考點(diǎn)鞏固卷11 復(fù)數(shù)（五大考點(diǎn)）-2025年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)鞏固-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

考點(diǎn)01：復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)的關(guān)系
復(fù)數(shù)集與復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)的對應(yīng)關(guān)系
按照復(fù)數(shù)的幾何表示法，每一個(gè)復(fù)數(shù)有復(fù)平面內(nèi)唯一的一個(gè)點(diǎn)和它對應(yīng)；反過來，復(fù)平面內(nèi)的每一個(gè)點(diǎn)，有唯一的一個(gè)復(fù)數(shù)和它對應(yīng)．
復(fù)數(shù)集C和復(fù)平面內(nèi)所有的點(diǎn)所成的集合是一一對應(yīng)關(guān)系，即
復(fù)數(shù)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)
這是復(fù)數(shù)的一種幾何意義．
復(fù)數(shù)集與復(fù)平面中的向量的對應(yīng)關(guān)系
在平面直角坐標(biāo)系中，每一個(gè)平面向量都可以用一個(gè)有序?qū)崝?shù)對來表示，而有序?qū)崝?shù)對與復(fù)數(shù)是一一對應(yīng)的，所以，我們還可以用向量來表示復(fù)數(shù)．
設(shè)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)表示復(fù)數(shù)，向量由點(diǎn)唯一確定；反過來，點(diǎn)也可以由向量唯一確定．
復(fù)數(shù)集和復(fù)平面內(nèi)的向量所成的集合是一一對應(yīng)的，即
復(fù)數(shù)平面向量
1．當(dāng)時(shí)，復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)位于（）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
【答案】A
【分析】先化簡復(fù)數(shù)，再根據(jù)參數(shù)范圍分別判斷實(shí)部和虛部范圍進(jìn)而判斷點(diǎn)的象限即可.
【詳解】因?yàn)?且,
所以,
則復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限.
故選：A.
2．已知復(fù)數(shù)的實(shí)部為的虛部為，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
【答案】A
【分析】由復(fù)數(shù)的除法得到，從而得到實(shí)部的值，由復(fù)數(shù)的乘法得到，從而得到虛部的值，從而得到，得到對應(yīng)的點(diǎn)，得到所在象限.
【詳解】，所以，所以，
其在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點(diǎn)為，位于第一象限．
故選：A．
3．已知復(fù)數(shù)滿足，其中為虛數(shù)單位，則的共軛復(fù)數(shù)的虛部為（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則化簡求出，再由共軛復(fù)數(shù)的定義，復(fù)數(shù)的概念，即可得到所求．
【詳解】，，
，，
，
的共軛復(fù)數(shù)的虛部為，
故選：．
4．虛數(shù)z滿足，則z的虛部為（）
A．1B．C．2D．
【答案】A
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)相等可得①，②，即可將選項(xiàng)中的值代入驗(yàn)證.或者利用因式分解求解。
【詳解】解法一：設(shè)復(fù)數(shù),
則，化簡得，
故，即①，②
此時(shí)，對于選項(xiàng)中的值，代入：
若，則，符合要求，
若，由②得，但不符合①，故舍去，
若，由②得，但不符合①，故舍去，
若，由②得，但不符合①，故舍去，
綜上可得
故選：A
解法二：由可得，
故，故或，
由于為虛數(shù)，故，
故虛部為1，
故選：A
5．復(fù)數(shù)z滿足（為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)z的虛部為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由復(fù)數(shù)除法運(yùn)算法則求出復(fù)數(shù)z即可得復(fù)數(shù)z的虛部.
【詳解】由題，
故復(fù)數(shù)z的虛部為.
故選：B.
6．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量為，其中是原點(diǎn)，則下列說法正確的是（）
A．復(fù)數(shù)的虛部為B．復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)在第一象限
C．當(dāng)時(shí)，復(fù)數(shù)為純虛數(shù)D．向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)為
【答案】BC
【分析】選項(xiàng)A，利用復(fù)數(shù)的定義可知選項(xiàng)A錯(cuò)誤；利用復(fù)數(shù)的幾何意義，即可判斷出選項(xiàng)B和D的正誤；選項(xiàng)C，利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算，即可判斷出選項(xiàng)C的正誤.
