求實數(shù)的值．
56．已知橢圓的左、右焦點分別為、，上頂點為M，，且原點O到直線的距離為.
（1）求橢圓C的方程：
（2）已知斜率為的直線l交橢圓C于A、B兩點，求的取值范圍.
57．已知雙曲線C：＝1(a，b>0)的左、右焦點分別為F1(-c，0)，F(xiàn)2(c，0)，其中c>0， M(c，3)在C上，且C的離心率為2.
（1）求C的標準方程；
（2）若O為坐標原點，∠F1MF2的角平分線l與曲線D：＝1的交點為P，Q，試判斷OP與OQ是否垂直，并說明理由.
58．設定圓，動圓過點且與圓相切，記動圓圓心的軌跡為曲線．
（1）求曲線的方程；
（2）直線與曲線有兩個交點，，若，證明：原點到直線的距離為定值．
59．定義：已知橢圓，把圓稱為該橢圓的協(xié)同圓.設橢圓的協(xié)同圓為圓(為坐標系原點)，試解決下列問題：
（1）寫出協(xié)同圓圓的方程；
（2）設直線是圓的任意一條切線，且交橢圓于兩點，求的值；
（3）設是橢圓上的兩個動點，且，過點作，交直線于點，求證：點總在某個定圓上，并寫出該定圓的方程.
60．已知?分別為橢圓左右焦點，為橢圓上一點，滿足軸，，且橢圓上的點到左焦點的距離的最大值為.
（1）求橢圓的方程；
（2）若過點的直線交橢圓于，兩點，(其中為坐標原點)，與直線平行且與橢圓相切的兩條直線分別為?，若與兩直線間的距離為，求直線的方程.

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