【詳解】對于選項(xiàng)A，因?yàn)?，所以?fù)數(shù)的虛部為，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤，
對于選項(xiàng)B，因?yàn)?，所以，故?fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)為，在第一象限，所以選項(xiàng)B正確，
對于選項(xiàng)C，因?yàn)?，又，所以，故選項(xiàng)C正確，
對于選項(xiàng)D，因?yàn)?，所以?br>得到向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)為，所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤，
故選：BC.
7．若復(fù)數(shù)滿足：（其中是虛數(shù)單位），復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，則下列說法正確的是（）
A．的虛部是B．
C．D．
【答案】CD
【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，即可作出判斷.
【詳解】由得：，
所以的虛部是，故A是錯(cuò)誤的；
由，故B是錯(cuò)誤的；
由，故C是正確的；
由，故D是正確的；
故選：CD.
8．已知復(fù)數(shù)滿足，則（）
A．的虛部為B．
C．為純虛數(shù)D．在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第四象限
【答案】AD
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，化簡復(fù)數(shù)為，結(jié)合選項(xiàng)，逐項(xiàng)判定，即可求解.
【詳解】由復(fù)數(shù)，可得，
對于A中，由的虛部為，所以A正確；
對于B中，由，可得，所以B不正確；
對于C中，由，可得不是純虛數(shù)，所以C錯(cuò)誤；
對于D中，由在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為位于第四象限，所以D正確.
故選：AD.
9．若，則（）
A．
B．的虛部為8
C．
D．在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限
【答案】BC
【分析】根據(jù)化簡復(fù)數(shù)得，即可由模長公式求解A，根據(jù)復(fù)數(shù)的乘方可得，根據(jù)虛部的概念即可求解B，根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算即可求解C，根據(jù)復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)為即可求解D.
【詳解】，故，A錯(cuò)誤.
，B正確.
，C正確.
在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限，D錯(cuò)誤.
故選：BC
10．復(fù)數(shù)，則的虛部為．
【答案】/-2.2
【分析】由復(fù)數(shù)的除法化簡，再由復(fù)數(shù)虛部的定義得解.
【詳解】復(fù)數(shù)，則，此復(fù)數(shù)的虛部為.
故答案為：
考點(diǎn)02：復(fù)數(shù)模及幾何意義
復(fù)數(shù)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)
復(fù)數(shù)平面向量
11．已知復(fù)數(shù)，則下列選項(xiàng)正確的是（）．
A．若z為純虛數(shù)﹐則或
B．若z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，則
C．若，則
D．若，則
【答案】BD
【分析】根據(jù)純虛數(shù)特征求參判斷A選項(xiàng)；根據(jù)復(fù)數(shù)的象限判斷實(shí)部虛部范圍解不等式判斷B選項(xiàng)，應(yīng)用模長公式計(jì)算判斷C選項(xiàng)，應(yīng)用共軛復(fù)數(shù)判斷D選項(xiàng).
【詳解】若z為純虛數(shù)，則，所以，故A不正確；
若z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，則，所以，故B正確；
若，則，所以，故C不正確；
若，則，所以，故D正確．
故選：BD.
12．已知復(fù)數(shù)，，則下列說法正確的是（）
A．B．存在實(shí)數(shù)，使得為實(shí)數(shù)
C．若為純虛數(shù)，則D．
【答案】AC
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的模長計(jì)算判斷A選項(xiàng)，應(yīng)用實(shí)數(shù)和純虛數(shù)定義判斷B,C選項(xiàng)，根據(jù)模長及乘方運(yùn)算判斷D選項(xiàng).
【詳解】因?yàn)樗?，A正確；
因?yàn)?無實(shí)數(shù)解，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；
因?yàn)闉榧兲摂?shù)，則，即，C選項(xiàng)正確；
當(dāng)時(shí)，，
則，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選：AC.
13．已知，且復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為，則下面說法正確的有（）
A．
B．若，則，中至少有個(gè)是
C．滿足的點(diǎn)形成的圖形的面積為
D．若，則的最小值為
【答案】ABD
【分析】設(shè)復(fù)數(shù)，對于A，分別計(jì)算即可；對于B，根據(jù)可得即可判斷；對于C，由可得即可判斷；對于D，由得，并計(jì)算即可計(jì)算最小值.
【詳解】設(shè)復(fù)數(shù)，
對于A，，則，
所以，
而，故A正確；
對于B，若，
則，即，則或，
則或，則，中至少有個(gè)是，故B正確；
對于C，，
所以，所以點(diǎn)形成的圖形面積為，故C錯(cuò)誤；
對于D，因?yàn)?，所以?br>且，
所以
，且
所以，
所以最小值為，故D正確.
故選：ABD.
14．已知復(fù)數(shù)，則（）
A．的實(shí)部為B．的虛部為
C．D．在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限
【答案】AC
【分析】復(fù)數(shù)除法化簡的，再根據(jù)復(fù)數(shù)的實(shí)部、虛部、模和共軛復(fù)數(shù)的幾何意義判斷各個(gè)選項(xiàng)；
【詳解】由題意得，所以的實(shí)部為，虛部為，故A正確B錯(cuò)誤；
在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限．故C正確D錯(cuò)誤；
故選：AC.
15．已知復(fù)數(shù)，則下列命題中正確的是（）
A．若，則
B．
C．若，則
D．若，則
【答案】BC
【分析】舉反例排除AD，設(shè)，根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和求模長的公式判斷BC，從而得解.
【詳解】A選項(xiàng)，令，則，但不滿足，A錯(cuò)誤；
B選項(xiàng)，設(shè)，則，
，B正確；
選項(xiàng)，設(shè)，則，則，C正確；
選項(xiàng)，令，則，但不滿足D錯(cuò)誤.
故選：BC.
16．已知是復(fù)數(shù)，是其共軛復(fù)數(shù)，則下列命題中正確的是（）
A．
B．若，則復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限
C．若，則的最大值為
D．若是關(guān)于的方程的一個(gè)根，則
【答案】BCD
【分析】設(shè)出復(fù)數(shù)的代數(shù)形式計(jì)算判斷A；利用復(fù)數(shù)的幾何意義判斷B；求出復(fù)數(shù)判斷C；利用復(fù)數(shù)相等求出判斷D.
【詳解】對于A，設(shè)，則，，A錯(cuò)誤；
對于B，，則復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，B正確；
對于C，由知，在復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)的點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心的單位圓上，可看作該單位圓上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離，則距離最大值為，C正確；
對于D，依題意，，整理得，
而，因此，解得，D正確．
故選：BCD
17．若復(fù)數(shù)是方程的兩根，則（）
A．虛部不同B．在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對稱
C．D．在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限
【答案】ABC
【分析】利用一元二次方程的虛根是共軛，并加以計(jì)算，就可以判斷各選項(xiàng).
【詳解】由方程的求根公式可得：，
故A正確；
由在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)分別為，顯然關(guān)于實(shí)軸對稱，故B正確；
由，故C正確；
由，它對應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限，故D錯(cuò)誤；
故選：ABC．
18．已知復(fù)數(shù)滿足，（為虛數(shù)單位），是方程在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的兩根，則下列結(jié)論正確的是（）
A．的最小值為B．的最小值為4
C．當(dāng)時(shí)，則D．當(dāng)時(shí)，則
【答案】AD
【分析】利用復(fù)數(shù)的幾何意義，在復(fù)平面內(nèi)畫出點(diǎn)，的軌跡方程，可判斷AB選項(xiàng)；復(fù)數(shù)范圍解一元二次方程，討論判別式，分別求解，用根與系數(shù)的關(guān)系化簡求值，在去掉絕對值號時(shí)又需進(jìn)一步對a的取值進(jìn)行分類討論，進(jìn)而可判斷CD選項(xiàng).
【詳解】設(shè)在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點(diǎn)分別為，
由得，所以在直線上.
由得，所以在圓上.
如圖所示：
對于A：表示復(fù)平面內(nèi)圓上的點(diǎn)到直線上點(diǎn)的距離，
所以的最小值為，故A正確；
對于B：表示復(fù)平面內(nèi)圓上的點(diǎn)到直線上點(diǎn)的距離，
所以的最小值為，故B錯(cuò)誤；
對于CD：因?yàn)槭欠匠淘趶?fù)數(shù)范圍內(nèi)的兩根，
所以.
若，即或，此時(shí)，
由得或，
∴當(dāng)或時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，，故C錯(cuò)誤；
若，即，此時(shí)，為一對共軛虛根，
，故D正確.
故選：AD.
19．已知復(fù)數(shù)，，則（）
A．B．在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限
C．D．為純虛數(shù)
【答案】ABC
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)除法運(yùn)算可得，即可判斷A，根據(jù)復(fù)數(shù)的減法運(yùn)算以及幾何意義可判斷B，根據(jù)模長公式可判斷C，根據(jù)乘法運(yùn)算，結(jié)合純虛數(shù)定義可判斷D.
【詳解】,故A正確，
，對應(yīng)的點(diǎn)為，故B正確，
，故，C正確，
，不為純虛數(shù)，故D錯(cuò)誤，
故選：ABC
20．設(shè)，為復(fù)數(shù)，下列說法正確的是（）．
A．B．
C．若，則D．若是實(shí)數(shù)，則為純虛數(shù)
【答案】BC
【分析】對于AD：舉反例說明即可；對于B：根據(jù)乘法運(yùn)算結(jié)合模長公式分析判斷；對于C：根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義結(jié)合模長公式分析判斷.
【詳解】設(shè)，，
對于選項(xiàng)A：例如，則，兩者不相等，故A錯(cuò)誤；
對于選項(xiàng)B：因?yàn)?，且?br>則，
即，故B正確；
對于選項(xiàng)C：若，則，
所以，故C正確；
對于選項(xiàng)D：例如是實(shí)數(shù)，則也為實(shí)數(shù)，故D錯(cuò)誤；
故選：BC.
考點(diǎn)03：復(fù)數(shù)相等的充要條件
復(fù)數(shù)相等的充要條件
兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的定義：如果兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部分別相等，那么我們就說這兩個(gè)復(fù)數(shù)相等．即：
如果，那么
特別地：．
（1）一個(gè)復(fù)數(shù)一旦實(shí)部、虛部確定，那么這個(gè)復(fù)數(shù)就唯一確定；反之一樣．
根據(jù)復(fù)數(shù)與相等的定義，可知在兩式中，只要有一個(gè)不成立，那么就有（，）．
（2）一般地，兩個(gè)復(fù)數(shù)只能說相等或不相等，而不能比較大小如果兩個(gè)復(fù)數(shù)都是實(shí)數(shù)，就可以比較大??；也只有當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)全是實(shí)數(shù)時(shí)才能比較大小．
21．設(shè)，其中，若，則（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用復(fù)數(shù)相等求參數(shù)，再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的的形式，即可求解.
【詳解】因?yàn)椋?，所以?br>所以，故．
故選：D
22．設(shè)，其中為虛數(shù)單位，則（）
A．B．C．1D．5
【答案】A
【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算及復(fù)數(shù)相等求解即得.
【詳解】由，得，而，因此，
所以.
故選：A
23．已知復(fù)數(shù)，的模長為1，且，則的值是（）
A．1B．C．D．
【答案】A
【分析】設(shè)，，分別計(jì)算，，，，由可得，即可求得，，即可求解.
【詳解】設(shè)，，
則，，
所以，
，
因?yàn)?，，所以，?br>因?yàn)?，所以，所以?br>即，所以，
所以，，
所以.
故選：.
24．已知復(fù)數(shù)，且，則的取值范圍是（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用復(fù)數(shù)相等可得和三角函數(shù)的平方關(guān)系可得，再根據(jù)正弦函數(shù)的取值范圍與二次函數(shù)的性質(zhì)可得的取值范圍.
【詳解】復(fù)數(shù)，且，
所以，則
因?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，
所以的取值范圍是.
故選：B.
25．已知，下列命題正確的是（）
A．
B．
C．若，則至少有1個(gè)為0
D．若是兩個(gè)虛數(shù)，，，則為共軛復(fù)數(shù)
【答案】BCD
【分析】對于A：舉反例說明即可；對于B：根據(jù)除法運(yùn)算結(jié)合共軛復(fù)數(shù)概念分析判斷；對于C：根據(jù)復(fù)數(shù)乘法結(jié)合復(fù)數(shù)相等分析判斷；對于D：根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算結(jié)合復(fù)數(shù)的相關(guān)概念分析判斷.
【詳解】設(shè)，
對于選項(xiàng)A：例如，則，
顯然，故A錯(cuò)誤；
對于選項(xiàng)B：因?yàn)椋?br>則，
可得；
又因?yàn)椋?br>可得，
所以，故B正確；
對于選項(xiàng)C：因?yàn)椋?br>可得，解得或，
即或，所以至少有1個(gè)為0，故C正確；
對于選項(xiàng)D：若是兩個(gè)虛數(shù)，則，
因?yàn)?，則，即，
又因?yàn)椋?br>則，即，可得，
所以，即為共軛復(fù)數(shù)，故D正確；
故選：BCD.
26．若，則下列結(jié)論正確的是（）
A．若為實(shí)數(shù)，則
B．若，則
C．若，則
D．若在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限，則
【答案】AC
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的概念、共軛復(fù)數(shù)的概念、復(fù)數(shù)的模長公式、復(fù)數(shù)相等以及復(fù)數(shù)的乘除法運(yùn)算逐個(gè)選項(xiàng)判斷可得答案.
【詳解】若為實(shí)數(shù)，則虛部為，即，故A正確；
若，則，
則，解得，故B錯(cuò)誤；
若，則，解得，
則，，故C正確；
若在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限，則，
解得，故D錯(cuò)誤.
故選：AC.
27．已知是虛數(shù)單位，則下列說法正確的有（）
A．是關(guān)于的方程的一個(gè)根，則
B．“”是“復(fù)數(shù)是純虛數(shù)”的必要不充分條件
C．若復(fù)數(shù)，且，則
D．若復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)的虛部為
【答案】BD
【分析】將代入方程，化簡后利用復(fù)數(shù)相等列式求解即可判斷A；根據(jù)純虛數(shù)的定義及充分性和必要性得定義即可判斷B；根據(jù)復(fù)數(shù)的模的計(jì)算求出，即可判斷C；設(shè)復(fù)數(shù)，根據(jù)復(fù)數(shù)的加法運(yùn)算及復(fù)數(shù)相等的條件即可求出復(fù)數(shù)，即可判斷D.
【詳解】對于A，因?yàn)槭顷P(guān)于的方程的一個(gè)根，所以，
即，所以，解得，故A錯(cuò)誤；
對于B，當(dāng)時(shí)，若，復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)，不是虛數(shù)，更不是純虛數(shù)，故充分性不成立；
當(dāng)是純虛數(shù)，則且，故必要性成立，故正確；
對于C，若復(fù)數(shù)，則，解得，故C錯(cuò)誤；
對于D，設(shè)復(fù)數(shù)，則，
所以，故，所以復(fù)數(shù)的虛部為，故D正確.
故選：BD.
28．設(shè)為虛數(shù)單位．若集合，，且，則．
【答案】
【分析】根據(jù)題意，利用集合的包含關(guān)系，列出方程組，即可求解.
【詳解】由集合，，因?yàn)椋?br>當(dāng)時(shí)，此時(shí)，方程組無解；
當(dāng)時(shí)，此時(shí)，解得，
綜上可得，實(shí)數(shù)的值為.
故答案為：.
29．已知，且，則．
【答案】1
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘、除法運(yùn)算和相等復(fù)數(shù)建立關(guān)于a的方程，解之即可.
【詳解】，
所以，解得.
故答案為：1
30．已知復(fù)數(shù)滿足，則的最大值為．
【答案】/
【分析】設(shè)出的代數(shù)形式，利用復(fù)數(shù)相等求出，再借助復(fù)數(shù)的幾何意義求解即得.
【詳解】設(shè)復(fù)數(shù)，由，得，
整理得，于是，即，，
由，得復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)的對應(yīng)點(diǎn)在以表示復(fù)數(shù)的對應(yīng)點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓上，
表示這個(gè)圓上的點(diǎn)到表示復(fù)數(shù)的對應(yīng)點(diǎn)的距離，
距離的最大值是.
故答案為：
考點(diǎn)04：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算
設(shè)，（），我們規(guī)定：
（1）兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘，類似兩個(gè)多項(xiàng)式相乘，在所得的結(jié)果中把換成，并且把實(shí)部與虛部分別合并．兩個(gè)復(fù)數(shù)的積仍然是一個(gè)復(fù)數(shù)．
（2）在進(jìn)行復(fù)數(shù)除法運(yùn)算時(shí)，通常先把除式寫成分式的形式，再把分子與分母都乘以分母的共軛復(fù)數(shù)（分母實(shí)數(shù)化），化簡后寫成代數(shù)形式．
31．已知為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部相等，則實(shí)數(shù)的值為（）
A．－3B．－1C．1D．3
【答案】A
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，求得的實(shí)部和虛部，解方程即可求得答案.
【詳解】由題意可得，
故，解得，
故選：A
32．已知，，則（）
A．B．C．2D．
【答案】A
【分析】將化為，根據(jù)復(fù)數(shù)的相等，求得，求得答案.
【詳解】由可得，
即，故，
故，
故選：A
33．已知是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)的實(shí)部是虛部的2倍，則（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求得復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部，由題意列式，求得答案.
【詳解】，所以，
解得，
故選：B.
34．已知是復(fù)數(shù)的虛數(shù)單位，且，則的值為．
【答案】
【分析】計(jì)算出，從而求出，以及的值.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，，
所以，
故答案為：.
35．已知復(fù)數(shù),,如果為純虛數(shù),那么 .
【答案】
【分析】根據(jù)為純虛數(shù),進(jìn)行化簡,使實(shí)部為0,求出a即可.
【詳解】解:由題知,,
,
為純虛數(shù),
,
.
故答案為:
36．已知，復(fù)數(shù)（i是虛數(shù)單位），若，則， .
【答案】
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求出復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，利用求出，利用模長公式求出模長即可.
【詳解】，
因?yàn)?，故，得?br>故.
故答案為：；.
37．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，設(shè)．
(1)若，求；
(2)若，求．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）設(shè)，根據(jù)復(fù)數(shù)除法運(yùn)算和加減法運(yùn)算化簡，再根據(jù)復(fù)數(shù)的分類列出方程組，解之即可；
（2）根據(jù)，可得等式左邊化簡后得復(fù)數(shù)虛部等于零，可得出關(guān)系，再根據(jù)復(fù)數(shù)的模的計(jì)算公式即可得解.
【詳解】（1）設(shè)，
由，得，
即，整理得，
因?yàn)椋矗?br>所以，解得，
所以；
（2）由（1）結(jié)合，
可得，所以，
所以.
38．解答下列各題：
(1)已知z是復(fù)數(shù)，為實(shí)數(shù)，為純虛數(shù)（i為虛數(shù)單位），求復(fù)數(shù)z；
(2)已知復(fù)數(shù)，實(shí)數(shù)為何值時(shí)，復(fù)數(shù)表示的點(diǎn)位于第四象限．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）設(shè)復(fù)數(shù)，根據(jù)為實(shí)數(shù)求得，再由為純虛數(shù)求得.
（2）由復(fù)數(shù)表示的點(diǎn)位于第四象限列出不等式組求解即可.
【詳解】（1）（1）設(shè)復(fù)數(shù)，
因?yàn)闉閷?shí)數(shù)，所以，則復(fù)數(shù)，
又因?yàn)闉榧兲摂?shù)，
則，得，
所以復(fù)數(shù)．
（2），
由復(fù)數(shù)表示的點(diǎn)位于第四象限，可得，解得，
當(dāng)時(shí)，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，
∴m的取值范圍為.
39．已知復(fù)數(shù)是方程的解，
(1)求；
(2)若，且（，為虛數(shù)單位），求．
【答案】(1)(2)
【分析】
（1）解出方程即可求解；
（2）由，可得，再結(jié)合條件求出，，進(jìn)而求解.
【詳解】（1）由，即，
可得，解得，
即
（2）由（1）知，，
因?yàn)椋?，?br>所以，
所以，解得，，
所以.
40．已知復(fù)數(shù)，，其中a是正實(shí)數(shù)．
(1)若，求實(shí)數(shù)a的值；
(2)若是純虛數(shù)，求a的值．
【答案】(1)2(2)2
【分析】（1）根據(jù)復(fù)數(shù)的定義及復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則構(gòu)建關(guān)于的方程組，求解的值；
（2）根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求解，利用復(fù)數(shù)的定義，構(gòu)建關(guān)于的方程組，求解的值；
【詳解】（1）解：∵，，，
∴，從而，解得，
所以實(shí)數(shù)a的值為2．
（2）依題意得：，
因?yàn)槭羌兲摂?shù)，所以：，解得：或；
又因?yàn)閍是正實(shí)數(shù)，所以a＝2．
考點(diǎn)05：在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解方程
復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解方程的一般思路是：依據(jù)題意設(shè)出方程的根，代入方程，利用復(fù)數(shù)相等的充要條件求解．對于一元二次方程，也可以利用求根公式求解，要注意在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)負(fù)數(shù)是能開方的，此外，根與系數(shù)的關(guān)系也是成立的．注意求方程中參數(shù)的取值時(shí)，不能利用判別式求解．
注意：由于虛數(shù)單位的特殊性，不能用判別式判斷復(fù)系數(shù)一元二次方程有無實(shí)數(shù)根．
41．關(guān)于的方程在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的根是，，則下列說法正確的是（）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【分析】首先利用實(shí)系數(shù)一元二次方程的求根公式求解，再根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算判斷選項(xiàng).
【詳解】由求根公式可知，不妨取，，（本題與的順序無關(guān)），
，所以，且，故BD正確；
，故A正確；
由A可知，，，所以，故C錯(cuò)誤.
故選：ABD
42．下列說法正確的是（）
A．
B．若，則
C．
D．若是關(guān)于的方程的根，則
【答案】ACD
【分析】對于A，利用利用復(fù)數(shù)的乘方運(yùn)算求解判斷，對于B，舉例判斷，對于C，通過計(jì)算判斷，對于D，利用根與系數(shù)的關(guān)系求解.
【詳解】對于A，，所以A正確，
對于B，若，則滿足，而兩個(gè)復(fù)數(shù)不能比較大小，所以B錯(cuò)誤，
對于C，，則，，
所以，所以C正確，
對于D，因?yàn)槭顷P(guān)于的方程的根，
所以是關(guān)于的方程的另一個(gè)根，
所以，得，所以D正確，
故選：ACD
43．已知是虛數(shù)單位，下列說法中正確的是（）
A．若，互為共軛復(fù)數(shù)，則
B．若復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓上
C．復(fù)數(shù)與分別表示向量與，則表示向量的復(fù)數(shù)為
D．若是關(guān)于的方程的一個(gè)根，其中，為實(shí)數(shù)，則
【答案】ACD
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的相關(guān)概念及復(fù)數(shù)的運(yùn)算直接可判斷各選項(xiàng).
【詳解】A：設(shè)，則，則，A正確；
B：設(shè)復(fù)數(shù)，則其對應(yīng)的點(diǎn)為，，
所以，即，
所以復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓上，B錯(cuò)誤；
C：由已知，，
則，對應(yīng)的復(fù)數(shù)為，C正確；
D：易知方程的兩個(gè)根互為共軛復(fù)數(shù)，
設(shè)分別為與，又，
則，且，所以，D正確；
故選：ACD.
44．已知是方程在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的根，則．
【答案】
【分析】求出復(fù)數(shù)根，后求模即可.
【詳解】方程解得，得.
故答案為：.
45．若虛數(shù)i是方程的一個(gè)根，則 .
【答案】1
【分析】把i代入方程，化簡方程，利用相等復(fù)數(shù)的概念得到p、q的值，即可求解.
【詳解】因?yàn)閕是方程的一個(gè)根，
所以，即，
得，解得，
所以.
故答案為：1
46．若關(guān)于x的實(shí)系數(shù)方程有兩實(shí)部為1的共軛虛根，則 .
【答案】
【分析】根據(jù)實(shí)系數(shù)一元二次方程有虛根的性質(zhì)，結(jié)合判別式、根與系數(shù)關(guān)系、復(fù)數(shù)與其共軛復(fù)數(shù)和的關(guān)系，可以求出結(jié)果.
【詳解】因?yàn)殛P(guān)于的實(shí)系數(shù)一元二次方程有兩實(shí)部為1的共軛虛根，
所以方程的判別式小于零，即，
即，
解得：或
由已知兩根是互為共軛的虛根，設(shè)為，而由題意可知：
由根與系數(shù)的關(guān)系可得：，解得.
舍去，滿足題意.
故答案為：.
47．已知復(fù)數(shù)分別為方程的兩根，則 .
【答案】
【分析】由題意可得，則，再結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系可求得結(jié)果.
【詳解】因?yàn)榉謩e為方程的兩根，
所以，，
所以.
故答案為：
48．設(shè)是虛數(shù)單位，是關(guān)于的方程的兩根，且滿足.
(1)若，求與的值；
(2)若，求的值.
【答案】(1)(2)或
【分析】（1）由，及，得，即可求解；
（2）當(dāng)時(shí)，則是關(guān)于的方程的兩根，則，進(jìn)行分類討論，即可求解.
【詳解】（1）解：由，得，
而，得，
因?yàn)槭顷P(guān)于的方程的兩根，
所以，
得，由，得，
得，則；
（2）當(dāng)時(shí)，則是關(guān)于的方程的兩根，
則，
當(dāng)時(shí)，則，不滿足，
當(dāng)時(shí)，得
得，
由得，
得，
得，
得，
當(dāng)時(shí)，不成立，當(dāng)時(shí)，得，
當(dāng)時(shí)，得，
不妨記，
由得，
得，
故的值為：或
49．已知關(guān)于的實(shí)系數(shù)一元二次方程的兩根為.
(1)若為虛數(shù)，，且，求和的值；
(2)若，求的值.
【答案】(1)， (2)或.
【分析】（1）由根的判別式可得，設(shè)，結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義和韋達(dá)定理計(jì)算即可求解；
（2）法一：分別討論當(dāng)方程有兩個(gè)實(shí)根、兩個(gè)虛根的情況，結(jié)合韋達(dá)定理、復(fù)數(shù)的幾何意義即可求解；法二：利用韋達(dá)定理和完全平方公式計(jì)算直接得出結(jié)果.
【詳解】（1）由題意，關(guān)于的實(shí)系數(shù)一元二次方程的兩個(gè)虛根為，
可得，即，
設(shè)，由，解得，
所以，；
（2）法一：由關(guān)于的實(shí)系數(shù)一元二次方程的兩根為，
①若方程有兩個(gè)實(shí)根，則，可得，且，
則，解得；
②若方程有兩個(gè)虛根，則，可得，
設(shè)，不妨設(shè)，可得，解得，
所以.
綜上可得，實(shí)數(shù)的值為或.
法二：由關(guān)于的實(shí)系數(shù)一元二次方程的兩根為，
則，
，
解得或.
50．（1）已知復(fù)數(shù)（其中為虛數(shù)單位）滿足，求實(shí)數(shù)的值；
（2）在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，解方程：．
【答案】（1）或（2）或
【分析】（1）根據(jù)復(fù)數(shù)模的運(yùn)算即可求解；
（2）先求出根的判別式，再由求根公式即可求解
【詳解】（1）因?yàn)椋裕?br>所以或；
（2）因?yàn)椋?br>所以方程的根為，
即或.

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